Theorem caragenuni 46467

Description: The base set of the sigma-algebra generated by the Caratheodory's construction is the whole base set of the original outer measure. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
caragenuni.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
caragenuni.s	⊢ 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)

Assertion

Ref	Expression
caragenuni	⊢ (𝜑 → ∪ 𝑆 = ∪ dom 𝑂)

Proof of Theorem caragenuni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caragenuni.o	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
2		caragenuni.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
3	2	caragenss 46460	. . . 4 ⊢ (𝑂 ∈ OutMeas → 𝑆 ⊆ dom 𝑂)
4	1, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ dom 𝑂)
5	4	unissd 4922	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑆 ⊆ ∪ dom 𝑂)
6		eqid 2735	. . . 4 ⊢ ∪ dom 𝑂 = ∪ dom 𝑂
7	1, 6, 2	caragenunidm 46464	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ dom 𝑂 ∈ 𝑆)
8		elssuni 4942	. . 3 ⊢ (∪ dom 𝑂 ∈ 𝑆 → ∪ dom 𝑂 ⊆ ∪ 𝑆)
9	7, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ dom 𝑂 ⊆ ∪ 𝑆)
10	5, 9	eqssd 4013	1 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑆 = ∪ dom 𝑂)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3963  ∪ cuni 4912  dom cdm 5689  ‘cfv 6563  OutMeascome 46445  CaraGenccaragen 46447

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-xadd 13153  df-icc 13391  df-ome 46446  df-caragen 46448

This theorem is referenced by:  caragendifcl  46470  carageniuncl  46479  unidmvon  46573