Theorem negcl 11430

Description: Closure law for negative. (Contributed by NM, 6-Aug-2003.)

Assertion

Ref	Expression
negcl	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem negcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 11417	. 2 ⊢ -𝐴 = (0 − 𝐴)
2		0cn 11171	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
3		subcl 11429	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
4	2, 3	mpan 700	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
5	1, 4	eqeltrid 2866	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2142  (class class class)co 7396  ℂcc 11071  0cc0 11073   − cmin 11414  -cneg 11415

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5542  df-po 5555  df-so 5556  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-ltxr 11221  df-sub 11416  df-neg 11417

This theorem is referenced by:  negicn  11431  negcon1  11483  negdi  11488  negdi2  11489  negsubdi2  11490  neg2sub  11491  negcli  11499  negcld  11529  mulneg2  11624  mul2neg  11626  mulsub  11630  divneg  11882  divsubdir  11884  divsubdiv  11907  eqneg  11911  div2neg  11914  divneg2  11915  zeo  12659  sqneg  14128  binom2sub  14233  shftval4  15090  shftcan1  15096  shftcan2  15097  crim  15142  resub  15154  imsub  15162  cjneg  15174  cjsub  15176  absneg  15304  abs2dif2  15361  sqreulem  15387  sqreu  15388  subcn2  15622  risefallfac  16054  fallrisefac  16055  fallfac0  16058  binomrisefac  16072  efcan  16126  efne0OLD  16129  efneg  16130  efsub  16132  sinneg  16178  cosneg  16179  tanneg  16180  efmival  16185  sinhval  16186  coshval  16187  sinsub  16200  cossub  16201  sincossq  16208  cnaddablx  19908  cnaddabl  19909  cnaddinv  19911  cncrng  21445  cnfldneg  21450  cnlmod  25202  cnstrcvs  25203  cncvs  25207  plyremlem  26368  reeff1o  26510  sin2pim  26550  cos2pim  26551  cxpsub  26747  cxpsqrt  26768  logrec  26828  asinlem3  26936  asinneg  26951  acosneg  26952  sinasin  26954  asinsin  26957  cosasin  26969  atantan  26988  cnaddabloOLD  30784  hvsubdistr2  31253  spanunsni  31782  ltflcei  38107  dvasin  38203  lcmineqlem1  42646  sqrtcvallem4  44215  sub2times  45852  cosknegpi  46443  etransclem18  46826  etransclem46  46854  addsubeq0  47890  altgsumbcALT  48975  1subrec1sub  49327  sinhpcosh  50361