Theorem negcl 11387

Description: Closure law for negative. (Contributed by NM, 6-Aug-2003.)

Assertion

Ref	Expression
negcl	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem negcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 11374	. 2 ⊢ -𝐴 = (0 − 𝐴)
2		0cn 11130	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
3		subcl 11386	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
4	2, 3	mpan 691	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
5	1, 4	eqeltrid 2841	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7361  ℂcc 11030  0cc0 11032   − cmin 11371  -cneg 11372

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-ltxr 11178  df-sub 11373  df-neg 11374

This theorem is referenced by:  negicn  11388  negcon1  11440  negdi  11445  negdi2  11446  negsubdi2  11447  neg2sub  11448  negcli  11456  negcld  11486  mulneg2  11581  mul2neg  11583  mulsub  11587  divneg  11840  divsubdir  11842  divsubdiv  11865  eqneg  11869  div2neg  11872  divneg2  11873  zeo  12609  sqneg  14071  binom2sub  14176  shftval4  15033  shftcan1  15039  shftcan2  15040  crim  15071  resub  15083  imsub  15091  cjneg  15103  cjsub  15105  absneg  15233  abs2dif2  15290  sqreulem  15316  sqreu  15317  subcn2  15551  risefallfac  15983  fallrisefac  15984  fallfac0  15987  binomrisefac  16001  efcan  16055  efne0OLD  16058  efneg  16059  efsub  16061  sinneg  16107  cosneg  16108  tanneg  16109  efmival  16114  sinhval  16115  coshval  16116  sinsub  16129  cossub  16130  sincossq  16137  cnaddablx  19837  cnaddabl  19838  cnaddinv  19840  cncrng  21381  cncrngOLD  21382  cnfldneg  21388  cnlmod  25120  cnstrcvs  25121  cncvs  25125  plyremlem  26284  reeff1o  26428  sin2pim  26465  cos2pim  26466  cxpsub  26662  cxpsqrt  26683  logrec  26743  asinlem3  26851  asinneg  26866  acosneg  26867  sinasin  26869  asinsin  26872  cosasin  26884  atantan  26903  cnaddabloOLD  30670  hvsubdistr2  31139  spanunsni  31668  ltflcei  37946  dvasin  38042  lcmineqlem1  42485  sqrtcvallem4  44087  sub2times  45727  cosknegpi  46318  etransclem18  46701  etransclem46  46729  addsubeq0  47759  altgsumbcALT  48844  1subrec1sub  49196  sinhpcosh  50230