Theorem old1 27857

Description: The only surreal older than 1_o is 0_s. (Contributed by Scott Fenton, 4-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
old1	⊢ ( O ‘1o) = { 0s }

Proof of Theorem old1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1on 8411	. . 3 ⊢ 1o ∈ On
2		oldval 27832	. . 3 ⊢ (1o ∈ On → ( O ‘1o) = ∪ ( M “ 1o))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ( O ‘1o) = ∪ ( M “ 1o)
4		df1o2 8406	. . . . . 6 ⊢ 1o = {∅}
5	4	imaeq2i 6018	. . . . 5 ⊢ ( M “ 1o) = ( M “ {∅})
6		madef 27834	. . . . . . 7 ⊢ M :On⟶𝒫 No
7		ffn 6663	. . . . . . 7 ⊢ ( M :On⟶𝒫 No → M Fn On)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ M Fn On
9		0elon 6373	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ On
10		fnsnfv 6914	. . . . . 6 ⊢ (( M Fn On ∧ ∅ ∈ On) → {( M ‘∅)} = ( M “ {∅}))
11	8, 9, 10	mp2an 693	. . . . 5 ⊢ {( M ‘∅)} = ( M “ {∅})
12	5, 11	eqtr4i 2763	. . . 4 ⊢ ( M “ 1o) = {( M ‘∅)}
13	12	unieqi 4876	. . 3 ⊢ ∪ ( M “ 1o) = ∪ {( M ‘∅)}
14		fvex 6848	. . . . 5 ⊢ ( M ‘∅) ∈ V
15	14	unisn 4883	. . . 4 ⊢ ∪ {( M ‘∅)} = ( M ‘∅)
16		made0 27855	. . . 4 ⊢ ( M ‘∅) = { 0s }
17	15, 16	eqtri 2760	. . 3 ⊢ ∪ {( M ‘∅)} = { 0s }
18	13, 17	eqtri 2760	. 2 ⊢ ∪ ( M “ 1o) = { 0s }
19	3, 18	eqtri 2760	1 ⊢ ( O ‘1o) = { 0s }

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∅c0 4286  𝒫 cpw 4555  {csn 4581  ∪ cuni 4864   “ cima 5628  Oncon0 6318   Fn wfn 6488  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  1_oc1o 8392   No csur 27611   0_s c0s 27803   M cmade 27820   O cold 27821

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-1o 8399  df-2o 8400  df-no 27614  df-slt 27615  df-bday 27616  df-sslt 27758  df-scut 27760  df-0s 27805  df-made 27825  df-old 27826

This theorem is referenced by:  left1s  27877  right1s  27878