Theorem old1 27813

Description: The only surreal older than 1_o is 0_s. (Contributed by Scott Fenton, 4-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
old1	⊢ ( O ‘1o) = { 0s }

Proof of Theorem old1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1on 8392	. . 3 ⊢ 1o ∈ On
2		oldval 27788	. . 3 ⊢ (1o ∈ On → ( O ‘1o) = ∪ ( M “ 1o))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ( O ‘1o) = ∪ ( M “ 1o)
4		df1o2 8387	. . . . . 6 ⊢ 1o = {∅}
5	4	imaeq2i 6004	. . . . 5 ⊢ ( M “ 1o) = ( M “ {∅})
6		madef 27790	. . . . . . 7 ⊢ M :On⟶𝒫 No
7		ffn 6647	. . . . . . 7 ⊢ ( M :On⟶𝒫 No → M Fn On)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ M Fn On
9		0elon 6357	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ On
10		fnsnfv 6896	. . . . . 6 ⊢ (( M Fn On ∧ ∅ ∈ On) → {( M ‘∅)} = ( M “ {∅}))
11	8, 9, 10	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ {( M ‘∅)} = ( M “ {∅})
12	5, 11	eqtr4i 2756	. . . 4 ⊢ ( M “ 1o) = {( M ‘∅)}
13	12	unieqi 4869	. . 3 ⊢ ∪ ( M “ 1o) = ∪ {( M ‘∅)}
14		fvex 6830	. . . . 5 ⊢ ( M ‘∅) ∈ V
15	14	unisn 4876	. . . 4 ⊢ ∪ {( M ‘∅)} = ( M ‘∅)
16		made0 27811	. . . 4 ⊢ ( M ‘∅) = { 0s }
17	15, 16	eqtri 2753	. . 3 ⊢ ∪ {( M ‘∅)} = { 0s }
18	13, 17	eqtri 2753	. 2 ⊢ ∪ ( M “ 1o) = { 0s }
19	3, 18	eqtri 2753	1 ⊢ ( O ‘1o) = { 0s }

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2110  ∅c0 4281  𝒫 cpw 4548  {csn 4574  ∪ cuni 4857   “ cima 5617  Oncon0 6302   Fn wfn 6472  ⟶wf 6473  ‘cfv 6477  1_oc1o 8373   No csur 27571   0_s c0s 27759   M cmade 27776   O cold 27777

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-tp 4579  df-op 4581  df-uni 4858  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-1o 8380  df-2o 8381  df-no 27574  df-slt 27575  df-bday 27576  df-sslt 27714  df-scut 27716  df-0s 27761  df-made 27781  df-old 27782

This theorem is referenced by:  left1s  27833  right1s  27834