Theorem isnumbasgrplem3 44366

Description: Every nonempty numerable set can be given the structure of an Abelian group, either a finite cyclic group or a vector space over Z/2Z. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isnumbasgrplem3	⊢ ((𝑆 ∈ dom card ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝑆 ∈ (Base “ Abel))

Proof of Theorem isnumbasgrplem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashcl 14539	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ Fin → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
2	1	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ≠ ∅ ∧ 𝑆 ∈ Fin) → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
3		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (ℤ/nℤ‘(♯‘𝑆)) = (ℤ/nℤ‘(♯‘𝑆))
4	3	zncrng 21894	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑆) ∈ ℕ0 → (ℤ/nℤ‘(♯‘𝑆)) ∈ CRing)
5		crngring 20514	. . . . 5 ⊢ ((ℤ/nℤ‘(♯‘𝑆)) ∈ CRing → (ℤ/nℤ‘(♯‘𝑆)) ∈ Ring)
6		ringabl 20552	. . . . 5 ⊢ ((ℤ/nℤ‘(♯‘𝑆)) ∈ Ring → (ℤ/nℤ‘(♯‘𝑆)) ∈ Abel)
7	2, 4, 5, 6	4syl 20	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ≠ ∅ ∧ 𝑆 ∈ Fin) → (ℤ/nℤ‘(♯‘𝑆)) ∈ Abel)
8		hashnncl 14549	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ Fin → ((♯‘𝑆) ∈ ℕ ↔ 𝑆 ≠ ∅))
9	8	biimparc 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ≠ ∅ ∧ 𝑆 ∈ Fin) → (♯‘𝑆) ∈ ℕ)
10		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(ℤ/nℤ‘(♯‘𝑆))) = (Base‘(ℤ/nℤ‘(♯‘𝑆)))
11	3, 10	znhash 21908	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑆) ∈ ℕ → (♯‘(Base‘(ℤ/nℤ‘(♯‘𝑆)))) = (♯‘𝑆))
12	9, 11	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ≠ ∅ ∧ 𝑆 ∈ Fin) → (♯‘(Base‘(ℤ/nℤ‘(♯‘𝑆)))) = (♯‘𝑆))
13	12	eqcomd 2769	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ≠ ∅ ∧ 𝑆 ∈ Fin) → (♯‘𝑆) = (♯‘(Base‘(ℤ/nℤ‘(♯‘𝑆)))))
14		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ≠ ∅ ∧ 𝑆 ∈ Fin) → 𝑆 ∈ Fin)
15	3, 10	znfi 21909	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑆) ∈ ℕ → (Base‘(ℤ/nℤ‘(♯‘𝑆))) ∈ Fin)
16	9, 15	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ≠ ∅ ∧ 𝑆 ∈ Fin) → (Base‘(ℤ/nℤ‘(♯‘𝑆))) ∈ Fin)
17		hashen 14530	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ Fin ∧ (Base‘(ℤ/nℤ‘(♯‘𝑆))) ∈ Fin) → ((♯‘𝑆) = (♯‘(Base‘(ℤ/nℤ‘(♯‘𝑆)))) ↔ 𝑆 ≈ (Base‘(ℤ/nℤ‘(♯‘𝑆)))))
18	14, 16, 17	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ≠ ∅ ∧ 𝑆 ∈ Fin) → ((♯‘𝑆) = (♯‘(Base‘(ℤ/nℤ‘(♯‘𝑆)))) ↔ 𝑆 ≈ (Base‘(ℤ/nℤ‘(♯‘𝑆)))))
19	13, 18	mpbid 235	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ≠ ∅ ∧ 𝑆 ∈ Fin) → 𝑆 ≈ (Base‘(ℤ/nℤ‘(♯‘𝑆))))
20	10	isnumbasgrplem1 44362	. . . 4 ⊢ (((ℤ/nℤ‘(♯‘𝑆)) ∈ Abel ∧ 𝑆 ≈ (Base‘(ℤ/nℤ‘(♯‘𝑆)))) → 𝑆 ∈ (Base “ Abel))
21	7, 19, 20	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝑆 ≠ ∅ ∧ 𝑆 ∈ Fin) → 𝑆 ∈ (Base “ Abel))
22	21	adantll 727	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ dom card ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ 𝑆 ∈ Fin) → 𝑆 ∈ (Base “ Abel))
23		2nn0 12661	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
24		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ/nℤ‘2) = (ℤ/nℤ‘2)
