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Theorem omopth 8077
Description: An ordered pair theorem for finite integers. Analogous to nn0opthi 13438. (Contributed by Scott Fenton, 1-May-2012.)
Assertion
Ref Expression
omopth (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷 ∈ ω)) → ((((𝐴 +o 𝐵) ·o (𝐴 +o 𝐵)) +o 𝐵) = (((𝐶 +o 𝐷) ·o (𝐶 +o 𝐷)) +o 𝐷) ↔ (𝐴 = 𝐶𝐵 = 𝐷)))

Proof of Theorem omopth
StepHypRef Expression
1 oveq1 6977 . . . . . 6 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) → (𝐴 +o 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝐵))
21, 1oveq12d 6988 . . . . 5 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) → ((𝐴 +o 𝐵) ·o (𝐴 +o 𝐵)) = ((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝐵) ·o (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝐵)))
32oveq1d 6985 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) → (((𝐴 +o 𝐵) ·o (𝐴 +o 𝐵)) +o 𝐵) = (((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝐵) ·o (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝐵)) +o 𝐵))
43eqeq1d 2774 . . 3 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) → ((((𝐴 +o 𝐵) ·o (𝐴 +o 𝐵)) +o 𝐵) = (((𝐶 +o 𝐷) ·o (𝐶 +o 𝐷)) +o 𝐷) ↔ (((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝐵) ·o (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝐵)) +o 𝐵) = (((𝐶 +o 𝐷) ·o (𝐶 +o 𝐷)) +o 𝐷)))
5 eqeq1 2776 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) → (𝐴 = 𝐶 ↔ if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = 𝐶))
65anbi1d 620 . . 3 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) → ((𝐴 = 𝐶𝐵 = 𝐷) ↔ (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = 𝐶𝐵 = 𝐷)))
74, 6bibi12d 338 . 2 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) → (((((𝐴 +o 𝐵) ·o (𝐴 +o 𝐵)) +o 𝐵) = (((𝐶 +o 𝐷) ·o (𝐶 +o 𝐷)) +o 𝐷) ↔ (𝐴 = 𝐶𝐵 = 𝐷)) ↔ ((((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝐵) ·o (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝐵)) +o 𝐵) = (((𝐶 +o 𝐷) ·o (𝐶 +o 𝐷)) +o 𝐷) ↔ (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = 𝐶𝐵 = 𝐷))))
8 oveq2 6978 . . . . . 6 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) → (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)))
98, 8oveq12d 6988 . . . . 5 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) → ((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝐵) ·o (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝐵)) = ((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ·o (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅))))
10 id 22 . . . . 5 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) → 𝐵 = if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅))
119, 10oveq12d 6988 . . . 4 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) → (((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝐵) ·o (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝐵)) +o 𝐵) = (((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ·o (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅))) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)))
1211eqeq1d 2774 . . 3 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) → ((((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝐵) ·o (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝐵)) +o 𝐵) = (((𝐶 +o 𝐷) ·o (𝐶 +o 𝐷)) +o 𝐷) ↔ (((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ·o (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅))) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) = (((𝐶 +o 𝐷) ·o (𝐶 +o 𝐷)) +o 𝐷)))
13 eqeq1 2776 . . . 4 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) → (𝐵 = 𝐷 ↔ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) = 𝐷))
1413anbi2d 619 . . 3 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) → ((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = 𝐶𝐵 = 𝐷) ↔ (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = 𝐶 ∧ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) = 𝐷)))
1512, 14bibi12d 338 . 2 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) → (((((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝐵) ·o (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝐵)) +o 𝐵) = (((𝐶 +o 𝐷) ·o (𝐶 +o 𝐷)) +o 𝐷) ↔ (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = 𝐶𝐵 = 𝐷)) ↔ ((((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ·o (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅))) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) = (((𝐶 +o 𝐷) ·o (𝐶 +o 𝐷)) +o 𝐷) ↔ (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = 𝐶 ∧ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) = 𝐷))))
16 oveq1 6977 . . . . . 6 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) → (𝐶 +o 𝐷) = (if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o 𝐷))
1716, 16oveq12d 6988 . . . . 5 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) → ((𝐶 +o 𝐷) ·o (𝐶 +o 𝐷)) = ((if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o 𝐷) ·o (if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o 𝐷)))
1817oveq1d 6985 . . . 4 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) → (((𝐶 +o 𝐷) ·o (𝐶 +o 𝐷)) +o 𝐷) = (((if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o 𝐷) ·o (if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o 𝐷)) +o 𝐷))
1918eqeq2d 2782 . . 3 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) → ((((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ·o (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅))) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) = (((𝐶 +o 𝐷) ·o (𝐶 +o 𝐷)) +o 𝐷) ↔ (((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ·o (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅))) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) = (((if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o 𝐷) ·o (if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o 𝐷)) +o 𝐷)))
20 eqeq2 2783 . . . 4 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) → (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = 𝐶 ↔ if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅)))
