Theorem old1 27794

Description: The only surreal older than 1_o is 0_s. (Contributed by Scott Fenton, 4-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
old1	⊢ ( O ‘1o) = { 0s }

Proof of Theorem old1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1on 8449	. . 3 ⊢ 1o ∈ On
2		oldval 27769	. . 3 ⊢ (1o ∈ On → ( O ‘1o) = ∪ ( M “ 1o))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ( O ‘1o) = ∪ ( M “ 1o)
4		df1o2 8444	. . . . . 6 ⊢ 1o = {∅}
5	4	imaeq2i 6032	. . . . 5 ⊢ ( M “ 1o) = ( M “ {∅})
6		madef 27771	. . . . . . 7 ⊢ M :On⟶𝒫 No
7		ffn 6691	. . . . . . 7 ⊢ ( M :On⟶𝒫 No → M Fn On)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ M Fn On
9		0elon 6390	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ On
10		fnsnfv 6943	. . . . . 6 ⊢ (( M Fn On ∧ ∅ ∈ On) → {( M ‘∅)} = ( M “ {∅}))
11	8, 9, 10	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ {( M ‘∅)} = ( M “ {∅})
12	5, 11	eqtr4i 2756	. . . 4 ⊢ ( M “ 1o) = {( M ‘∅)}
13	12	unieqi 4886	. . 3 ⊢ ∪ ( M “ 1o) = ∪ {( M ‘∅)}
14		fvex 6874	. . . . 5 ⊢ ( M ‘∅) ∈ V
15	14	unisn 4893	. . . 4 ⊢ ∪ {( M ‘∅)} = ( M ‘∅)
16		made0 27792	. . . 4 ⊢ ( M ‘∅) = { 0s }
17	15, 16	eqtri 2753	. . 3 ⊢ ∪ {( M ‘∅)} = { 0s }
18	13, 17	eqtri 2753	. 2 ⊢ ∪ ( M “ 1o) = { 0s }
19	3, 18	eqtri 2753	1 ⊢ ( O ‘1o) = { 0s }

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∅c0 4299  𝒫 cpw 4566  {csn 4592  ∪ cuni 4874   “ cima 5644  Oncon0 6335   Fn wfn 6509  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  1_oc1o 8430   No csur 27558   0_s c0s 27741   M cmade 27757   O cold 27758

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-1o 8437  df-2o 8438  df-no 27561  df-slt 27562  df-bday 27563  df-sslt 27700  df-scut 27702  df-0s 27743  df-made 27762  df-old 27763

This theorem is referenced by:  left1s  27813  right1s  27814