Theorem negcl 11490

Description: Closure law for negative. (Contributed by NM, 6-Aug-2003.)

Assertion

Ref	Expression
negcl	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem negcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 11477	. 2 ⊢ -𝐴 = (0 − 𝐴)
2		0cn 11235	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
3		subcl 11489	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
4	2, 3	mpan 690	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
5	1, 4	eqeltrid 2837	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7413  ℂcc 11135  0cc0 11137   − cmin 11474  -cneg 11475

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-id 5558  df-po 5572  df-so 5573  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-er 8727  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-ltxr 11282  df-sub 11476  df-neg 11477

This theorem is referenced by:  negicn  11491  negcon1  11543  negdi  11548  negdi2  11549  negsubdi2  11550  neg2sub  11551  negcli  11559  negcld  11589  mulneg2  11682  mul2neg  11684  mulsub  11688  divneg  11941  divsubdir  11943  divsubdiv  11965  eqneg  11969  div2neg  11972  divneg2  11973  zeo  12687  sqneg  14138  binom2sub  14241  shftval4  15098  shftcan1  15104  shftcan2  15105  crim  15136  resub  15148  imsub  15156  cjneg  15168  cjsub  15170  absneg  15298  abs2dif2  15354  sqreulem  15380  sqreu  15381  subcn2  15613  risefallfac  16042  fallrisefac  16043  fallfac0  16046  binomrisefac  16060  efcan  16114  efne0  16115  efneg  16116  efsub  16118  sinneg  16164  cosneg  16165  tanneg  16166  efmival  16171  sinhval  16172  coshval  16173  sinsub  16186  cossub  16187  sincossq  16194  cnaddablx  19854  cnaddabl  19855  cnaddinv  19857  cncrng  21363  cncrngOLD  21364  cnfldneg  21370  cnlmod  25109  cnstrcvs  25110  cncvs  25114  plyremlem  26282  reeff1o  26427  sin2pim  26463  cos2pim  26464  cxpsub  26660  cxpsqrt  26681  logrec  26742  asinlem3  26850  asinneg  26865  acosneg  26866  sinasin  26868  asinsin  26871  cosasin  26883  atantan  26902  cnaddabloOLD  30528  hvsubdistr2  30997  spanunsni  31526  ltflcei  37574  dvasin  37670  lcmineqlem1  41989  sqrtcvallem4  43614  sub2times  45241  cosknegpi  45841  etransclem18  46224  etransclem46  46252  addsubeq0  47266  altgsumbcALT  48227  1subrec1sub  48584  sinhpcosh  49267