Theorem old1 28252

Description: The only surreal older than 1_o is 0_s. (Contributed by Scott Fenton, 4-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
old1	⊢ (O‘1o) = { 0s }

Proof of Theorem old1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1on 8490	. . 3 ⊢ 1o ∈ On
2		oldval 28221	. . 3 ⊢ (1o ∈ On → (O‘1o) = ∪ (M “ 1o))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (O‘1o) = ∪ (M “ 1o)
4		df1o2 8484	. . . . . 6 ⊢ 1o = {∅}
5	4	imaeq2i 6049	. . . . 5 ⊢ (M “ 1o) = (M “ {∅})
6		madef 28223	. . . . . . 7 ⊢ M:On⟶𝒫 No
7		ffn 6709	. . . . . . 7 ⊢ (M:On⟶𝒫 No → M Fn On)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ M Fn On
9		0elon 6418	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ On
10		fnsnfv 6964	. . . . . 6 ⊢ ((M Fn On ∧ ∅ ∈ On) → {(M‘∅)} = (M “ {∅}))
11	8, 9, 10	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ {(M‘∅)} = (M “ {∅})
12	5, 11	eqtr4i 2786	. . . 4 ⊢ (M “ 1o) = {(M‘∅)}
13	12	unieqi 4878	. . 3 ⊢ ∪ (M “ 1o) = ∪ {(M‘∅)}
14		fvex 6898	. . . . 5 ⊢ (M‘∅) ∈ V
15	14	unisn 4885	. . . 4 ⊢ ∪ {(M‘∅)} = (M‘∅)
16		made0 28250	. . . 4 ⊢ (M‘∅) = { 0s }
17	15, 16	eqtri 2783	. . 3 ⊢ ∪ {(M‘∅)} = { 0s }
18	13, 17	eqtri 2783	. 2 ⊢ ∪ (M “ 1o) = { 0s }
19	3, 18	eqtri 2783	1 ⊢ (O‘1o) = { 0s }

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∅c0 4278  𝒫 cpw 4556  {csn 4583  ∪ cuni 4866   “ cima 5653  Oncon0 6362   Fn wfn 6533  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  1_oc1o 8470  Nocsur 27998   0_s c0s 28192  Mcmade 28209  Ocold 28210

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-2nd 8002  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-1o 8477  df-2o 8478  df-no 28001  df-lts 28002  df-bday 28003  df-slts 28145  df-cuts 28147  df-0s 28194  df-made 28214  df-old 28215

This theorem is used by:  left1s  28282  right1s  28283