Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  noetainflem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem noetainflem3 33585
Description: Lemma for noeta 33589. 𝑊 bounds 𝐵 below . (Contributed by Scott Fenton, 9-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
noetainflem.1 𝑇 = if(∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥, ((𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∪ {⟨dom (𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥), 1o⟩}), (𝑔 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑢𝐵 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐵𝑢 <s 𝑣 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))} ↦ (℩𝑥𝑢𝐵 (𝑔 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐵𝑢 <s 𝑣 → (𝑢 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)) ∧ (𝑢𝑔) = 𝑥))))
noetainflem.2 𝑊 = (𝑇 ∪ ((suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇) × {2o}))
Assertion
Ref Expression
noetainflem3 (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 No 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑌𝐵) → 𝑊 <s 𝑌)
Distinct variable groups:   𝐵,𝑔,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦   𝑣,𝑌,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑔)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑔)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑔)   𝑌(𝑢,𝑔)

Proof of Theorem noetainflem3
StepHypRef Expression
1 simpl2 1193 . . . 4 (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 No 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑌𝐵) → 𝐵 No )
2 simpl3 1194 . . . 4 (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 No 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑌𝐵) → 𝐵 ∈ V)
3 noetainflem.1 . . . . 5 𝑇 = if(∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥, ((𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∪ {⟨dom (𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥), 1o⟩}), (𝑔 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑢𝐵 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐵𝑢 <s 𝑣 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))} ↦ (℩𝑥𝑢𝐵 (𝑔 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐵𝑢 <s 𝑣 → (𝑢 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)) ∧ (𝑢𝑔) = 𝑥))))
4 noetainflem.2 . . . . 5 𝑊 = (𝑇 ∪ ((suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇) × {2o}))
53, 4noetainflem2 33584 . . . 4 ((𝐵 No 𝐵 ∈ V) → (𝑊 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)
61, 2, 5syl2anc 587 . . 3 (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 No 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑌𝐵) → (𝑊 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)
7 simpr 488 . . . 4 (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 No 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑌𝐵) → 𝑌𝐵)
83noinfbnd1 33575 . . . 4 ((𝐵 No 𝐵 ∈ V ∧ 𝑌𝐵) → 𝑇 <s (𝑌 ↾ dom 𝑇))
91, 2, 7, 8syl3anc 1372 . . 3 (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 No 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑌𝐵) → 𝑇 <s (𝑌 ↾ dom 𝑇))
106, 9eqbrtrd 5052 . 2 (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 No 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑌𝐵) → (𝑊 ↾ dom 𝑇) <s (𝑌 ↾ dom 𝑇))
113, 4noetainflem1 33583 . . . 4 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 No 𝐵 ∈ V) → 𝑊 No )
1211adantr 484 . . 3 (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 No 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑌𝐵) → 𝑊 No )
13 simp2 1138 . . . 4 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 No 𝐵 ∈ V) → 𝐵 No )
1413sselda 3877 . . 3 (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 No 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑌𝐵) → 𝑌 No )
153noinfno 33564 . . . . 5 ((𝐵 No 𝐵 ∈ V) → 𝑇 No )
161, 2, 15syl2anc 587 . . . 4 (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 No 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑌𝐵) → 𝑇 No )
17 nodmon 33496 . . . 4 (𝑇 No → dom 𝑇 ∈ On)
1816, 17syl 17 . . 3 (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 No 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑌𝐵) → dom 𝑇 ∈ On)
19 sltres 33508 . . 3 ((𝑊 No 𝑌 No ∧ dom 𝑇 ∈ On) → ((𝑊 ↾ dom 𝑇) <s (𝑌 ↾ dom 𝑇) → 𝑊 <s 𝑌))
2012, 14, 18, 19syl3anc 1372 . 2 (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 No 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑌𝐵) → ((𝑊 ↾ dom 𝑇) <s (𝑌 ↾ dom 𝑇) → 𝑊 <s 𝑌))
2110, 20mpd 15 1 (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 No 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑌𝐵) → 𝑊 <s 𝑌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2114  {cab 2716  wral 3053  wrex 3054  Vcvv 3398  cdif 3840  cun 3841  wss 3843  ifcif 4414  {csn 4516  cop 4522   cuni 4796   class class class wbr 5030  cmpt 5110   × cxp 5523  dom cdm 5525  cres 5527  cima 5528  Oncon0 6172  suc csuc 6174  cio 6295  cfv 6339  crio 7126  1oc1o 8124  2oc2o 8125   No csur 33486   <s cslt 33487   bday cbday 33488
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pr 5296  ax-un 7479
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-ord 6175  df-on 6176  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-1o 8131  df-2o 8132  df-no 33489  df-slt 33490  df-bday 33491
This theorem is referenced by:  noetalem1  33587
  Copyright terms: Public domain W3C validator