Theorem hsupss 31373

Description: Subset relation for supremum of Hilbert space subsets. (Contributed by NM, 24-Nov-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hsupss	⊢ ((𝐴 ⊆ 𝒫 ℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝒫 ℋ) → (𝐴 ⊆ 𝐵 → ( ∨ℋ ‘𝐴) ⊆ ( ∨ℋ ‘𝐵)))

Proof of Theorem hsupss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniss 4939	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ∪ 𝐴 ⊆ ∪ 𝐵)
2		sspwuni 5123	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝒫 ℋ ↔ ∪ 𝐴 ⊆ ℋ)
3		sspwuni 5123	. . . 4 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝒫 ℋ ↔ ∪ 𝐵 ⊆ ℋ)
4		occon2 31320	. . . 4 ⊢ ((∪ 𝐴 ⊆ ℋ ∧ ∪ 𝐵 ⊆ ℋ) → (∪ 𝐴 ⊆ ∪ 𝐵 → (⊥‘(⊥‘∪ 𝐴)) ⊆ (⊥‘(⊥‘∪ 𝐵))))
5	2, 3, 4	syl2anb 597	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝒫 ℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝒫 ℋ) → (∪ 𝐴 ⊆ ∪ 𝐵 → (⊥‘(⊥‘∪ 𝐴)) ⊆ (⊥‘(⊥‘∪ 𝐵))))
6	1, 5	syl5 34	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝒫 ℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝒫 ℋ) → (𝐴 ⊆ 𝐵 → (⊥‘(⊥‘∪ 𝐴)) ⊆ (⊥‘(⊥‘∪ 𝐵))))
7		hsupval 31366	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝒫 ℋ → ( ∨ℋ ‘𝐴) = (⊥‘(⊥‘∪ 𝐴)))
8	7	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝒫 ℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝒫 ℋ) → ( ∨ℋ ‘𝐴) = (⊥‘(⊥‘∪ 𝐴)))
9		hsupval 31366	. . . 4 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝒫 ℋ → ( ∨ℋ ‘𝐵) = (⊥‘(⊥‘∪ 𝐵)))
10	9	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝒫 ℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝒫 ℋ) → ( ∨ℋ ‘𝐵) = (⊥‘(⊥‘∪ 𝐵)))
11	8, 10	sseq12d 4042	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝒫 ℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝒫 ℋ) → (( ∨ℋ ‘𝐴) ⊆ ( ∨ℋ ‘𝐵) ↔ (⊥‘(⊥‘∪ 𝐴)) ⊆ (⊥‘(⊥‘∪ 𝐵))))
12	6, 11	sylibrd 259	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝒫 ℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝒫 ℋ) → (𝐴 ⊆ 𝐵 → ( ∨ℋ ‘𝐴) ⊆ ( ∨ℋ ‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ⊆ wss 3976  𝒫 cpw 4622  ∪ cuni 4931  ‘cfv 6573   ℋchba 30951  ⊥cort 30962   ∨_ℋ chsup 30966

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-hilex 31031  ax-hfvadd 31032  ax-hv0cl 31035  ax-hfvmul 31037  ax-hvmul0 31042  ax-hfi 31111  ax-his2 31115  ax-his3 31116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329  df-sh 31239  df-oc 31284  df-chsup 31343

This theorem is referenced by:  chsupss  31374