Theorem isfinite 9617

Description: A set is finite iff it is strictly dominated by the class of natural number. Theorem 42 of [Suppes] p. 151. The Axiom of Infinity is used for the forward implication. (Contributed by FL, 16-Apr-2011.)

Assertion

Ref	Expression
isfinite	⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐴 ≺ ω)

Proof of Theorem isfinite

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omex 9608	. 2 ⊢ ω ∈ V
2		isfiniteg 9256	. 2 ⊢ (ω ∈ V → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐴 ≺ ω))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐴 ≺ ω)

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455   class class class wbr 5109  ωcom 7858   ≺ csdm 8938  Fincfn 8939

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9606

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943

This theorem is referenced by:  fict  9618  infxpenlem  9993  pwsdompw  10182  cflim2  10242  axcc4dom  10420  domtriom  10422  fin41  10423  dominf  10424  dominfac  10553  canthp1lem2  10633  pwfseqlem3  10640  pwfseqlem4a  10641  pwfseqlem4  10642  gchpwdom  10650  gchaleph  10651  gchhar  10659  omina  10671  gchina  10679  tskpr  10750  rexpen  16279  odinf  19628  fctop2  23162  dis1stc  23656  iunmbl2  25716  dyadmbl  25759  f1ocnt  33145  sibfof  34730  pibt2  38063  mblfinlem1  38308  ovoliunnfl  38313  heiborlem3  38464  ctbnfien  43545  pellex  43562  numinfctb  43830  saluncl  47031  meadjun  47176  meaiunlelem  47182  omeunle  47230