Theorem no2inds 27914

Description: Double induction on surreals. The many substitution instances are to cover all possible cases. (Contributed by Scott Fenton, 22-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
no2inds.1	⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝜑 ↔ 𝜓))
no2inds.2	⊢ (𝑦 = 𝑤 → (𝜓 ↔ 𝜒))
no2inds.3	⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝜃 ↔ 𝜒))
no2inds.4	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜏))
no2inds.5	⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝜏 ↔ 𝜂))
no2inds.i	⊢ ((𝑥 ∈ No ∧ 𝑦 ∈ No ) → ((∀𝑧 ∈ (( L ‘𝑥) ∪ ( R ‘𝑥))∀𝑤 ∈ (( L ‘𝑦) ∪ ( R ‘𝑦))𝜒 ∧ ∀𝑧 ∈ (( L ‘𝑥) ∪ ( R ‘𝑥))𝜓 ∧ ∀𝑤 ∈ (( L ‘𝑦) ∪ ( R ‘𝑦))𝜃) → 𝜑))

Assertion

Ref	Expression
no2inds	⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → 𝜂)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑦,𝐵   𝜒,𝑦   𝜂,𝑦   𝜑,𝑧   𝜓,𝑤,𝑥   𝜏,𝑥   𝜃,𝑧   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑤)   𝜓(𝑦,𝑧)   𝜒(𝑥,𝑧,𝑤)   𝜃(𝑥,𝑦,𝑤)   𝜏(𝑦,𝑧,𝑤)   𝜂(𝑥,𝑧,𝑤)   𝐴(𝑧,𝑤)   𝐵(𝑥,𝑧,𝑤)

Proof of Theorem no2inds

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2735	. 2 ⊢ {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ 𝑎 ∈ (( L ‘𝑏) ∪ ( R ‘𝑏))} = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ 𝑎 ∈ (( L ‘𝑏) ∪ ( R ‘𝑏))}
2		no2inds.1	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝜑 ↔ 𝜓))
3		no2inds.2	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (𝜓 ↔ 𝜒))
4		no2inds.3	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝜃 ↔ 𝜒))
5		no2inds.4	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜏))
6		no2inds.5	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝜏 ↔ 𝜂))
7		no2inds.i	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ No ∧ 𝑦 ∈ No ) → ((∀𝑧 ∈ (( L ‘𝑥) ∪ ( R ‘𝑥))∀𝑤 ∈ (( L ‘𝑦) ∪ ( R ‘𝑦))𝜒 ∧ ∀𝑧 ∈ (( L ‘𝑥) ∪ ( R ‘𝑥))𝜓 ∧ ∀𝑤 ∈ (( L ‘𝑦) ∪ ( R ‘𝑦))𝜃) → 𝜑))
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	no2indslem 27913	1 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → 𝜂)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3051   ∪ cun 3924  {copab 5181  ‘cfv 6531   No csur 27603   L cleft 27805   R cright 27806

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-1o 8480  df-2o 8481  df-no 27606  df-slt 27607  df-bday 27608  df-sslt 27745  df-scut 27747  df-made 27807  df-old 27808  df-left 27810  df-right 27811

This theorem is referenced by:  addscom  27925  addsbday  27976  mulscom  28094