Theorem isfinite 8827

Description: A set is finite iff it is strictly dominated by the class of natural number. Theorem 42 of [Suppes] p. 151. The Axiom of Infinity is used for the forward implication. (Contributed by FL, 16-Apr-2011.)

Assertion

Ref	Expression
isfinite	⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐴 ≺ ω)

Proof of Theorem isfinite

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omex 8818	. 2 ⊢ ω ∈ V
2		isfiniteg 8490	. 2 ⊢ (ω ∈ V → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐴 ≺ ω))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐴 ≺ ω)

Syntax hints:   ↔ wb 198   ∈ wcel 2166  Vcvv 3415   class class class wbr 4874  ωcom 7327   ≺ csdm 8222  Fincfn 8223

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-inf2 8816

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-int 4699  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-om 7328  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-er 8010  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-fin 8227

This theorem is referenced by:  fict  8828  infxpenlem  9150  pwsdompw  9342  cflim2  9401  axcc4dom  9579  domtriom  9581  fin41  9582  dominf  9583  infinf  9704  unirnfdomd  9705  dominfac  9711  cfpwsdom  9722  canthp1lem2  9791  pwfseqlem3  9798  pwfseqlem4a  9799  pwfseqlem4  9800  gchpwdom  9808  gchaleph  9809  gchhar  9817  omina  9829  gchina  9837  tskpr  9908  rexpen  15332  odinf  18332  fctop2  21181  dis1stc  21674  ovolfi  23661  iunmbl2  23724  dyadmbl  23767  f1ocnt  30107  sibfof  30948  mblfinlem1  33991  ovoliunnfl  33996  heiborlem3  34155  ctbnfien  38227  pellex  38244  numinfctb  38517  saluncl  41329  meadjun  41471  meaiunlelem  41477  omeunle  41525