Theorem ceilbi 48406

Description: A condition equivalent to ceiling. Analogous to flbi 13956. (Contributed by AV, 2-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
ceilbi	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((⌈‘𝐴) = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < (𝐴 + 1))))

Proof of Theorem ceilbi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ceilval 13978	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌈‘𝐴) = -(⌊‘ -𝐴))
2	1	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (⌈‘𝐴) = -(⌊‘ -𝐴))
3	2	eqeq1d 2763	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((⌈‘𝐴) = 𝐵 ↔ -(⌊‘ -𝐴) = 𝐵))
4		renegcl 11621	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
5	4	flcld 13938	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘ -𝐴) ∈ ℤ)
6	5	zcnd 12804	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘ -𝐴) ∈ ℂ)
7		zcn 12698	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
8		negcon1 11610	. . 3 ⊢ (((⌊‘ -𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ( -(⌊‘ -𝐴) = 𝐵 ↔ -𝐵 = (⌊‘ -𝐴)))
9	6, 7, 8	syl2an 608	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ( -(⌊‘ -𝐴) = 𝐵 ↔ -𝐵 = (⌊‘ -𝐴)))
10		eqcom 2768	. . . 4 ⊢ ( -𝐵 = (⌊‘ -𝐴) ↔ (⌊‘ -𝐴) = -𝐵)
11	10	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ( -𝐵 = (⌊‘ -𝐴) ↔ (⌊‘ -𝐴) = -𝐵))
12		znegcl 12731	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → -𝐵 ∈ ℤ)
13		flbi 13956	. . . 4 ⊢ (( -𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℤ) → ((⌊‘ -𝐴) = -𝐵 ↔ ( -𝐵 ≤ -𝐴 ∧ -𝐴 < ( -𝐵 + 1))))
14	4, 12, 13	syl2an 608	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((⌊‘ -𝐴) = -𝐵 ↔ ( -𝐵 ≤ -𝐴 ∧ -𝐴 < ( -𝐵 + 1))))
15		simpl 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ)
16		zre 12697	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
17	16	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℝ)
18	15, 17	lenegd 11895	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ -𝐵 ≤ -𝐴))
19	18	bicomd 226	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ( -𝐵 ≤ -𝐴 ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))
20		peano2rem 11625	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 − 1) ∈ ℝ)
21	16, 20	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 − 1) ∈ ℝ)
22	21	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵 − 1) ∈ ℝ)
23	22, 15	ltnegd 11894	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐵 − 1) < 𝐴 ↔ -𝐴 < -(𝐵 − 1)))
24		1red 11309	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℝ)
25	17, 24, 15	ltsubaddd 11912	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐵 − 1) < 𝐴 ↔ 𝐵 < (𝐴 + 1)))
26		1cnd 11302	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 1 ∈ ℂ)
27		negsubdi 11614	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(𝐵 − 1) = ( -𝐵 + 1))
28	7, 26, 27	syl2anr 609	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → -(𝐵 − 1) = ( -𝐵 + 1))
29	28	breq2d 5115	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ( -𝐴 < -(𝐵 − 1) ↔ -𝐴 < ( -𝐵 + 1)))
30	23, 25, 29	3bitr3rd 313	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ( -𝐴 < ( -𝐵 + 1) ↔ 𝐵 < (𝐴 + 1)))
31	19, 30	anbi12d 644	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (( -𝐵 ≤ -𝐴 ∧ -𝐴 < ( -𝐵 + 1)) ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < (𝐴 + 1))))
32	11, 14, 31	3bitrd 308	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ( -𝐵 = (⌊‘ -𝐴) ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < (𝐴 + 1))))
33	3, 9, 32	3bitrd 308	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((⌈‘𝐴) = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < (𝐴 + 1))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11198  ℝcr 11199  1c1 11201   + caddc 11203   < clt 11343   ≤ cle 11344   − cmin 11541   -cneg 11542  ℤcz 12693  ⌊cfl 13930  ⌈cceil 13931

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-fl 13932  df-ceil 13933

This theorem is used by:  ceilhalf1  48407