Theorem ceilbi 47338

Description: A condition equivalent to ceiling. Analogous to flbi 13785. (Contributed by AV, 2-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
ceilbi	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((⌈‘𝐴) = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < (𝐴 + 1))))

Proof of Theorem ceilbi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ceilval 13807	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌈‘𝐴) = -(⌊‘-𝐴))
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (⌈‘𝐴) = -(⌊‘-𝐴))
3	2	eqeq1d 2732	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((⌈‘𝐴) = 𝐵 ↔ -(⌊‘-𝐴) = 𝐵))
4		renegcl 11492	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
5	4	flcld 13767	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘-𝐴) ∈ ℤ)
6	5	zcnd 12646	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘-𝐴) ∈ ℂ)
7		zcn 12541	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
8		negcon1 11481	. . 3 ⊢ (((⌊‘-𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-(⌊‘-𝐴) = 𝐵 ↔ -𝐵 = (⌊‘-𝐴)))
9	6, 7, 8	syl2an 596	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (-(⌊‘-𝐴) = 𝐵 ↔ -𝐵 = (⌊‘-𝐴)))
10		eqcom 2737	. . . 4 ⊢ (-𝐵 = (⌊‘-𝐴) ↔ (⌊‘-𝐴) = -𝐵)
11	10	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (-𝐵 = (⌊‘-𝐴) ↔ (⌊‘-𝐴) = -𝐵))
12		znegcl 12575	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → -𝐵 ∈ ℤ)
13		flbi 13785	. . . 4 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℤ) → ((⌊‘-𝐴) = -𝐵 ↔ (-𝐵 ≤ -𝐴 ∧ -𝐴 < (-𝐵 + 1))))
14	4, 12, 13	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((⌊‘-𝐴) = -𝐵 ↔ (-𝐵 ≤ -𝐴 ∧ -𝐴 < (-𝐵 + 1))))
15		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ)
16		zre 12540	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
17	16	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℝ)
18	15, 17	lenegd 11764	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ -𝐵 ≤ -𝐴))
19	18	bicomd 223	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (-𝐵 ≤ -𝐴 ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))
20		peano2rem 11496	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 − 1) ∈ ℝ)
21	16, 20	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 − 1) ∈ ℝ)
22	21	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵 − 1) ∈ ℝ)
23	22, 15	ltnegd 11763	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐵 − 1) < 𝐴 ↔ -𝐴 < -(𝐵 − 1)))
24		1red 11182	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℝ)
25	17, 24, 15	ltsubaddd 11781	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐵 − 1) < 𝐴 ↔ 𝐵 < (𝐴 + 1)))
26		1cnd 11176	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 1 ∈ ℂ)
27		negsubdi 11485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(𝐵 − 1) = (-𝐵 + 1))
28	7, 26, 27	syl2anr 597	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → -(𝐵 − 1) = (-𝐵 + 1))
29	28	breq2d 5122	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (-𝐴 < -(𝐵 − 1) ↔ -𝐴 < (-𝐵 + 1)))
30	23, 25, 29	3bitr3rd 310	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (-𝐴 < (-𝐵 + 1) ↔ 𝐵 < (𝐴 + 1)))
31	19, 30	anbi12d 632	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((-𝐵 ≤ -𝐴 ∧ -𝐴 < (-𝐵 + 1)) ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < (𝐴 + 1))))
32	11, 14, 31	3bitrd 305	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (-𝐵 = (⌊‘-𝐴) ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < (𝐴 + 1))))
33	3, 9, 32	3bitrd 305	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((⌈‘𝐴) = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < (𝐴 + 1))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  ℝcr 11074  1c1 11076   + caddc 11078   < clt 11215   ≤ cle 11216   − cmin 11412  -cneg 11413  ℤcz 12536  ⌊cfl 13759  ⌈cceil 13760

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-fl 13761  df-ceil 13762

This theorem is referenced by:  ceilhalf1  47339