Theorem ceilbi 47310

Description: A condition equivalent to ceiling. Analogous to flbi 13831. (Contributed by AV, 2-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
ceilbi	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((⌈‘𝐴) = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < (𝐴 + 1))))

Proof of Theorem ceilbi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ceilval 13853	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌈‘𝐴) = -(⌊‘-𝐴))
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (⌈‘𝐴) = -(⌊‘-𝐴))
3	2	eqeq1d 2737	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((⌈‘𝐴) = 𝐵 ↔ -(⌊‘-𝐴) = 𝐵))
4		renegcl 11544	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
5	4	flcld 13813	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘-𝐴) ∈ ℤ)
6	5	zcnd 12696	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘-𝐴) ∈ ℂ)
7		zcn 12591	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
8		negcon1 11533	. . 3 ⊢ (((⌊‘-𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-(⌊‘-𝐴) = 𝐵 ↔ -𝐵 = (⌊‘-𝐴)))
9	6, 7, 8	syl2an 596	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (-(⌊‘-𝐴) = 𝐵 ↔ -𝐵 = (⌊‘-𝐴)))
10		eqcom 2742	. . . 4 ⊢ (-𝐵 = (⌊‘-𝐴) ↔ (⌊‘-𝐴) = -𝐵)
11	10	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (-𝐵 = (⌊‘-𝐴) ↔ (⌊‘-𝐴) = -𝐵))
12		znegcl 12625	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → -𝐵 ∈ ℤ)
13		flbi 13831	. . . 4 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℤ) → ((⌊‘-𝐴) = -𝐵 ↔ (-𝐵 ≤ -𝐴 ∧ -𝐴 < (-𝐵 + 1))))
14	4, 12, 13	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((⌊‘-𝐴) = -𝐵 ↔ (-𝐵 ≤ -𝐴 ∧ -𝐴 < (-𝐵 + 1))))
15		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ)
16		zre 12590	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
17	16	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℝ)
18	15, 17	lenegd 11814	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ -𝐵 ≤ -𝐴))
19	18	bicomd 223	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (-𝐵 ≤ -𝐴 ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))
20		peano2rem 11548	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 − 1) ∈ ℝ)
21	16, 20	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 − 1) ∈ ℝ)
22	21	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵 − 1) ∈ ℝ)
23	22, 15	ltnegd 11813	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐵 − 1) < 𝐴 ↔ -𝐴 < -(𝐵 − 1)))
24		1red 11234	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℝ)
25	17, 24, 15	ltsubaddd 11831	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐵 − 1) < 𝐴 ↔ 𝐵 < (𝐴 + 1)))
26		1cnd 11228	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 1 ∈ ℂ)
27		negsubdi 11537	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(𝐵 − 1) = (-𝐵 + 1))
28	7, 26, 27	syl2anr 597	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → -(𝐵 − 1) = (-𝐵 + 1))
29	28	breq2d 5131	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (-𝐴 < -(𝐵 − 1) ↔ -𝐴 < (-𝐵 + 1)))
30	23, 25, 29	3bitr3rd 310	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (-𝐴 < (-𝐵 + 1) ↔ 𝐵 < (𝐴 + 1)))
31	19, 30	anbi12d 632	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((-𝐵 ≤ -𝐴 ∧ -𝐴 < (-𝐵 + 1)) ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < (𝐴 + 1))))
32	11, 14, 31	3bitrd 305	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (-𝐵 = (⌊‘-𝐴) ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < (𝐴 + 1))))
33	3, 9, 32	3bitrd 305	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((⌈‘𝐴) = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < (𝐴 + 1))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5119  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403  ℂcc 11125  ℝcr 11126  1c1 11128   + caddc 11130   < clt 11267   ≤ cle 11268   − cmin 11464  -cneg 11465  ℤcz 12586  ⌊cfl 13805  ⌈cceil 13806

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8717  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9452  df-inf 9453  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-nn 12239  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12851  df-fl 13807  df-ceil 13808

This theorem is referenced by:  ceilhalf1  47311