Theorem negcl 11151

Description: Closure law for negative. (Contributed by NM, 6-Aug-2003.)

Assertion

Ref	Expression
negcl	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem negcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 11138	. 2 ⊢ -𝐴 = (0 − 𝐴)
2		0cn 10898	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
3		subcl 11150	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
4	2, 3	mpan 686	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
5	1, 4	eqeltrid 2843	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  0cc0 10802   − cmin 11135  -cneg 11136

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-ltxr 10945  df-sub 11137  df-neg 11138

This theorem is referenced by:  negicn  11152  negcon1  11203  negdi  11208  negdi2  11209  negsubdi2  11210  neg2sub  11211  negcli  11219  negcld  11249  mulneg2  11342  mul2neg  11344  mulsub  11348  divneg  11597  divsubdir  11599  divsubdiv  11621  eqneg  11625  div2neg  11628  divneg2  11629  zeo  12336  sqneg  13764  binom2sub  13863  shftval4  14716  shftcan1  14722  shftcan2  14723  crim  14754  resub  14766  imsub  14774  cjneg  14786  cjsub  14788  absneg  14917  abs2dif2  14973  sqreulem  14999  sqreu  15000  subcn2  15232  risefallfac  15662  fallrisefac  15663  fallfac0  15666  binomrisefac  15680  efcan  15733  efne0  15734  efneg  15735  efsub  15737  sinneg  15783  cosneg  15784  tanneg  15785  efmival  15790  sinhval  15791  coshval  15792  sinsub  15805  cossub  15806  sincossq  15813  cnaddablx  19384  cnaddabl  19385  cnaddinv  19387  cncrng  20531  cnfldneg  20536  cnlmod  24209  cnstrcvs  24210  cncvs  24214  plyremlem  25369  reeff1o  25511  sin2pim  25547  cos2pim  25548  cxpsub  25742  cxpsqrt  25763  logrec  25818  asinlem3  25926  asinneg  25941  acosneg  25942  sinasin  25944  asinsin  25947  cosasin  25959  atantan  25978  cnaddabloOLD  28844  hvsubdistr2  29313  spanunsni  29842  ltflcei  35692  dvasin  35788  lcmineqlem1  39965  sqrtcvallem4  41136  sub2times  42702  cosknegpi  43300  etransclem18  43683  etransclem46  43711  addsubeq0  44676  altgsumbcALT  45577  1subrec1sub  45939  sinhpcosh  46328