Theorem mulsub 11652

Description: Product of two differences. (Contributed by NM, 14-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
mulsub	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 − 𝐵) · (𝐶 − 𝐷)) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) − ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))))

Proof of Theorem mulsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negsub 11501	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
2		negsub 11501	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐶 + -𝐷) = (𝐶 − 𝐷))
3	1, 2	oveqan12d 7429	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 + -𝐵) · (𝐶 + -𝐷)) = ((𝐴 − 𝐵) · (𝐶 − 𝐷)))
4		negcl 11452	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → -𝐵 ∈ ℂ)
5		negcl 11452	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ ℂ → -𝐷 ∈ ℂ)
6		muladd 11641	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ -𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 + -𝐵) · (𝐶 + -𝐷)) = (((𝐴 · 𝐶) + (-𝐷 · -𝐵)) + ((𝐴 · -𝐷) + (𝐶 · -𝐵))))
7	5, 6	sylanr2 695	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 + -𝐵) · (𝐶 + -𝐷)) = (((𝐴 · 𝐶) + (-𝐷 · -𝐵)) + ((𝐴 · -𝐷) + (𝐶 · -𝐵))))
8	4, 7	sylanl2 693	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 + -𝐵) · (𝐶 + -𝐷)) = (((𝐴 · 𝐶) + (-𝐷 · -𝐵)) + ((𝐴 · -𝐷) + (𝐶 · -𝐵))))
9		mul2neg 11648	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝐷 · -𝐵) = (𝐷 · 𝐵))
10	9	ancoms 463	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (-𝐷 · -𝐵) = (𝐷 · 𝐵))
11	10	oveq2d 7426	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐶) + (-𝐷 · -𝐵)) = ((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)))
12	11	ad2ant2l 758	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐶) + (-𝐷 · -𝐵)) = ((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)))
13		mulneg2 11646	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐴 · -𝐷) = -(𝐴 · 𝐷))
14		mulneg2 11646	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐶 · -𝐵) = -(𝐶 · 𝐵))
15	13, 14	oveqan12d 7429	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · -𝐷) + (𝐶 · -𝐵)) = (-(𝐴 · 𝐷) + -(𝐶 · 𝐵)))
16		mulcl 11179	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐷) ∈ ℂ)
17		mulcl 11179	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ)
18		negdi 11510	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 · 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ) → -((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) = (-(𝐴 · 𝐷) + -(𝐶 · 𝐵)))
19	16, 17, 18	syl2an 607	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → -((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) = (-(𝐴 · 𝐷) + -(𝐶 · 𝐵)))
20	15, 19	eqtr4d 2801	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · -𝐷) + (𝐶 · -𝐵)) = -((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)))
21	20	ancom2s 662	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · -𝐷) + (𝐶 · -𝐵)) = -((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)))
22	21	an42s 673	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · -𝐷) + (𝐶 · -𝐵)) = -((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)))
23	12, 22	oveq12d 7428	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐴 · 𝐶) + (-𝐷 · -𝐵)) + ((𝐴 · -𝐷) + (𝐶 · -𝐵))) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) + -((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))))
24		mulcl 11179	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ)
25		mulcl 11179	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐷 · 𝐵) ∈ ℂ)
26	25	ancoms 463	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐷 · 𝐵) ∈ ℂ)
27		addcl 11177	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐷 · 𝐵) ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) ∈ ℂ)
28	24, 26, 27	syl2an 607	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) ∈ ℂ)
29	28	an4s 672	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) ∈ ℂ)
30	17	ancoms 463	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ)
31		addcl 11177	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 · 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) ∈ ℂ)
32	16, 30, 31	syl2an 607	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) ∈ ℂ)
33	32	an42s 673	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) ∈ ℂ)
34	29, 33	negsubd 11570	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) + -((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) − ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))))
35	8, 23, 34	3eqtrd 2802	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 + -𝐵) · (𝐶 + -𝐷)) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) − ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))))
36	3, 35	eqtr3d 2800	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 − 𝐵) · (𝐶 − 𝐷)) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) − ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  (class class class)co 7410  ℂcc 11093   + caddc 11098   · cmul 11100   − cmin 11436  -cneg 11437

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-po 5569  df-so 5570  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-ltxr 11243  df-sub 11438  df-neg 11439

This theorem is referenced by:  mulsubd  11668  muleqadd  11853  addltmul  12475  sqabssub  15330  mod2xnegi  17126  addltmulALT  32798