25	24	zncrng 21894	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℕ0 → (ℤ/nℤ‘2) ∈ CRing)
26		crngring 20514	. . . . . . 7 ⊢ ((ℤ/nℤ‘2) ∈ CRing → (ℤ/nℤ‘2) ∈ Ring)
27	23, 25, 26	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ (ℤ/nℤ‘2) ∈ Ring
28		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ ((ℤ/nℤ‘2) freeLMod 𝑆) = ((ℤ/nℤ‘2) freeLMod 𝑆)
29	28	frlmlmod 22099	. . . . . 6 ⊢ (((ℤ/nℤ‘2) ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ dom card) → ((ℤ/nℤ‘2) freeLMod 𝑆) ∈ LMod)
30	27, 29	mpan 703	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ dom card → ((ℤ/nℤ‘2) freeLMod 𝑆) ∈ LMod)
31		lmodabl 21226	. . . . 5 ⊢ (((ℤ/nℤ‘2) freeLMod 𝑆) ∈ LMod → ((ℤ/nℤ‘2) freeLMod 𝑆) ∈ Abel)
32	30, 31	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ dom card → ((ℤ/nℤ‘2) freeLMod 𝑆) ∈ Abel)
33	32	ad2antrr 739	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ dom card ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → ((ℤ/nℤ‘2) freeLMod 𝑆) ∈ Abel)
34		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘((ℤ/nℤ‘2) freeLMod 𝑆)) = (Base‘((ℤ/nℤ‘2) freeLMod 𝑆))
35	24, 28, 34	frlmpwfi 44360	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ dom card → (Base‘((ℤ/nℤ‘2) freeLMod 𝑆)) ≈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin))
36	35	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ dom card ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → (Base‘((ℤ/nℤ‘2) freeLMod 𝑆)) ≈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin))
37		simpll 779	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ dom card ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → 𝑆 ∈ dom card)
38		numinfctb 44364	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ dom card ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → ω ≼ 𝑆)
39	38	adantlr 728	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ dom card ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → ω ≼ 𝑆)
40		infpwfien 10178	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝑆) → (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ≈ 𝑆)
41	37, 39, 40	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ dom card ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ≈ 𝑆)
42		entr 9069	. . . . 5 ⊢ (((Base‘((ℤ/nℤ‘2) freeLMod 𝑆)) ≈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ≈ 𝑆) → (Base‘((ℤ/nℤ‘2) freeLMod 𝑆)) ≈ 𝑆)
43	36, 41, 42	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ dom card ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → (Base‘((ℤ/nℤ‘2) freeLMod 𝑆)) ≈ 𝑆)
44	43	ensymd 9068	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ dom card ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → 𝑆 ≈ (Base‘((ℤ/nℤ‘2) freeLMod 𝑆)))
45	34	isnumbasgrplem1 44362	. . 3 ⊢ ((((ℤ/nℤ‘2) freeLMod 𝑆) ∈ Abel ∧ 𝑆 ≈ (Base‘((ℤ/nℤ‘2) freeLMod 𝑆))) → 𝑆 ∈ (Base “ Abel))
46	33, 44, 45	syl2anc 596	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ dom card ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → 𝑆 ∈ (Base “ Abel))
