Theorem hsupss 31321

Description: Subset relation for supremum of Hilbert space subsets. (Contributed by NM, 24-Nov-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hsupss	⊢ ((𝐴 ⊆ 𝒫 ℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝒫 ℋ) → (𝐴 ⊆ 𝐵 → ( ∨ℋ ‘𝐴) ⊆ ( ∨ℋ ‘𝐵)))

Proof of Theorem hsupss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniss 4864	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ∪ 𝐴 ⊆ ∪ 𝐵)
2		sspwuni 5046	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝒫 ℋ ↔ ∪ 𝐴 ⊆ ℋ)
3		sspwuni 5046	. . . 4 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝒫 ℋ ↔ ∪ 𝐵 ⊆ ℋ)
4		occon2 31268	. . . 4 ⊢ ((∪ 𝐴 ⊆ ℋ ∧ ∪ 𝐵 ⊆ ℋ) → (∪ 𝐴 ⊆ ∪ 𝐵 → (⊥‘(⊥‘∪ 𝐴)) ⊆ (⊥‘(⊥‘∪ 𝐵))))
5	2, 3, 4	syl2anb 598	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝒫 ℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝒫 ℋ) → (∪ 𝐴 ⊆ ∪ 𝐵 → (⊥‘(⊥‘∪ 𝐴)) ⊆ (⊥‘(⊥‘∪ 𝐵))))
6	1, 5	syl5 34	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝒫 ℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝒫 ℋ) → (𝐴 ⊆ 𝐵 → (⊥‘(⊥‘∪ 𝐴)) ⊆ (⊥‘(⊥‘∪ 𝐵))))
7		hsupval 31314	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝒫 ℋ → ( ∨ℋ ‘𝐴) = (⊥‘(⊥‘∪ 𝐴)))
8	7	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝒫 ℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝒫 ℋ) → ( ∨ℋ ‘𝐴) = (⊥‘(⊥‘∪ 𝐴)))
9		hsupval 31314	. . . 4 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝒫 ℋ → ( ∨ℋ ‘𝐵) = (⊥‘(⊥‘∪ 𝐵)))
10	9	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝒫 ℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝒫 ℋ) → ( ∨ℋ ‘𝐵) = (⊥‘(⊥‘∪ 𝐵)))
11	8, 10	sseq12d 3963	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝒫 ℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝒫 ℋ) → (( ∨ℋ ‘𝐴) ⊆ ( ∨ℋ ‘𝐵) ↔ (⊥‘(⊥‘∪ 𝐴)) ⊆ (⊥‘(⊥‘∪ 𝐵))))
12	6, 11	sylibrd 259	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝒫 ℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝒫 ℋ) → (𝐴 ⊆ 𝐵 → ( ∨ℋ ‘𝐴) ⊆ ( ∨ℋ ‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ⊆ wss 3897  𝒫 cpw 4547  ∪ cuni 4856  ‘cfv 6481   ℋchba 30899  ⊥cort 30910   ∨_ℋ chsup 30914

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-hilex 30979  ax-hfvadd 30980  ax-hv0cl 30983  ax-hfvmul 30985  ax-hvmul0 30990  ax-hfi 31059  ax-his2 31063  ax-his3 31064

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-po 5522  df-so 5523  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-ltxr 11151  df-sh 31187  df-oc 31232  df-chsup 31291

This theorem is referenced by:  chsupss  31322