Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  caragenuni Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem caragenuni 45961
Description: The base set of the sigma-algebra generated by the Caratheodory's construction is the whole base set of the original outer measure. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
caragenuni.o (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ OutMeas)
caragenuni.s 𝑆 = (CaraGenβ€˜π‘‚)
Assertion
Ref Expression
caragenuni (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑆 = βˆͺ dom 𝑂)

Proof of Theorem caragenuni
StepHypRef Expression
1 caragenuni.o . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ OutMeas)
2 caragenuni.s . . . . 5 𝑆 = (CaraGenβ€˜π‘‚)
32caragenss 45954 . . . 4 (𝑂 ∈ OutMeas β†’ 𝑆 βŠ† dom 𝑂)
41, 3syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† dom 𝑂)
54unissd 4913 . 2 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑆 βŠ† βˆͺ dom 𝑂)
6 eqid 2725 . . . 4 βˆͺ dom 𝑂 = βˆͺ dom 𝑂
71, 6, 2caragenunidm 45958 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆͺ dom 𝑂 ∈ 𝑆)
8 elssuni 4935 . . 3 (βˆͺ dom 𝑂 ∈ 𝑆 β†’ βˆͺ dom 𝑂 βŠ† βˆͺ 𝑆)
97, 8syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ βˆͺ dom 𝑂 βŠ† βˆͺ 𝑆)
105, 9eqssd 3990 1 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑆 = βˆͺ dom 𝑂)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3940  βˆͺ cuni 4903  dom cdm 5672  β€˜cfv 6542  OutMeascome 45939  CaraGenccaragen 45941
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-xadd 13123  df-icc 13361  df-ome 45940  df-caragen 45942
This theorem is referenced by:  caragendifcl  45964  carageniuncl  45973  unidmvon  46067
  Copyright terms: Public domain W3C validator