Theorem no2inds 27838

Description: Double induction on surreals. The many substitution instances are to cover all possible cases. (Contributed by Scott Fenton, 22-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
no2inds.1	⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝜑 ↔ 𝜓))
no2inds.2	⊢ (𝑦 = 𝑤 → (𝜓 ↔ 𝜒))
no2inds.3	⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝜃 ↔ 𝜒))
no2inds.4	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜏))
no2inds.5	⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝜏 ↔ 𝜂))
no2inds.i	⊢ ((𝑥 ∈ No ∧ 𝑦 ∈ No ) → ((∀𝑧 ∈ (( L ‘𝑥) ∪ ( R ‘𝑥))∀𝑤 ∈ (( L ‘𝑦) ∪ ( R ‘𝑦))𝜒 ∧ ∀𝑧 ∈ (( L ‘𝑥) ∪ ( R ‘𝑥))𝜓 ∧ ∀𝑤 ∈ (( L ‘𝑦) ∪ ( R ‘𝑦))𝜃) → 𝜑))

Assertion

Ref	Expression
no2inds	⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → 𝜂)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑦,𝐵   𝜒,𝑦   𝜂,𝑦   𝜑,𝑧   𝜓,𝑤,𝑥   𝜏,𝑥   𝜃,𝑧   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑤)   𝜓(𝑦,𝑧)   𝜒(𝑥,𝑧,𝑤)   𝜃(𝑥,𝑦,𝑤)   𝜏(𝑦,𝑧,𝑤)   𝜂(𝑥,𝑧,𝑤)   𝐴(𝑧,𝑤)   𝐵(𝑥,𝑧,𝑤)

Proof of Theorem no2inds

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. 2 ⊢ {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ 𝑎 ∈ (( L ‘𝑏) ∪ ( R ‘𝑏))} = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ 𝑎 ∈ (( L ‘𝑏) ∪ ( R ‘𝑏))}
2		no2inds.1	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝜑 ↔ 𝜓))
3		no2inds.2	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (𝜓 ↔ 𝜒))
4		no2inds.3	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝜃 ↔ 𝜒))
5		no2inds.4	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜏))
6		no2inds.5	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝜏 ↔ 𝜂))
7		no2inds.i	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ No ∧ 𝑦 ∈ No ) → ((∀𝑧 ∈ (( L ‘𝑥) ∪ ( R ‘𝑥))∀𝑤 ∈ (( L ‘𝑦) ∪ ( R ‘𝑦))𝜒 ∧ ∀𝑧 ∈ (( L ‘𝑥) ∪ ( R ‘𝑥))𝜓 ∧ ∀𝑤 ∈ (( L ‘𝑦) ∪ ( R ‘𝑦))𝜃) → 𝜑))
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	no2indslem 27837	1 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → 𝜂)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044   ∪ cun 3909  {copab 5164  ‘cfv 6499   No csur 27527   L cleft 27729   R cright 27730

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-1o 8411  df-2o 8412  df-no 27530  df-slt 27531  df-bday 27532  df-sslt 27669  df-scut 27671  df-made 27731  df-old 27732  df-left 27734  df-right 27735

This theorem is referenced by:  addscom  27849  addsbday  27900  mulscom  28018