Theorem old1 27807

Description: The only surreal older than 1_o is 0_s. (Contributed by Scott Fenton, 4-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
old1	⊢ ( O ‘1o) = { 0s }

Proof of Theorem old1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1on 8407	. . 3 ⊢ 1o ∈ On
2		oldval 27782	. . 3 ⊢ (1o ∈ On → ( O ‘1o) = ∪ ( M “ 1o))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ( O ‘1o) = ∪ ( M “ 1o)
4		df1o2 8402	. . . . . 6 ⊢ 1o = {∅}
5	4	imaeq2i 6013	. . . . 5 ⊢ ( M “ 1o) = ( M “ {∅})
6		madef 27784	. . . . . . 7 ⊢ M :On⟶𝒫 No
7		ffn 6656	. . . . . . 7 ⊢ ( M :On⟶𝒫 No → M Fn On)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ M Fn On
9		0elon 6366	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ On
10		fnsnfv 6906	. . . . . 6 ⊢ (( M Fn On ∧ ∅ ∈ On) → {( M ‘∅)} = ( M “ {∅}))
11	8, 9, 10	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ {( M ‘∅)} = ( M “ {∅})
12	5, 11	eqtr4i 2755	. . . 4 ⊢ ( M “ 1o) = {( M ‘∅)}
13	12	unieqi 4873	. . 3 ⊢ ∪ ( M “ 1o) = ∪ {( M ‘∅)}
14		fvex 6839	. . . . 5 ⊢ ( M ‘∅) ∈ V
15	14	unisn 4880	. . . 4 ⊢ ∪ {( M ‘∅)} = ( M ‘∅)
16		made0 27805	. . . 4 ⊢ ( M ‘∅) = { 0s }
17	15, 16	eqtri 2752	. . 3 ⊢ ∪ {( M ‘∅)} = { 0s }
18	13, 17	eqtri 2752	. 2 ⊢ ∪ ( M “ 1o) = { 0s }
19	3, 18	eqtri 2752	1 ⊢ ( O ‘1o) = { 0s }

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∅c0 4286  𝒫 cpw 4553  {csn 4579  ∪ cuni 4861   “ cima 5626  Oncon0 6311   Fn wfn 6481  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  1_oc1o 8388   No csur 27567   0_s c0s 27754   M cmade 27770   O cold 27771

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-1o 8395  df-2o 8396  df-no 27570  df-slt 27571  df-bday 27572  df-sslt 27710  df-scut 27712  df-0s 27756  df-made 27775  df-old 27776

This theorem is referenced by:  left1s  27827  right1s  27828