Theorem isfinite 9559

Description: A set is finite iff it is strictly dominated by the class of natural number. Theorem 42 of [Suppes] p. 151. The Axiom of Infinity is used for the forward implication. (Contributed by FL, 16-Apr-2011.)

Assertion

Ref	Expression
isfinite	⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐴 ≺ ω)

Proof of Theorem isfinite

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omex 9550	. 2 ⊢ ω ∈ V
2		isfiniteg 9198	. 2 ⊢ (ω ∈ V → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐴 ≺ ω))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐴 ≺ ω)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∈ wcel 2113  Vcvv 3438   class class class wbr 5096  ωcom 7806   ≺ csdm 8880  Fincfn 8881

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-inf2 9548

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-ov 7359  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885

This theorem is referenced by:  fict  9560  infxpenlem  9921  pwsdompw  10111  cflim2  10171  axcc4dom  10349  domtriom  10351  fin41  10352  dominf  10353  dominfac  10482  canthp1lem2  10562  pwfseqlem3  10569  pwfseqlem4a  10570  pwfseqlem4  10571  gchpwdom  10579  gchaleph  10580  gchhar  10588  omina  10600  gchina  10608  tskpr  10679  rexpen  16151  odinf  19490  fctop2  22947  dis1stc  23441  iunmbl2  25512  dyadmbl  25555  f1ocnt  32829  sibfof  34446  pibt2  37561  mblfinlem1  37797  ovoliunnfl  37802  heiborlem3  37953  ctbnfien  43002  pellex  43019  numinfctb  43287  saluncl  46503  meadjun  46648  meaiunlelem  46654  omeunle  46702