Theorem caragenuni 47614

Description: The base set of the sigma-algebra generated by the Caratheodory's construction is the whole base set of the original outer measure. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
caragenuni.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
caragenuni.s	⊢ 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)

Assertion

Ref	Expression
caragenuni	⊢ (𝜑 → ∪ 𝑆 = ∪ dom 𝑂)

Proof of Theorem caragenuni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caragenuni.o	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
2		caragenuni.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
3	2	caragenss 47607	. . . 4 ⊢ (𝑂 ∈ OutMeas → 𝑆 ⊆ dom 𝑂)
4	1, 3	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ dom 𝑂)
5	4	unissd 4876	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑆 ⊆ ∪ dom 𝑂)
6		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ∪ dom 𝑂 = ∪ dom 𝑂
7	1, 6, 2	caragenunidm 47611	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ dom 𝑂 ∈ 𝑆)
8		elssuni 4898	. . 3 ⊢ (∪ dom 𝑂 ∈ 𝑆 → ∪ dom 𝑂 ⊆ ∪ 𝑆)
9	7, 8	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ dom 𝑂 ⊆ ∪ 𝑆)
10	5, 9	eqssd 3925	1 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑆 = ∪ dom 𝑂)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3895  ∪ cuni 4866  dom cdm 5650  ‘cfv 6538  OutMeascome 47592  CaraGenccaragen 47594

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-xadd 13245  df-icc 13486  df-ome 47593  df-caragen 47595

This theorem is used by:  caragendifcl  47617  carageniuncl  47626  unidmvon  47720