Theorem old1 28185

Description: The only surreal older than 1_o is 0_s. (Contributed by Scott Fenton, 4-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
old1	⊢ ( O ‘1o) = { 0s }

Proof of Theorem old1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1on 8467	. . 3 ⊢ 1o ∈ On
2		oldval 28154	. . 3 ⊢ (1o ∈ On → ( O ‘1o) = ∪ ( M “ 1o))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ( O ‘1o) = ∪ ( M “ 1o)
4		df1o2 8461	. . . . . 6 ⊢ 1o = {∅}
5	4	imaeq2i 6048	. . . . 5 ⊢ ( M “ 1o) = ( M “ {∅})
6		madef 28156	. . . . . . 7 ⊢ M :On⟶𝒫 No
7		ffn 6697	. . . . . . 7 ⊢ ( M :On⟶𝒫 No → M Fn On)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ M Fn On
9		0elon 6407	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ On
10		fnsnfv 6952	. . . . . 6 ⊢ (( M Fn On ∧ ∅ ∈ On) → {( M ‘∅)} = ( M “ {∅}))
11	8, 9, 10	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ {( M ‘∅)} = ( M “ {∅})
12	5, 11	eqtr4i 2786	. . . 4 ⊢ ( M “ 1o) = {( M ‘∅)}
13	12	unieqi 4878	. . 3 ⊢ ∪ ( M “ 1o) = ∪ {( M ‘∅)}
14		fvex 6886	. . . . 5 ⊢ ( M ‘∅) ∈ V
15	14	unisn 4885	. . . 4 ⊢ ∪ {( M ‘∅)} = ( M ‘∅)
16		made0 28183	. . . 4 ⊢ ( M ‘∅) = { 0s }
17	15, 16	eqtri 2783	. . 3 ⊢ ∪ {( M ‘∅)} = { 0s }
18	13, 17	eqtri 2783	. 2 ⊢ ∪ ( M “ 1o) = { 0s }
19	3, 18	eqtri 2783	1 ⊢ ( O ‘1o) = { 0s }

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∅c0 4278  𝒫 cpw 4556  {csn 4583  ∪ cuni 4866   “ cima 5650  Oncon0 6351   Fn wfn 6522  ⟶wf 6523  ‘cfv 6527  1_oc1o 8447   No csur 27931   0_s c0s 28125   M cmade 28142   O cold 28143

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-1o 8454  df-2o 8455  df-no 27934  df-lts 27935  df-bday 27936  df-slts 28078  df-cuts 28080  df-0s 28127  df-made 28147  df-old 28148

This theorem is used by:  left1s  28215  right1s  28216