Theorem negcl 11508

Description: Closure law for negative. (Contributed by NM, 6-Aug-2003.)

Assertion

Ref	Expression
negcl	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem negcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 11495	. 2 ⊢ -𝐴 = (0 − 𝐴)
2		0cn 11253	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
3		subcl 11507	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
4	2, 3	mpan 690	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
5	1, 4	eqeltrid 2845	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  0cc0 11155   − cmin 11492  -cneg 11493

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-ltxr 11300  df-sub 11494  df-neg 11495

This theorem is referenced by:  negicn  11509  negcon1  11561  negdi  11566  negdi2  11567  negsubdi2  11568  neg2sub  11569  negcli  11577  negcld  11607  mulneg2  11700  mul2neg  11702  mulsub  11706  divneg  11959  divsubdir  11961  divsubdiv  11983  eqneg  11987  div2neg  11990  divneg2  11991  zeo  12704  sqneg  14156  binom2sub  14259  shftval4  15116  shftcan1  15122  shftcan2  15123  crim  15154  resub  15166  imsub  15174  cjneg  15186  cjsub  15188  absneg  15316  abs2dif2  15372  sqreulem  15398  sqreu  15399  subcn2  15631  risefallfac  16060  fallrisefac  16061  fallfac0  16064  binomrisefac  16078  efcan  16132  efne0  16133  efneg  16134  efsub  16136  sinneg  16182  cosneg  16183  tanneg  16184  efmival  16189  sinhval  16190  coshval  16191  sinsub  16204  cossub  16205  sincossq  16212  cnaddablx  19886  cnaddabl  19887  cnaddinv  19889  cncrng  21401  cncrngOLD  21402  cnfldneg  21408  cnlmod  25173  cnstrcvs  25174  cncvs  25178  plyremlem  26346  reeff1o  26491  sin2pim  26527  cos2pim  26528  cxpsub  26724  cxpsqrt  26745  logrec  26806  asinlem3  26914  asinneg  26929  acosneg  26930  sinasin  26932  asinsin  26935  cosasin  26947  atantan  26966  cnaddabloOLD  30600  hvsubdistr2  31069  spanunsni  31598  ltflcei  37615  dvasin  37711  lcmineqlem1  42030  sqrtcvallem4  43652  sub2times  45284  cosknegpi  45884  etransclem18  46267  etransclem46  46295  addsubeq0  47308  altgsumbcALT  48269  1subrec1sub  48626  sinhpcosh  49259