Theorem old1 27787

Description: The only surreal older than 1_o is 0_s. (Contributed by Scott Fenton, 4-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
old1	⊢ ( O ‘1o) = { 0s }

Proof of Theorem old1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1on 8446	. . 3 ⊢ 1o ∈ On
2		oldval 27762	. . 3 ⊢ (1o ∈ On → ( O ‘1o) = ∪ ( M “ 1o))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ( O ‘1o) = ∪ ( M “ 1o)
4		df1o2 8441	. . . . . 6 ⊢ 1o = {∅}
5	4	imaeq2i 6029	. . . . 5 ⊢ ( M “ 1o) = ( M “ {∅})
6		madef 27764	. . . . . . 7 ⊢ M :On⟶𝒫 No
7		ffn 6688	. . . . . . 7 ⊢ ( M :On⟶𝒫 No → M Fn On)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ M Fn On
9		0elon 6387	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ On
10		fnsnfv 6940	. . . . . 6 ⊢ (( M Fn On ∧ ∅ ∈ On) → {( M ‘∅)} = ( M “ {∅}))
11	8, 9, 10	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ {( M ‘∅)} = ( M “ {∅})
12	5, 11	eqtr4i 2755	. . . 4 ⊢ ( M “ 1o) = {( M ‘∅)}
13	12	unieqi 4883	. . 3 ⊢ ∪ ( M “ 1o) = ∪ {( M ‘∅)}
14		fvex 6871	. . . . 5 ⊢ ( M ‘∅) ∈ V
15	14	unisn 4890	. . . 4 ⊢ ∪ {( M ‘∅)} = ( M ‘∅)
16		made0 27785	. . . 4 ⊢ ( M ‘∅) = { 0s }
17	15, 16	eqtri 2752	. . 3 ⊢ ∪ {( M ‘∅)} = { 0s }
18	13, 17	eqtri 2752	. 2 ⊢ ∪ ( M “ 1o) = { 0s }
19	3, 18	eqtri 2752	1 ⊢ ( O ‘1o) = { 0s }

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∅c0 4296  𝒫 cpw 4563  {csn 4589  ∪ cuni 4871   “ cima 5641  Oncon0 6332   Fn wfn 6506  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  1_oc1o 8427   No csur 27551   0_s c0s 27734   M cmade 27750   O cold 27751

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-1o 8434  df-2o 8435  df-no 27554  df-slt 27555  df-bday 27556  df-sslt 27693  df-scut 27695  df-0s 27736  df-made 27755  df-old 27756

This theorem is referenced by:  left1s  27806  right1s  27807