Theorem negcl 11392

Description: Closure law for negative. (Contributed by NM, 6-Aug-2003.)

Assertion

Ref	Expression
negcl	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem negcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 11379	. 2 ⊢ -𝐴 = (0 − 𝐴)
2		0cn 11136	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
3		subcl 11391	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
4	2, 3	mpan 691	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
5	1, 4	eqeltrid 2841	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  0cc0 11038   − cmin 11376  -cneg 11377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-ltxr 11183  df-sub 11378  df-neg 11379

This theorem is referenced by:  negicn  11393  negcon1  11445  negdi  11450  negdi2  11451  negsubdi2  11452  neg2sub  11453  negcli  11461  negcld  11491  mulneg2  11586  mul2neg  11588  mulsub  11592  divneg  11845  divsubdir  11847  divsubdiv  11869  eqneg  11873  div2neg  11876  divneg2  11877  zeo  12590  sqneg  14050  binom2sub  14155  shftval4  15012  shftcan1  15018  shftcan2  15019  crim  15050  resub  15062  imsub  15070  cjneg  15082  cjsub  15084  absneg  15212  abs2dif2  15269  sqreulem  15295  sqreu  15296  subcn2  15530  risefallfac  15959  fallrisefac  15960  fallfac0  15963  binomrisefac  15977  efcan  16031  efne0OLD  16034  efneg  16035  efsub  16037  sinneg  16083  cosneg  16084  tanneg  16085  efmival  16090  sinhval  16091  coshval  16092  sinsub  16105  cossub  16106  sincossq  16113  cnaddablx  19809  cnaddabl  19810  cnaddinv  19812  cncrng  21355  cncrngOLD  21356  cnfldneg  21362  cnlmod  25108  cnstrcvs  25109  cncvs  25113  plyremlem  26280  reeff1o  26425  sin2pim  26462  cos2pim  26463  cxpsub  26659  cxpsqrt  26680  logrec  26741  asinlem3  26849  asinneg  26864  acosneg  26865  sinasin  26867  asinsin  26870  cosasin  26882  atantan  26901  cnaddabloOLD  30669  hvsubdistr2  31138  spanunsni  31667  ltflcei  37859  dvasin  37955  lcmineqlem1  42399  sqrtcvallem4  43995  sub2times  45635  cosknegpi  46227  etransclem18  46610  etransclem46  46638  addsubeq0  47656  altgsumbcALT  48713  1subrec1sub  49065  sinhpcosh  50099