MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  old1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem old1 27914
Description: The only surreal older than 1o is 0s. (Contributed by Scott Fenton, 4-Feb-2025.)
Assertion
Ref Expression
old1 ( O ‘1o) = { 0s }

Proof of Theorem old1
StepHypRef Expression
1 1on 8518 . . 3 1o ∈ On
2 oldval 27893 . . 3 (1o ∈ On → ( O ‘1o) = ( M “ 1o))
31, 2ax-mp 5 . 2 ( O ‘1o) = ( M “ 1o)
4 df1o2 8513 . . . . . 6 1o = {∅}
54imaeq2i 6076 . . . . 5 ( M “ 1o) = ( M “ {∅})
6 madef 27895 . . . . . . 7 M :On⟶𝒫 No
7 ffn 6736 . . . . . . 7 ( M :On⟶𝒫 No → M Fn On)
86, 7ax-mp 5 . . . . . 6 M Fn On
9 0elon 6438 . . . . . 6 ∅ ∈ On
10 fnsnfv 6988 . . . . . 6 (( M Fn On ∧ ∅ ∈ On) → {( M ‘∅)} = ( M “ {∅}))
118, 9, 10mp2an 692 . . . . 5 {( M ‘∅)} = ( M “ {∅})
125, 11eqtr4i 2768 . . . 4 ( M “ 1o) = {( M ‘∅)}
1312unieqi 4919 . . 3 ( M “ 1o) = {( M ‘∅)}
14 fvex 6919 . . . . 5 ( M ‘∅) ∈ V
1514unisn 4926 . . . 4 {( M ‘∅)} = ( M ‘∅)
16 made0 27912 . . . 4 ( M ‘∅) = { 0s }
1715, 16eqtri 2765 . . 3 {( M ‘∅)} = { 0s }
1813, 17eqtri 2765 . 2 ( M “ 1o) = { 0s }
193, 18eqtri 2765 1 ( O ‘1o) = { 0s }
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1540  wcel 2108  c0 4333  𝒫 cpw 4600  {csn 4626   cuni 4907  cima 5688  Oncon0 6384   Fn wfn 6556  wf 6557  cfv 6561  1oc1o 8499   No csur 27684   0s c0s 27867   M cmade 27881   O cold 27882
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-1o 8506  df-2o 8507  df-no 27687  df-slt 27688  df-bday 27689  df-sslt 27826  df-scut 27828  df-0s 27869  df-made 27886  df-old 27887
This theorem is referenced by:  left1s  27933  right1s  27934
  Copyright terms: Public domain W3C validator