Theorem negcl 11472

Description: Closure law for negative. (Contributed by NM, 6-Aug-2003.)

Assertion

Ref	Expression
negcl	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem negcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 11459	. 2 ⊢ -𝐴 = (0 − 𝐴)
2		0cn 11213	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
3		subcl 11471	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
4	2, 3	mpan 703	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
5	1, 4	eqeltrid 2869	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7419  ℂcc 11113  0cc0 11115   − cmin 11456  -cneg 11457

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-ltxr 11263  df-sub 11458  df-neg 11459

This theorem is used by:  negicn  11473  negcon1  11525  negdi  11530  negdi2  11531  negsubdi2  11532  neg2sub  11533  negcli  11541  negcld  11571  mulneg2  11666  mul2neg  11668  mulsub  11672  divneg  11921  divsubdir  11923  divsubdiv  11946  eqneg  11950  div2neg  11953  divneg2  11954  zeo  12698  sqneg  14169  binom2sub  14274  shftval4  15138  shftcan1  15144  shftcan2  15145  crim  15190  resub  15202  imsub  15210  cjneg  15222  cjsub  15224  absneg  15352  abs2dif2  15409  sqreulem  15435  sqreu  15436  subcn2  15670  risefallfac  16101  fallrisefac  16102  fallfac0  16104  binomrisefac  16118  efcan  16172  efne0OLD  16175  efneg  16176  efsub  16178  sinneg  16224  cosneg  16225  tanneg  16226  efmival  16231  sinhval  16232  coshval  16233  sinsub  16246  cossub  16247  sincossq  16254  cnaddablx  19982  cnaddabl  19983  cnaddinv  19985  cncrng  21593  cnfldneg  21598  cnlmod  25350  cnstrcvs  25351  cncvs  25355  plyremlem  26516  reeff1o  26661  sin2pim  26701  cos2pim  26702  cxpsub  26898  cxpsqrt  26919  logrec  26979  asinlem3  27087  asinneg  27102  acosneg  27103  sinasin  27105  asinsin  27108  cosasin  27120  atantan  27139  cnaddabloOLD  31004  hvsubdistr2  31473  spanunsni  32002  ltflcei  38316  dvasin  38412  lcmineqlem1  42854  sqrtcvallem4  44423  sub2times  46050  cosknegpi  46641  etransclem18  47024  etransclem46  47052  addsubeq0  48091  altgsumbcALT  49190  1subrec1sub  49542  sinhpcosh  50575