Theorem isfinite 9647

Description: A set is finite iff it is strictly dominated by the class of natural number. Theorem 42 of [Suppes] p. 151. The Axiom of Infinity is used for the forward implication. (Contributed by FL, 16-Apr-2011.)

Assertion

Ref	Expression
isfinite	⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐴 ≺ ω)

Proof of Theorem isfinite

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omex 9638	. 2 ⊢ ω ∈ V
2		isfiniteg 9304	. 2 ⊢ (ω ∈ V → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐴 ≺ ω))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐴 ≺ ω)

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475   class class class wbr 5149  ωcom 7855   ≺ csdm 8938  Fincfn 8939

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943

This theorem is referenced by:  fict  9648  infxpenlem  10008  pwsdompw  10199  cflim2  10258  axcc4dom  10436  domtriom  10438  fin41  10439  dominf  10440  infinf  10561  dominfac  10568  canthp1lem2  10648  pwfseqlem3  10655  pwfseqlem4a  10656  pwfseqlem4  10657  gchpwdom  10665  gchaleph  10666  gchhar  10674  omina  10686  gchina  10694  tskpr  10765  rexpen  16171  odinf  19431  fctop2  22508  dis1stc  23003  iunmbl2  25074  dyadmbl  25117  f1ocnt  32013  sibfof  33339  pibt2  36298  mblfinlem1  36525  ovoliunnfl  36530  heiborlem3  36681  ctbnfien  41556  pellex  41573  numinfctb  41845  saluncl  45033  meadjun  45178  meaiunlelem  45184  omeunle  45232