Theorem old1 27830

Description: The only surreal older than 1_o is 0_s. (Contributed by Scott Fenton, 4-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
old1	⊢ ( O ‘1o) = { 0s }

Proof of Theorem old1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1on 8406	. . 3 ⊢ 1o ∈ On
2		oldval 27805	. . 3 ⊢ (1o ∈ On → ( O ‘1o) = ∪ ( M “ 1o))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ( O ‘1o) = ∪ ( M “ 1o)
4		df1o2 8401	. . . . . 6 ⊢ 1o = {∅}
5	4	imaeq2i 6014	. . . . 5 ⊢ ( M “ 1o) = ( M “ {∅})
6		madef 27807	. . . . . . 7 ⊢ M :On⟶𝒫 No
7		ffn 6659	. . . . . . 7 ⊢ ( M :On⟶𝒫 No → M Fn On)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ M Fn On
9		0elon 6369	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ On
10		fnsnfv 6910	. . . . . 6 ⊢ (( M Fn On ∧ ∅ ∈ On) → {( M ‘∅)} = ( M “ {∅}))
11	8, 9, 10	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ {( M ‘∅)} = ( M “ {∅})
12	5, 11	eqtr4i 2759	. . . 4 ⊢ ( M “ 1o) = {( M ‘∅)}
13	12	unieqi 4872	. . 3 ⊢ ∪ ( M “ 1o) = ∪ {( M ‘∅)}
14		fvex 6844	. . . . 5 ⊢ ( M ‘∅) ∈ V
15	14	unisn 4879	. . . 4 ⊢ ∪ {( M ‘∅)} = ( M ‘∅)
16		made0 27828	. . . 4 ⊢ ( M ‘∅) = { 0s }
17	15, 16	eqtri 2756	. . 3 ⊢ ∪ {( M ‘∅)} = { 0s }
18	13, 17	eqtri 2756	. 2 ⊢ ∪ ( M “ 1o) = { 0s }
19	3, 18	eqtri 2756	1 ⊢ ( O ‘1o) = { 0s }

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∅c0 4284  𝒫 cpw 4551  {csn 4577  ∪ cuni 4860   “ cima 5624  Oncon0 6314   Fn wfn 6484  ⟶wf 6485  ‘cfv 6489  1_oc1o 8387   No csur 27588   0_s c0s 27776   M cmade 27793   O cold 27794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-1o 8394  df-2o 8395  df-no 27591  df-slt 27592  df-bday 27593  df-sslt 27731  df-scut 27733  df-0s 27778  df-made 27798  df-old 27799

This theorem is referenced by:  left1s  27850  right1s  27851