Theorem phpeqdOLD 9252

Description: Obsolete version of phpeqd 9242 as of 28-Nov-2024. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
phpeqdOLD.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
phpeqdOLD.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
phpeqdOLD.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
phpeqdOLD	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem phpeqdOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phpeqdOLD.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≈ 𝐵)
2		phpeqdOLD.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
3		phpeqdOLD.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
4	3	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵 ⊆ 𝐴)
5		simpr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → ¬ 𝐴 = 𝐵)
6	5	neqcomd 2736	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → ¬ 𝐵 = 𝐴)
7		dfpss2 4081	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ⊊ 𝐴 ↔ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐴))
8	4, 6, 7	sylanbrc 581	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵 ⊊ 𝐴)
9		php3 9239	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → 𝐵 ≺ 𝐴)
10	2, 8, 9	syl2an2r 683	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵 ≺ 𝐴)
11		sdomnen 9004	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≺ 𝐴 → ¬ 𝐵 ≈ 𝐴)
12		ensym 9026	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ≈ 𝐴)
13	11, 12	nsyl 140	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≺ 𝐴 → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵)
14	10, 13	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵)
15	14	ex 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴 = 𝐵 → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵))
16	1, 15	mt4d 117	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ⊆ wss 3946   ⊊ wpss 3947   class class class wbr 5145   ≈ cen 8963   ≺ csdm 8965  Fincfn 8966

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-om 7869  df-1o 8488  df-er 8726  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970

This theorem is referenced by: (None)