Theorem negcl 10684

Description: Closure law for negative. (Contributed by NM, 6-Aug-2003.)

Assertion

Ref	Expression
negcl	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem negcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 10671	. 2 ⊢ -𝐴 = (0 − 𝐴)
2		0cn 10429	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
3		subcl 10683	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
4	2, 3	mpan 678	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
5	1, 4	syl5eqel 2863	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2051  (class class class)co 6974  ℂcc 10331  0cc0 10333   − cmin 10668  -cneg 10669

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3086  df-rex 3087  df-reu 3088  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-op 4442  df-uni 4709  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-id 5308  df-po 5322  df-so 5323  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-er 8087  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-ltxr 10477  df-sub 10670  df-neg 10671

This theorem is referenced by:  negicn  10685  negcon1  10737  negdi  10742  negdi2  10743  negsubdi2  10744  neg2sub  10745  negcli  10753  negcld  10783  mulneg2  10876  mul2neg  10878  mulsub  10882  divneg  11131  divsubdir  11133  divsubdiv  11155  eqneg  11159  div2neg  11162  divneg2  11163  zeo  11879  sqneg  13295  binom2sub  13394  shftval4  14295  shftcan1  14301  shftcan2  14302  crim  14333  resub  14345  imsub  14353  cjneg  14365  cjsub  14367  absneg  14496  abs2dif2  14552  sqreulem  14578  sqreu  14579  subcn2  14810  risefallfac  15236  fallrisefac  15237  fallfac0  15240  binomrisefac  15254  efcan  15307  efne0  15308  efneg  15309  efsub  15311  sinneg  15357  cosneg  15358  tanneg  15359  efmival  15364  sinhval  15365  coshval  15366  sinsub  15379  cossub  15380  sincossq  15387  cnaddablx  18756  cnaddabl  18757  cnaddinv  18759  cncrng  20283  cnfldneg  20288  cnlmod  23462  cnstrcvs  23463  cncvs  23467  plyremlem  24611  reeff1o  24753  sin2pim  24789  cos2pim  24790  cxpsub  24981  cxpsqrt  25002  logrec  25057  asinlem3  25165  asinneg  25180  acosneg  25181  sinasin  25183  asinsin  25186  cosasin  25198  atantan  25217  cnaddabloOLD  28150  hvsubdistr2  28621  spanunsni  29152  ltflcei  34358  dvasin  34456  sub2times  41001  cosknegpi  41612  etransclem18  42000  etransclem46  42028  addsubeq0  42934  altgsumbcALT  43797  1subrec1sub  44092  sinhpcosh  44238