Theorem negcl 11221

Description: Closure law for negative. (Contributed by NM, 6-Aug-2003.)

Assertion

Ref	Expression
negcl	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem negcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 11208	. 2 ⊢ -𝐴 = (0 − 𝐴)
2		0cn 10967	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
3		subcl 11220	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
4	2, 3	mpan 687	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
5	1, 4	eqeltrid 2843	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  0cc0 10871   − cmin 11205  -cneg 11206

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-ltxr 11014  df-sub 11207  df-neg 11208

This theorem is referenced by:  negicn  11222  negcon1  11273  negdi  11278  negdi2  11279  negsubdi2  11280  neg2sub  11281  negcli  11289  negcld  11319  mulneg2  11412  mul2neg  11414  mulsub  11418  divneg  11667  divsubdir  11669  divsubdiv  11691  eqneg  11695  div2neg  11698  divneg2  11699  zeo  12406  sqneg  13836  binom2sub  13935  shftval4  14788  shftcan1  14794  shftcan2  14795  crim  14826  resub  14838  imsub  14846  cjneg  14858  cjsub  14860  absneg  14989  abs2dif2  15045  sqreulem  15071  sqreu  15072  subcn2  15304  risefallfac  15734  fallrisefac  15735  fallfac0  15738  binomrisefac  15752  efcan  15805  efne0  15806  efneg  15807  efsub  15809  sinneg  15855  cosneg  15856  tanneg  15857  efmival  15862  sinhval  15863  coshval  15864  sinsub  15877  cossub  15878  sincossq  15885  cnaddablx  19469  cnaddabl  19470  cnaddinv  19472  cncrng  20619  cnfldneg  20624  cnlmod  24303  cnstrcvs  24304  cncvs  24308  plyremlem  25464  reeff1o  25606  sin2pim  25642  cos2pim  25643  cxpsub  25837  cxpsqrt  25858  logrec  25913  asinlem3  26021  asinneg  26036  acosneg  26037  sinasin  26039  asinsin  26042  cosasin  26054  atantan  26073  cnaddabloOLD  28943  hvsubdistr2  29412  spanunsni  29941  ltflcei  35765  dvasin  35861  lcmineqlem1  40037  sqrtcvallem4  41247  sub2times  42813  cosknegpi  43410  etransclem18  43793  etransclem46  43821  addsubeq0  44788  altgsumbcALT  45689  1subrec1sub  46051  sinhpcosh  46442