Theorem no2inds 27890

Description: Double induction on surreals. The many substitution instances are to cover all possible cases. (Contributed by Scott Fenton, 22-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
no2inds.1	⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝜑 ↔ 𝜓))
no2inds.2	⊢ (𝑦 = 𝑤 → (𝜓 ↔ 𝜒))
no2inds.3	⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝜃 ↔ 𝜒))
no2inds.4	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜏))
no2inds.5	⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝜏 ↔ 𝜂))
no2inds.i	⊢ ((𝑥 ∈ No ∧ 𝑦 ∈ No ) → ((∀𝑧 ∈ (( L ‘𝑥) ∪ ( R ‘𝑥))∀𝑤 ∈ (( L ‘𝑦) ∪ ( R ‘𝑦))𝜒 ∧ ∀𝑧 ∈ (( L ‘𝑥) ∪ ( R ‘𝑥))𝜓 ∧ ∀𝑤 ∈ (( L ‘𝑦) ∪ ( R ‘𝑦))𝜃) → 𝜑))

Assertion

Ref	Expression
no2inds	⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → 𝜂)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑦,𝐵   𝜒,𝑦   𝜂,𝑦   𝜑,𝑧   𝜓,𝑤,𝑥   𝜏,𝑥   𝜃,𝑧   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑤)   𝜓(𝑦,𝑧)   𝜒(𝑥,𝑧,𝑤)   𝜃(𝑥,𝑦,𝑤)   𝜏(𝑦,𝑧,𝑤)   𝜂(𝑥,𝑧,𝑤)   𝐴(𝑧,𝑤)   𝐵(𝑥,𝑧,𝑤)

Proof of Theorem no2inds

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2727	. 2 ⊢ {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ 𝑎 ∈ (( L ‘𝑏) ∪ ( R ‘𝑏))} = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ 𝑎 ∈ (( L ‘𝑏) ∪ ( R ‘𝑏))}
2		no2inds.1	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝜑 ↔ 𝜓))
3		no2inds.2	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (𝜓 ↔ 𝜒))
4		no2inds.3	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝜃 ↔ 𝜒))
5		no2inds.4	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜏))
6		no2inds.5	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝜏 ↔ 𝜂))
7		no2inds.i	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ No ∧ 𝑦 ∈ No ) → ((∀𝑧 ∈ (( L ‘𝑥) ∪ ( R ‘𝑥))∀𝑤 ∈ (( L ‘𝑦) ∪ ( R ‘𝑦))𝜒 ∧ ∀𝑧 ∈ (( L ‘𝑥) ∪ ( R ‘𝑥))𝜓 ∧ ∀𝑤 ∈ (( L ‘𝑦) ∪ ( R ‘𝑦))𝜃) → 𝜑))
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	no2indslem 27889	1 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → 𝜂)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3057   ∪ cun 3945  {copab 5212  ‘cfv 6551   No csur 27591   L cleft 27790   R cright 27791

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4911  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-se 5636  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-1o 8491  df-2o 8492  df-no 27594  df-slt 27595  df-bday 27596  df-sslt 27732  df-scut 27734  df-made 27792  df-old 27793  df-left 27795  df-right 27796

This theorem is referenced by:  addscom  27901  mulscom  28057