Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isnumbasgrplem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isnumbasgrplem3 38448
Description: Every nonempty numerable set can be given the structure of an Abelian group, either a finite cyclic group or a vector space over Z/2Z. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
isnumbasgrplem3 ((𝑆 ∈ dom card ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝑆 ∈ (Base “ Abel))

Proof of Theorem isnumbasgrplem3
StepHypRef Expression
1 hashcl 13393 . . . . . 6 (𝑆 ∈ Fin → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
21adantl 474 . . . . 5 ((𝑆 ≠ ∅ ∧ 𝑆 ∈ Fin) → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
3 eqid 2797 . . . . . 6 (ℤ/nℤ‘(♯‘𝑆)) = (ℤ/nℤ‘(♯‘𝑆))
43zncrng 20211 . . . . 5 ((♯‘𝑆) ∈ ℕ0 → (ℤ/nℤ‘(♯‘𝑆)) ∈ CRing)
5 crngring 18871 . . . . 5 ((ℤ/nℤ‘(♯‘𝑆)) ∈ CRing → (ℤ/nℤ‘(♯‘𝑆)) ∈ Ring)
6 ringabl 18893 . . . . 5 ((ℤ/nℤ‘(♯‘𝑆)) ∈ Ring → (ℤ/nℤ‘(♯‘𝑆)) ∈ Abel)
72, 4, 5, 64syl 19 . . . 4 ((𝑆 ≠ ∅ ∧ 𝑆 ∈ Fin) → (ℤ/nℤ‘(♯‘𝑆)) ∈ Abel)
8 hashnncl 13403 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ Fin → ((♯‘𝑆) ∈ ℕ ↔ 𝑆 ≠ ∅))
98biimparc 472 . . . . . . 7 ((𝑆 ≠ ∅ ∧ 𝑆 ∈ Fin) → (♯‘𝑆) ∈ ℕ)
10 eqid 2797 . . . . . . . 8 (Base‘(ℤ/nℤ‘(♯‘𝑆))) = (Base‘(ℤ/nℤ‘(♯‘𝑆)))
113, 10znhash 20225 . . . . . . 7 ((♯‘𝑆) ∈ ℕ → (♯‘(Base‘(ℤ/nℤ‘(♯‘𝑆)))) = (♯‘𝑆))
129, 11syl 17 . . . . . 6 ((𝑆 ≠ ∅ ∧ 𝑆 ∈ Fin) → (♯‘(Base‘(ℤ/nℤ‘(♯‘𝑆)))) = (♯‘𝑆))
1312eqcomd 2803 . . . . 5 ((𝑆 ≠ ∅ ∧ 𝑆 ∈ Fin) → (♯‘𝑆) = (♯‘(Base‘(ℤ/nℤ‘(♯‘𝑆)))))
14 simpr 478 . . . . . 6 ((𝑆 ≠ ∅ ∧ 𝑆 ∈ Fin) → 𝑆 ∈ Fin)
153, 10znfi 20226 . . . . . . 7 ((♯‘𝑆) ∈ ℕ → (Base‘(ℤ/nℤ‘(♯‘𝑆))) ∈ Fin)
169, 15syl 17 . . . . . 6 ((𝑆 ≠ ∅ ∧ 𝑆 ∈ Fin) → (Base‘(ℤ/nℤ‘(♯‘𝑆))) ∈ Fin)
17 hashen 13383 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Fin ∧ (Base‘(ℤ/nℤ‘(♯‘𝑆))) ∈ Fin) → ((♯‘𝑆) = (♯‘(Base‘(ℤ/nℤ‘(♯‘𝑆)))) ↔ 𝑆 ≈ (Base‘(ℤ/nℤ‘(♯‘𝑆)))))
1814, 16, 17syl2anc 580 . . . . 5 ((𝑆 ≠ ∅ ∧ 𝑆 ∈ Fin) → ((♯‘𝑆) = (♯‘(Base‘(ℤ/nℤ‘(♯‘𝑆)))) ↔ 𝑆 ≈ (Base‘(ℤ/nℤ‘(♯‘𝑆)))))
1913, 18mpbid 224 . . . 4 ((𝑆 ≠ ∅ ∧ 𝑆 ∈ Fin) → 𝑆 ≈ (Base‘(ℤ/nℤ‘(♯‘𝑆))))
2010isnumbasgrplem1 38444 . . . 4 (((ℤ/nℤ‘(♯‘𝑆)) ∈ Abel ∧ 𝑆 ≈ (Base‘(ℤ/nℤ‘(♯‘𝑆)))) → 𝑆 ∈ (Base “ Abel))
217, 19, 20syl2anc 580 . . 3 ((𝑆 ≠ ∅ ∧ 𝑆 ∈ Fin) → 𝑆 ∈ (Base “ Abel))
2221adantll 706 . 2 (((𝑆 ∈ dom card ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ 𝑆 ∈ Fin) → 𝑆 ∈ (Base “ Abel))
23 2nn0 11595 . . . . . . 7 2 ∈ ℕ0
24 eqid 2797 . . . . . . . 8 (ℤ/nℤ‘2) = (ℤ/nℤ‘2)
2524zncrng 20211 . . . . . . 7 (2 ∈ ℕ0 → (ℤ/nℤ‘2) ∈ CRing)
26 crngring 18871 . . . . . . 7 ((ℤ/nℤ‘2) ∈ CRing → (ℤ/nℤ‘2) ∈ Ring)
2723, 25, 26mp2b 10 . . . . . 6 (ℤ/nℤ‘2) ∈ Ring
28 eqid 2797 . . . . . . 7 ((ℤ/nℤ‘2) freeLMod 𝑆) = ((ℤ/nℤ‘2) freeLMod 𝑆)
2928frlmlmod 20415 . . . . . 6 (((ℤ/nℤ‘2) ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ dom card) → ((ℤ/nℤ‘2) freeLMod 𝑆) ∈ LMod)
