Theorem negcl 11482

Description: Closure law for negative. (Contributed by NM, 6-Aug-2003.)

Assertion

Ref	Expression
negcl	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem negcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 11469	. 2 ⊢ -𝐴 = (0 − 𝐴)
2		0cn 11223	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
3		subcl 11481	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
4	2, 3	mpan 703	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
5	1, 4	eqeltrid 2864	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7414  ℂcc 11123  0cc0 11125   − cmin 11466  -cneg 11467

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-er 8697  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-ltxr 11273  df-sub 11468  df-neg 11469

This theorem is used by:  negicn  11483  negcon1  11535  negdi  11540  negdi2  11541  negsubdi2  11542  neg2sub  11543  negcli  11551  negcld  11581  mulneg2  11676  mul2neg  11678  mulsub  11682  divneg  11931  divsubdir  11933  divsubdiv  11956  eqneg  11960  div2neg  11963  divneg2  11964  zeo  12708  sqneg  14180  binom2sub  14285  shftval4  15151  shftcan1  15157  shftcan2  15158  crim  15203  resub  15215  imsub  15223  cjneg  15235  cjsub  15237  absneg  15365  abs2dif2  15422  sqreulem  15448  sqreu  15449  subcn2  15683  risefallfac  16112  fallrisefac  16113  fallfac0  16115  binomrisefac  16129  efcan  16183  efne0OLD  16186  efneg  16187  efsub  16189  sinneg  16235  cosneg  16236  tanneg  16237  efmival  16242  sinhval  16243  coshval  16244  sinsub  16257  cossub  16258  sincossq  16265  cnaddablx  19996  cnaddabl  19997  cnaddinv  19999  cncrng  21607  cnfldneg  21612  cnlmod  25369  cnstrcvs  25370  cncvs  25374  plyremlem  26535  reeff1o  26684  sin2pim  26724  cos2pim  26725  cxpsub  26920  cxpsqrt  26941  logrec  27001  asinlem3  27109  asinneg  27124  acosneg  27125  sinasin  27127  asinsin  27130  cosasin  27142  atantan  27161  cnaddabloOLD  31063  hvsubdistr2  31532  spanunsni  32061  ltflcei  38363  dvasin  38454  lcmineqlem1  42896  sqrtcvallem4  44480  sub2times  46107  cosknegpi  46698  etransclem18  47081  etransclem46  47109  addsubeq0  48185  altgsumbcALT  49284  1subrec1sub  49636  sinhpcosh  50667