Theorem old1 27845

Description: The only surreal older than 1_o is 0_s. (Contributed by Scott Fenton, 4-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
old1	⊢ ( O ‘1o) = { 0s }

Proof of Theorem old1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1on 8408	. . 3 ⊢ 1o ∈ On
2		oldval 27814	. . 3 ⊢ (1o ∈ On → ( O ‘1o) = ∪ ( M “ 1o))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ( O ‘1o) = ∪ ( M “ 1o)
4		df1o2 8403	. . . . . 6 ⊢ 1o = {∅}
5	4	imaeq2i 6015	. . . . 5 ⊢ ( M “ 1o) = ( M “ {∅})
6		madef 27816	. . . . . . 7 ⊢ M :On⟶𝒫 No
7		ffn 6660	. . . . . . 7 ⊢ ( M :On⟶𝒫 No → M Fn On)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ M Fn On
9		0elon 6370	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ On
10		fnsnfv 6911	. . . . . 6 ⊢ (( M Fn On ∧ ∅ ∈ On) → {( M ‘∅)} = ( M “ {∅}))
11	8, 9, 10	mp2an 693	. . . . 5 ⊢ {( M ‘∅)} = ( M “ {∅})
12	5, 11	eqtr4i 2763	. . . 4 ⊢ ( M “ 1o) = {( M ‘∅)}
13	12	unieqi 4863	. . 3 ⊢ ∪ ( M “ 1o) = ∪ {( M ‘∅)}
14		fvex 6845	. . . . 5 ⊢ ( M ‘∅) ∈ V
15	14	unisn 4870	. . . 4 ⊢ ∪ {( M ‘∅)} = ( M ‘∅)
16		made0 27843	. . . 4 ⊢ ( M ‘∅) = { 0s }
17	15, 16	eqtri 2760	. . 3 ⊢ ∪ {( M ‘∅)} = { 0s }
18	13, 17	eqtri 2760	. 2 ⊢ ∪ ( M “ 1o) = { 0s }
19	3, 18	eqtri 2760	1 ⊢ ( O ‘1o) = { 0s }

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∅c0 4274  𝒫 cpw 4542  {csn 4568  ∪ cuni 4851   “ cima 5625  Oncon0 6315   Fn wfn 6485  ⟶wf 6486  ‘cfv 6490  1_oc1o 8389   No csur 27591   0_s c0s 27785   M cmade 27802   O cold 27803

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-1o 8396  df-2o 8397  df-no 27594  df-lts 27595  df-bday 27596  df-slts 27738  df-cuts 27740  df-0s 27787  df-made 27807  df-old 27808

This theorem is referenced by:  left1s  27875  right1s  27876