MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isfinite Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isfinite 9114
Description: A set is finite iff it is strictly dominated by the class of natural number. Theorem 42 of [Suppes] p. 151. The Axiom of Infinity is used for the forward implication. (Contributed by FL, 16-Apr-2011.)
Assertion
Ref Expression
isfinite (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐴 ≺ ω)

Proof of Theorem isfinite
StepHypRef Expression
1 omex 9105 . 2 ω ∈ V
2 isfiniteg 8777 . 2 (ω ∈ V → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐴 ≺ ω))
31, 2ax-mp 5 1 (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐴 ≺ ω)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 208  wcel 2110  Vcvv 3494   class class class wbr 5065  ωcom 7579  csdm 8507  Fincfn 8508
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-inf2 9103
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-om 7580  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512
This theorem is referenced by:  fict  9115  infxpenlem  9438  pwsdompw  9625  cflim2  9684  axcc4dom  9862  domtriom  9864  fin41  9865  dominf  9866  infinf  9987  dominfac  9994  canthp1lem2  10074  pwfseqlem3  10081  pwfseqlem4a  10082  pwfseqlem4  10083  gchpwdom  10091  gchaleph  10092  gchhar  10100  omina  10112  gchina  10120  tskpr  10191  rexpen  15580  odinf  18689  fctop2  21612  dis1stc  22106  iunmbl2  24157  dyadmbl  24200  f1ocnt  30524  sibfof  31598  pibt2  34697  mblfinlem1  34928  ovoliunnfl  34933  heiborlem3  35090  ctbnfien  39413  pellex  39430  numinfctb  39701  saluncl  42601  meadjun  42743  meaiunlelem  42749  omeunle  42797
  Copyright terms: Public domain W3C validator