MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulsub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulsub 11688
Description: Product of two differences. (Contributed by NM, 14-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
mulsub (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท (๐ถ โˆ’ ๐ท)) = (((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ท ยท ๐ต)) โˆ’ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))))

Proof of Theorem mulsub
StepHypRef Expression
1 negsub 11539 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด + -๐ต) = (๐ด โˆ’ ๐ต))
2 negsub 11539 . . 3 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ถ + -๐ท) = (๐ถ โˆ’ ๐ท))
31, 2oveqan12d 7439 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ด + -๐ต) ยท (๐ถ + -๐ท)) = ((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท (๐ถ โˆ’ ๐ท)))
4 negcl 11491 . . . 4 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ -๐ต โˆˆ โ„‚)
5 negcl 11491 . . . . 5 (๐ท โˆˆ โ„‚ โ†’ -๐ท โˆˆ โ„‚)
6 muladd 11677 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง -๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง -๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ด + -๐ต) ยท (๐ถ + -๐ท)) = (((๐ด ยท ๐ถ) + (-๐ท ยท -๐ต)) + ((๐ด ยท -๐ท) + (๐ถ ยท -๐ต))))
75, 6sylanr2 682 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง -๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ด + -๐ต) ยท (๐ถ + -๐ท)) = (((๐ด ยท ๐ถ) + (-๐ท ยท -๐ต)) + ((๐ด ยท -๐ท) + (๐ถ ยท -๐ต))))
84, 7sylanl2 680 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ด + -๐ต) ยท (๐ถ + -๐ท)) = (((๐ด ยท ๐ถ) + (-๐ท ยท -๐ต)) + ((๐ด ยท -๐ท) + (๐ถ ยท -๐ต))))
9 mul2neg 11684 . . . . . . 7 ((๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (-๐ท ยท -๐ต) = (๐ท ยท ๐ต))
109ancoms 458 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โ†’ (-๐ท ยท -๐ต) = (๐ท ยท ๐ต))
1110oveq2d 7436 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) + (-๐ท ยท -๐ต)) = ((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ท ยท ๐ต)))
1211ad2ant2l 745 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) + (-๐ท ยท -๐ต)) = ((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ท ยท ๐ต)))
13 mulneg2 11682 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท -๐ท) = -(๐ด ยท ๐ท))
14 mulneg2 11682 . . . . . . . 8 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ถ ยท -๐ต) = -(๐ถ ยท ๐ต))
1513, 14oveqan12d 7439 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ด ยท -๐ท) + (๐ถ ยท -๐ต)) = (-(๐ด ยท ๐ท) + -(๐ถ ยท ๐ต)))
16 mulcl 11223 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚)
17 mulcl 11223 . . . . . . . 8 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ถ ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
18 negdi 11548 . . . . . . . 8 (((๐ด ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚) โ†’ -((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต)) = (-(๐ด ยท ๐ท) + -(๐ถ ยท ๐ต)))
1916, 17, 18syl2an 595 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚)) โ†’ -((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต)) = (-(๐ด ยท ๐ท) + -(๐ถ ยท ๐ต)))
2015, 19eqtr4d 2771 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ด ยท -๐ท) + (๐ถ ยท -๐ต)) = -((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต)))
2120ancom2s 649 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ด ยท -๐ท) + (๐ถ ยท -๐ต)) = -((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต)))
2221an42s 660 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ด ยท -๐ท) + (๐ถ ยท -๐ต)) = -((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต)))
2312, 22oveq12d 7438 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ (((๐ด ยท ๐ถ) + (-๐ท ยท -๐ต)) + ((๐ด ยท -๐ท) + (๐ถ ยท -๐ต))) = (((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ท ยท ๐ต)) + -((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))))
24 mulcl 11223 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
25 mulcl 11223 . . . . . . 7 ((๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ท ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
2625ancoms 458 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ท ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
27 addcl 11221 . . . . . 6 (((๐ด ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ท ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ท ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
2824, 26, 27syl2an 595 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ท ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
2928an4s 659 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ท ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
3017ancoms 458 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ถ ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
31 addcl 11221 . . . . . 6 (((๐ด ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
3216, 30, 31syl2an 595 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
3332an42s 660 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
3429, 33negsubd 11608 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ (((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ท ยท ๐ต)) + -((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))) = (((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ท ยท ๐ต)) โˆ’ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))))
358, 23, 343eqtrd 2772 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ด + -๐ต) ยท (๐ถ + -๐ท)) = (((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ท ยท ๐ต)) โˆ’ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))))
363, 35eqtr3d 2770 1 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท (๐ถ โˆ’ ๐ท)) = (((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ท ยท ๐ต)) โˆ’ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  (class class class)co 7420  โ„‚cc 11137   + caddc 11142   ยท cmul 11144   โˆ’ cmin 11475  -cneg 11476
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-ltxr 11284  df-sub 11477  df-neg 11478
This theorem is referenced by:  mulsubd  11704  muleqadd  11889  addltmul  12479  sqabssub  15263  mod2xnegi  17040  addltmulALT  32269
  Copyright terms: Public domain W3C validator