Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  caragenuni Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem caragenuni 44826
Description: The base set of the sigma-algebra generated by the Caratheodory's construction is the whole base set of the original outer measure. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
caragenuni.o (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ OutMeas)
caragenuni.s 𝑆 = (CaraGenβ€˜π‘‚)
Assertion
Ref Expression
caragenuni (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑆 = βˆͺ dom 𝑂)

Proof of Theorem caragenuni
StepHypRef Expression
1 caragenuni.o . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ OutMeas)
2 caragenuni.s . . . . 5 𝑆 = (CaraGenβ€˜π‘‚)
32caragenss 44819 . . . 4 (𝑂 ∈ OutMeas β†’ 𝑆 βŠ† dom 𝑂)
41, 3syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† dom 𝑂)
54unissd 4880 . 2 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑆 βŠ† βˆͺ dom 𝑂)
6 eqid 2737 . . . 4 βˆͺ dom 𝑂 = βˆͺ dom 𝑂
71, 6, 2caragenunidm 44823 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆͺ dom 𝑂 ∈ 𝑆)
8 elssuni 4903 . . 3 (βˆͺ dom 𝑂 ∈ 𝑆 β†’ βˆͺ dom 𝑂 βŠ† βˆͺ 𝑆)
97, 8syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ βˆͺ dom 𝑂 βŠ† βˆͺ 𝑆)
105, 9eqssd 3966 1 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑆 = βˆͺ dom 𝑂)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βŠ† wss 3915  βˆͺ cuni 4870  dom cdm 5638  β€˜cfv 6501  OutMeascome 44804  CaraGenccaragen 44806
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-po 5550  df-so 5551  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-xadd 13041  df-icc 13278  df-ome 44805  df-caragen 44807
This theorem is referenced by:  caragendifcl  44829  carageniuncl  44838  unidmvon  44932
  Copyright terms: Public domain W3C validator