Theorem negcl 11384

Description: Closure law for negative. (Contributed by NM, 6-Aug-2003.)

Assertion

Ref	Expression
negcl	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem negcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 11371	. 2 ⊢ -𝐴 = (0 − 𝐴)
2		0cn 11127	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
3		subcl 11383	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
4	2, 3	mpan 696	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
5	1, 4	eqeltrid 2843	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2119  (class class class)co 7356  ℂcc 11027  0cc0 11029   − cmin 11368  -cneg 11369

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-po 5526  df-so 5527  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-ltxr 11175  df-sub 11370  df-neg 11371

This theorem is referenced by:  negicn  11385  negcon1  11437  negdi  11442  negdi2  11443  negsubdi2  11444  neg2sub  11445  negcli  11453  negcld  11483  mulneg2  11578  mul2neg  11580  mulsub  11584  divneg  11837  divsubdir  11839  divsubdiv  11862  eqneg  11866  div2neg  11869  divneg2  11870  zeo  12606  sqneg  14068  binom2sub  14173  shftval4  15030  shftcan1  15036  shftcan2  15037  crim  15068  resub  15080  imsub  15088  cjneg  15100  cjsub  15102  absneg  15230  abs2dif2  15287  sqreulem  15313  sqreu  15314  subcn2  15548  risefallfac  15980  fallrisefac  15981  fallfac0  15984  binomrisefac  15998  efcan  16052  efne0OLD  16055  efneg  16056  efsub  16058  sinneg  16104  cosneg  16105  tanneg  16106  efmival  16111  sinhval  16112  coshval  16113  sinsub  16126  cossub  16127  sincossq  16134  cnaddablx  19834  cnaddabl  19835  cnaddinv  19837  cncrng  21368  cnfldneg  21373  cnlmod  25125  cnstrcvs  25126  cncvs  25130  plyremlem  26288  reeff1o  26430  sin2pim  26467  cos2pim  26468  cxpsub  26664  cxpsqrt  26685  logrec  26745  asinlem3  26853  asinneg  26868  acosneg  26869  sinasin  26871  asinsin  26874  cosasin  26886  atantan  26905  cnaddabloOLD  30670  hvsubdistr2  31139  spanunsni  31668  ltflcei  37975  dvasin  38071  lcmineqlem1  42514  sqrtcvallem4  44083  sub2times  45721  cosknegpi  46312  etransclem18  46695  etransclem46  46723  addsubeq0  47759  altgsumbcALT  48844  1subrec1sub  49196  sinhpcosh  50230