Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isnumbasgrplem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isnumbasgrplem3 40938
Description: Every nonempty numerable set can be given the structure of an Abelian group, either a finite cyclic group or a vector space over Z/2Z. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
isnumbasgrplem3 ((𝑆 ∈ dom card ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝑆 ∈ (Base “ Abel))

Proof of Theorem isnumbasgrplem3
StepHypRef Expression
1 hashcl 14081 . . . . . 6 (𝑆 ∈ Fin → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
21adantl 482 . . . . 5 ((𝑆 ≠ ∅ ∧ 𝑆 ∈ Fin) → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
3 eqid 2738 . . . . . 6 (ℤ/nℤ‘(♯‘𝑆)) = (ℤ/nℤ‘(♯‘𝑆))
43zncrng 20762 . . . . 5 ((♯‘𝑆) ∈ ℕ0 → (ℤ/nℤ‘(♯‘𝑆)) ∈ CRing)
5 crngring 19805 . . . . 5 ((ℤ/nℤ‘(♯‘𝑆)) ∈ CRing → (ℤ/nℤ‘(♯‘𝑆)) ∈ Ring)
6 ringabl 19829 . . . . 5 ((ℤ/nℤ‘(♯‘𝑆)) ∈ Ring → (ℤ/nℤ‘(♯‘𝑆)) ∈ Abel)
72, 4, 5, 64syl 19 . . . 4 ((𝑆 ≠ ∅ ∧ 𝑆 ∈ Fin) → (ℤ/nℤ‘(♯‘𝑆)) ∈ Abel)
8 hashnncl 14091 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ Fin → ((♯‘𝑆) ∈ ℕ ↔ 𝑆 ≠ ∅))
98biimparc 480 . . . . . . 7 ((𝑆 ≠ ∅ ∧ 𝑆 ∈ Fin) → (♯‘𝑆) ∈ ℕ)
10 eqid 2738 . . . . . . . 8 (Base‘(ℤ/nℤ‘(♯‘𝑆))) = (Base‘(ℤ/nℤ‘(♯‘𝑆)))
113, 10znhash 20776 . . . . . . 7 ((♯‘𝑆) ∈ ℕ → (♯‘(Base‘(ℤ/nℤ‘(♯‘𝑆)))) = (♯‘𝑆))
129, 11syl 17 . . . . . 6 ((𝑆 ≠ ∅ ∧ 𝑆 ∈ Fin) → (♯‘(Base‘(ℤ/nℤ‘(♯‘𝑆)))) = (♯‘𝑆))
1312eqcomd 2744 . . . . 5 ((𝑆 ≠ ∅ ∧ 𝑆 ∈ Fin) → (♯‘𝑆) = (♯‘(Base‘(ℤ/nℤ‘(♯‘𝑆)))))
14 simpr 485 . . . . . 6 ((𝑆 ≠ ∅ ∧ 𝑆 ∈ Fin) → 𝑆 ∈ Fin)
153, 10znfi 20777 . . . . . . 7 ((♯‘𝑆) ∈ ℕ → (Base‘(ℤ/nℤ‘(♯‘𝑆))) ∈ Fin)
169, 15syl 17 . . . . . 6 ((𝑆 ≠ ∅ ∧ 𝑆 ∈ Fin) → (Base‘(ℤ/nℤ‘(♯‘𝑆))) ∈ Fin)
17 hashen 14071 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Fin ∧ (Base‘(ℤ/nℤ‘(♯‘𝑆))) ∈ Fin) → ((♯‘𝑆) = (♯‘(Base‘(ℤ/nℤ‘(♯‘𝑆)))) ↔ 𝑆 ≈ (Base‘(ℤ/nℤ‘(♯‘𝑆)))))
1814, 16, 17syl2anc 584 . . . . 5 ((𝑆 ≠ ∅ ∧ 𝑆 ∈ Fin) → ((♯‘𝑆) = (♯‘(Base‘(ℤ/nℤ‘(♯‘𝑆)))) ↔ 𝑆 ≈ (Base‘(ℤ/nℤ‘(♯‘𝑆)))))
1913, 18mpbid 231 . . . 4 ((𝑆 ≠ ∅ ∧ 𝑆 ∈ Fin) → 𝑆 ≈ (Base‘(ℤ/nℤ‘(♯‘𝑆))))
2010isnumbasgrplem1 40934 . . . 4 (((ℤ/nℤ‘(♯‘𝑆)) ∈ Abel ∧ 𝑆 ≈ (Base‘(ℤ/nℤ‘(♯‘𝑆)))) → 𝑆 ∈ (Base “ Abel))
217, 19, 20syl2anc 584 . . 3 ((𝑆 ≠ ∅ ∧ 𝑆 ∈ Fin) → 𝑆 ∈ (Base “ Abel))
2221adantll 711 . 2 (((𝑆 ∈ dom card ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ 𝑆 ∈ Fin) → 𝑆 ∈ (Base “ Abel))
23 2nn0 12260 . . . . . . 7 2 ∈ ℕ0
24 eqid 2738 . . . . . . . 8 (ℤ/nℤ‘2) = (ℤ/nℤ‘2)
2524zncrng 20762 . . . . . . 7 (2 ∈ ℕ0 → (ℤ/nℤ‘2) ∈ CRing)
26 crngring 19805 . . . . . . 7 ((ℤ/nℤ‘2) ∈ CRing → (ℤ/nℤ‘2) ∈ Ring)
2723, 25, 26mp2b 10 . . . . . 6 (ℤ/nℤ‘2) ∈ Ring
28 eqid 2738 . . . . . . 7 ((ℤ/nℤ‘2) freeLMod 𝑆) = ((ℤ/nℤ‘2) freeLMod 𝑆)
2928frlmlmod 20966 . . . . . 6 (((ℤ/nℤ‘2) ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ dom card) → ((ℤ/nℤ‘2) freeLMod 𝑆) ∈ LMod)
