Theorem negcl 11482

Description: Closure law for negative. (Contributed by NM, 6-Aug-2003.)

Assertion

Ref	Expression
negcl	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem negcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 11469	. 2 ⊢ -𝐴 = (0 − 𝐴)
2		0cn 11227	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
3		subcl 11481	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
4	2, 3	mpan 690	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
5	1, 4	eqeltrid 2838	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7405  ℂcc 11127  0cc0 11129   − cmin 11466  -cneg 11467

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-po 5561  df-so 5562  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-ltxr 11274  df-sub 11468  df-neg 11469

This theorem is referenced by:  negicn  11483  negcon1  11535  negdi  11540  negdi2  11541  negsubdi2  11542  neg2sub  11543  negcli  11551  negcld  11581  mulneg2  11674  mul2neg  11676  mulsub  11680  divneg  11933  divsubdir  11935  divsubdiv  11957  eqneg  11961  div2neg  11964  divneg2  11965  zeo  12679  sqneg  14133  binom2sub  14238  shftval4  15096  shftcan1  15102  shftcan2  15103  crim  15134  resub  15146  imsub  15154  cjneg  15166  cjsub  15168  absneg  15296  abs2dif2  15352  sqreulem  15378  sqreu  15379  subcn2  15611  risefallfac  16040  fallrisefac  16041  fallfac0  16044  binomrisefac  16058  efcan  16112  efne0OLD  16115  efneg  16116  efsub  16118  sinneg  16164  cosneg  16165  tanneg  16166  efmival  16171  sinhval  16172  coshval  16173  sinsub  16186  cossub  16187  sincossq  16194  cnaddablx  19849  cnaddabl  19850  cnaddinv  19852  cncrng  21351  cncrngOLD  21352  cnfldneg  21358  cnlmod  25091  cnstrcvs  25092  cncvs  25096  plyremlem  26264  reeff1o  26409  sin2pim  26446  cos2pim  26447  cxpsub  26643  cxpsqrt  26664  logrec  26725  asinlem3  26833  asinneg  26848  acosneg  26849  sinasin  26851  asinsin  26854  cosasin  26866  atantan  26885  cnaddabloOLD  30562  hvsubdistr2  31031  spanunsni  31560  ltflcei  37632  dvasin  37728  lcmineqlem1  42042  sqrtcvallem4  43663  sub2times  45301  cosknegpi  45898  etransclem18  46281  etransclem46  46309  addsubeq0  47325  altgsumbcALT  48328  1subrec1sub  48685  sinhpcosh  49604