MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulsub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulsub 11658
Description: Product of two differences. (Contributed by NM, 14-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
mulsub (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท (๐ถ โˆ’ ๐ท)) = (((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ท ยท ๐ต)) โˆ’ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))))

Proof of Theorem mulsub
StepHypRef Expression
1 negsub 11509 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด + -๐ต) = (๐ด โˆ’ ๐ต))
2 negsub 11509 . . 3 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ถ + -๐ท) = (๐ถ โˆ’ ๐ท))
31, 2oveqan12d 7423 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ด + -๐ต) ยท (๐ถ + -๐ท)) = ((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท (๐ถ โˆ’ ๐ท)))
4 negcl 11461 . . . 4 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ -๐ต โˆˆ โ„‚)
5 negcl 11461 . . . . 5 (๐ท โˆˆ โ„‚ โ†’ -๐ท โˆˆ โ„‚)
6 muladd 11647 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง -๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง -๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ด + -๐ต) ยท (๐ถ + -๐ท)) = (((๐ด ยท ๐ถ) + (-๐ท ยท -๐ต)) + ((๐ด ยท -๐ท) + (๐ถ ยท -๐ต))))
75, 6sylanr2 680 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง -๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ด + -๐ต) ยท (๐ถ + -๐ท)) = (((๐ด ยท ๐ถ) + (-๐ท ยท -๐ต)) + ((๐ด ยท -๐ท) + (๐ถ ยท -๐ต))))
84, 7sylanl2 678 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ด + -๐ต) ยท (๐ถ + -๐ท)) = (((๐ด ยท ๐ถ) + (-๐ท ยท -๐ต)) + ((๐ด ยท -๐ท) + (๐ถ ยท -๐ต))))
9 mul2neg 11654 . . . . . . 7 ((๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (-๐ท ยท -๐ต) = (๐ท ยท ๐ต))
109ancoms 458 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โ†’ (-๐ท ยท -๐ต) = (๐ท ยท ๐ต))
1110oveq2d 7420 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) + (-๐ท ยท -๐ต)) = ((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ท ยท ๐ต)))
1211ad2ant2l 743 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) + (-๐ท ยท -๐ต)) = ((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ท ยท ๐ต)))
13 mulneg2 11652 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท -๐ท) = -(๐ด ยท ๐ท))
14 mulneg2 11652 . . . . . . . 8 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ถ ยท -๐ต) = -(๐ถ ยท ๐ต))
1513, 14oveqan12d 7423 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ด ยท -๐ท) + (๐ถ ยท -๐ต)) = (-(๐ด ยท ๐ท) + -(๐ถ ยท ๐ต)))
16 mulcl 11193 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚)
17 mulcl 11193 . . . . . . . 8 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ถ ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
18 negdi 11518 . . . . . . . 8 (((๐ด ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚) โ†’ -((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต)) = (-(๐ด ยท ๐ท) + -(๐ถ ยท ๐ต)))
1916, 17, 18syl2an 595 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚)) โ†’ -((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต)) = (-(๐ด ยท ๐ท) + -(๐ถ ยท ๐ต)))
2015, 19eqtr4d 2769 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ด ยท -๐ท) + (๐ถ ยท -๐ต)) = -((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต)))
2120ancom2s 647 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ด ยท -๐ท) + (๐ถ ยท -๐ต)) = -((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต)))
2221an42s 658 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ด ยท -๐ท) + (๐ถ ยท -๐ต)) = -((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต)))
2312, 22oveq12d 7422 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ (((๐ด ยท ๐ถ) + (-๐ท ยท -๐ต)) + ((๐ด ยท -๐ท) + (๐ถ ยท -๐ต))) = (((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ท ยท ๐ต)) + -((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))))
24 mulcl 11193 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
25 mulcl 11193 . . . . . . 7 ((๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ท ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
2625ancoms 458 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ท ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
27 addcl 11191 . . . . . 6 (((๐ด ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ท ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ท ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
2824, 26, 27syl2an 595 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ท ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
2928an4s 657 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ท ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
3017ancoms 458 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ถ ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
31 addcl 11191 . . . . . 6 (((๐ด ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
3216, 30, 31syl2an 595 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
3332an42s 658 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
3429, 33negsubd 11578 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ (((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ท ยท ๐ต)) + -((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))) = (((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ท ยท ๐ต)) โˆ’ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))))
358, 23, 343eqtrd 2770 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ด + -๐ต) ยท (๐ถ + -๐ท)) = (((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ท ยท ๐ต)) โˆ’ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))))
363, 35eqtr3d 2768 1 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท (๐ถ โˆ’ ๐ท)) = (((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ท ยท ๐ต)) โˆ’ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  (class class class)co 7404  โ„‚cc 11107   + caddc 11112   ยท cmul 11114   โˆ’ cmin 11445  -cneg 11446
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-ltxr 11254  df-sub 11447  df-neg 11448
This theorem is referenced by:  mulsubd  11674  muleqadd  11859  addltmul  12449  sqabssub  15234  mod2xnegi  17011  addltmulALT  32204
  Copyright terms: Public domain W3C validator