Theorem negcl 11428

Description: Closure law for negative. (Contributed by NM, 6-Aug-2003.)

Assertion

Ref	Expression
negcl	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem negcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 11415	. 2 ⊢ -𝐴 = (0 − 𝐴)
2		0cn 11173	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
3		subcl 11427	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
4	2, 3	mpan 690	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
5	1, 4	eqeltrid 2833	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  0cc0 11075   − cmin 11412  -cneg 11413

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-ltxr 11220  df-sub 11414  df-neg 11415

This theorem is referenced by:  negicn  11429  negcon1  11481  negdi  11486  negdi2  11487  negsubdi2  11488  neg2sub  11489  negcli  11497  negcld  11527  mulneg2  11622  mul2neg  11624  mulsub  11628  divneg  11881  divsubdir  11883  divsubdiv  11905  eqneg  11909  div2neg  11912  divneg2  11913  zeo  12627  sqneg  14087  binom2sub  14192  shftval4  15050  shftcan1  15056  shftcan2  15057  crim  15088  resub  15100  imsub  15108  cjneg  15120  cjsub  15122  absneg  15250  abs2dif2  15307  sqreulem  15333  sqreu  15334  subcn2  15568  risefallfac  15997  fallrisefac  15998  fallfac0  16001  binomrisefac  16015  efcan  16069  efne0OLD  16072  efneg  16073  efsub  16075  sinneg  16121  cosneg  16122  tanneg  16123  efmival  16128  sinhval  16129  coshval  16130  sinsub  16143  cossub  16144  sincossq  16151  cnaddablx  19805  cnaddabl  19806  cnaddinv  19808  cncrng  21307  cncrngOLD  21308  cnfldneg  21314  cnlmod  25047  cnstrcvs  25048  cncvs  25052  plyremlem  26219  reeff1o  26364  sin2pim  26401  cos2pim  26402  cxpsub  26598  cxpsqrt  26619  logrec  26680  asinlem3  26788  asinneg  26803  acosneg  26804  sinasin  26806  asinsin  26809  cosasin  26821  atantan  26840  cnaddabloOLD  30517  hvsubdistr2  30986  spanunsni  31515  ltflcei  37609  dvasin  37705  lcmineqlem1  42024  sqrtcvallem4  43635  sub2times  45278  cosknegpi  45874  etransclem18  46257  etransclem46  46285  addsubeq0  47301  altgsumbcALT  48345  1subrec1sub  48698  sinhpcosh  49733