Theorem negcl 11360

Description: Closure law for negative. (Contributed by NM, 6-Aug-2003.)

Assertion

Ref	Expression
negcl	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem negcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 11347	. 2 ⊢ -𝐴 = (0 − 𝐴)
2		0cn 11104	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
3		subcl 11359	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
4	2, 3	mpan 690	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
5	1, 4	eqeltrid 2835	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7346  ℂcc 11004  0cc0 11006   − cmin 11344  -cneg 11345

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-po 5522  df-so 5523  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-ltxr 11151  df-sub 11346  df-neg 11347

This theorem is referenced by:  negicn  11361  negcon1  11413  negdi  11418  negdi2  11419  negsubdi2  11420  neg2sub  11421  negcli  11429  negcld  11459  mulneg2  11554  mul2neg  11556  mulsub  11560  divneg  11813  divsubdir  11815  divsubdiv  11837  eqneg  11841  div2neg  11844  divneg2  11845  zeo  12559  sqneg  14022  binom2sub  14127  shftval4  14984  shftcan1  14990  shftcan2  14991  crim  15022  resub  15034  imsub  15042  cjneg  15054  cjsub  15056  absneg  15184  abs2dif2  15241  sqreulem  15267  sqreu  15268  subcn2  15502  risefallfac  15931  fallrisefac  15932  fallfac0  15935  binomrisefac  15949  efcan  16003  efne0OLD  16006  efneg  16007  efsub  16009  sinneg  16055  cosneg  16056  tanneg  16057  efmival  16062  sinhval  16063  coshval  16064  sinsub  16077  cossub  16078  sincossq  16085  cnaddablx  19780  cnaddabl  19781  cnaddinv  19783  cncrng  21325  cncrngOLD  21326  cnfldneg  21332  cnlmod  25067  cnstrcvs  25068  cncvs  25072  plyremlem  26239  reeff1o  26384  sin2pim  26421  cos2pim  26422  cxpsub  26618  cxpsqrt  26639  logrec  26700  asinlem3  26808  asinneg  26823  acosneg  26824  sinasin  26826  asinsin  26829  cosasin  26841  atantan  26860  cnaddabloOLD  30561  hvsubdistr2  31030  spanunsni  31559  ltflcei  37658  dvasin  37754  lcmineqlem1  42132  sqrtcvallem4  43742  sub2times  45384  cosknegpi  45977  etransclem18  46360  etransclem46  46388  addsubeq0  47406  altgsumbcALT  48463  1subrec1sub  48816  sinhpcosh  49851