Theorem old1 27873

Description: The only surreal older than 1_o is 0_s. (Contributed by Scott Fenton, 4-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
old1	⊢ ( O ‘1o) = { 0s }

Proof of Theorem old1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1on 8419	. . 3 ⊢ 1o ∈ On
2		oldval 27842	. . 3 ⊢ (1o ∈ On → ( O ‘1o) = ∪ ( M “ 1o))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ( O ‘1o) = ∪ ( M “ 1o)
4		df1o2 8414	. . . . . 6 ⊢ 1o = {∅}
5	4	imaeq2i 6025	. . . . 5 ⊢ ( M “ 1o) = ( M “ {∅})
6		madef 27844	. . . . . . 7 ⊢ M :On⟶𝒫 No
7		ffn 6670	. . . . . . 7 ⊢ ( M :On⟶𝒫 No → M Fn On)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ M Fn On
9		0elon 6380	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ On
10		fnsnfv 6921	. . . . . 6 ⊢ (( M Fn On ∧ ∅ ∈ On) → {( M ‘∅)} = ( M “ {∅}))
11	8, 9, 10	mp2an 693	. . . . 5 ⊢ {( M ‘∅)} = ( M “ {∅})
12	5, 11	eqtr4i 2763	. . . 4 ⊢ ( M “ 1o) = {( M ‘∅)}
13	12	unieqi 4877	. . 3 ⊢ ∪ ( M “ 1o) = ∪ {( M ‘∅)}
14		fvex 6855	. . . . 5 ⊢ ( M ‘∅) ∈ V
15	14	unisn 4884	. . . 4 ⊢ ∪ {( M ‘∅)} = ( M ‘∅)
16		made0 27871	. . . 4 ⊢ ( M ‘∅) = { 0s }
17	15, 16	eqtri 2760	. . 3 ⊢ ∪ {( M ‘∅)} = { 0s }
18	13, 17	eqtri 2760	. 2 ⊢ ∪ ( M “ 1o) = { 0s }
19	3, 18	eqtri 2760	1 ⊢ ( O ‘1o) = { 0s }

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∅c0 4287  𝒫 cpw 4556  {csn 4582  ∪ cuni 4865   “ cima 5635  Oncon0 6325   Fn wfn 6495  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  1_oc1o 8400   No csur 27619   0_s c0s 27813   M cmade 27830   O cold 27831

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-1o 8407  df-2o 8408  df-no 27622  df-lts 27623  df-bday 27624  df-slts 27766  df-cuts 27768  df-0s 27815  df-made 27835  df-old 27836

This theorem is referenced by:  left1s  27903  right1s  27904