Theorem ceilbi 48114

Description: A condition equivalent to ceiling. Analogous to flbi 13869. (Contributed by AV, 2-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
ceilbi	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((⌈‘𝐴) = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < (𝐴 + 1))))

Proof of Theorem ceilbi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ceilval 13891	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌈‘𝐴) = -(⌊‘-𝐴))
2	1	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (⌈‘𝐴) = -(⌊‘-𝐴))
3	2	eqeq1d 2768	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((⌈‘𝐴) = 𝐵 ↔ -(⌊‘-𝐴) = 𝐵))
4		renegcl 11539	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
5	4	flcld 13851	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘-𝐴) ∈ ℤ)
6	5	zcnd 12719	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘-𝐴) ∈ ℂ)
7		zcn 12614	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
8		negcon1 11528	. . 3 ⊢ (((⌊‘-𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-(⌊‘-𝐴) = 𝐵 ↔ -𝐵 = (⌊‘-𝐴)))
9	6, 7, 8	syl2an 608	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (-(⌊‘-𝐴) = 𝐵 ↔ -𝐵 = (⌊‘-𝐴)))
10		eqcom 2773	. . . 4 ⊢ (-𝐵 = (⌊‘-𝐴) ↔ (⌊‘-𝐴) = -𝐵)
11	10	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (-𝐵 = (⌊‘-𝐴) ↔ (⌊‘-𝐴) = -𝐵))
12		znegcl 12647	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → -𝐵 ∈ ℤ)
13		flbi 13869	. . . 4 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℤ) → ((⌊‘-𝐴) = -𝐵 ↔ (-𝐵 ≤ -𝐴 ∧ -𝐴 < (-𝐵 + 1))))
14	4, 12, 13	syl2an 608	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((⌊‘-𝐴) = -𝐵 ↔ (-𝐵 ≤ -𝐴 ∧ -𝐴 < (-𝐵 + 1))))
15		simpl 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ)
16		zre 12613	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
17	16	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℝ)
18	15, 17	lenegd 11811	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ -𝐵 ≤ -𝐴))
19	18	bicomd 226	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (-𝐵 ≤ -𝐴 ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))
20		peano2rem 11543	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 − 1) ∈ ℝ)
21	16, 20	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 − 1) ∈ ℝ)
22	21	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵 − 1) ∈ ℝ)
23	22, 15	ltnegd 11810	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐵 − 1) < 𝐴 ↔ -𝐴 < -(𝐵 − 1)))
24		1red 11227	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℝ)
25	17, 24, 15	ltsubaddd 11828	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐵 − 1) < 𝐴 ↔ 𝐵 < (𝐴 + 1)))
26		1cnd 11220	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 1 ∈ ℂ)
27		negsubdi 11532	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(𝐵 − 1) = (-𝐵 + 1))
28	7, 26, 27	syl2anr 609	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → -(𝐵 − 1) = (-𝐵 + 1))
29	28	breq2d 5126	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (-𝐴 < -(𝐵 − 1) ↔ -𝐴 < (-𝐵 + 1)))
30	23, 25, 29	3bitr3rd 313	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (-𝐴 < (-𝐵 + 1) ↔ 𝐵 < (𝐴 + 1)))
31	19, 30	anbi12d 644	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((-𝐵 ≤ -𝐴 ∧ -𝐴 < (-𝐵 + 1)) ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < (𝐴 + 1))))
32	11, 14, 31	3bitrd 308	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (-𝐵 = (⌊‘-𝐴) ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < (𝐴 + 1))))
33	3, 9, 32	3bitrd 308	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((⌈‘𝐴) = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < (𝐴 + 1))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5114  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  ℂcc 11116  ℝcr 11117  1c1 11119   + caddc 11121   < clt 11261   ≤ cle 11262   − cmin 11459  -cneg 11460  ℤcz 12609  ⌊cfl 13843  ⌈cceil 13844

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-sup 9412  df-inf 9413  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-fl 13845  df-ceil 13846

This theorem is used by:  ceilhalf1  48115