Theorem phpeqdOLD 9224

Description: Obsolete version of phpeqd 9214 as of 28-Nov-2024. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
phpeqdOLD.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
phpeqdOLD.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
phpeqdOLD.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
phpeqdOLD	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem phpeqdOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phpeqdOLD.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≈ 𝐵)
2		phpeqdOLD.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
3		phpeqdOLD.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
4	3	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵 ⊆ 𝐴)
5		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → ¬ 𝐴 = 𝐵)
6	5	neqcomd 2742	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → ¬ 𝐵 = 𝐴)
7		dfpss2 4085	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ⊊ 𝐴 ↔ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐴))
8	4, 6, 7	sylanbrc 583	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵 ⊊ 𝐴)
9		php3 9211	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → 𝐵 ≺ 𝐴)
10	2, 8, 9	syl2an2r 683	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵 ≺ 𝐴)
11		sdomnen 8976	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≺ 𝐴 → ¬ 𝐵 ≈ 𝐴)
12		ensym 8998	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ≈ 𝐴)
13	11, 12	nsyl 140	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≺ 𝐴 → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵)
14	10, 13	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵)
15	14	ex 413	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴 = 𝐵 → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵))
16	1, 15	mt4d 117	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3948   ⊊ wpss 3949   class class class wbr 5148   ≈ cen 8935   ≺ csdm 8937  Fincfn 8938

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-om 7855  df-1o 8465  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942

This theorem is referenced by: (None)