Theorem hsupss 31243

Description: Subset relation for supremum of Hilbert space subsets. (Contributed by NM, 24-Nov-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hsupss	⊢ ((𝐴 ⊆ 𝒫 ℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝒫 ℋ) → (𝐴 ⊆ 𝐵 → ( ∨ℋ ‘𝐴) ⊆ ( ∨ℋ ‘𝐵)))

Proof of Theorem hsupss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniss 4875	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ∪ 𝐴 ⊆ ∪ 𝐵)
2		sspwuni 5059	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝒫 ℋ ↔ ∪ 𝐴 ⊆ ℋ)
3		sspwuni 5059	. . . 4 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝒫 ℋ ↔ ∪ 𝐵 ⊆ ℋ)
4		occon2 31190	. . . 4 ⊢ ((∪ 𝐴 ⊆ ℋ ∧ ∪ 𝐵 ⊆ ℋ) → (∪ 𝐴 ⊆ ∪ 𝐵 → (⊥‘(⊥‘∪ 𝐴)) ⊆ (⊥‘(⊥‘∪ 𝐵))))
5	2, 3, 4	syl2anb 598	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝒫 ℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝒫 ℋ) → (∪ 𝐴 ⊆ ∪ 𝐵 → (⊥‘(⊥‘∪ 𝐴)) ⊆ (⊥‘(⊥‘∪ 𝐵))))
6	1, 5	syl5 34	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝒫 ℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝒫 ℋ) → (𝐴 ⊆ 𝐵 → (⊥‘(⊥‘∪ 𝐴)) ⊆ (⊥‘(⊥‘∪ 𝐵))))
7		hsupval 31236	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝒫 ℋ → ( ∨ℋ ‘𝐴) = (⊥‘(⊥‘∪ 𝐴)))
8	7	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝒫 ℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝒫 ℋ) → ( ∨ℋ ‘𝐴) = (⊥‘(⊥‘∪ 𝐴)))
9		hsupval 31236	. . . 4 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝒫 ℋ → ( ∨ℋ ‘𝐵) = (⊥‘(⊥‘∪ 𝐵)))
10	9	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝒫 ℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝒫 ℋ) → ( ∨ℋ ‘𝐵) = (⊥‘(⊥‘∪ 𝐵)))
11	8, 10	sseq12d 3977	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝒫 ℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝒫 ℋ) → (( ∨ℋ ‘𝐴) ⊆ ( ∨ℋ ‘𝐵) ↔ (⊥‘(⊥‘∪ 𝐴)) ⊆ (⊥‘(⊥‘∪ 𝐵))))
12	6, 11	sylibrd 259	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝒫 ℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝒫 ℋ) → (𝐴 ⊆ 𝐵 → ( ∨ℋ ‘𝐴) ⊆ ( ∨ℋ ‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ⊆ wss 3911  𝒫 cpw 4559  ∪ cuni 4867  ‘cfv 6499   ℋchba 30821  ⊥cort 30832   ∨_ℋ chsup 30836

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-hilex 30901  ax-hfvadd 30902  ax-hv0cl 30905  ax-hfvmul 30907  ax-hvmul0 30912  ax-hfi 30981  ax-his2 30985  ax-his3 30986

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7372  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-ltxr 11189  df-sh 31109  df-oc 31154  df-chsup 31213

This theorem is referenced by:  chsupss  31244