MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  negcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem negcl 10879
Description: Closure law for negative. (Contributed by NM, 6-Aug-2003.)
Assertion
Ref Expression
negcl (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem negcl
StepHypRef Expression
1 df-neg 10866 . 2 -𝐴 = (0 − 𝐴)
2 0cn 10626 . . 3 0 ∈ ℂ
3 subcl 10878 . . 3 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
42, 3mpan 689 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
51, 4eqeltrid 2897 1 (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2112  (class class class)co 7139  cc 10528  0cc0 10530  cmin 10863  -cneg 10864
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5428  df-po 5442  df-so 5443  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-ltxr 10673  df-sub 10865  df-neg 10866
This theorem is referenced by:  negicn  10880  negcon1  10931  negdi  10936  negdi2  10937  negsubdi2  10938  neg2sub  10939  negcli  10947  negcld  10977  mulneg2  11070  mul2neg  11072  mulsub  11076  divneg  11325  divsubdir  11327  divsubdiv  11349  eqneg  11353  div2neg  11356  divneg2  11357  zeo  12060  sqneg  13482  binom2sub  13581  shftval4  14432  shftcan1  14438  shftcan2  14439  crim  14470  resub  14482  imsub  14490  cjneg  14502  cjsub  14504  absneg  14633  abs2dif2  14689  sqreulem  14715  sqreu  14716  subcn2  14947  risefallfac  15374  fallrisefac  15375  fallfac0  15378  binomrisefac  15392  efcan  15445  efne0  15446  efneg  15447  efsub  15449  sinneg  15495  cosneg  15496  tanneg  15497  efmival  15502  sinhval  15503  coshval  15504  sinsub  15517  cossub  15518  sincossq  15525  cnaddablx  18985  cnaddabl  18986  cnaddinv  18988  cncrng  20116  cnfldneg  20121  cnlmod  23749  cnstrcvs  23750  cncvs  23754  plyremlem  24904  reeff1o  25046  sin2pim  25082  cos2pim  25083  cxpsub  25277  cxpsqrt  25298  logrec  25353  asinlem3  25461  asinneg  25476  acosneg  25477  sinasin  25479  asinsin  25482  cosasin  25494  atantan  25513  cnaddabloOLD  28368  hvsubdistr2  28837  spanunsni  29366  ltflcei  35044  dvasin  35140  lcmineqlem1  39316  sqrtcvallem4  40336  sub2times  41902  cosknegpi  42508  etransclem18  42891  etransclem46  42919  addsubeq0  43850  altgsumbcALT  44752  1subrec1sub  45116  sinhpcosh  45263
  Copyright terms: Public domain W3C validator