MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  omopth Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omopth 8661
Description: An ordered pair theorem for finite integers. Analogous to nn0opthi 14230. (Contributed by Scott Fenton, 1-May-2012.)
Assertion
Ref Expression
omopth (((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โˆง (๐ถ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ท โˆˆ ฯ‰)) โ†’ ((((๐ด +o ๐ต) ยทo (๐ด +o ๐ต)) +o ๐ต) = (((๐ถ +o ๐ท) ยทo (๐ถ +o ๐ท)) +o ๐ท) โ†” (๐ด = ๐ถ โˆง ๐ต = ๐ท)))

Proof of Theorem omopth
StepHypRef Expression
1 oveq1 7416 . . . . . 6 (๐ด = if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) โ†’ (๐ด +o ๐ต) = (if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) +o ๐ต))
21, 1oveq12d 7427 . . . . 5 (๐ด = if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) โ†’ ((๐ด +o ๐ต) ยทo (๐ด +o ๐ต)) = ((if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) +o ๐ต) ยทo (if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) +o ๐ต)))
32oveq1d 7424 . . . 4 (๐ด = if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) โ†’ (((๐ด +o ๐ต) ยทo (๐ด +o ๐ต)) +o ๐ต) = (((if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) +o ๐ต) ยทo (if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) +o ๐ต)) +o ๐ต))
43eqeq1d 2735 . . 3 (๐ด = if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) โ†’ ((((๐ด +o ๐ต) ยทo (๐ด +o ๐ต)) +o ๐ต) = (((๐ถ +o ๐ท) ยทo (๐ถ +o ๐ท)) +o ๐ท) โ†” (((if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) +o ๐ต) ยทo (if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) +o ๐ต)) +o ๐ต) = (((๐ถ +o ๐ท) ยทo (๐ถ +o ๐ท)) +o ๐ท)))
5 eqeq1 2737 . . . 4 (๐ด = if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) โ†’ (๐ด = ๐ถ โ†” if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) = ๐ถ))
65anbi1d 631 . . 3 (๐ด = if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) โ†’ ((๐ด = ๐ถ โˆง ๐ต = ๐ท) โ†” (if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) = ๐ถ โˆง ๐ต = ๐ท)))
74, 6bibi12d 346 . 2 (๐ด = if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) โ†’ (((((๐ด +o ๐ต) ยทo (๐ด +o ๐ต)) +o ๐ต) = (((๐ถ +o ๐ท) ยทo (๐ถ +o ๐ท)) +o ๐ท) โ†” (๐ด = ๐ถ โˆง ๐ต = ๐ท)) โ†” ((((if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) +o ๐ต) ยทo (if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) +o ๐ต)) +o ๐ต) = (((๐ถ +o ๐ท) ยทo (๐ถ +o ๐ท)) +o ๐ท) โ†” (if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) = ๐ถ โˆง ๐ต = ๐ท))))
8 oveq2 7417 . . . . . 6 (๐ต = if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…) โ†’ (if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) +o ๐ต) = (if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) +o if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…)))
98, 8oveq12d 7427 . . . . 5 (๐ต = if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…) โ†’ ((if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) +o ๐ต) ยทo (if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) +o ๐ต)) = ((if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) +o if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…)) ยทo (if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) +o if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…))))
10 id 22 . . . . 5 (๐ต = if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…) โ†’ ๐ต = if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…))
