Theorem negcl 11557

Description: Closure law for negative. (Contributed by NM, 6-Aug-2003.)

Assertion

Ref	Expression
negcl	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem negcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 11544	. 2 ⊢ -𝐴 = (0 − 𝐴)
2		0cn 11298	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
3		subcl 11556	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
4	2, 3	mpan 703	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
5	1, 4	eqeltrid 2865	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7420  ℂcc 11198  0cc0 11200   − cmin 11541  -cneg 11542

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-ltxr 11348  df-sub 11543  df-neg 11544

This theorem is used by:  negicn  11558  negcon1  11610  negdi  11615  negdi2  11616  negsubdi2  11617  neg2sub  11618  negcli  11626  negcld  11656  mulneg2  11753  mul2neg  11755  mulsub  11759  divneg  12008  divsubdir  12010  divsubdiv  12033  eqneg  12037  div2neg  12040  divneg2  12041  zeo  12785  sqneg  14258  binom2sub  14364  shftval4  15230  shftcan1  15236  shftcan2  15237  crim  15282  resub  15294  imsub  15302  cjneg  15314  cjsub  15316  absneg  15444  abs2dif2  15501  sqreulem  15527  sqreu  15528  subcn2  15762  risefallfac  16191  fallrisefac  16192  fallfac0  16194  binomrisefac  16208  efcan  16262  efne0OLD  16265  efneg  16266  efsub  16268  sinneg  16314  cosneg  16315  tanneg  16316  efmival  16321  sinhval  16322  coshval  16323  sinsub  16336  cossub  16337  sincossq  16344  cnaddablx  20082  cnaddabl  20083  cnaddinv  20085  cncrng  21699  cnfldneg  21704  cnlmod  25461  cnstrcvs  25462  cncvs  25466  plyremlem  26625  reeff1o  26774  sin2pim  26814  cos2pim  26815  cxpsub  27010  cxpsqrt  27031  logrec  27091  asinlem3  27199  asinneg  27214  acosneg  27215  sinasin  27217  asinsin  27220  cosasin  27232  atantan  27251  cnaddabloOLD  31183  hvsubdistr2  31652  spanunsni  32181  ltflcei  38531  dvasin  38622  lcmineqlem1  43079  sqrtcvallem4  44638  sub2times  46288  cosknegpi  46878  etransclem18  47261  etransclem46  47289  addsubeq0  48365  altgsumbcALT  49464  1subrec1sub  49816  sinhpcosh  50832