MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulsub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulsub 11603
Description: Product of two differences. (Contributed by NM, 14-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
mulsub (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท (๐ถ โˆ’ ๐ท)) = (((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ท ยท ๐ต)) โˆ’ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))))

Proof of Theorem mulsub
StepHypRef Expression
1 negsub 11454 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด + -๐ต) = (๐ด โˆ’ ๐ต))
2 negsub 11454 . . 3 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ถ + -๐ท) = (๐ถ โˆ’ ๐ท))
31, 2oveqan12d 7377 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ด + -๐ต) ยท (๐ถ + -๐ท)) = ((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท (๐ถ โˆ’ ๐ท)))
4 negcl 11406 . . . 4 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ -๐ต โˆˆ โ„‚)
5 negcl 11406 . . . . 5 (๐ท โˆˆ โ„‚ โ†’ -๐ท โˆˆ โ„‚)
6 muladd 11592 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง -๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง -๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ด + -๐ต) ยท (๐ถ + -๐ท)) = (((๐ด ยท ๐ถ) + (-๐ท ยท -๐ต)) + ((๐ด ยท -๐ท) + (๐ถ ยท -๐ต))))
75, 6sylanr2 682 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง -๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ด + -๐ต) ยท (๐ถ + -๐ท)) = (((๐ด ยท ๐ถ) + (-๐ท ยท -๐ต)) + ((๐ด ยท -๐ท) + (๐ถ ยท -๐ต))))
84, 7sylanl2 680 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ด + -๐ต) ยท (๐ถ + -๐ท)) = (((๐ด ยท ๐ถ) + (-๐ท ยท -๐ต)) + ((๐ด ยท -๐ท) + (๐ถ ยท -๐ต))))
9 mul2neg 11599 . . . . . . 7 ((๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (-๐ท ยท -๐ต) = (๐ท ยท ๐ต))
109ancoms 460 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โ†’ (-๐ท ยท -๐ต) = (๐ท ยท ๐ต))
1110oveq2d 7374 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) + (-๐ท ยท -๐ต)) = ((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ท ยท ๐ต)))
1211ad2ant2l 745 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) + (-๐ท ยท -๐ต)) = ((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ท ยท ๐ต)))
13 mulneg2 11597 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท -๐ท) = -(๐ด ยท ๐ท))
14 mulneg2 11597 . . . . . . . 8 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ถ ยท -๐ต) = -(๐ถ ยท ๐ต))
1513, 14oveqan12d 7377 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ด ยท -๐ท) + (๐ถ ยท -๐ต)) = (-(๐ด ยท ๐ท) + -(๐ถ ยท ๐ต)))
16 mulcl 11140 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚)
17 mulcl 11140 . . . . . . . 8 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ถ ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
18 negdi 11463 . . . . . . . 8 (((๐ด ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚) โ†’ -((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต)) = (-(๐ด ยท ๐ท) + -(๐ถ ยท ๐ต)))
1916, 17, 18syl2an 597 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚)) โ†’ -((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต)) = (-(๐ด ยท ๐ท) + -(๐ถ ยท ๐ต)))
2015, 19eqtr4d 2776 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ด ยท -๐ท) + (๐ถ ยท -๐ต)) = -((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต)))
2120ancom2s 649 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ด ยท -๐ท) + (๐ถ ยท -๐ต)) = -((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต)))
2221an42s 660 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ด ยท -๐ท) + (๐ถ ยท -๐ต)) = -((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต)))
2312, 22oveq12d 7376 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ (((๐ด ยท ๐ถ) + (-๐ท ยท -๐ต)) + ((๐ด ยท -๐ท) + (๐ถ ยท -๐ต))) = (((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ท ยท ๐ต)) + -((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))))
24 mulcl 11140 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
25 mulcl 11140 . . . . . . 7 ((๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ท ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
2625ancoms 460 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ท ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
27 addcl 11138 . . . . . 6 (((๐ด ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ท ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ท ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
2824, 26, 27syl2an 597 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ท ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
2928an4s 659 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ท ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
3017ancoms 460 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ถ ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
31 addcl 11138 . . . . . 6 (((๐ด ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
3216, 30, 31syl2an 597 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
3332an42s 660 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
3429, 33negsubd 11523 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ (((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ท ยท ๐ต)) + -((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))) = (((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ท ยท ๐ต)) โˆ’ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))))
358, 23, 343eqtrd 2777 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ด + -๐ต) ยท (๐ถ + -๐ท)) = (((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ท ยท ๐ต)) โˆ’ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))))
363, 35eqtr3d 2775 1 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท (๐ถ โˆ’ ๐ท)) = (((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ท ยท ๐ต)) โˆ’ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11054   + caddc 11059   ยท cmul 11061   โˆ’ cmin 11390  -cneg 11391
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-ltxr 11199  df-sub 11392  df-neg 11393
This theorem is referenced by:  mulsubd  11619  muleqadd  11804  addltmul  12394  sqabssub  15174  mod2xnegi  16948  addltmulALT  31430
  Copyright terms: Public domain W3C validator