Theorem negcl 10880

Description: Closure law for negative. (Contributed by NM, 6-Aug-2003.)

Assertion

Ref	Expression
negcl	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem negcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 10867	. 2 ⊢ -𝐴 = (0 − 𝐴)
2		0cn 10627	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
3		subcl 10879	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
4	2, 3	mpan 688	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
5	1, 4	eqeltrid 2917	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2110  (class class class)co 7150  ℂcc 10529  0cc0 10531   − cmin 10864  -cneg 10865

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-ltxr 10674  df-sub 10866  df-neg 10867

This theorem is referenced by:  negicn  10881  negcon1  10932  negdi  10937  negdi2  10938  negsubdi2  10939  neg2sub  10940  negcli  10948  negcld  10978  mulneg2  11071  mul2neg  11073  mulsub  11077  divneg  11326  divsubdir  11328  divsubdiv  11350  eqneg  11354  div2neg  11357  divneg2  11358  zeo  12062  sqneg  13476  binom2sub  13575  shftval4  14430  shftcan1  14436  shftcan2  14437  crim  14468  resub  14480  imsub  14488  cjneg  14500  cjsub  14502  absneg  14631  abs2dif2  14687  sqreulem  14713  sqreu  14714  subcn2  14945  risefallfac  15372  fallrisefac  15373  fallfac0  15376  binomrisefac  15390  efcan  15443  efne0  15444  efneg  15445  efsub  15447  sinneg  15493  cosneg  15494  tanneg  15495  efmival  15500  sinhval  15501  coshval  15502  sinsub  15515  cossub  15516  sincossq  15523  cnaddablx  18982  cnaddabl  18983  cnaddinv  18985  cncrng  20560  cnfldneg  20565  cnlmod  23738  cnstrcvs  23739  cncvs  23743  plyremlem  24887  reeff1o  25029  sin2pim  25065  cos2pim  25066  cxpsub  25259  cxpsqrt  25280  logrec  25335  asinlem3  25443  asinneg  25458  acosneg  25459  sinasin  25461  asinsin  25464  cosasin  25476  atantan  25495  cnaddabloOLD  28352  hvsubdistr2  28821  spanunsni  29350  ltflcei  34874  dvasin  34972  sub2times  41533  cosknegpi  42143  etransclem18  42531  etransclem46  42559  addsubeq0  43490  altgsumbcALT  44395  1subrec1sub  44686  sinhpcosh  44833