Theorem negcl 11596

Description: Closure law for negative. (Contributed by NM, 6-Aug-2003.)

Assertion

Ref	Expression
negcl	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem negcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 11583	. 2 ⊢ -𝐴 = (0 − 𝐴)
2		0cn 11337	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
3		subcl 11595	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
4	2, 3	mpan 703	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
5	1, 4	eqeltrid 2868	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7451  ℂcc 11237  0cc0 11239   − cmin 11580   -cneg 11581

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-ltxr 11387  df-sub 11582  df-neg 11583

This theorem is used by:  negicn  11597  negcon1  11649  negdi  11654  negdi2  11655  negsubdi2  11656  neg2sub  11657  negcli  11665  negcld  11695  mulneg2  11792  mul2neg  11794  mulsub  11798  divneg  12048  divsubdir  12050  divsubdiv  12073  eqneg  12077  div2neg  12080  divneg2  12081  zeo  12825  sqneg  14298  binom2sub  14405  shftval4  15273  shftcan1  15279  shftcan2  15280  crim  15325  resub  15337  imsub  15345  cjneg  15357  cjsub  15359  absneg  15487  abs2dif2  15544  sqreulem  15571  sqreu  15572  subcn2  15806  risefallfac  16235  fallrisefac  16236  fallfac0  16238  binomrisefac  16252  efcan  16306  efne0OLD  16309  efneg  16310  efsub  16312  sinneg  16358  cosneg  16359  tanneg  16360  efmival  16365  sinhval  16366  coshval  16367  sinsub  16380  cossub  16381  sincossq  16388  cnaddablx  20133  cnaddabl  20134  cnaddinv  20136  cncrng  21751  cnfldneg  21756  cnlmod  25516  cnstrcvs  25517  cncvs  25521  plyremlem  26680  reeff1o  26831  sin2pim  26871  cos2pim  26872  cxpsub  27067  cxpsqrt  27088  logrec  27148  asinlem3  27256  asinneg  27271  acosneg  27272  sinasin  27274  asinsin  27277  cosasin  27289  atantan  27308  cnaddabloOLD  31240  hvsubdistr2  31709  spanunsni  32238  ltflcei  38799  dvasin  38890  lcmineqlem1  43345  sqrtcvallem4  44900  sub2times  46562  cosknegpi  47152  etransclem18  47535  etransclem46  47563  addsubeq0  48639  altgsumbcALT  49796  1subrec1sub  50148  sinhpcosh  51238  sinhneg  51242  coshneg  51246  tanhneg  51252  sinhsub  51256  coshsub  51257