Theorem negcl 11043

Description: Closure law for negative. (Contributed by NM, 6-Aug-2003.)

Assertion

Ref	Expression
negcl	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem negcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 11030	. 2 ⊢ -𝐴 = (0 − 𝐴)
2		0cn 10790	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
3		subcl 11042	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
4	2, 3	mpan 690	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
5	1, 4	eqeltrid 2835	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2112  (class class class)co 7191  ℂcc 10692  0cc0 10694   − cmin 11027  -cneg 11028

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-resscn 10751  ax-1cn 10752  ax-icn 10753  ax-addcl 10754  ax-addrcl 10755  ax-mulcl 10756  ax-mulrcl 10757  ax-mulcom 10758  ax-addass 10759  ax-mulass 10760  ax-distr 10761  ax-i2m1 10762  ax-1ne0 10763  ax-1rid 10764  ax-rnegex 10765  ax-rrecex 10766  ax-cnre 10767  ax-pre-lttri 10768  ax-pre-lttrn 10769  ax-pre-ltadd 10770

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-op 4534  df-uni 4806  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-id 5440  df-po 5453  df-so 5454  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7148  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-er 8369  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-ltxr 10837  df-sub 11029  df-neg 11030

This theorem is referenced by:  negicn  11044  negcon1  11095  negdi  11100  negdi2  11101  negsubdi2  11102  neg2sub  11103  negcli  11111  negcld  11141  mulneg2  11234  mul2neg  11236  mulsub  11240  divneg  11489  divsubdir  11491  divsubdiv  11513  eqneg  11517  div2neg  11520  divneg2  11521  zeo  12228  sqneg  13653  binom2sub  13752  shftval4  14605  shftcan1  14611  shftcan2  14612  crim  14643  resub  14655  imsub  14663  cjneg  14675  cjsub  14677  absneg  14806  abs2dif2  14862  sqreulem  14888  sqreu  14889  subcn2  15121  risefallfac  15549  fallrisefac  15550  fallfac0  15553  binomrisefac  15567  efcan  15620  efne0  15621  efneg  15622  efsub  15624  sinneg  15670  cosneg  15671  tanneg  15672  efmival  15677  sinhval  15678  coshval  15679  sinsub  15692  cossub  15693  sincossq  15700  cnaddablx  19207  cnaddabl  19208  cnaddinv  19210  cncrng  20338  cnfldneg  20343  cnlmod  23991  cnstrcvs  23992  cncvs  23996  plyremlem  25151  reeff1o  25293  sin2pim  25329  cos2pim  25330  cxpsub  25524  cxpsqrt  25545  logrec  25600  asinlem3  25708  asinneg  25723  acosneg  25724  sinasin  25726  asinsin  25729  cosasin  25741  atantan  25760  cnaddabloOLD  28616  hvsubdistr2  29085  spanunsni  29614  ltflcei  35451  dvasin  35547  lcmineqlem1  39720  sqrtcvallem4  40864  sub2times  42426  cosknegpi  43028  etransclem18  43411  etransclem46  43439  addsubeq0  44404  altgsumbcALT  45305  1subrec1sub  45667  sinhpcosh  46056