Theorem caragenuni 47726

Description: The base set of the sigma-algebra generated by the Caratheodory's construction is the whole base set of the original outer measure. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
caragenuni.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
caragenuni.s	⊢ 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)

Assertion

Ref	Expression
caragenuni	⊢ (𝜑 → ∪ 𝑆 = ∪ dom 𝑂)

Proof of Theorem caragenuni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caragenuni.o	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
2		caragenuni.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
3	2	caragenss 47719	. . . 4 ⊢ (𝑂 ∈ OutMeas → 𝑆 ⊆ dom 𝑂)
4	1, 3	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ dom 𝑂)
5	4	unissd 4880	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑆 ⊆ ∪ dom 𝑂)
6		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ∪ dom 𝑂 = ∪ dom 𝑂
7	1, 6, 2	caragenunidm 47723	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ dom 𝑂 ∈ 𝑆)
8		elssuni 4902	. . 3 ⊢ (∪ dom 𝑂 ∈ 𝑆 → ∪ dom 𝑂 ⊆ ∪ 𝑆)
9	7, 8	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ dom 𝑂 ⊆ ∪ 𝑆)
10	5, 9	eqssd 3930	1 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑆 = ∪ dom 𝑂)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900  ∪ cuni 4870  dom cdm 5655  ‘cfv 6558  OutMeascome 47704  CaraGenccaragen 47706

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-xadd 13269  df-icc 13510  df-ome 47705  df-caragen 47707

This theorem is used by:  caragendifcl  47729  carageniuncl  47738  unidmvon  47832