Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isnumbasgrplem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isnumbasgrplem3 39965
 Description: Every nonempty numerable set can be given the structure of an Abelian group, either a finite cyclic group or a vector space over Z/2Z. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
isnumbasgrplem3 ((𝑆 ∈ dom card ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝑆 ∈ (Base “ Abel))

Proof of Theorem isnumbasgrplem3
StepHypRef Expression
1 hashcl 13722 . . . . . 6 (𝑆 ∈ Fin → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
21adantl 485 . . . . 5 ((𝑆 ≠ ∅ ∧ 𝑆 ∈ Fin) → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
3 eqid 2824 . . . . . 6 (ℤ/nℤ‘(♯‘𝑆)) = (ℤ/nℤ‘(♯‘𝑆))
43zncrng 20691 . . . . 5 ((♯‘𝑆) ∈ ℕ0 → (ℤ/nℤ‘(♯‘𝑆)) ∈ CRing)
5 crngring 19309 . . . . 5 ((ℤ/nℤ‘(♯‘𝑆)) ∈ CRing → (ℤ/nℤ‘(♯‘𝑆)) ∈ Ring)
6 ringabl 19333 . . . . 5 ((ℤ/nℤ‘(♯‘𝑆)) ∈ Ring → (ℤ/nℤ‘(♯‘𝑆)) ∈ Abel)
72, 4, 5, 64syl 19 . . . 4 ((𝑆 ≠ ∅ ∧ 𝑆 ∈ Fin) → (ℤ/nℤ‘(♯‘𝑆)) ∈ Abel)
8 hashnncl 13732 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ Fin → ((♯‘𝑆) ∈ ℕ ↔ 𝑆 ≠ ∅))
98biimparc 483 . . . . . . 7 ((𝑆 ≠ ∅ ∧ 𝑆 ∈ Fin) → (♯‘𝑆) ∈ ℕ)
10 eqid 2824 . . . . . . . 8 (Base‘(ℤ/nℤ‘(♯‘𝑆))) = (Base‘(ℤ/nℤ‘(♯‘𝑆)))
113, 10znhash 20705 . . . . . . 7 ((♯‘𝑆) ∈ ℕ → (♯‘(Base‘(ℤ/nℤ‘(♯‘𝑆)))) = (♯‘𝑆))
129, 11syl 17 . . . . . 6 ((𝑆 ≠ ∅ ∧ 𝑆 ∈ Fin) → (♯‘(Base‘(ℤ/nℤ‘(♯‘𝑆)))) = (♯‘𝑆))
1312eqcomd 2830 . . . . 5 ((𝑆 ≠ ∅ ∧ 𝑆 ∈ Fin) → (♯‘𝑆) = (♯‘(Base‘(ℤ/nℤ‘(♯‘𝑆)))))
14 simpr 488 . . . . . 6 ((𝑆 ≠ ∅ ∧ 𝑆 ∈ Fin) → 𝑆 ∈ Fin)
153, 10znfi 20706 . . . . . . 7 ((♯‘𝑆) ∈ ℕ → (Base‘(ℤ/nℤ‘(♯‘𝑆))) ∈ Fin)
169, 15syl 17 . . . . . 6 ((𝑆 ≠ ∅ ∧ 𝑆 ∈ Fin) → (Base‘(ℤ/nℤ‘(♯‘𝑆))) ∈ Fin)
17 hashen 13712 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Fin ∧ (Base‘(ℤ/nℤ‘(♯‘𝑆))) ∈ Fin) → ((♯‘𝑆) = (♯‘(Base‘(ℤ/nℤ‘(♯‘𝑆)))) ↔ 𝑆 ≈ (Base‘(ℤ/nℤ‘(♯‘𝑆)))))
1814, 16, 17syl2anc 587 . . . . 5 ((𝑆 ≠ ∅ ∧ 𝑆 ∈ Fin) → ((♯‘𝑆) = (♯‘(Base‘(ℤ/nℤ‘(♯‘𝑆)))) ↔ 𝑆 ≈ (Base‘(ℤ/nℤ‘(♯‘𝑆)))))
1913, 18mpbid 235 . . . 4 ((𝑆 ≠ ∅ ∧ 𝑆 ∈ Fin) → 𝑆 ≈ (Base‘(ℤ/nℤ‘(♯‘𝑆))))
2010isnumbasgrplem1 39961 . . . 4 (((ℤ/nℤ‘(♯‘𝑆)) ∈ Abel ∧ 𝑆 ≈ (Base‘(ℤ/nℤ‘(♯‘𝑆)))) → 𝑆 ∈ (Base “ Abel))
217, 19, 20syl2anc 587 . . 3 ((𝑆 ≠ ∅ ∧ 𝑆 ∈ Fin) → 𝑆 ∈ (Base “ Abel))
2221adantll 713 . 2 (((𝑆 ∈ dom card ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ 𝑆 ∈ Fin) → 𝑆 ∈ (Base “ Abel))
23 2nn0 11911 . . . . . . 7 2 ∈ ℕ0
24 eqid 2824 . . . . . . . 8 (ℤ/nℤ‘2) = (ℤ/nℤ‘2)
2524zncrng 20691 . . . . . . 7 (2 ∈ ℕ0 → (ℤ/nℤ‘2) ∈ CRing)
26 crngring 19309 . . . . . . 7 ((ℤ/nℤ‘2) ∈ CRing → (ℤ/nℤ‘2) ∈ Ring)
2723, 25, 26mp2b 10 . . . . . 6 (ℤ/nℤ‘2) ∈ Ring
28 eqid 2824 . . . . . . 7 ((ℤ/nℤ‘2) freeLMod 𝑆) = ((ℤ/nℤ‘2) freeLMod 𝑆)
2928frlmlmod 20893 . . . . . 6 (((ℤ/nℤ‘2) ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ dom card) → ((ℤ/nℤ‘2) freeLMod 𝑆) ∈ LMod)
3027, 29mpan 689 . . . . 5 (𝑆 ∈ dom card → ((ℤ/nℤ‘2) freeLMod 𝑆) ∈ LMod)
31 lmodabl 19681 . . . . 5 (((ℤ/nℤ‘2) freeLMod 𝑆) ∈ LMod → ((ℤ/nℤ‘2) freeLMod 𝑆) ∈ Abel)
3230, 31syl 17 . . . 4 (𝑆 ∈ dom card → ((ℤ/nℤ‘2) freeLMod 𝑆) ∈ Abel)
3332ad2antrr 725 . . 3 (((𝑆 ∈ dom card ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → ((ℤ/nℤ‘2) freeLMod 𝑆) ∈ Abel)
34 eqid 2824 . . . . . . 7 (Base‘((ℤ/nℤ‘2) freeLMod 𝑆)) = (Base‘((ℤ/nℤ‘2) freeLMod 𝑆))
3524, 28, 34frlmpwfi 39958 . . . . . 6 (𝑆 ∈ dom card → (Base‘((ℤ/nℤ‘2) freeLMod 𝑆)) ≈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin))
3635ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝑆 ∈ dom card ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → (Base‘((ℤ/nℤ‘2) freeLMod 𝑆)) ≈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin))
37 simpll 766 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ dom card ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → 𝑆 ∈ dom card)