2120anbi1d 620 . . 3 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) → ((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = 𝐶 ∧ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) = 𝐷) ↔ (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) ∧ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) = 𝐷)))
2219, 21bibi12d 338 . 2 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) → (((((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ·o (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅))) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) = (((𝐶 +o 𝐷) ·o (𝐶 +o 𝐷)) +o 𝐷) ↔ (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = 𝐶 ∧ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) = 𝐷)) ↔ ((((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ·o (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅))) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) = (((if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o 𝐷) ·o (if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o 𝐷)) +o 𝐷) ↔ (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) ∧ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) = 𝐷))))
23 oveq2 6978 . . . . . 6 (𝐷 = if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅) → (if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o 𝐷) = (if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅)))
2423, 23oveq12d 6988 . . . . 5 (𝐷 = if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅) → ((if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o 𝐷) ·o (if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o 𝐷)) = ((if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅)) ·o (if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅))))
25 id 22 . . . . 5 (𝐷 = if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅) → 𝐷 = if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅))
2624, 25oveq12d 6988 . . . 4 (𝐷 = if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅) → (((if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o 𝐷) ·o (if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o 𝐷)) +o 𝐷) = (((if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅)) ·o (if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅))) +o if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅)))
2726eqeq2d 2782 . . 3 (𝐷 = if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅) → ((((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ·o (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅))) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) = (((if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o 𝐷) ·o (if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o 𝐷)) +o 𝐷) ↔ (((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ·o (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅))) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) = (((if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅)) ·o (if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅))) +o if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅))))
28 eqeq2 2783 . . . 4 (𝐷 = if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅) → (if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) = 𝐷 ↔ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) = if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅)))
2928anbi2d 619 . . 3 (𝐷 = if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅) → ((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) ∧ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) = 𝐷) ↔ (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) ∧ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) = if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅))))
3027, 29bibi12d 338 . 2 (𝐷 = if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅) → (((((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ·o (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅))) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) = (((if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o 𝐷) ·o (if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o 𝐷)) +o 𝐷) ↔ (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) ∧ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) = 𝐷)) ↔ ((((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ·o (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅))) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) = (((if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅)) ·o (if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅))) +o if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅)) ↔ (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) ∧ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) = if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅)))))
31 peano1 7410 . . . 4 ∅ ∈ ω
3231elimel 4411 . . 3 if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) ∈ ω
3331elimel 4411 . . 3 if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) ∈ ω
3431elimel 4411 . . 3 if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) ∈ ω
3531elimel 4411 . . 3 if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅) ∈ ω
3632, 33, 34, 35omopthi 8076 . 2 ((((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ·o (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅))) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) = (((if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅)) ·o (if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅))) +o if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅)) ↔ (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) ∧ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) = if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅)))
377, 15, 22, 30, 36dedth4h 4403 1 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷 ∈ ω)) → ((((𝐴 +o 𝐵) ·o (𝐴 +o 𝐵)) +o 𝐵) = (((𝐶 +o 𝐷) ·o (𝐶 +o 𝐷)) +o 𝐷) ↔ (𝐴 = 𝐶𝐵 = 𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387   = wceq 1507  wcel 2048  c0 4173  ifcif 4344  (class class class)co 6970  ωcom 7390   +o coa 7894   ·o comu 7895
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-wrecs 7743  df-recs 7805  df-rdg 7843  df-1o 7897  df-2o 7898  df-oadd 7901  df-omul 7902
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