Theorem negcl 11459

Description: Closure law for negative. (Contributed by NM, 6-Aug-2003.)

Assertion

Ref	Expression
negcl	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem negcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 11446	. 2 ⊢ -𝐴 = (0 − 𝐴)
2		0cn 11205	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
3		subcl 11458	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
4	2, 3	mpan 688	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
5	1, 4	eqeltrid 2837	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7408  ℂcc 11107  0cc0 11109   − cmin 11443  -cneg 11444

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-ltxr 11252  df-sub 11445  df-neg 11446

This theorem is referenced by:  negicn  11460  negcon1  11511  negdi  11516  negdi2  11517  negsubdi2  11518  neg2sub  11519  negcli  11527  negcld  11557  mulneg2  11650  mul2neg  11652  mulsub  11656  divneg  11905  divsubdir  11907  divsubdiv  11929  eqneg  11933  div2neg  11936  divneg2  11937  zeo  12647  sqneg  14080  binom2sub  14182  shftval4  15023  shftcan1  15029  shftcan2  15030  crim  15061  resub  15073  imsub  15081  cjneg  15093  cjsub  15095  absneg  15223  abs2dif2  15279  sqreulem  15305  sqreu  15306  subcn2  15538  risefallfac  15967  fallrisefac  15968  fallfac0  15971  binomrisefac  15985  efcan  16038  efne0  16039  efneg  16040  efsub  16042  sinneg  16088  cosneg  16089  tanneg  16090  efmival  16095  sinhval  16096  coshval  16097  sinsub  16110  cossub  16111  sincossq  16118  cnaddablx  19735  cnaddabl  19736  cnaddinv  19738  cncrng  20965  cnfldneg  20970  cnlmod  24655  cnstrcvs  24656  cncvs  24660  plyremlem  25816  reeff1o  25958  sin2pim  25994  cos2pim  25995  cxpsub  26189  cxpsqrt  26210  logrec  26265  asinlem3  26373  asinneg  26388  acosneg  26389  sinasin  26391  asinsin  26394  cosasin  26406  atantan  26425  cnaddabloOLD  29829  hvsubdistr2  30298  spanunsni  30827  ltflcei  36471  dvasin  36567  lcmineqlem1  40889  sqrtcvallem4  42380  sub2times  43972  cosknegpi  44575  etransclem18  44958  etransclem46  44986  addsubeq0  45994  altgsumbcALT  47019  1subrec1sub  47381  sinhpcosh  47775