3027, 29mpan 682 . . . . 5 (𝑆 ∈ dom card → ((ℤ/nℤ‘2) freeLMod 𝑆) ∈ LMod)
31 lmodabl 19225 . . . . 5 (((ℤ/nℤ‘2) freeLMod 𝑆) ∈ LMod → ((ℤ/nℤ‘2) freeLMod 𝑆) ∈ Abel)
3230, 31syl 17 . . . 4 (𝑆 ∈ dom card → ((ℤ/nℤ‘2) freeLMod 𝑆) ∈ Abel)
3332ad2antrr 718 . . 3 (((𝑆 ∈ dom card ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → ((ℤ/nℤ‘2) freeLMod 𝑆) ∈ Abel)
34 eqid 2797 . . . . . . 7 (Base‘((ℤ/nℤ‘2) freeLMod 𝑆)) = (Base‘((ℤ/nℤ‘2) freeLMod 𝑆))
3524, 28, 34frlmpwfi 38441 . . . . . 6 (𝑆 ∈ dom card → (Base‘((ℤ/nℤ‘2) freeLMod 𝑆)) ≈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin))
3635ad2antrr 718 . . . . 5 (((𝑆 ∈ dom card ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → (Base‘((ℤ/nℤ‘2) freeLMod 𝑆)) ≈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin))
37 simpll 784 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ dom card ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → 𝑆 ∈ dom card)
38 numinfctb 38446 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ dom card ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → ω ≼ 𝑆)
3938adantlr 707 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ dom card ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → ω ≼ 𝑆)
40 infpwfien 9169 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝑆) → (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ≈ 𝑆)
4137, 39, 40syl2anc 580 . . . . 5 (((𝑆 ∈ dom card ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ≈ 𝑆)
42 entr 8245 . . . . 5 (((Base‘((ℤ/nℤ‘2) freeLMod 𝑆)) ≈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ≈ 𝑆) → (Base‘((ℤ/nℤ‘2) freeLMod 𝑆)) ≈ 𝑆)
4336, 41, 42syl2anc 580 . . . 4 (((𝑆 ∈ dom card ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → (Base‘((ℤ/nℤ‘2) freeLMod 𝑆)) ≈ 𝑆)
4443ensymd 8244 . . 3 (((𝑆 ∈ dom card ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → 𝑆 ≈ (Base‘((ℤ/nℤ‘2) freeLMod 𝑆)))
4534isnumbasgrplem1 38444 . . 3 ((((ℤ/nℤ‘2) freeLMod 𝑆) ∈ Abel ∧ 𝑆 ≈ (Base‘((ℤ/nℤ‘2) freeLMod 𝑆))) → 𝑆 ∈ (Base “ Abel))
4633, 44, 45syl2anc 580 . 2 (((𝑆 ∈ dom card ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → 𝑆 ∈ (Base “ Abel))
4722, 46pm2.61dan 848 1 ((𝑆 ∈ dom card ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝑆 ∈ (Base “ Abel))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  wne 2969  cin 3766  c0 4113  𝒫 cpw 4347   class class class wbr 4841  dom cdm 5310  cima 5313  cfv 6099  (class class class)co 6876  ωcom 7297  cen 8190  cdom 8191  Fincfn 8193  cardccrd 9045  cn 11310  2c2 11364  0cn0 11576  chash 13366  Basecbs 16181  Abelcabl 18506  Ringcrg 18860  CRingccrg 18861  LModclmod 19178  ℤ/nczn 20170   freeLMod cfrlm 20412
