Theorem hsupss 31270

Description: Subset relation for supremum of Hilbert space subsets. (Contributed by NM, 24-Nov-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hsupss	⊢ ((𝐴 ⊆ 𝒫 ℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝒫 ℋ) → (𝐴 ⊆ 𝐵 → ( ∨ℋ ‘𝐴) ⊆ ( ∨ℋ ‘𝐵)))

Proof of Theorem hsupss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniss 4879	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ∪ 𝐴 ⊆ ∪ 𝐵)
2		sspwuni 5064	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝒫 ℋ ↔ ∪ 𝐴 ⊆ ℋ)
3		sspwuni 5064	. . . 4 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝒫 ℋ ↔ ∪ 𝐵 ⊆ ℋ)
4		occon2 31217	. . . 4 ⊢ ((∪ 𝐴 ⊆ ℋ ∧ ∪ 𝐵 ⊆ ℋ) → (∪ 𝐴 ⊆ ∪ 𝐵 → (⊥‘(⊥‘∪ 𝐴)) ⊆ (⊥‘(⊥‘∪ 𝐵))))
5	2, 3, 4	syl2anb 598	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝒫 ℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝒫 ℋ) → (∪ 𝐴 ⊆ ∪ 𝐵 → (⊥‘(⊥‘∪ 𝐴)) ⊆ (⊥‘(⊥‘∪ 𝐵))))
6	1, 5	syl5 34	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝒫 ℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝒫 ℋ) → (𝐴 ⊆ 𝐵 → (⊥‘(⊥‘∪ 𝐴)) ⊆ (⊥‘(⊥‘∪ 𝐵))))
7		hsupval 31263	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝒫 ℋ → ( ∨ℋ ‘𝐴) = (⊥‘(⊥‘∪ 𝐴)))
8	7	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝒫 ℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝒫 ℋ) → ( ∨ℋ ‘𝐴) = (⊥‘(⊥‘∪ 𝐴)))
9		hsupval 31263	. . . 4 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝒫 ℋ → ( ∨ℋ ‘𝐵) = (⊥‘(⊥‘∪ 𝐵)))
10	9	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝒫 ℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝒫 ℋ) → ( ∨ℋ ‘𝐵) = (⊥‘(⊥‘∪ 𝐵)))
11	8, 10	sseq12d 3980	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝒫 ℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝒫 ℋ) → (( ∨ℋ ‘𝐴) ⊆ ( ∨ℋ ‘𝐵) ↔ (⊥‘(⊥‘∪ 𝐴)) ⊆ (⊥‘(⊥‘∪ 𝐵))))
12	6, 11	sylibrd 259	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝒫 ℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝒫 ℋ) → (𝐴 ⊆ 𝐵 → ( ∨ℋ ‘𝐴) ⊆ ( ∨ℋ ‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ⊆ wss 3914  𝒫 cpw 4563  ∪ cuni 4871  ‘cfv 6511   ℋchba 30848  ⊥cort 30859   ∨_ℋ chsup 30863

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-hilex 30928  ax-hfvadd 30929  ax-hv0cl 30932  ax-hfvmul 30934  ax-hvmul0 30939  ax-hfi 31008  ax-his2 31012  ax-his3 31013

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-ltxr 11213  df-sh 31136  df-oc 31181  df-chsup 31240

This theorem is referenced by:  chsupss  31271