119, 10oveq12d 7427 . . . 4 (๐ต = if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…) โ†’ (((if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) +o ๐ต) ยทo (if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) +o ๐ต)) +o ๐ต) = (((if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) +o if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…)) ยทo (if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) +o if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…))) +o if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…)))
1211eqeq1d 2735 . . 3 (๐ต = if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…) โ†’ ((((if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) +o ๐ต) ยทo (if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) +o ๐ต)) +o ๐ต) = (((๐ถ +o ๐ท) ยทo (๐ถ +o ๐ท)) +o ๐ท) โ†” (((if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) +o if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…)) ยทo (if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) +o if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…))) +o if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…)) = (((๐ถ +o ๐ท) ยทo (๐ถ +o ๐ท)) +o ๐ท)))
13 eqeq1 2737 . . . 4 (๐ต = if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…) โ†’ (๐ต = ๐ท โ†” if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…) = ๐ท))
1413anbi2d 630 . . 3 (๐ต = if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…) โ†’ ((if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) = ๐ถ โˆง ๐ต = ๐ท) โ†” (if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) = ๐ถ โˆง if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…) = ๐ท)))
1512, 14bibi12d 346 . 2 (๐ต = if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…) โ†’ (((((if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) +o ๐ต) ยทo (if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) +o ๐ต)) +o ๐ต) = (((๐ถ +o ๐ท) ยทo (๐ถ +o ๐ท)) +o ๐ท) โ†” (if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) = ๐ถ โˆง ๐ต = ๐ท)) โ†” ((((if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) +o if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…)) ยทo (if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) +o if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…))) +o if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…)) = (((๐ถ +o ๐ท) ยทo (๐ถ +o ๐ท)) +o ๐ท) โ†” (if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) = ๐ถ โˆง if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…) = ๐ท))))
16 oveq1 7416 . . . . . 6 (๐ถ = if(๐ถ โˆˆ ฯ‰, ๐ถ, โˆ…) โ†’ (๐ถ +o ๐ท) = (if(๐ถ โˆˆ ฯ‰, ๐ถ, โˆ…) +o ๐ท))
1716, 16oveq12d 7427 . . . . 5 (๐ถ = if(๐ถ โˆˆ ฯ‰, ๐ถ, โˆ…) โ†’ ((๐ถ +o ๐ท) ยทo (๐ถ +o ๐ท)) = ((if(๐ถ โˆˆ ฯ‰, ๐ถ, โˆ…) +o ๐ท) ยทo (if(๐ถ โˆˆ ฯ‰, ๐ถ, โˆ…) +o ๐ท)))
1817oveq1d 7424 . . . 4 (๐ถ = if(๐ถ โˆˆ ฯ‰, ๐ถ, โˆ…) โ†’ (((๐ถ +o ๐ท) ยทo (๐ถ +o ๐ท)) +o ๐ท) = (((if(๐ถ โˆˆ ฯ‰, ๐ถ, โˆ…) +o ๐ท) ยทo (if(๐ถ โˆˆ ฯ‰, ๐ถ, โˆ…) +o ๐ท)) +o ๐ท))
1918eqeq2d 2744 . . 3 (๐ถ = if(๐ถ โˆˆ ฯ‰, ๐ถ, โˆ…) โ†’ ((((if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) +o if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…)) ยทo (if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) +o if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…))) +o if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…)) = (((๐ถ +o ๐ท) ยทo (๐ถ +o ๐ท)) +o ๐ท) โ†” (((if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) +o if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…)) ยทo (if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) +o if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…))) +o if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…)) = (((if(๐ถ โˆˆ ฯ‰, ๐ถ, โˆ…) +o ๐ท) ยทo (if(๐ถ โˆˆ ฯ‰, ๐ถ, โˆ…) +o ๐ท)) +o ๐ท)))