3027, 29mpan 687 . . . . 5 (𝑆 ∈ dom card → ((ℤ/nℤ‘2) freeLMod 𝑆) ∈ LMod)
31 lmodabl 20180 . . . . 5 (((ℤ/nℤ‘2) freeLMod 𝑆) ∈ LMod → ((ℤ/nℤ‘2) freeLMod 𝑆) ∈ Abel)
3230, 31syl 17 . . . 4 (𝑆 ∈ dom card → ((ℤ/nℤ‘2) freeLMod 𝑆) ∈ Abel)
3332ad2antrr 723 . . 3 (((𝑆 ∈ dom card ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → ((ℤ/nℤ‘2) freeLMod 𝑆) ∈ Abel)
34 eqid 2738 . . . . . . 7 (Base‘((ℤ/nℤ‘2) freeLMod 𝑆)) = (Base‘((ℤ/nℤ‘2) freeLMod 𝑆))
3524, 28, 34frlmpwfi 40931 . . . . . 6 (𝑆 ∈ dom card → (Base‘((ℤ/nℤ‘2) freeLMod 𝑆)) ≈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin))
3635ad2antrr 723 . . . . 5 (((𝑆 ∈ dom card ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → (Base‘((ℤ/nℤ‘2) freeLMod 𝑆)) ≈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin))
37 simpll 764 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ dom card ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → 𝑆 ∈ dom card)
38 numinfctb 40936 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ dom card ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → ω ≼ 𝑆)
3938adantlr 712 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ dom card ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → ω ≼ 𝑆)
40 infpwfien 9828 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝑆) → (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ≈ 𝑆)
4137, 39, 40syl2anc 584 . . . . 5 (((𝑆 ∈ dom card ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ≈ 𝑆)
42 entr 8779 . . . . 5 (((Base‘((ℤ/nℤ‘2) freeLMod 𝑆)) ≈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ≈ 𝑆) → (Base‘((ℤ/nℤ‘2) freeLMod 𝑆)) ≈ 𝑆)
4336, 41, 42syl2anc 584 . . . 4 (((𝑆 ∈ dom card ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → (Base‘((ℤ/nℤ‘2) freeLMod 𝑆)) ≈ 𝑆)
4443ensymd 8778 . . 3 (((𝑆 ∈ dom card ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → 𝑆 ≈ (Base‘((ℤ/nℤ‘2) freeLMod 𝑆)))
4534isnumbasgrplem1 40934 . . 3 ((((ℤ/nℤ‘2) freeLMod 𝑆) ∈ Abel ∧ 𝑆 ≈ (Base‘((ℤ/nℤ‘2) freeLMod 𝑆))) → 𝑆 ∈ (Base “ Abel))
4633, 44, 45syl2anc 584 . 2 (((𝑆 ∈ dom card ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → 𝑆 ∈ (Base “ Abel))
4722, 46pm2.61dan 810 1 ((𝑆 ∈ dom card ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝑆 ∈ (Base “ Abel))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  wne 2943  cin 3885  c0 4256  𝒫 cpw 4533   class class class wbr 5073  dom cdm 5584  cima 5587  cfv 6426  (class class class)co 7267  ωcom 7702  cen 8717  cdom 8718  Fincfn 8720  cardccrd 9703  cn 11983  2c2 12038  0cn0 12243  chash 14054  Basecbs 16922  Abelcabl 19397  Ringcrg 19793  CRingccrg 19794  LModclmod 20133  ℤ/nczn 20714   freeLMod cfrlm 20963