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2354  ax-ext 2775  ax-rep 4962  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181  ax-inf2 8786  ax-cnex 10278  ax-resscn 10279  ax-1cn 10280  ax-icn 10281  ax-addcl 10282  ax-addrcl 10283  ax-mulcl 10284  ax-mulrcl 10285  ax-mulcom 10286  ax-addass 10287  ax-mulass 10288  ax-distr 10289  ax-i2m1 10290  ax-1ne0 10291  ax-1rid 10292  ax-rnegex 10293  ax-rrecex 10294  ax-cnre 10295  ax-pre-lttri 10296  ax-pre-lttrn 10297  ax-pre-ltadd 10298  ax-pre-mulgt0 10299  ax-pre-sup 10300  ax-addf 10301  ax-mulf 10302
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-nel 3073  df-ral 3092  df-rex 3093  df-reu 3094  df-rmo 3095  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-pss 3783  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-tp 4371  df-op 4373  df-uni 4627  df-int 4666  df-iun 4710  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-tr 4944  df-id 5218  df-eprel 5223  df-po 5231  df-so 5232  df-fr 5269  df-se 5270  df-we 5271  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-pred 5896  df-ord 5942  df-on 5943  df-lim 5944  df-suc 5945  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-isom 6108  df-riota 6837  df-ov 6879  df-oprab 6880  df-mpt2 6881  df-om 7298  df-1st 7399  df-2nd 7400  df-supp 7531  df-tpos 7588  df-wrecs 7643  df-recs 7705  df-rdg 7743  df-seqom 7780  df-1o 7797  df-2o 7798  df-oadd 7801  df-er 7980  df-ec 7982  df-qs 7986  df-map 8095  df-ixp 8147  df-en 8194  df-dom 8195  df-sdom 8196  df-fin 8197  df-fsupp 8516  df-sup 8588  df-inf 8589  df-oi 8655  df-card 9049  df-acn 9052  df-cda 9276  df-pnf 10363  df-mnf 10364  df-xr 10365  df-ltxr 10366  df-le 10367  df-sub 10556  df-neg 10557  df-div 10975  df-nn 11311  df-2 11372  df-3 11373  df-4 11374  df-5 11375  df-6 11376  df-7 11377  df-8 11378  df-9 11379  df-n0 11577  df-z 11663  df-dec 11780  df-uz 11927  df-rp 12071  df-fz 12577  df-fzo 12717  df-fl 12844  df-mod 12920  df-seq 13052  df-hash 13367  df-dvds 15317  df-struct 16183  df-ndx 16184  df-slot 16185  df-base 16187  df-sets 16188  df-ress 16189  df-plusg 16277  df-mulr 16278  df-starv 16279  df-sca 16280  df-vsca 16281  df-ip 16282  df-tset 16283  df-ple 16284  df-ds 16286  df-unif 16287  df-hom 16288  df-cco 16289  df-0g 16414  df-prds 16420  df-pws 16422  df-imas 16480  df-qus 16481  df-mgm 17554  df-sgrp 17596  df-mnd 17607  df-mhm 17647  df-grp 17738  df-minusg 17739  df-sbg 17740  df-mulg 17854  df-subg 17901  df-nsg 17902  df-eqg 17903  df-ghm 17968  df-gim 18011  df-gic 18012  df-cmn 18507  df-abl 18508  df-mgp 18803  df-ur 18815  df-ring 18862  df-cring 18863  df-oppr 18936  df-dvdsr 18954  df-rnghom 19030  df-subrg 19093  df-lmod 19180  df-lss 19248  df-lsp 19290  df-sra 19492  df-rgmod 19493  df-lidl 19494  df-rsp 19495  df-2idl 19552  df-cnfld 20066  df-zring 20138  df-zrh 20171  df-zn 20174  df-dsmm 20398  df-frlm 20413
This theorem is referenced by:  isnumbasabl  38449  dfacbasgrp  38451
  Copyright terms: Public domain W3C validator