Theorem negcl 11393

Description: Closure law for negative. (Contributed by NM, 6-Aug-2003.)

Assertion

Ref	Expression
negcl	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem negcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 11380	. 2 ⊢ -𝐴 = (0 − 𝐴)
2		0cn 11136	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
3		subcl 11392	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
4	2, 3	mpan 691	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
5	1, 4	eqeltrid 2840	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  0cc0 11038   − cmin 11377  -cneg 11378

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-ltxr 11184  df-sub 11379  df-neg 11380

This theorem is referenced by:  negicn  11394  negcon1  11446  negdi  11451  negdi2  11452  negsubdi2  11453  neg2sub  11454  negcli  11462  negcld  11492  mulneg2  11587  mul2neg  11589  mulsub  11593  divneg  11846  divsubdir  11848  divsubdiv  11871  eqneg  11875  div2neg  11878  divneg2  11879  zeo  12615  sqneg  14077  binom2sub  14182  shftval4  15039  shftcan1  15045  shftcan2  15046  crim  15077  resub  15089  imsub  15097  cjneg  15109  cjsub  15111  absneg  15239  abs2dif2  15296  sqreulem  15322  sqreu  15323  subcn2  15557  risefallfac  15989  fallrisefac  15990  fallfac0  15993  binomrisefac  16007  efcan  16061  efne0OLD  16064  efneg  16065  efsub  16067  sinneg  16113  cosneg  16114  tanneg  16115  efmival  16120  sinhval  16121  coshval  16122  sinsub  16135  cossub  16136  sincossq  16143  cnaddablx  19843  cnaddabl  19844  cnaddinv  19846  cncrng  21373  cnfldneg  21378  cnlmod  25107  cnstrcvs  25108  cncvs  25112  plyremlem  26270  reeff1o  26412  sin2pim  26449  cos2pim  26450  cxpsub  26646  cxpsqrt  26667  logrec  26727  asinlem3  26835  asinneg  26850  acosneg  26851  sinasin  26853  asinsin  26856  cosasin  26868  atantan  26887  cnaddabloOLD  30652  hvsubdistr2  31121  spanunsni  31650  ltflcei  37929  dvasin  38025  lcmineqlem1  42468  sqrtcvallem4  44066  sub2times  45706  cosknegpi  46297  etransclem18  46680  etransclem46  46708  addsubeq0  47744  altgsumbcALT  48829  1subrec1sub  49181  sinhpcosh  50215