Theorem negcl 11378

Description: Closure law for negative. (Contributed by NM, 6-Aug-2003.)

Assertion

Ref	Expression
negcl	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem negcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 11365	. 2 ⊢ -𝐴 = (0 − 𝐴)
2		0cn 11122	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
3		subcl 11377	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
4	2, 3	mpan 690	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
5	1, 4	eqeltrid 2838	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7356  ℂcc 11022  0cc0 11024   − cmin 11362  -cneg 11363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-po 5530  df-so 5531  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-ltxr 11169  df-sub 11364  df-neg 11365

This theorem is referenced by:  negicn  11379  negcon1  11431  negdi  11436  negdi2  11437  negsubdi2  11438  neg2sub  11439  negcli  11447  negcld  11477  mulneg2  11572  mul2neg  11574  mulsub  11578  divneg  11831  divsubdir  11833  divsubdiv  11855  eqneg  11859  div2neg  11862  divneg2  11863  zeo  12576  sqneg  14036  binom2sub  14141  shftval4  14998  shftcan1  15004  shftcan2  15005  crim  15036  resub  15048  imsub  15056  cjneg  15068  cjsub  15070  absneg  15198  abs2dif2  15255  sqreulem  15281  sqreu  15282  subcn2  15516  risefallfac  15945  fallrisefac  15946  fallfac0  15949  binomrisefac  15963  efcan  16017  efne0OLD  16020  efneg  16021  efsub  16023  sinneg  16069  cosneg  16070  tanneg  16071  efmival  16076  sinhval  16077  coshval  16078  sinsub  16091  cossub  16092  sincossq  16099  cnaddablx  19795  cnaddabl  19796  cnaddinv  19798  cncrng  21341  cncrngOLD  21342  cnfldneg  21348  cnlmod  25094  cnstrcvs  25095  cncvs  25099  plyremlem  26266  reeff1o  26411  sin2pim  26448  cos2pim  26449  cxpsub  26645  cxpsqrt  26666  logrec  26727  asinlem3  26835  asinneg  26850  acosneg  26851  sinasin  26853  asinsin  26856  cosasin  26868  atantan  26887  cnaddabloOLD  30605  hvsubdistr2  31074  spanunsni  31603  ltflcei  37748  dvasin  37844  lcmineqlem1  42222  sqrtcvallem4  43822  sub2times  45463  cosknegpi  46055  etransclem18  46438  etransclem46  46466  addsubeq0  47484  altgsumbcALT  48541  1subrec1sub  48893  sinhpcosh  49927