Theorem negcl 11536

Description: Closure law for negative. (Contributed by NM, 6-Aug-2003.)

Assertion

Ref	Expression
negcl	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem negcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 11523	. 2 ⊢ -𝐴 = (0 − 𝐴)
2		0cn 11282	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
3		subcl 11535	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
4	2, 3	mpan 689	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
5	1, 4	eqeltrid 2848	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  0cc0 11184   − cmin 11520  -cneg 11521

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329  df-sub 11522  df-neg 11523

This theorem is referenced by:  negicn  11537  negcon1  11588  negdi  11593  negdi2  11594  negsubdi2  11595  neg2sub  11596  negcli  11604  negcld  11634  mulneg2  11727  mul2neg  11729  mulsub  11733  divneg  11986  divsubdir  11988  divsubdiv  12010  eqneg  12014  div2neg  12017  divneg2  12018  zeo  12729  sqneg  14166  binom2sub  14269  shftval4  15126  shftcan1  15132  shftcan2  15133  crim  15164  resub  15176  imsub  15184  cjneg  15196  cjsub  15198  absneg  15326  abs2dif2  15382  sqreulem  15408  sqreu  15409  subcn2  15641  risefallfac  16072  fallrisefac  16073  fallfac0  16076  binomrisefac  16090  efcan  16144  efne0  16145  efneg  16146  efsub  16148  sinneg  16194  cosneg  16195  tanneg  16196  efmival  16201  sinhval  16202  coshval  16203  sinsub  16216  cossub  16217  sincossq  16224  cnaddablx  19910  cnaddabl  19911  cnaddinv  19913  cncrng  21424  cncrngOLD  21425  cnfldneg  21431  cnlmod  25192  cnstrcvs  25193  cncvs  25197  plyremlem  26364  reeff1o  26509  sin2pim  26545  cos2pim  26546  cxpsub  26742  cxpsqrt  26763  logrec  26824  asinlem3  26932  asinneg  26947  acosneg  26948  sinasin  26950  asinsin  26953  cosasin  26965  atantan  26984  cnaddabloOLD  30613  hvsubdistr2  31082  spanunsni  31611  ltflcei  37568  dvasin  37664  lcmineqlem1  41986  sqrtcvallem4  43601  sub2times  45187  cosknegpi  45790  etransclem18  46173  etransclem46  46201  addsubeq0  47211  altgsumbcALT  48078  1subrec1sub  48439  sinhpcosh  48832