Theorem old1 28034

Description: The only surreal older than 1_o is 0_s. (Contributed by Scott Fenton, 4-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
old1	⊢ ( O ‘1o) = { 0s }

Proof of Theorem old1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1on 8465	. . 3 ⊢ 1o ∈ On
2		oldval 28003	. . 3 ⊢ (1o ∈ On → ( O ‘1o) = ∪ ( M “ 1o))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ( O ‘1o) = ∪ ( M “ 1o)
4		df1o2 8459	. . . . . 6 ⊢ 1o = {∅}
5	4	imaeq2i 6060	. . . . 5 ⊢ ( M “ 1o) = ( M “ {∅})
6		madef 28005	. . . . . . 7 ⊢ M :On⟶𝒫 No
7		ffn 6705	. . . . . . 7 ⊢ ( M :On⟶𝒫 No → M Fn On)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ M Fn On
9		0elon 6416	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ On
10		fnsnfv 6960	. . . . . 6 ⊢ (( M Fn On ∧ ∅ ∈ On) → {( M ‘∅)} = ( M “ {∅}))
11	8, 9, 10	mp2an 704	. . . . 5 ⊢ {( M ‘∅)} = ( M “ {∅})
12	5, 11	eqtr4i 2787	. . . 4 ⊢ ( M “ 1o) = {( M ‘∅)}
13	12	unieqi 4883	. . 3 ⊢ ∪ ( M “ 1o) = ∪ {( M ‘∅)}
14		fvex 6894	. . . . 5 ⊢ ( M ‘∅) ∈ V
15	14	unisn 4890	. . . 4 ⊢ ∪ {( M ‘∅)} = ( M ‘∅)
16		made0 28032	. . . 4 ⊢ ( M ‘∅) = { 0s }
17	15, 16	eqtri 2784	. . 3 ⊢ ∪ {( M ‘∅)} = { 0s }
18	13, 17	eqtri 2784	. 2 ⊢ ∪ ( M “ 1o) = { 0s }
19	3, 18	eqtri 2784	1 ⊢ ( O ‘1o) = { 0s }

Syntax hints:   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  ∅c0 4285  𝒫 cpw 4561  {csn 4588  ∪ cuni 4871   “ cima 5664  Oncon0 6360   Fn wfn 6531  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  1_oc1o 8445   No csur 27780   0_s c0s 27974   M cmade 27991   O cold 27992

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-1o 8452  df-2o 8453  df-no 27783  df-lts 27784  df-bday 27785  df-slts 27927  df-cuts 27929  df-0s 27976  df-made 27996  df-old 27997

This theorem is referenced by:  left1s  28064  right1s  28065