Theorem negcl 11564

Description: Closure law for negative. (Contributed by NM, 6-Aug-2003.)

Assertion

Ref	Expression
negcl	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem negcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 11551	. 2 ⊢ -𝐴 = (0 − 𝐴)
2		0cn 11305	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
3		subcl 11563	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
4	2, 3	mpan 703	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
5	1, 4	eqeltrid 2864	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7424  ℂcc 11205  0cc0 11207   − cmin 11548   -cneg 11549

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-er 8725  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-ltxr 11355  df-sub 11550  df-neg 11551

This theorem is used by:  negicn  11565  negcon1  11617  negdi  11622  negdi2  11623  negsubdi2  11624  neg2sub  11625  negcli  11633  negcld  11663  mulneg2  11760  mul2neg  11762  mulsub  11766  divneg  12015  divsubdir  12017  divsubdiv  12040  eqneg  12044  div2neg  12047  divneg2  12048  zeo  12792  sqneg  14265  binom2sub  14371  shftval4  15239  shftcan1  15245  shftcan2  15246  crim  15291  resub  15303  imsub  15311  cjneg  15323  cjsub  15325  absneg  15453  abs2dif2  15510  sqreulem  15536  sqreu  15537  subcn2  15771  risefallfac  16200  fallrisefac  16201  fallfac0  16203  binomrisefac  16217  efcan  16271  efne0OLD  16274  efneg  16275  efsub  16277  sinneg  16323  cosneg  16324  tanneg  16325  efmival  16330  sinhval  16331  coshval  16332  sinsub  16345  cossub  16346  sincossq  16353  cnaddablx  20091  cnaddabl  20092  cnaddinv  20094  cncrng  21708  cnfldneg  21713  cnlmod  25470  cnstrcvs  25471  cncvs  25475  plyremlem  26634  reeff1o  26783  sin2pim  26823  cos2pim  26824  cxpsub  27019  cxpsqrt  27040  logrec  27100  asinlem3  27208  asinneg  27223  acosneg  27224  sinasin  27226  asinsin  27229  cosasin  27241  atantan  27260  cnaddabloOLD  31192  hvsubdistr2  31661  spanunsni  32190  ltflcei  38668  dvasin  38759  lcmineqlem1  43216  sqrtcvallem4  44776  sub2times  46425  cosknegpi  47015  etransclem18  47398  etransclem46  47426  addsubeq0  48502  altgsumbcALT  49601  1subrec1sub  49953  sinhpcosh  51044