Theorem old1 28281

Description: The only surreal older than 1_o is 0_s. (Contributed by Scott Fenton, 4-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
old1	⊢ (O‘1o) = { 0s }

Proof of Theorem old1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1on 8517	. . 3 ⊢ 1o ∈ On
2		oldval 28250	. . 3 ⊢ (1o ∈ On → (O‘1o) = ∪ (M “ 1o))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (O‘1o) = ∪ (M “ 1o)
4		df1o2 8511	. . . . . 6 ⊢ 1o = {∅}
5	4	imaeq2i 6062	. . . . 5 ⊢ (M “ 1o) = (M “ {∅})
6		madef 28252	. . . . . . 7 ⊢ M:On⟶𝒫 No
7		ffn 6731	. . . . . . 7 ⊢ (M:On⟶𝒫 No → M Fn On)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ M Fn On
9		0elon 6436	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ On
10		fnsnfv 6987	. . . . . 6 ⊢ ((M Fn On ∧ ∅ ∈ On) → {(M‘∅)} = (M “ {∅}))
11	8, 9, 10	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ {(M‘∅)} = (M “ {∅})
12	5, 11	eqtr4i 2789	. . . 4 ⊢ (M “ 1o) = {(M‘∅)}
13	12	unieqi 4882	. . 3 ⊢ ∪ (M “ 1o) = ∪ {(M‘∅)}
14		fvex 6921	. . . . 5 ⊢ (M‘∅) ∈ V
15	14	unisn 4889	. . . 4 ⊢ ∪ {(M‘∅)} = (M‘∅)
16		made0 28279	. . . 4 ⊢ (M‘∅) = { 0s }
17	15, 16	eqtri 2786	. . 3 ⊢ ∪ {(M‘∅)} = { 0s }
18	13, 17	eqtri 2786	. 2 ⊢ ∪ (M “ 1o) = { 0s }
19	3, 18	eqtri 2786	1 ⊢ (O‘1o) = { 0s }

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∅c0 4281  𝒫 cpw 4560  {csn 4588  ∪ cuni 4870   “ cima 5658  Oncon0 6380   Fn wfn 6553  ⟶wf 6554  ‘cfv 6558  1_oc1o 8497  Nocsur 28027   0_s c0s 28221  Mcmade 28238  Ocold 28239

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-1o 8504  df-2o 8505  df-no 28030  df-lts 28031  df-bday 28032  df-slts 28174  df-cuts 28176  df-0s 28223  df-made 28243  df-old 28244

This theorem is used by:  left1s  28311  right1s  28312