38 numinfctb 39963 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ dom card ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → ω ≼ 𝑆)
3938adantlr 714 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ dom card ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → ω ≼ 𝑆)
40 infpwfien 9486 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝑆) → (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ≈ 𝑆)
4137, 39, 40syl2anc 587 . . . . 5 (((𝑆 ∈ dom card ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ≈ 𝑆)
42 entr 8557 . . . . 5 (((Base‘((ℤ/nℤ‘2) freeLMod 𝑆)) ≈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ≈ 𝑆) → (Base‘((ℤ/nℤ‘2) freeLMod 𝑆)) ≈ 𝑆)
4336, 41, 42syl2anc 587 . . . 4 (((𝑆 ∈ dom card ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → (Base‘((ℤ/nℤ‘2) freeLMod 𝑆)) ≈ 𝑆)
4443ensymd 8556 . . 3 (((𝑆 ∈ dom card ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → 𝑆 ≈ (Base‘((ℤ/nℤ‘2) freeLMod 𝑆)))
4534isnumbasgrplem1 39961 . . 3 ((((ℤ/nℤ‘2) freeLMod 𝑆) ∈ Abel ∧ 𝑆 ≈ (Base‘((ℤ/nℤ‘2) freeLMod 𝑆))) → 𝑆 ∈ (Base “ Abel))
4633, 44, 45syl2anc 587 . 2 (((𝑆 ∈ dom card ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → 𝑆 ∈ (Base “ Abel))
4722, 46pm2.61dan 812 1 ((𝑆 ∈ dom card ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝑆 ∈ (Base “ Abel))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ≠ wne 3014   ∩ cin 3918  ∅c0 4276  𝒫 cpw 4522   class class class wbr 5052  dom cdm 5542   “ cima 5545  ‘cfv 6343  (class class class)co 7149  ωcom 7574   ≈ cen 8502   ≼ cdom 8503  Fincfn 8505  cardccrd 9361  ℕcn 11634  2c2 11689  ℕ0cn0 11894  ♯chash 13695  Basecbs 16483  Abelcabl 18907  Ringcrg 19297  CRingccrg 19298  LModclmod 19634  ℤ/nℤczn 20650   freeLMod cfrlm 20890 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-inf2 9101  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-pre-sup 10613  ax-addf 10614  ax-mulf 10615 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-se 5502  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-supp 7827  df-tpos 7888  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-seqom 8080  df-1o 8098  df-2o 8099  df-oadd 8102  df-er 8285  df-ec 8287  df-qs 8291  df-map 8404  df-ixp 8458  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-fsupp 8831  df-sup 8903  df-inf 8904  df-oi 8971  df-dju 9327  df-card 9365  df-acn 9368  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-5 11700  df-6 11701  df-7 11702  df-8 11703  df-9 11704  df-n0 11895  df-z 11979  df-dec 12096  df-uz 12241  df-rp 12387  df-fz 12895  df-fzo 13038  df-fl 13166  df-mod 13242  df-seq 13374  df-hash 13696  df-dvds 15608  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-starv 16580  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-ip 16583  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ds 16587  df-unif 16588  df-hom 16589  df-cco 16590  df-0g 16715  df-prds 16721  df-pws 16723  df-imas 16781  df-qus 16782  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-mhm 17956  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-sbg 18108  df-mulg 18225  df-subg 18276  df-nsg 18277  df-eqg 18278  df-ghm 18356  df-gim 18399  df-gic 18400  df-cmn 18908  df-abl 18909  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-ring 19299  df-cring 19300  df-oppr 19376  df-dvdsr 19394  df-rnghom 19470  df-subrg 19533  df-lmod 19636  df-lss 19704  df-lsp 19744  df-sra 19944  df-rgmod 19945  df-lidl 19946  df-rsp 19947  df-2idl 20005  df-cnfld 20546  df-zring 20618  df-zrh 20651  df-zn 20654  df-dsmm 20876  df-frlm 20891 This theorem is referenced by:  isnumbasabl  39966  dfacbasgrp  39968
 Copyright terms: Public domain W3C validator