Theorem noetainflem3 27799

Description: Lemma for noeta 27803. 𝑊 bounds 𝐵 below . (Contributed by Scott Fenton, 9-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
noetainflem.1	⊢ 𝑇 = if(∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥, ((℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∪ {⟨dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥), 1o⟩}), (𝑔 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐵 (¬ 𝑢 <s 𝑣 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))} ↦ (℩𝑥∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑔 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐵 (¬ 𝑢 <s 𝑣 → (𝑢 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)) ∧ (𝑢‘𝑔) = 𝑥))))
noetainflem.2	⊢ 𝑊 = (𝑇 ∪ ((suc ∪ ( bday “ 𝐴) ∖ dom 𝑇) × {2o}))

Assertion

Ref	Expression
noetainflem3	⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑊 <s 𝑌)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑔,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦   𝑣,𝑌,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑔)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑔)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑔)   𝑌(𝑢,𝑔)

Proof of Theorem noetainflem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl2 1191	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐵 ⊆ No )
2		simpl3 1192	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐵 ∈ V)
3		noetainflem.1	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = if(∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥, ((℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∪ {⟨dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥), 1o⟩}), (𝑔 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐵 (¬ 𝑢 <s 𝑣 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))} ↦ (℩𝑥∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑔 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐵 (¬ 𝑢 <s 𝑣 → (𝑢 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)) ∧ (𝑢‘𝑔) = 𝑥))))
4		noetainflem.2	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = (𝑇 ∪ ((suc ∪ ( bday “ 𝐴) ∖ dom 𝑇) × {2o}))
5	3, 4	noetainflem2 27798	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝑊 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)
6	1, 2, 5	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑊 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)
7		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
8	3	noinfbnd1 27789	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑇 <s (𝑌 ↾ dom 𝑇))
9	1, 2, 7, 8	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑇 <s (𝑌 ↾ dom 𝑇))
10	6, 9	eqbrtrd 5170	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑊 ↾ dom 𝑇) <s (𝑌 ↾ dom 𝑇))
11	3, 4	noetainflem1 27797	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝑊 ∈ No )
12	11	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑊 ∈ No )
13		simp2 1136	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐵 ⊆ No )
14	13	sselda 3995	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ No )
15	3	noinfno 27778	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝑇 ∈ No )
16	1, 2, 15	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑇 ∈ No )
17		nodmon 27710	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ No → dom 𝑇 ∈ On)
18	16, 17	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → dom 𝑇 ∈ On)
19		sltres 27722	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ No ∧ 𝑌 ∈ No ∧ dom 𝑇 ∈ On) → ((𝑊 ↾ dom 𝑇) <s (𝑌 ↾ dom 𝑇) → 𝑊 <s 𝑌))
20	12, 14, 18, 19	syl3anc 1370	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑊 ↾ dom 𝑇) <s (𝑌 ↾ dom 𝑇) → 𝑊 <s 𝑌))
21	10, 20	mpd 15	1 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑊 <s 𝑌)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  {cab 2712  ∀wral 3059  ∃wrex 3068  Vcvv 3478   ∖ cdif 3960   ∪ cun 3961   ⊆ wss 3963  ifcif 4531  {csn 4631  ⟨cop 4637  ∪ cuni 4912   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   × cxp 5687  dom cdm 5689   ↾ cres 5691   “ cima 5692  Oncon0 6386  suc csuc 6388  ℩cio 6514  ‘cfv 6563  ℩crio 7387  1_oc1o 8498  2_oc2o 8499   No csur 27699   <s cslt 27700   bday cbday 27701

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-fo 6569  df-fv 6571  df-riota 7388  df-1o 8505  df-2o 8506  df-no 27702  df-slt 27703  df-bday 27704

This theorem is referenced by:  noetalem1  27801