Theorem caragenuni 46943

Description: The base set of the sigma-algebra generated by the Caratheodory's construction is the whole base set of the original outer measure. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
caragenuni.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
caragenuni.s	⊢ 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)

Assertion

Ref	Expression
caragenuni	⊢ (𝜑 → ∪ 𝑆 = ∪ dom 𝑂)

Proof of Theorem caragenuni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caragenuni.o	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
2		caragenuni.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
3	2	caragenss 46936	. . . 4 ⊢ (𝑂 ∈ OutMeas → 𝑆 ⊆ dom 𝑂)
4	1, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ dom 𝑂)
5	4	unissd 4861	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑆 ⊆ ∪ dom 𝑂)
6		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ∪ dom 𝑂 = ∪ dom 𝑂
7	1, 6, 2	caragenunidm 46940	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ dom 𝑂 ∈ 𝑆)
8		elssuni 4882	. . 3 ⊢ (∪ dom 𝑂 ∈ 𝑆 → ∪ dom 𝑂 ⊆ ∪ 𝑆)
9	7, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ dom 𝑂 ⊆ ∪ 𝑆)
10	5, 9	eqssd 3940	1 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑆 = ∪ dom 𝑂)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3890  ∪ cuni 4851  dom cdm 5622  ‘cfv 6490  OutMeascome 46921  CaraGenccaragen 46923

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5517  df-po 5530  df-so 5531  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11169  df-mnf 11170  df-xr 11171  df-ltxr 11172  df-xadd 13028  df-icc 13269  df-ome 46922  df-caragen 46924

This theorem is referenced by:  caragendifcl  46946  carageniuncl  46955  unidmvon  47049