Theorem old1 27857

Description: The only surreal older than 1_o is 0_s. (Contributed by Scott Fenton, 4-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
old1	⊢ ( O ‘1o) = { 0s }

Proof of Theorem old1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1on 8417	. . 3 ⊢ 1o ∈ On
2		oldval 27826	. . 3 ⊢ (1o ∈ On → ( O ‘1o) = ∪ ( M “ 1o))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ( O ‘1o) = ∪ ( M “ 1o)
4		df1o2 8412	. . . . . 6 ⊢ 1o = {∅}
5	4	imaeq2i 6024	. . . . 5 ⊢ ( M “ 1o) = ( M “ {∅})
6		madef 27828	. . . . . . 7 ⊢ M :On⟶𝒫 No
7		ffn 6669	. . . . . . 7 ⊢ ( M :On⟶𝒫 No → M Fn On)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ M Fn On
9		0elon 6379	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ On
10		fnsnfv 6920	. . . . . 6 ⊢ (( M Fn On ∧ ∅ ∈ On) → {( M ‘∅)} = ( M “ {∅}))
11	8, 9, 10	mp2an 693	. . . . 5 ⊢ {( M ‘∅)} = ( M “ {∅})
12	5, 11	eqtr4i 2763	. . . 4 ⊢ ( M “ 1o) = {( M ‘∅)}
13	12	unieqi 4863	. . 3 ⊢ ∪ ( M “ 1o) = ∪ {( M ‘∅)}
14		fvex 6854	. . . . 5 ⊢ ( M ‘∅) ∈ V
15	14	unisn 4870	. . . 4 ⊢ ∪ {( M ‘∅)} = ( M ‘∅)
16		made0 27855	. . . 4 ⊢ ( M ‘∅) = { 0s }
17	15, 16	eqtri 2760	. . 3 ⊢ ∪ {( M ‘∅)} = { 0s }
18	13, 17	eqtri 2760	. 2 ⊢ ∪ ( M “ 1o) = { 0s }
19	3, 18	eqtri 2760	1 ⊢ ( O ‘1o) = { 0s }

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∅c0 4274  𝒫 cpw 4542  {csn 4568  ∪ cuni 4851   “ cima 5634  Oncon0 6324   Fn wfn 6494  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  1_oc1o 8398   No csur 27603   0_s c0s 27797   M cmade 27814   O cold 27815

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6266  df-ord 6327  df-on 6328  df-suc 6330  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-1o 8405  df-2o 8406  df-no 27606  df-lts 27607  df-bday 27608  df-slts 27750  df-cuts 27752  df-0s 27799  df-made 27819  df-old 27820

This theorem is referenced by:  left1s  27887  right1s  27888