Theorem old1 28016

Description: The only surreal older than 1_o is 0_s. (Contributed by Scott Fenton, 4-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
old1	⊢ ( O ‘1o) = { 0s }

Proof of Theorem old1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1on 8454	. . 3 ⊢ 1o ∈ On
2		oldval 27985	. . 3 ⊢ (1o ∈ On → ( O ‘1o) = ∪ ( M “ 1o))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ( O ‘1o) = ∪ ( M “ 1o)
4		df1o2 8448	. . . . . 6 ⊢ 1o = {∅}
5	4	imaeq2i 6051	. . . . 5 ⊢ ( M “ 1o) = ( M “ {∅})
6		madef 27987	. . . . . . 7 ⊢ M :On⟶𝒫 No
7		ffn 6695	. . . . . . 7 ⊢ ( M :On⟶𝒫 No → M Fn On)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ M Fn On
9		0elon 6405	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ On
10		fnsnfv 6950	. . . . . 6 ⊢ (( M Fn On ∧ ∅ ∈ On) → {( M ‘∅)} = ( M “ {∅}))
11	8, 9, 10	mp2an 704	. . . . 5 ⊢ {( M ‘∅)} = ( M “ {∅})
12	5, 11	eqtr4i 2791	. . . 4 ⊢ ( M “ 1o) = {( M ‘∅)}
13	12	unieqi 4880	. . 3 ⊢ ∪ ( M “ 1o) = ∪ {( M ‘∅)}
14		fvex 6884	. . . . 5 ⊢ ( M ‘∅) ∈ V
15	14	unisn 4887	. . . 4 ⊢ ∪ {( M ‘∅)} = ( M ‘∅)
16		made0 28014	. . . 4 ⊢ ( M ‘∅) = { 0s }
17	15, 16	eqtri 2788	. . 3 ⊢ ∪ {( M ‘∅)} = { 0s }
18	13, 17	eqtri 2788	. 2 ⊢ ∪ ( M “ 1o) = { 0s }
19	3, 18	eqtri 2788	1 ⊢ ( O ‘1o) = { 0s }

Syntax hints:   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ∅c0 4288  𝒫 cpw 4558  {csn 4585  ∪ cuni 4868   “ cima 5655  Oncon0 6350   Fn wfn 6520  ⟶wf 6521  ‘cfv 6525  1_oc1o 8434   No csur 27762   0_s c0s 27956   M cmade 27973   O cold 27974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-1o 8441  df-2o 8442  df-no 27765  df-lts 27766  df-bday 27767  df-slts 27909  df-cuts 27911  df-0s 27958  df-made 27978  df-old 27979

This theorem is referenced by:  left1s  28046  right1s  28047