Theorem negcl 11363

Description: Closure law for negative. (Contributed by NM, 6-Aug-2003.)

Assertion

Ref	Expression
negcl	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem negcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 11350	. 2 ⊢ -𝐴 = (0 − 𝐴)
2		0cn 11107	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
3		subcl 11362	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
4	2, 3	mpan 690	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
5	1, 4	eqeltrid 2832	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7349  ℂcc 11007  0cc0 11009   − cmin 11347  -cneg 11348

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-ltxr 11154  df-sub 11349  df-neg 11350

This theorem is referenced by:  negicn  11364  negcon1  11416  negdi  11421  negdi2  11422  negsubdi2  11423  neg2sub  11424  negcli  11432  negcld  11462  mulneg2  11557  mul2neg  11559  mulsub  11563  divneg  11816  divsubdir  11818  divsubdiv  11840  eqneg  11844  div2neg  11847  divneg2  11848  zeo  12562  sqneg  14022  binom2sub  14127  shftval4  14984  shftcan1  14990  shftcan2  14991  crim  15022  resub  15034  imsub  15042  cjneg  15054  cjsub  15056  absneg  15184  abs2dif2  15241  sqreulem  15267  sqreu  15268  subcn2  15502  risefallfac  15931  fallrisefac  15932  fallfac0  15935  binomrisefac  15949  efcan  16003  efne0OLD  16006  efneg  16007  efsub  16009  sinneg  16055  cosneg  16056  tanneg  16057  efmival  16062  sinhval  16063  coshval  16064  sinsub  16077  cossub  16078  sincossq  16085  cnaddablx  19747  cnaddabl  19748  cnaddinv  19750  cncrng  21295  cncrngOLD  21296  cnfldneg  21302  cnlmod  25038  cnstrcvs  25039  cncvs  25043  plyremlem  26210  reeff1o  26355  sin2pim  26392  cos2pim  26393  cxpsub  26589  cxpsqrt  26610  logrec  26671  asinlem3  26779  asinneg  26794  acosneg  26795  sinasin  26797  asinsin  26800  cosasin  26812  atantan  26831  cnaddabloOLD  30525  hvsubdistr2  30994  spanunsni  31523  ltflcei  37592  dvasin  37688  lcmineqlem1  42006  sqrtcvallem4  43616  sub2times  45259  cosknegpi  45854  etransclem18  46237  etransclem46  46265  addsubeq0  47284  altgsumbcALT  48341  1subrec1sub  48694  sinhpcosh  49729