Theorem old1 27929

Description: The only surreal older than 1_o is 0_s. (Contributed by Scott Fenton, 4-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
old1	⊢ ( O ‘1o) = { 0s }

Proof of Theorem old1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1on 8517	. . 3 ⊢ 1o ∈ On
2		oldval 27908	. . 3 ⊢ (1o ∈ On → ( O ‘1o) = ∪ ( M “ 1o))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ( O ‘1o) = ∪ ( M “ 1o)
4		df1o2 8512	. . . . . 6 ⊢ 1o = {∅}
5	4	imaeq2i 6078	. . . . 5 ⊢ ( M “ 1o) = ( M “ {∅})
6		madef 27910	. . . . . . 7 ⊢ M :On⟶𝒫 No
7		ffn 6737	. . . . . . 7 ⊢ ( M :On⟶𝒫 No → M Fn On)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ M Fn On
9		0elon 6440	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ On
10		fnsnfv 6988	. . . . . 6 ⊢ (( M Fn On ∧ ∅ ∈ On) → {( M ‘∅)} = ( M “ {∅}))
11	8, 9, 10	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ {( M ‘∅)} = ( M “ {∅})
12	5, 11	eqtr4i 2766	. . . 4 ⊢ ( M “ 1o) = {( M ‘∅)}
13	12	unieqi 4924	. . 3 ⊢ ∪ ( M “ 1o) = ∪ {( M ‘∅)}
14		fvex 6920	. . . . 5 ⊢ ( M ‘∅) ∈ V
15	14	unisn 4931	. . . 4 ⊢ ∪ {( M ‘∅)} = ( M ‘∅)
16		made0 27927	. . . 4 ⊢ ( M ‘∅) = { 0s }
17	15, 16	eqtri 2763	. . 3 ⊢ ∪ {( M ‘∅)} = { 0s }
18	13, 17	eqtri 2763	. 2 ⊢ ∪ ( M “ 1o) = { 0s }
19	3, 18	eqtri 2763	1 ⊢ ( O ‘1o) = { 0s }

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∅c0 4339  𝒫 cpw 4605  {csn 4631  ∪ cuni 4912   “ cima 5692  Oncon0 6386   Fn wfn 6558  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  1_oc1o 8498   No csur 27699   0_s c0s 27882   M cmade 27896   O cold 27897

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-1o 8505  df-2o 8506  df-no 27702  df-slt 27703  df-bday 27704  df-sslt 27841  df-scut 27843  df-0s 27884  df-made 27901  df-old 27902

This theorem is referenced by:  left1s  27948  right1s  27949