20 eqeq2 2745 . . . 4 (๐ถ = if(๐ถ โˆˆ ฯ‰, ๐ถ, โˆ…) โ†’ (if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) = ๐ถ โ†” if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) = if(๐ถ โˆˆ ฯ‰, ๐ถ, โˆ…)))
2120anbi1d 631 . . 3 (๐ถ = if(๐ถ โˆˆ ฯ‰, ๐ถ, โˆ…) โ†’ ((if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) = ๐ถ โˆง if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…) = ๐ท) โ†” (if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) = if(๐ถ โˆˆ ฯ‰, ๐ถ, โˆ…) โˆง if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…) = ๐ท)))
2219, 21bibi12d 346 . 2 (๐ถ = if(๐ถ โˆˆ ฯ‰, ๐ถ, โˆ…) โ†’ (((((if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) +o if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…)) ยทo (if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) +o if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…))) +o if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…)) = (((๐ถ +o ๐ท) ยทo (๐ถ +o ๐ท)) +o ๐ท) โ†” (if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) = ๐ถ โˆง if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…) = ๐ท)) โ†” ((((if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) +o if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…)) ยทo (if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) +o if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…))) +o if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…)) = (((if(๐ถ โˆˆ ฯ‰, ๐ถ, โˆ…) +o ๐ท) ยทo (if(๐ถ โˆˆ ฯ‰, ๐ถ, โˆ…) +o ๐ท)) +o ๐ท) โ†” (if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) = if(๐ถ โˆˆ ฯ‰, ๐ถ, โˆ…) โˆง if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…) = ๐ท))))
23 oveq2 7417 . . . . . 6 (๐ท = if(๐ท โˆˆ ฯ‰, ๐ท, โˆ…) โ†’ (if(๐ถ โˆˆ ฯ‰, ๐ถ, โˆ…) +o ๐ท) = (if(๐ถ โˆˆ ฯ‰, ๐ถ, โˆ…) +o if(๐ท โˆˆ ฯ‰, ๐ท, โˆ…)))
2423, 23oveq12d 7427 . . . . 5 (๐ท = if(๐ท โˆˆ ฯ‰, ๐ท, โˆ…) โ†’ ((if(๐ถ โˆˆ ฯ‰, ๐ถ, โˆ…) +o ๐ท) ยทo (if(๐ถ โˆˆ ฯ‰, ๐ถ, โˆ…) +o ๐ท)) = ((if(๐ถ โˆˆ ฯ‰, ๐ถ, โˆ…) +o if(๐ท โˆˆ ฯ‰, ๐ท, โˆ…)) ยทo (if(๐ถ โˆˆ ฯ‰, ๐ถ, โˆ…) +o if(๐ท โˆˆ ฯ‰, ๐ท, โˆ…))))
25 id 22 . . . . 5 (๐ท = if(๐ท โˆˆ ฯ‰, ๐ท, โˆ…) โ†’ ๐ท = if(๐ท โˆˆ ฯ‰, ๐ท, โˆ…))
2624, 25oveq12d 7427 . . . 4 (๐ท = if(๐ท โˆˆ ฯ‰, ๐ท, โˆ…) โ†’ (((if(๐ถ โˆˆ ฯ‰, ๐ถ, โˆ…) +o ๐ท) ยทo (if(๐ถ โˆˆ ฯ‰, ๐ถ, โˆ…) +o ๐ท)) +o ๐ท) = (((if(๐ถ โˆˆ ฯ‰, ๐ถ, โˆ…) +o if(๐ท โˆˆ ฯ‰, ๐ท, โˆ…)) ยทo (if(๐ถ โˆˆ ฯ‰, ๐ถ, โˆ…) +o if(๐ท โˆˆ ฯ‰, ๐ท, โˆ…))) +o if(๐ท โˆˆ ฯ‰, ๐ท, โˆ…)))
2726eqeq2d 2744 . . 3 (๐ท = if(๐ท โˆˆ ฯ‰, ๐ท, โˆ…) โ†’ ((((if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) +o if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…)) ยทo (if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) +o if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…))) +o if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…)) = (((if(๐ถ โˆˆ ฯ‰, ๐ถ, โˆ…) +o ๐ท) ยทo (if(๐ถ โˆˆ ฯ‰, ๐ถ, โˆ…) +o ๐ท)) +o ๐ท) โ†” (((if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) +o if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…)) ยทo (if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) +o if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…))) +o if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…)) = (((if(๐ถ โˆˆ ฯ‰, ๐ถ, โˆ…) +o if(๐ท โˆˆ ฯ‰, ๐ท, โˆ…)) ยทo (if(๐ถ โˆˆ ฯ‰, ๐ถ, โˆ…) +o if(๐ท โˆˆ ฯ‰, ๐ท, โˆ…))) +o if(๐ท โˆˆ ฯ‰, ๐ท, โˆ…))))
