Theorem negcl 11460

Description: Closure law for negative. (Contributed by NM, 6-Aug-2003.)

Assertion

Ref	Expression
negcl	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem negcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 11447	. 2 ⊢ -𝐴 = (0 − 𝐴)
2		0cn 11206	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
3		subcl 11459	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
4	2, 3	mpan 689	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
5	1, 4	eqeltrid 2838	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7409  ℂcc 11108  0cc0 11110   − cmin 11444  -cneg 11445

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-ltxr 11253  df-sub 11446  df-neg 11447

This theorem is referenced by:  negicn  11461  negcon1  11512  negdi  11517  negdi2  11518  negsubdi2  11519  neg2sub  11520  negcli  11528  negcld  11558  mulneg2  11651  mul2neg  11653  mulsub  11657  divneg  11906  divsubdir  11908  divsubdiv  11930  eqneg  11934  div2neg  11937  divneg2  11938  zeo  12648  sqneg  14081  binom2sub  14183  shftval4  15024  shftcan1  15030  shftcan2  15031  crim  15062  resub  15074  imsub  15082  cjneg  15094  cjsub  15096  absneg  15224  abs2dif2  15280  sqreulem  15306  sqreu  15307  subcn2  15539  risefallfac  15968  fallrisefac  15969  fallfac0  15972  binomrisefac  15986  efcan  16039  efne0  16040  efneg  16041  efsub  16043  sinneg  16089  cosneg  16090  tanneg  16091  efmival  16096  sinhval  16097  coshval  16098  sinsub  16111  cossub  16112  sincossq  16119  cnaddablx  19736  cnaddabl  19737  cnaddinv  19739  cncrng  20966  cnfldneg  20971  cnlmod  24656  cnstrcvs  24657  cncvs  24661  plyremlem  25817  reeff1o  25959  sin2pim  25995  cos2pim  25996  cxpsub  26190  cxpsqrt  26211  logrec  26268  asinlem3  26376  asinneg  26391  acosneg  26392  sinasin  26394  asinsin  26397  cosasin  26409  atantan  26428  cnaddabloOLD  29834  hvsubdistr2  30303  spanunsni  30832  ltflcei  36476  dvasin  36572  lcmineqlem1  40894  sqrtcvallem4  42390  sub2times  43982  cosknegpi  44585  etransclem18  44968  etransclem46  44996  addsubeq0  46004  altgsumbcALT  47029  1subrec1sub  47391  sinhpcosh  47785