Theorem old1 27878

Description: The only surreal older than 1_o is 0_s. (Contributed by Scott Fenton, 4-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
old1	⊢ ( O ‘1o) = { 0s }

Proof of Theorem old1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1on 8410	. . 3 ⊢ 1o ∈ On
2		oldval 27847	. . 3 ⊢ (1o ∈ On → ( O ‘1o) = ∪ ( M “ 1o))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ( O ‘1o) = ∪ ( M “ 1o)
4		df1o2 8405	. . . . . 6 ⊢ 1o = {∅}
5	4	imaeq2i 6013	. . . . 5 ⊢ ( M “ 1o) = ( M “ {∅})
6		madef 27849	. . . . . . 7 ⊢ M :On⟶𝒫 No
7		ffn 6658	. . . . . . 7 ⊢ ( M :On⟶𝒫 No → M Fn On)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ M Fn On
9		0elon 6368	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ On
10		fnsnfv 6909	. . . . . 6 ⊢ (( M Fn On ∧ ∅ ∈ On) → {( M ‘∅)} = ( M “ {∅}))
11	8, 9, 10	mp2an 694	. . . . 5 ⊢ {( M ‘∅)} = ( M “ {∅})
12	5, 11	eqtr4i 2762	. . . 4 ⊢ ( M “ 1o) = {( M ‘∅)}
13	12	unieqi 4853	. . 3 ⊢ ∪ ( M “ 1o) = ∪ {( M ‘∅)}
14		fvex 6843	. . . . 5 ⊢ ( M ‘∅) ∈ V
15	14	unisn 4860	. . . 4 ⊢ ∪ {( M ‘∅)} = ( M ‘∅)
16		made0 27876	. . . 4 ⊢ ( M ‘∅) = { 0s }
17	15, 16	eqtri 2759	. . 3 ⊢ ∪ {( M ‘∅)} = { 0s }
18	13, 17	eqtri 2759	. 2 ⊢ ∪ ( M “ 1o) = { 0s }
19	3, 18	eqtri 2759	1 ⊢ ( O ‘1o) = { 0s }

Syntax hints:   = wceq 1543   ∈ wcel 2115  ∅c0 4264  𝒫 cpw 4532  {csn 4558  ∪ cuni 4841   “ cima 5624  Oncon0 6313   Fn wfn 6483  ⟶wf 6484  ‘cfv 6488  1_oc1o 8391   No csur 27624   0_s c0s 27818   M cmade 27835   O cold 27836

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1970  ax-7 2011  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2148  ax-11 2164  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7681

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 850  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2070  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3061  df-rmo 3341  df-reu 3342  df-rab 3389  df-v 3430  df-sbc 3727  df-csb 3835  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-pss 3906  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4842  df-int 4881  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-2nd 7935  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-1o 8398  df-2o 8399  df-no 27627  df-lts 27628  df-bday 27629  df-slts 27771  df-cuts 27773  df-0s 27820  df-made 27840  df-old 27841

This theorem is referenced by:  left1s  27908  right1s  27909