Theorem old1 27928

Description: The only surreal older than 1_o is 0_s. (Contributed by Scott Fenton, 4-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
old1	⊢ ( O ‘1o) = { 0s }

Proof of Theorem old1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1on 8438	. . 3 ⊢ 1o ∈ On
2		oldval 27897	. . 3 ⊢ (1o ∈ On → ( O ‘1o) = ∪ ( M “ 1o))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ( O ‘1o) = ∪ ( M “ 1o)
4		df1o2 8432	. . . . . 6 ⊢ 1o = {∅}
5	4	imaeq2i 6037	. . . . 5 ⊢ ( M “ 1o) = ( M “ {∅})
6		madef 27899	. . . . . . 7 ⊢ M :On⟶𝒫 No
7		ffn 6680	. . . . . . 7 ⊢ ( M :On⟶𝒫 No → M Fn On)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ M Fn On
9		0elon 6390	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ On
10		fnsnfv 6935	. . . . . 6 ⊢ (( M Fn On ∧ ∅ ∈ On) → {( M ‘∅)} = ( M “ {∅}))
11	8, 9, 10	mp2an 700	. . . . 5 ⊢ {( M ‘∅)} = ( M “ {∅})
12	5, 11	eqtr4i 2782	. . . 4 ⊢ ( M “ 1o) = {( M ‘∅)}
13	12	unieqi 4871	. . 3 ⊢ ∪ ( M “ 1o) = ∪ {( M ‘∅)}
14		fvex 6869	. . . . 5 ⊢ ( M ‘∅) ∈ V
15	14	unisn 4878	. . . 4 ⊢ ∪ {( M ‘∅)} = ( M ‘∅)
16		made0 27926	. . . 4 ⊢ ( M ‘∅) = { 0s }
17	15, 16	eqtri 2779	. . 3 ⊢ ∪ {( M ‘∅)} = { 0s }
18	13, 17	eqtri 2779	. 2 ⊢ ∪ ( M “ 1o) = { 0s }
19	3, 18	eqtri 2779	1 ⊢ ( O ‘1o) = { 0s }

Syntax hints:   = wceq 1554   ∈ wcel 2136  ∅c0 4280  𝒫 cpw 4549  {csn 4576  ∪ cuni 4859   “ cima 5643  Oncon0 6335   Fn wfn 6505  ⟶wf 6506  ‘cfv 6510  1_oc1o 8418   No csur 27674   0_s c0s 27868   M cmade 27885   O cold 27886

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-rep 5221  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-ral 3071  df-rex 3081  df-rmo 3361  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-tr 5202  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-suc 6341  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-riota 7342  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-2nd 7960  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8330  df-1o 8425  df-2o 8426  df-no 27677  df-lts 27678  df-bday 27679  df-slts 27821  df-cuts 27823  df-0s 27870  df-made 27890  df-old 27891

This theorem is referenced by:  left1s  27958  right1s  27959