Theorem negcl 11456

Description: Closure law for negative. (Contributed by NM, 6-Aug-2003.)

Assertion

Ref	Expression
negcl	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem negcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 11443	. 2 ⊢ -𝐴 = (0 − 𝐴)
2		0cn 11197	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
3		subcl 11455	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
4	2, 3	mpan 702	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
5	1, 4	eqeltrid 2873	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2149  (class class class)co 7411  ℂcc 11097  0cc0 11099   − cmin 11440  -cneg 11441

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-po 5570  df-so 5571  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-ltxr 11247  df-sub 11442  df-neg 11443

This theorem is referenced by:  negicn  11457  negcon1  11509  negdi  11514  negdi2  11515  negsubdi2  11516  neg2sub  11517  negcli  11525  negcld  11555  mulneg2  11650  mul2neg  11652  mulsub  11656  divneg  11905  divsubdir  11907  divsubdiv  11930  eqneg  11934  div2neg  11937  divneg2  11938  zeo  12681  sqneg  14150  binom2sub  14255  shftval4  15113  shftcan1  15119  shftcan2  15120  crim  15165  resub  15177  imsub  15185  cjneg  15197  cjsub  15199  absneg  15327  abs2dif2  15384  sqreulem  15410  sqreu  15411  subcn2  15645  risefallfac  16077  fallrisefac  16078  fallfac0  16081  binomrisefac  16095  efcan  16149  efne0OLD  16152  efneg  16153  efsub  16155  sinneg  16201  cosneg  16202  tanneg  16203  efmival  16208  sinhval  16209  coshval  16210  sinsub  16223  cossub  16224  sincossq  16231  cnaddablx  19937  cnaddabl  19938  cnaddinv  19940  cncrng  21511  cnfldneg  21516  cnlmod  25267  cnstrcvs  25268  cncvs  25272  plyremlem  26433  reeff1o  26575  sin2pim  26615  cos2pim  26616  cxpsub  26812  cxpsqrt  26833  logrec  26893  asinlem3  27001  asinneg  27016  acosneg  27017  sinasin  27019  asinsin  27022  cosasin  27034  atantan  27053  cnaddabloOLD  30873  hvsubdistr2  31342  spanunsni  31871  ltflcei  38146  dvasin  38242  lcmineqlem1  42685  sqrtcvallem4  44256  sub2times  45883  cosknegpi  46474  etransclem18  46857  etransclem46  46885  addsubeq0  47921  altgsumbcALT  49017  1subrec1sub  49369  sinhpcosh  50402