Theorem negcl 11397

Description: Closure law for negative. (Contributed by NM, 6-Aug-2003.)

Assertion

Ref	Expression
negcl	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem negcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 11384	. 2 ⊢ -𝐴 = (0 − 𝐴)
2		0cn 11142	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
3		subcl 11396	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
4	2, 3	mpan 690	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
5	1, 4	eqeltrid 2832	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7369  ℂcc 11042  0cc0 11044   − cmin 11381  -cneg 11382

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-ltxr 11189  df-sub 11383  df-neg 11384

This theorem is referenced by:  negicn  11398  negcon1  11450  negdi  11455  negdi2  11456  negsubdi2  11457  neg2sub  11458  negcli  11466  negcld  11496  mulneg2  11591  mul2neg  11593  mulsub  11597  divneg  11850  divsubdir  11852  divsubdiv  11874  eqneg  11878  div2neg  11881  divneg2  11882  zeo  12596  sqneg  14056  binom2sub  14161  shftval4  15019  shftcan1  15025  shftcan2  15026  crim  15057  resub  15069  imsub  15077  cjneg  15089  cjsub  15091  absneg  15219  abs2dif2  15276  sqreulem  15302  sqreu  15303  subcn2  15537  risefallfac  15966  fallrisefac  15967  fallfac0  15970  binomrisefac  15984  efcan  16038  efne0OLD  16041  efneg  16042  efsub  16044  sinneg  16090  cosneg  16091  tanneg  16092  efmival  16097  sinhval  16098  coshval  16099  sinsub  16112  cossub  16113  sincossq  16120  cnaddablx  19782  cnaddabl  19783  cnaddinv  19785  cncrng  21330  cncrngOLD  21331  cnfldneg  21337  cnlmod  25073  cnstrcvs  25074  cncvs  25078  plyremlem  26245  reeff1o  26390  sin2pim  26427  cos2pim  26428  cxpsub  26624  cxpsqrt  26645  logrec  26706  asinlem3  26814  asinneg  26829  acosneg  26830  sinasin  26832  asinsin  26835  cosasin  26847  atantan  26866  cnaddabloOLD  30560  hvsubdistr2  31029  spanunsni  31558  ltflcei  37595  dvasin  37691  lcmineqlem1  42010  sqrtcvallem4  43621  sub2times  45264  cosknegpi  45860  etransclem18  46243  etransclem46  46271  addsubeq0  47290  altgsumbcALT  48334  1subrec1sub  48687  sinhpcosh  49722