47	22, 46	pm2.61dan 825	1 ⊢ ((𝑆 ∈ dom card ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝑆 ∈ (Base “ Abel))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   ∩ cin 4092  ∅c0 4281  𝒫 cpw 4560   class class class wbr 5106  dom cdm 5656   “ cima 5659  ‘cfv 6564  (class class class)co 7449  ωcom 7909   ≈ cen 9006   ≼ cdom 9007  Fincfn 9009  cardccrd 10051  ℕcn 12373  2c2 12435  ℕ₀cn0 12644  ♯chash 14513  Basecbs 17428  Abelcabl 20037  Ringcrg 20501  CRingccrg 20502  LModclmod 21177  ℤ/nℤczn 21852   freeLMod cfrlm 22096

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7781  ax-inf2 9677  ax-cnex 11293  ax-resscn 11294  ax-1cn 11295  ax-icn 11296  ax-addcl 11297  ax-addrcl 11298  ax-mulcl 11299  ax-mulrcl 11300  ax-mulcom 11301  ax-addass 11302  ax-mulass 11303  ax-distr 11304  ax-i2m1 11305  ax-1ne0 11306  ax-1rid 11307  ax-rnegex 11308  ax-rrecex 11309  ax-cnre 11310  ax-pre-lttri 11311  ax-pre-lttrn 11312  ax-pre-ltadd 11313  ax-pre-mulgt0 11314  ax-pre-sup 11315  ax-addf 11316  ax-mulf 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-se 5610  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6328  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6518  df-fun 6566  df-fn 6567  df-f 6568  df-f1 6569  df-fo 6570  df-f1o 6571  df-fv 6572  df-isom 6573  df-riota 7406  df-ov 7452  df-oprab 7453  df-mpo 7454  df-om 7910  df-1st 8033  df-2nd 8034  df-supp 8213  df-tpos 8279  df-frecs 8335  df-wrecs 8366  df-recs 8415  df-rdg 8454  df-seqom 8494  df-1o 8512  df-2o 8513  df-oadd 8516  df-er 8753  df-ec 8755  df-qs 8759  df-map 8885  df-ixp 8962  df-en 9010  df-dom 9011  df-sdom 9012  df-fin 9013  df-fsupp 9390  df-sup 9469  df-inf 9470  df-oi 9539  df-dju 10017  df-card 10055  df-acn 10058  df-pnf 11382  df-mnf 11383  df-xr 11384  df-ltxr 11385  df-le 11386  df-sub 11580  df-neg 11581  df-div 12012  df-nn 12374  df-2 12443  df-3 12444  df-4 12445  df-5 12446  df-6 12447  df-7 12448  df-8 12449  df-9 12450  df-n0 12645  df-z 12732  df-dec 12853  df-uz 13004  df-rp 13159  df-fz 13678  df-fzo 13827  df-fl 13970  df-mod 14048  df-seq 14183  df-hash 14514  df-dvds 16464  df-struct 17366  df-sets 17383  df-slot 17401  df-ndx 17413  df-base 17429  df-ress 17450  df-plusg 17482  df-mulr 17483  df-starv 17484  df-sca 17485  df-vsca 17486  df-ip 17487  df-tset 17488  df-ple 17489  df-ds 17491  df-unif 17492  df-hom 17493  df-cco 17494  df-0g 17653  df-prds 17659  df-pws 17661  df-imas 17721  df-qus 17722  df-mgm 18857  df-sgrp 18949  df-mnd 18965  df-mhm 19019  df-grp 19188  df-minusg 19189  df-sbg 19190  df-mulg 19319  df-subg 19374  df-nsg 19375  df-eqg 19376  df-ghm 19469  df-gim 19514  df-gic 19515  df-cmn 20038  df-abl 20039  df-mgp 20403  df-rng 20417  df-ur 20450  df-ring 20503  df-cring 20504  df-oppr 20609  df-dvdsr 20629  df-rhm 20744  df-subrng 20840  df-subrg 20864  df-lmod 21179  df-lss 21249  df-lsp 21289  df-sra 21490  df-rgmod 21491  df-lidl 21528  df-rsp 21529  df-2idl 21585  df-cnfld 21721  df-zring 21797  df-zrh 21853  df-zn 21856  df-dsmm 22082  df-frlm 22097

This theorem is used by:  isnumbasabl  44367  dfacbasgrp  44369