Theorem old1 27914

Description: The only surreal older than 1_o is 0_s. (Contributed by Scott Fenton, 4-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
old1	⊢ ( O ‘1o) = { 0s }

Proof of Theorem old1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1on 8518	. . 3 ⊢ 1o ∈ On
2		oldval 27893	. . 3 ⊢ (1o ∈ On → ( O ‘1o) = ∪ ( M “ 1o))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ( O ‘1o) = ∪ ( M “ 1o)
4		df1o2 8513	. . . . . 6 ⊢ 1o = {∅}
5	4	imaeq2i 6076	. . . . 5 ⊢ ( M “ 1o) = ( M “ {∅})
6		madef 27895	. . . . . . 7 ⊢ M :On⟶𝒫 No
7		ffn 6736	. . . . . . 7 ⊢ ( M :On⟶𝒫 No → M Fn On)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ M Fn On
9		0elon 6438	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ On
10		fnsnfv 6988	. . . . . 6 ⊢ (( M Fn On ∧ ∅ ∈ On) → {( M ‘∅)} = ( M “ {∅}))
11	8, 9, 10	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ {( M ‘∅)} = ( M “ {∅})
12	5, 11	eqtr4i 2768	. . . 4 ⊢ ( M “ 1o) = {( M ‘∅)}
13	12	unieqi 4919	. . 3 ⊢ ∪ ( M “ 1o) = ∪ {( M ‘∅)}
14		fvex 6919	. . . . 5 ⊢ ( M ‘∅) ∈ V
15	14	unisn 4926	. . . 4 ⊢ ∪ {( M ‘∅)} = ( M ‘∅)
16		made0 27912	. . . 4 ⊢ ( M ‘∅) = { 0s }
17	15, 16	eqtri 2765	. . 3 ⊢ ∪ {( M ‘∅)} = { 0s }
18	13, 17	eqtri 2765	. 2 ⊢ ∪ ( M “ 1o) = { 0s }
19	3, 18	eqtri 2765	1 ⊢ ( O ‘1o) = { 0s }

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∅c0 4333  𝒫 cpw 4600  {csn 4626  ∪ cuni 4907   “ cima 5688  Oncon0 6384   Fn wfn 6556  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  1_oc1o 8499   No csur 27684   0_s c0s 27867   M cmade 27881   O cold 27882

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-1o 8506  df-2o 8507  df-no 27687  df-slt 27688  df-bday 27689  df-sslt 27826  df-scut 27828  df-0s 27869  df-made 27886  df-old 27887

This theorem is referenced by:  left1s  27933  right1s  27934