Theorem noetainflem3 27914

Description: Lemma for noeta 27918. 𝑊 bounds 𝐵 below . (Contributed by Scott Fenton, 9-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
noetainflem.1	⊢ 𝑇 = if(∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥, ((℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∪ {⟨dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥), 1o⟩}), (𝑔 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐵 (¬ 𝑢 <s 𝑣 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))} ↦ (℩𝑥∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑔 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐵 (¬ 𝑢 <s 𝑣 → (𝑢 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)) ∧ (𝑢‘𝑔) = 𝑥))))
noetainflem.2	⊢ 𝑊 = (𝑇 ∪ ((suc ∪ ( bday “ 𝐴) ∖ dom 𝑇) × {2o}))

Assertion

Ref	Expression
noetainflem3	⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑊 <s 𝑌)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑔,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦   𝑣,𝑌,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥, 𝑦, 𝑣, 𝑢, 𝑔)   𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑣, 𝑢, 𝑔)   𝑊(𝑥, 𝑦, 𝑣, 𝑢, 𝑔)   𝑌(𝑢, 𝑔)

Proof of Theorem noetainflem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl2 1210	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐵 ⊆ No )
2		simpl3 1211	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐵 ∈ V)
3		noetainflem.1	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = if(∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥, ((℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∪ {⟨dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥), 1o⟩}), (𝑔 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐵 (¬ 𝑢 <s 𝑣 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))} ↦ (℩𝑥∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑔 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐵 (¬ 𝑢 <s 𝑣 → (𝑢 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)) ∧ (𝑢‘𝑔) = 𝑥))))
4		noetainflem.2	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = (𝑇 ∪ ((suc ∪ ( bday “ 𝐴) ∖ dom 𝑇) × {2o}))
5	3, 4	noetainflem2 27913	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝑊 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)
6	1, 2, 5	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑊 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)
7		simpr 489	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
8	3	noinfbnd1 27904	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑇 <s (𝑌 ↾ dom 𝑇))
9	1, 2, 7, 8	syl3anc 1397	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑇 <s (𝑌 ↾ dom 𝑇))
10	6, 9	eqbrtrd 5132	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑊 ↾ dom 𝑇) <s (𝑌 ↾ dom 𝑇))
11	3, 4	noetainflem1 27912	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝑊 ∈ No )
12	11	adantr 485	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑊 ∈ No )
13		simp2 1154	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐵 ⊆ No )
14	13	sselda 3936	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ No )
15	3	noinfno 27893	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝑇 ∈ No )
16	1, 2, 15	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑇 ∈ No )
17		nodmon 27825	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ No → dom 𝑇 ∈ On)
18	16, 17	syl 18	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → dom 𝑇 ∈ On)
19		ltsres 27837	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ No ∧ 𝑌 ∈ No ∧ dom 𝑇 ∈ On) → ((𝑊 ↾ dom 𝑇) <s (𝑌 ↾ dom 𝑇) → 𝑊 <s 𝑌))
20	12, 14, 18, 19	syl3anc 1397	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑊 ↾ dom 𝑇) <s (𝑌 ↾ dom 𝑇) → 𝑊 <s 𝑌))
21	10, 20	mpd 16	1 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑊 <s 𝑌)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1102   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  {cab 2740  ∀wral 3078  ∃wrex 3088  Vcvv 3454   ∖ cdif 3901   ∪ cun 3902   ⊆ wss 3904  ifcif 4486  {csn 4588  ⟨cop 4594  ∪ cuni 4871   class class class wbr 5108   ↦ cmpt 5191   × cxp 5658  dom cdm 5660   ↾ cres 5662   “ cima 5663  Oncon0 6360  suc csuc 6362  ℩cio 6490  ‘cfv 6536  ℩crio 7368  1_oc1o 8444  2_oc2o 8445   No csur 27815   <s clts 27816   bday cbday 27817

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-ord 6363  df-on 6364  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-fo 6542  df-fv 6544  df-riota 7369  df-1o 8451  df-2o 8452  df-no 27818  df-lts 27819  df-bday 27820

This theorem is used by:  noetalem1  27916