Theorem negcl 11452

Description: Closure law for negative. (Contributed by NM, 6-Aug-2003.)

Assertion

Ref	Expression
negcl	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem negcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 11439	. 2 ⊢ -𝐴 = (0 − 𝐴)
2		0cn 11193	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
3		subcl 11451	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
4	2, 3	mpan 702	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
5	1, 4	eqeltrid 2867	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2143  (class class class)co 7410  ℂcc 11093  0cc0 11095   − cmin 11436  -cneg 11437

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-po 5569  df-so 5570  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-ltxr 11243  df-sub 11438  df-neg 11439

This theorem is referenced by:  negicn  11453  negcon1  11505  negdi  11510  negdi2  11511  negsubdi2  11512  neg2sub  11513  negcli  11521  negcld  11551  mulneg2  11646  mul2neg  11648  mulsub  11652  divneg  11901  divsubdir  11903  divsubdiv  11926  eqneg  11930  div2neg  11933  divneg2  11934  zeo  12677  sqneg  14147  binom2sub  14252  shftval4  15110  shftcan1  15116  shftcan2  15117  crim  15162  resub  15174  imsub  15182  cjneg  15194  cjsub  15196  absneg  15324  abs2dif2  15381  sqreulem  15407  sqreu  15408  subcn2  15642  risefallfac  16074  fallrisefac  16075  fallfac0  16077  binomrisefac  16091  efcan  16145  efne0OLD  16148  efneg  16149  efsub  16151  sinneg  16197  cosneg  16198  tanneg  16199  efmival  16204  sinhval  16205  coshval  16206  sinsub  16219  cossub  16220  sincossq  16227  cnaddablx  19933  cnaddabl  19934  cnaddinv  19936  cncrng  21543  cnfldneg  21548  cnlmod  25299  cnstrcvs  25300  cncvs  25304  plyremlem  26465  reeff1o  26610  sin2pim  26650  cos2pim  26651  cxpsub  26847  cxpsqrt  26868  logrec  26928  asinlem3  27036  asinneg  27051  acosneg  27052  sinasin  27054  asinsin  27057  cosasin  27069  atantan  27088  cnaddabloOLD  30933  hvsubdistr2  31402  spanunsni  31931  ltflcei  38259  dvasin  38355  lcmineqlem1  42796  sqrtcvallem4  44365  sub2times  45992  cosknegpi  46583  etransclem18  46966  etransclem46  46994  addsubeq0  48033  altgsumbcALT  49133  1subrec1sub  49485  sinhpcosh  50518