Theorem negcl 11505

Description: Closure law for negative. (Contributed by NM, 6-Aug-2003.)

Assertion

Ref	Expression
negcl	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem negcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 11492	. 2 ⊢ -𝐴 = (0 − 𝐴)
2		0cn 11250	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
3		subcl 11504	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
4	2, 3	mpan 690	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
5	1, 4	eqeltrid 2842	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2105  (class class class)co 7430  ℂcc 11150  0cc0 11152   − cmin 11489  -cneg 11490

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-po 5596  df-so 5597  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-ltxr 11297  df-sub 11491  df-neg 11492

This theorem is referenced by:  negicn  11506  negcon1  11558  negdi  11563  negdi2  11564  negsubdi2  11565  neg2sub  11566  negcli  11574  negcld  11604  mulneg2  11697  mul2neg  11699  mulsub  11703  divneg  11956  divsubdir  11958  divsubdiv  11980  eqneg  11984  div2neg  11987  divneg2  11988  zeo  12701  sqneg  14152  binom2sub  14255  shftval4  15112  shftcan1  15118  shftcan2  15119  crim  15150  resub  15162  imsub  15170  cjneg  15182  cjsub  15184  absneg  15312  abs2dif2  15368  sqreulem  15394  sqreu  15395  subcn2  15627  risefallfac  16056  fallrisefac  16057  fallfac0  16060  binomrisefac  16074  efcan  16128  efne0  16129  efneg  16130  efsub  16132  sinneg  16178  cosneg  16179  tanneg  16180  efmival  16185  sinhval  16186  coshval  16187  sinsub  16200  cossub  16201  sincossq  16208  cnaddablx  19900  cnaddabl  19901  cnaddinv  19903  cncrng  21418  cncrngOLD  21419  cnfldneg  21425  cnlmod  25186  cnstrcvs  25187  cncvs  25191  plyremlem  26360  reeff1o  26505  sin2pim  26541  cos2pim  26542  cxpsub  26738  cxpsqrt  26759  logrec  26820  asinlem3  26928  asinneg  26943  acosneg  26944  sinasin  26946  asinsin  26949  cosasin  26961  atantan  26980  cnaddabloOLD  30609  hvsubdistr2  31078  spanunsni  31607  ltflcei  37594  dvasin  37690  lcmineqlem1  42010  sqrtcvallem4  43628  sub2times  45222  cosknegpi  45824  etransclem18  46207  etransclem46  46235  addsubeq0  47245  altgsumbcALT  48197  1subrec1sub  48554  sinhpcosh  48970