Theorem old1 28131

Description: The only surreal older than 1_o is 0_s. (Contributed by Scott Fenton, 4-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
old1	⊢ ( O ‘1o) = { 0s }

Proof of Theorem old1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1on 8471	. . 3 ⊢ 1o ∈ On
2		oldval 28100	. . 3 ⊢ (1o ∈ On → ( O ‘1o) = ∪ ( M “ 1o))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ( O ‘1o) = ∪ ( M “ 1o)
4		df1o2 8465	. . . . . 6 ⊢ 1o = {∅}
5	4	imaeq2i 6058	. . . . 5 ⊢ ( M “ 1o) = ( M “ {∅})
6		madef 28102	. . . . . . 7 ⊢ M :On⟶𝒫 No
7		ffn 6706	. . . . . . 7 ⊢ ( M :On⟶𝒫 No → M Fn On)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ M Fn On
9		0elon 6417	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ On
10		fnsnfv 6961	. . . . . 6 ⊢ (( M Fn On ∧ ∅ ∈ On) → {( M ‘∅)} = ( M “ {∅}))
11	8, 9, 10	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ {( M ‘∅)} = ( M “ {∅})
12	5, 11	eqtr4i 2788	. . . 4 ⊢ ( M “ 1o) = {( M ‘∅)}
13	12	unieqi 4882	. . 3 ⊢ ∪ ( M “ 1o) = ∪ {( M ‘∅)}
14		fvex 6895	. . . . 5 ⊢ ( M ‘∅) ∈ V
15	14	unisn 4889	. . . 4 ⊢ ∪ {( M ‘∅)} = ( M ‘∅)
16		made0 28129	. . . 4 ⊢ ( M ‘∅) = { 0s }
17	15, 16	eqtri 2785	. . 3 ⊢ ∪ {( M ‘∅)} = { 0s }
18	13, 17	eqtri 2785	. 2 ⊢ ∪ ( M “ 1o) = { 0s }
19	3, 18	eqtri 2785	1 ⊢ ( O ‘1o) = { 0s }

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∅c0 4282  𝒫 cpw 4560  {csn 4587  ∪ cuni 4870   “ cima 5662  Oncon0 6361   Fn wfn 6532  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  1_oc1o 8451   No csur 27877   0_s c0s 28071   M cmade 28088   O cold 28089

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-1o 8458  df-2o 8459  df-no 27880  df-lts 27881  df-bday 27882  df-slts 28024  df-cuts 28026  df-0s 28073  df-made 28093  df-old 28094

This theorem is used by:  left1s  28161  right1s  28162