Theorem isfinite 9620

Description: A set is finite iff it is strictly dominated by the class of natural number. Theorem 42 of [Suppes] p. 151. The Axiom of Infinity is used for the forward implication. (Contributed by FL, 16-Apr-2011.)

Assertion

Ref	Expression
isfinite	⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐴 ≺ ω)

Proof of Theorem isfinite

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omex 9611	. 2 ⊢ ω ∈ V
2		isfiniteg 9259	. 2 ⊢ (ω ∈ V → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐴 ≺ ω))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐴 ≺ ω)

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463   class class class wbr 5113  ωcom 7861   ≺ csdm 8941  Fincfn 8942

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-inf2 9609

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7414  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946

This theorem is referenced by:  fict  9621  infxpenlem  9996  pwsdompw  10185  cflim2  10246  axcc4dom  10424  domtriom  10426  fin41  10427  dominf  10428  dominfac  10557  canthp1lem2  10637  pwfseqlem3  10644  pwfseqlem4a  10645  pwfseqlem4  10646  gchpwdom  10654  gchaleph  10655  gchhar  10663  omina  10675  gchina  10683  tskpr  10754  rexpen  16283  odinf  19632  fctop2  23130  dis1stc  23624  iunmbl2  25684  dyadmbl  25727  f1ocnt  33085  sibfof  34674  pibt2  37950  mblfinlem1  38195  ovoliunnfl  38200  heiborlem3  38351  ctbnfien  43436  pellex  43453  numinfctb  43721  saluncl  46922  meadjun  47067  meaiunlelem  47073  omeunle  47121