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5208  ax-sep 5221  ax-nul 5228  ax-pow 5286  ax-pr 5350  ax-un 7578  ax-inf2 9386  ax-cnex 10937  ax-resscn 10938  ax-1cn 10939  ax-icn 10940  ax-addcl 10941  ax-addrcl 10942  ax-mulcl 10943  ax-mulrcl 10944  ax-mulcom 10945  ax-addass 10946  ax-mulass 10947  ax-distr 10948  ax-i2m1 10949  ax-1ne0 10950  ax-1rid 10951  ax-rnegex 10952  ax-rrecex 10953  ax-cnre 10954  ax-pre-lttri 10955  ax-pre-lttrn 10956  ax-pre-ltadd 10957  ax-pre-mulgt0 10958  ax-pre-sup 10959  ax-addf 10960  ax-mulf 10961
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3431  df-sbc 3716  df-csb 3832  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-pss 3905  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5157  df-tr 5191  df-id 5484  df-eprel 5490  df-po 5498  df-so 5499  df-fr 5539  df-se 5540  df-we 5541  df-xp 5590  df-rel 5591  df-cnv 5592  df-co 5593  df-dm 5594  df-rn 5595  df-res 5596  df-ima 5597  df-pred 6195  df-ord 6262  df-on 6263  df-lim 6264  df-suc 6265  df-iota 6384  df-fun 6428  df-fn 6429  df-f 6430  df-f1 6431  df-fo 6432  df-f1o 6433  df-fv 6434  df-isom 6435  df-riota 7224  df-ov 7270  df-oprab 7271  df-mpo 7272  df-om 7703  df-1st 7820  df-2nd 7821  df-supp 7965  df-tpos 8029  df-frecs 8084  df-wrecs 8115  df-recs 8189  df-rdg 8228  df-seqom 8266  df-1o 8284  df-2o 8285  df-oadd 8288  df-er 8485  df-ec 8487  df-qs 8491  df-map 8604  df-ixp 8673  df-en 8721  df-dom 8722  df-sdom 8723  df-fin 8724  df-fsupp 9116  df-sup 9188  df-inf 9189  df-oi 9256  df-dju 9669  df-card 9707  df-acn 9710  df-pnf 11021  df-mnf 11022  df-xr 11023  df-ltxr 11024  df-le 11025  df-sub 11217  df-neg 11218  df-div 11643  df-nn 11984  df-2 12046  df-3 12047  df-4 12048  df-5 12049  df-6 12050  df-7 12051  df-8 12052  df-9 12053  df-n0 12244  df-z 12330  df-dec 12448  df-uz 12593  df-rp 12741  df-fz 13250  df-fzo 13393  df-fl 13522  df-mod 13600  df-seq 13732  df-hash 14055  df-dvds 15974  df-struct 16858  df-sets 16875  df-slot 16893  df-ndx 16905  df-base 16923  df-ress 16952  df-plusg 16985  df-mulr 16986  df-starv 16987  df-sca 16988  df-vsca 16989  df-ip 16990  df-tset 16991  df-ple 16992  df-ds 16994  df-unif 16995  df-hom 16996  df-cco 16997  df-0g 17162  df-prds 17168  df-pws 17170  df-imas 17229  df-qus 17230  df-mgm 18336  df-sgrp 18385  df-mnd 18396  df-mhm 18440  df-grp 18590  df-minusg 18591  df-sbg 18592  df-mulg 18711  df-subg 18762  df-nsg 18763  df-eqg 18764  df-ghm 18842  df-gim 18885  df-gic 18886  df-cmn 19398  df-abl 19399  df-mgp 19731  df-ur 19748  df-ring 19795  df-cring 19796  df-oppr 19872  df-dvdsr 19893  df-rnghom 19969  df-subrg 20032  df-lmod 20135  df-lss 20204  df-lsp 20244  df-sra 20444  df-rgmod 20445  df-lidl 20446  df-rsp 20447  df-2idl 20513  df-cnfld 20608  df-zring 20681  df-zrh 20715  df-zn 20718  df-dsmm 20949  df-frlm 20964
This theorem is referenced by:  isnumbasabl  40939  dfacbasgrp  40941
  Copyright terms: Public domain W3C validator