Theorem negcl 11484

Description: Closure law for negative. (Contributed by NM, 6-Aug-2003.)

Assertion

Ref	Expression
negcl	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem negcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 11471	. 2 ⊢ -𝐴 = (0 − 𝐴)
2		0cn 11230	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
3		subcl 11483	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
4	2, 3	mpan 689	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
5	1, 4	eqeltrid 2833	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2099  (class class class)co 7414  ℂcc 11130  0cc0 11132   − cmin 11468  -cneg 11469

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-ltxr 11277  df-sub 11470  df-neg 11471

This theorem is referenced by:  negicn  11485  negcon1  11536  negdi  11541  negdi2  11542  negsubdi2  11543  neg2sub  11544  negcli  11552  negcld  11582  mulneg2  11675  mul2neg  11677  mulsub  11681  divneg  11930  divsubdir  11932  divsubdiv  11954  eqneg  11958  div2neg  11961  divneg2  11962  zeo  12672  sqneg  14106  binom2sub  14208  shftval4  15050  shftcan1  15056  shftcan2  15057  crim  15088  resub  15100  imsub  15108  cjneg  15120  cjsub  15122  absneg  15250  abs2dif2  15306  sqreulem  15332  sqreu  15333  subcn2  15565  risefallfac  15994  fallrisefac  15995  fallfac0  15998  binomrisefac  16012  efcan  16066  efne0  16067  efneg  16068  efsub  16070  sinneg  16116  cosneg  16117  tanneg  16118  efmival  16123  sinhval  16124  coshval  16125  sinsub  16138  cossub  16139  sincossq  16146  cnaddablx  19816  cnaddabl  19817  cnaddinv  19819  cncrng  21309  cncrngOLD  21310  cnfldneg  21316  cnlmod  25060  cnstrcvs  25061  cncvs  25065  plyremlem  26232  reeff1o  26377  sin2pim  26413  cos2pim  26414  cxpsub  26609  cxpsqrt  26630  logrec  26688  asinlem3  26796  asinneg  26811  acosneg  26812  sinasin  26814  asinsin  26817  cosasin  26829  atantan  26848  cnaddabloOLD  30384  hvsubdistr2  30853  spanunsni  31382  ltflcei  37075  dvasin  37171  lcmineqlem1  41494  sqrtcvallem4  43063  sub2times  44648  cosknegpi  45251  etransclem18  45634  etransclem46  45662  addsubeq0  46670  altgsumbcALT  47411  1subrec1sub  47772  sinhpcosh  48165