Theorem mulsub 11681

Description: Product of two differences. (Contributed by NM, 14-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
mulsub	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 − 𝐵) · (𝐶 − 𝐷)) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) − ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))))

Proof of Theorem mulsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negsub 11530	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
2		negsub 11530	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐶 + -𝐷) = (𝐶 − 𝐷))
3	1, 2	oveqan12d 7432	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 + -𝐵) · (𝐶 + -𝐷)) = ((𝐴 − 𝐵) · (𝐶 − 𝐷)))
4		negcl 11481	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → -𝐵 ∈ ℂ)
5		negcl 11481	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ ℂ → -𝐷 ∈ ℂ)
6		muladd 11670	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ -𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 + -𝐵) · (𝐶 + -𝐷)) = (((𝐴 · 𝐶) + (-𝐷 · -𝐵)) + ((𝐴 · -𝐷) + (𝐶 · -𝐵))))
7	5, 6	sylanr2 696	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 + -𝐵) · (𝐶 + -𝐷)) = (((𝐴 · 𝐶) + (-𝐷 · -𝐵)) + ((𝐴 · -𝐷) + (𝐶 · -𝐵))))
8	4, 7	sylanl2 694	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 + -𝐵) · (𝐶 + -𝐷)) = (((𝐴 · 𝐶) + (-𝐷 · -𝐵)) + ((𝐴 · -𝐷) + (𝐶 · -𝐵))))
9		mul2neg 11677	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝐷 · -𝐵) = (𝐷 · 𝐵))
10	9	ancoms 464	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (-𝐷 · -𝐵) = (𝐷 · 𝐵))
11	10	oveq2d 7429	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐶) + (-𝐷 · -𝐵)) = ((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)))
12	11	ad2ant2l 759	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐶) + (-𝐷 · -𝐵)) = ((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)))
13		mulneg2 11675	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐴 · -𝐷) = -(𝐴 · 𝐷))
14		mulneg2 11675	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐶 · -𝐵) = -(𝐶 · 𝐵))
15	13, 14	oveqan12d 7432	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · -𝐷) + (𝐶 · -𝐵)) = (-(𝐴 · 𝐷) + -(𝐶 · 𝐵)))
16		mulcl 11208	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐷) ∈ ℂ)
17		mulcl 11208	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ)
18		negdi 11539	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 · 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ) → -((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) = (-(𝐴 · 𝐷) + -(𝐶 · 𝐵)))
19	16, 17, 18	syl2an 608	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → -((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) = (-(𝐴 · 𝐷) + -(𝐶 · 𝐵)))
20	15, 19	eqtr4d 2798	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · -𝐷) + (𝐶 · -𝐵)) = -((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)))
21	20	ancom2s 663	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · -𝐷) + (𝐶 · -𝐵)) = -((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)))
22	21	an42s 674	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · -𝐷) + (𝐶 · -𝐵)) = -((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)))
23	12, 22	oveq12d 7431	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐴 · 𝐶) + (-𝐷 · -𝐵)) + ((𝐴 · -𝐷) + (𝐶 · -𝐵))) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) + -((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))))
24		mulcl 11208	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ)
25		mulcl 11208	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐷 · 𝐵) ∈ ℂ)
26	25	ancoms 464	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐷 · 𝐵) ∈ ℂ)
27		addcl 11206	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐷 · 𝐵) ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) ∈ ℂ)
28	24, 26, 27	syl2an 608	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) ∈ ℂ)
29	28	an4s 673	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) ∈ ℂ)
30	17	ancoms 464	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ)
31		addcl 11206	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 · 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) ∈ ℂ)
32	16, 30, 31	syl2an 608	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) ∈ ℂ)
33	32	an42s 674	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) ∈ ℂ)
34	29, 33	negsubd 11599	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) + -((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) − ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))))
35	8, 23, 34	3eqtrd 2799	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 + -𝐵) · (𝐶 + -𝐷)) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) − ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))))
36	3, 35	eqtr3d 2797	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 − 𝐵) · (𝐶 − 𝐷)) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) − ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7413  ℂcc 11122   + caddc 11127   · cmul 11129   − cmin 11465  -cneg 11466

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-ltxr 11272  df-sub 11467  df-neg 11468

This theorem is used by:  mulsubd  11697  muleqadd  11882  addltmul  12504  sqabssub  15370  mod2xnegi  17163  addltmulALT  32927