Theorem ceilbi 47722

Description: A condition equivalent to ceiling. Analogous to flbi 13750. (Contributed by AV, 2-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
ceilbi	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((⌈‘𝐴) = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < (𝐴 + 1))))

Proof of Theorem ceilbi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ceilval 13772	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌈‘𝐴) = -(⌊‘-𝐴))
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (⌈‘𝐴) = -(⌊‘-𝐴))
3	2	eqeq1d 2739	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((⌈‘𝐴) = 𝐵 ↔ -(⌊‘-𝐴) = 𝐵))
4		renegcl 11458	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
5	4	flcld 13732	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘-𝐴) ∈ ℤ)
6	5	zcnd 12611	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘-𝐴) ∈ ℂ)
7		zcn 12507	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
8		negcon1 11447	. . 3 ⊢ (((⌊‘-𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-(⌊‘-𝐴) = 𝐵 ↔ -𝐵 = (⌊‘-𝐴)))
9	6, 7, 8	syl2an 597	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (-(⌊‘-𝐴) = 𝐵 ↔ -𝐵 = (⌊‘-𝐴)))
10		eqcom 2744	. . . 4 ⊢ (-𝐵 = (⌊‘-𝐴) ↔ (⌊‘-𝐴) = -𝐵)
11	10	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (-𝐵 = (⌊‘-𝐴) ↔ (⌊‘-𝐴) = -𝐵))
12		znegcl 12540	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → -𝐵 ∈ ℤ)
13		flbi 13750	. . . 4 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℤ) → ((⌊‘-𝐴) = -𝐵 ↔ (-𝐵 ≤ -𝐴 ∧ -𝐴 < (-𝐵 + 1))))
14	4, 12, 13	syl2an 597	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((⌊‘-𝐴) = -𝐵 ↔ (-𝐵 ≤ -𝐴 ∧ -𝐴 < (-𝐵 + 1))))
15		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ)
16		zre 12506	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
17	16	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℝ)
18	15, 17	lenegd 11730	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ -𝐵 ≤ -𝐴))
19	18	bicomd 223	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (-𝐵 ≤ -𝐴 ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))
20		peano2rem 11462	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 − 1) ∈ ℝ)
21	16, 20	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 − 1) ∈ ℝ)
22	21	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵 − 1) ∈ ℝ)
23	22, 15	ltnegd 11729	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐵 − 1) < 𝐴 ↔ -𝐴 < -(𝐵 − 1)))
24		1red 11147	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℝ)
25	17, 24, 15	ltsubaddd 11747	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐵 − 1) < 𝐴 ↔ 𝐵 < (𝐴 + 1)))
26		1cnd 11141	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 1 ∈ ℂ)
27		negsubdi 11451	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(𝐵 − 1) = (-𝐵 + 1))
28	7, 26, 27	syl2anr 598	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → -(𝐵 − 1) = (-𝐵 + 1))
29	28	breq2d 5112	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (-𝐴 < -(𝐵 − 1) ↔ -𝐴 < (-𝐵 + 1)))
30	23, 25, 29	3bitr3rd 310	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (-𝐴 < (-𝐵 + 1) ↔ 𝐵 < (𝐴 + 1)))
31	19, 30	anbi12d 633	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((-𝐵 ≤ -𝐴 ∧ -𝐴 < (-𝐵 + 1)) ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < (𝐴 + 1))))
32	11, 14, 31	3bitrd 305	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (-𝐵 = (⌊‘-𝐴) ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < (𝐴 + 1))))
33	3, 9, 32	3bitrd 305	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((⌈‘𝐴) = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < (𝐴 + 1))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370  ℂcc 11038  ℝcr 11039  1c1 11041   + caddc 11043   < clt 11180   ≤ cle 11181   − cmin 11378  -cneg 11379  ℤcz 12502  ⌊cfl 13724  ⌈cceil 13725

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117  ax-pre-sup 11118

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-er 8647  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-sup 9359  df-inf 9360  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-nn 12160  df-n0 12416  df-z 12503  df-uz 12766  df-fl 13726  df-ceil 13727

This theorem is referenced by:  ceilhalf1  47723