Theorem old1 27608

Description: The only surreal older than 1_o is 0_s. (Contributed by Scott Fenton, 4-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
old1	⊢ ( O ‘1o) = { 0s }

Proof of Theorem old1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1on 8482	. . 3 ⊢ 1o ∈ On
2		oldval 27587	. . 3 ⊢ (1o ∈ On → ( O ‘1o) = ∪ ( M “ 1o))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ( O ‘1o) = ∪ ( M “ 1o)
4		df1o2 8477	. . . . . 6 ⊢ 1o = {∅}
5	4	imaeq2i 6057	. . . . 5 ⊢ ( M “ 1o) = ( M “ {∅})
6		madef 27589	. . . . . . 7 ⊢ M :On⟶𝒫 No
7		ffn 6717	. . . . . . 7 ⊢ ( M :On⟶𝒫 No → M Fn On)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ M Fn On
9		0elon 6418	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ On
10		fnsnfv 6970	. . . . . 6 ⊢ (( M Fn On ∧ ∅ ∈ On) → {( M ‘∅)} = ( M “ {∅}))
11	8, 9, 10	mp2an 689	. . . . 5 ⊢ {( M ‘∅)} = ( M “ {∅})
12	5, 11	eqtr4i 2762	. . . 4 ⊢ ( M “ 1o) = {( M ‘∅)}
13	12	unieqi 4921	. . 3 ⊢ ∪ ( M “ 1o) = ∪ {( M ‘∅)}
14		fvex 6904	. . . . 5 ⊢ ( M ‘∅) ∈ V
15	14	unisn 4930	. . . 4 ⊢ ∪ {( M ‘∅)} = ( M ‘∅)
16		made0 27606	. . . 4 ⊢ ( M ‘∅) = { 0s }
17	15, 16	eqtri 2759	. . 3 ⊢ ∪ {( M ‘∅)} = { 0s }
18	13, 17	eqtri 2759	. 2 ⊢ ∪ ( M “ 1o) = { 0s }
19	3, 18	eqtri 2759	1 ⊢ ( O ‘1o) = { 0s }

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∅c0 4322  𝒫 cpw 4602  {csn 4628  ∪ cuni 4908   “ cima 5679  Oncon0 6364   Fn wfn 6538  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  1_oc1o 8463   No csur 27380   0_s c0s 27561   M cmade 27575   O cold 27576

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-1o 8470  df-2o 8471  df-no 27383  df-slt 27384  df-bday 27385  df-sslt 27520  df-scut 27522  df-0s 27563  df-made 27580  df-old 27581

This theorem is referenced by:  left1s  27627  right1s  27628