Theorem noetainflem3 27678

Description: Lemma for noeta 27682. 𝑊 bounds 𝐵 below . (Contributed by Scott Fenton, 9-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
noetainflem.1	⊢ 𝑇 = if(∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥, ((℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∪ {⟨dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥), 1o⟩}), (𝑔 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐵 (¬ 𝑢 <s 𝑣 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))} ↦ (℩𝑥∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑔 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐵 (¬ 𝑢 <s 𝑣 → (𝑢 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)) ∧ (𝑢‘𝑔) = 𝑥))))
noetainflem.2	⊢ 𝑊 = (𝑇 ∪ ((suc ∪ ( bday “ 𝐴) ∖ dom 𝑇) × {2o}))

Assertion

Ref	Expression
noetainflem3	⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑊 <s 𝑌)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑔,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦   𝑣,𝑌,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑔)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑔)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑔)   𝑌(𝑢,𝑔)

Proof of Theorem noetainflem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl2 1193	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐵 ⊆ No )
2		simpl3 1194	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐵 ∈ V)
3		noetainflem.1	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = if(∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥, ((℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∪ {⟨dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥), 1o⟩}), (𝑔 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐵 (¬ 𝑢 <s 𝑣 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))} ↦ (℩𝑥∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑔 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐵 (¬ 𝑢 <s 𝑣 → (𝑢 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)) ∧ (𝑢‘𝑔) = 𝑥))))
4		noetainflem.2	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = (𝑇 ∪ ((suc ∪ ( bday “ 𝐴) ∖ dom 𝑇) × {2o}))
5	3, 4	noetainflem2 27677	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝑊 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)
6	1, 2, 5	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑊 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)
7		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
8	3	noinfbnd1 27668	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑇 <s (𝑌 ↾ dom 𝑇))
9	1, 2, 7, 8	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑇 <s (𝑌 ↾ dom 𝑇))
10	6, 9	eqbrtrd 5111	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑊 ↾ dom 𝑇) <s (𝑌 ↾ dom 𝑇))
11	3, 4	noetainflem1 27676	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝑊 ∈ No )
12	11	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑊 ∈ No )
13		simp2 1137	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐵 ⊆ No )
14	13	sselda 3929	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ No )
15	3	noinfno 27657	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝑇 ∈ No )
16	1, 2, 15	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑇 ∈ No )
17		nodmon 27589	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ No → dom 𝑇 ∈ On)
18	16, 17	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → dom 𝑇 ∈ On)
19		sltres 27601	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ No ∧ 𝑌 ∈ No ∧ dom 𝑇 ∈ On) → ((𝑊 ↾ dom 𝑇) <s (𝑌 ↾ dom 𝑇) → 𝑊 <s 𝑌))
20	12, 14, 18, 19	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑊 ↾ dom 𝑇) <s (𝑌 ↾ dom 𝑇) → 𝑊 <s 𝑌))
21	10, 20	mpd 15	1 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑊 <s 𝑌)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  {cab 2709  ∀wral 3047  ∃wrex 3056  Vcvv 3436   ∖ cdif 3894   ∪ cun 3895   ⊆ wss 3897  ifcif 4472  {csn 4573  ⟨cop 4579  ∪ cuni 4856   class class class wbr 5089   ↦ cmpt 5170   × cxp 5612  dom cdm 5614   ↾ cres 5616   “ cima 5617  Oncon0 6306  suc csuc 6308  ℩cio 6435  ‘cfv 6481  ℩crio 7302  1_oc1o 8378  2_oc2o 8379   No csur 27578   <s cslt 27579   bday cbday 27580

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-ord 6309  df-on 6310  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-fo 6487  df-fv 6489  df-riota 7303  df-1o 8385  df-2o 8386  df-no 27581  df-slt 27582  df-bday 27583

This theorem is referenced by:  noetalem1  27680