Theorem old1 28069

Description: The only surreal older than 1_o is 0_s. (Contributed by Scott Fenton, 4-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
old1	⊢ ( O ‘1o) = { 0s }

Proof of Theorem old1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1on 8464	. . 3 ⊢ 1o ∈ On
2		oldval 28038	. . 3 ⊢ (1o ∈ On → ( O ‘1o) = ∪ ( M “ 1o))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ( O ‘1o) = ∪ ( M “ 1o)
4		df1o2 8458	. . . . . 6 ⊢ 1o = {∅}
5	4	imaeq2i 6059	. . . . 5 ⊢ ( M “ 1o) = ( M “ {∅})
6		madef 28040	. . . . . . 7 ⊢ M :On⟶𝒫 No
7		ffn 6705	. . . . . . 7 ⊢ ( M :On⟶𝒫 No → M Fn On)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ M Fn On
9		0elon 6416	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ On
10		fnsnfv 6960	. . . . . 6 ⊢ (( M Fn On ∧ ∅ ∈ On) → {( M ‘∅)} = ( M “ {∅}))
11	8, 9, 10	mp2an 704	. . . . 5 ⊢ {( M ‘∅)} = ( M “ {∅})
12	5, 11	eqtr4i 2788	. . . 4 ⊢ ( M “ 1o) = {( M ‘∅)}
13	12	unieqi 4883	. . 3 ⊢ ∪ ( M “ 1o) = ∪ {( M ‘∅)}
14		fvex 6894	. . . . 5 ⊢ ( M ‘∅) ∈ V
15	14	unisn 4890	. . . 4 ⊢ ∪ {( M ‘∅)} = ( M ‘∅)
16		made0 28067	. . . 4 ⊢ ( M ‘∅) = { 0s }
17	15, 16	eqtri 2785	. . 3 ⊢ ∪ {( M ‘∅)} = { 0s }
18	13, 17	eqtri 2785	. 2 ⊢ ∪ ( M “ 1o) = { 0s }
19	3, 18	eqtri 2785	1 ⊢ ( O ‘1o) = { 0s }

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  ∅c0 4285  𝒫 cpw 4561  {csn 4588  ∪ cuni 4871   “ cima 5663  Oncon0 6360   Fn wfn 6531  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  1_oc1o 8444   No csur 27815   0_s c0s 28009   M cmade 28026   O cold 28027

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-1o 8451  df-2o 8452  df-no 27818  df-lts 27819  df-bday 27820  df-slts 27962  df-cuts 27964  df-0s 28011  df-made 28031  df-old 28032

This theorem is used by:  left1s  28099  right1s  28100