28 eqeq2 2745 . . . 4 (๐ท = if(๐ท โˆˆ ฯ‰, ๐ท, โˆ…) โ†’ (if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…) = ๐ท โ†” if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…) = if(๐ท โˆˆ ฯ‰, ๐ท, โˆ…)))
2928anbi2d 630 . . 3 (๐ท = if(๐ท โˆˆ ฯ‰, ๐ท, โˆ…) โ†’ ((if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) = if(๐ถ โˆˆ ฯ‰, ๐ถ, โˆ…) โˆง if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…) = ๐ท) โ†” (if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) = if(๐ถ โˆˆ ฯ‰, ๐ถ, โˆ…) โˆง if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…) = if(๐ท โˆˆ ฯ‰, ๐ท, โˆ…))))
3027, 29bibi12d 346 . 2 (๐ท = if(๐ท โˆˆ ฯ‰, ๐ท, โˆ…) โ†’ (((((if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) +o if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…)) ยทo (if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) +o if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…))) +o if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…)) = (((if(๐ถ โˆˆ ฯ‰, ๐ถ, โˆ…) +o ๐ท) ยทo (if(๐ถ โˆˆ ฯ‰, ๐ถ, โˆ…) +o ๐ท)) +o ๐ท) โ†” (if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) = if(๐ถ โˆˆ ฯ‰, ๐ถ, โˆ…) โˆง if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…) = ๐ท)) โ†” ((((if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) +o if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…)) ยทo (if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) +o if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…))) +o if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…)) = (((if(๐ถ โˆˆ ฯ‰, ๐ถ, โˆ…) +o if(๐ท โˆˆ ฯ‰, ๐ท, โˆ…)) ยทo (if(๐ถ โˆˆ ฯ‰, ๐ถ, โˆ…) +o if(๐ท โˆˆ ฯ‰, ๐ท, โˆ…))) +o if(๐ท โˆˆ ฯ‰, ๐ท, โˆ…)) โ†” (if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) = if(๐ถ โˆˆ ฯ‰, ๐ถ, โˆ…) โˆง if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…) = if(๐ท โˆˆ ฯ‰, ๐ท, โˆ…)))))
31 peano1 7879 . . . 4 โˆ… โˆˆ ฯ‰
3231elimel 4598 . . 3 if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) โˆˆ ฯ‰
3331elimel 4598 . . 3 if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…) โˆˆ ฯ‰
3431elimel 4598 . . 3 if(๐ถ โˆˆ ฯ‰, ๐ถ, โˆ…) โˆˆ ฯ‰
3531elimel 4598 . . 3 if(๐ท โˆˆ ฯ‰, ๐ท, โˆ…) โˆˆ ฯ‰
3632, 33, 34, 35omopthi 8660 . 2 ((((if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) +o if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…)) ยทo (if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) +o if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…))) +o if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…)) = (((if(๐ถ โˆˆ ฯ‰, ๐ถ, โˆ…) +o if(๐ท โˆˆ ฯ‰, ๐ท, โˆ…)) ยทo (if(๐ถ โˆˆ ฯ‰, ๐ถ, โˆ…) +o if(๐ท โˆˆ ฯ‰, ๐ท, โˆ…))) +o if(๐ท โˆˆ ฯ‰, ๐ท, โˆ…)) โ†” (if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) = if(๐ถ โˆˆ ฯ‰, ๐ถ, โˆ…) โˆง if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…) = if(๐ท โˆˆ ฯ‰, ๐ท, โˆ…)))
377, 15, 22, 30, 36dedth4h 4590 1 (((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โˆง (๐ถ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ท โˆˆ ฯ‰)) โ†’ ((((๐ด +o ๐ต) ยทo (๐ด +o ๐ต)) +o ๐ต) = (((๐ถ +o ๐ท) ยทo (๐ถ +o ๐ท)) +o ๐ท) โ†” (๐ด = ๐ถ โˆง ๐ต = ๐ท)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ…c0 4323  ifcif 4529  (class class class)co 7409  ฯ‰com 7855   +o coa 8463   ยทo comu 8464
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-omul 8471
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator