Theorem phpeqdOLD 9248

Description: Obsolete version of phpeqd 9238 as of 28-Nov-2024. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
phpeqdOLD.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
phpeqdOLD.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
phpeqdOLD.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
phpeqdOLD	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem phpeqdOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phpeqdOLD.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≈ 𝐵)
2		phpeqdOLD.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
3		phpeqdOLD.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
4	3	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵 ⊆ 𝐴)
5		simpr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → ¬ 𝐴 = 𝐵)
6	5	neqcomd 2735	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → ¬ 𝐵 = 𝐴)
7		dfpss2 4077	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ⊊ 𝐴 ↔ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐴))
8	4, 6, 7	sylanbrc 581	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵 ⊊ 𝐴)
9		php3 9235	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → 𝐵 ≺ 𝐴)
10	2, 8, 9	syl2an2r 683	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵 ≺ 𝐴)
11		sdomnen 9000	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≺ 𝐴 → ¬ 𝐵 ≈ 𝐴)
12		ensym 9022	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ≈ 𝐴)
13	11, 12	nsyl 140	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≺ 𝐴 → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵)
14	10, 13	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵)
15	14	ex 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴 = 𝐵 → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵))
16	1, 15	mt4d 117	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ⊆ wss 3939   ⊊ wpss 3940   class class class wbr 5143   ≈ cen 8959   ≺ csdm 8961  Fincfn 8962

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-om 7869  df-1o 8485  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966

This theorem is referenced by: (None)