Theorem negcl 11416

Description: Closure law for negative. (Contributed by NM, 6-Aug-2003.)

Assertion

Ref	Expression
negcl	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem negcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 11403	. 2 ⊢ -𝐴 = (0 − 𝐴)
2		0cn 11157	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
3		subcl 11415	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
4	2, 3	mpan 698	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
5	1, 4	eqeltrid 2856	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2132  (class class class)co 7381  ℂcc 11057  0cc0 11059   − cmin 11400  -cneg 11401

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-nel 3052  df-ral 3067  df-rex 3077  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4856  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-id 5531  df-po 5544  df-so 5545  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-riota 7338  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-er 8662  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-pnf 11204  df-mnf 11205  df-ltxr 11207  df-sub 11402  df-neg 11403

This theorem is referenced by:  negicn  11417  negcon1  11469  negdi  11474  negdi2  11475  negsubdi2  11476  neg2sub  11477  negcli  11485  negcld  11515  mulneg2  11610  mul2neg  11612  mulsub  11616  divneg  11868  divsubdir  11870  divsubdiv  11893  eqneg  11897  div2neg  11900  divneg2  11901  zeo  12645  sqneg  14114  binom2sub  14219  shftval4  15076  shftcan1  15082  shftcan2  15083  crim  15114  resub  15126  imsub  15134  cjneg  15146  cjsub  15148  absneg  15276  abs2dif2  15333  sqreulem  15359  sqreu  15360  subcn2  15594  risefallfac  16026  fallrisefac  16027  fallfac0  16030  binomrisefac  16044  efcan  16098  efne0OLD  16101  efneg  16102  efsub  16104  sinneg  16150  cosneg  16151  tanneg  16152  efmival  16157  sinhval  16158  coshval  16159  sinsub  16172  cossub  16173  sincossq  16180  cnaddablx  19880  cnaddabl  19881  cnaddinv  19883  cncrng  21414  cnfldneg  21419  cnlmod  25171  cnstrcvs  25172  cncvs  25176  plyremlem  26334  reeff1o  26476  sin2pim  26516  cos2pim  26517  cxpsub  26713  cxpsqrt  26734  logrec  26794  asinlem3  26902  asinneg  26917  acosneg  26918  sinasin  26920  asinsin  26923  cosasin  26935  atantan  26954  cnaddabloOLD  30719  hvsubdistr2  31188  spanunsni  31717  ltflcei  38045  dvasin  38141  lcmineqlem1  42584  sqrtcvallem4  44153  sub2times  45790  cosknegpi  46381  etransclem18  46764  etransclem46  46792  addsubeq0  47828  altgsumbcALT  48913  1subrec1sub  49265  sinhpcosh  50299