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Theorem omopth 8268
Description: An ordered pair theorem for finite integers. Analogous to nn0opthi 13626. (Contributed by Scott Fenton, 1-May-2012.)
Assertion
Ref Expression
omopth (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷 ∈ ω)) → ((((𝐴 +o 𝐵) ·o (𝐴 +o 𝐵)) +o 𝐵) = (((𝐶 +o 𝐷) ·o (𝐶 +o 𝐷)) +o 𝐷) ↔ (𝐴 = 𝐶𝐵 = 𝐷)))

Proof of Theorem omopth
StepHypRef Expression
1 oveq1 7142 . . . . . 6 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) → (𝐴 +o 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝐵))
21, 1oveq12d 7153 . . . . 5 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) → ((𝐴 +o 𝐵) ·o (𝐴 +o 𝐵)) = ((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝐵) ·o (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝐵)))
32oveq1d 7150 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) → (((𝐴 +o 𝐵) ·o (𝐴 +o 𝐵)) +o 𝐵) = (((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝐵) ·o (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝐵)) +o 𝐵))
43eqeq1d 2800 . . 3 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) → ((((𝐴 +o 𝐵) ·o (𝐴 +o 𝐵)) +o 𝐵) = (((𝐶 +o 𝐷) ·o (𝐶 +o 𝐷)) +o 𝐷) ↔ (((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝐵) ·o (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝐵)) +o 𝐵) = (((𝐶 +o 𝐷) ·o (𝐶 +o 𝐷)) +o 𝐷)))
5 eqeq1 2802 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) → (𝐴 = 𝐶 ↔ if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = 𝐶))
65anbi1d 632 . . 3 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) → ((𝐴 = 𝐶𝐵 = 𝐷) ↔ (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = 𝐶𝐵 = 𝐷)))
74, 6bibi12d 349 . 2 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) → (((((𝐴 +o 𝐵) ·o (𝐴 +o 𝐵)) +o 𝐵) = (((𝐶 +o 𝐷) ·o (𝐶 +o 𝐷)) +o 𝐷) ↔ (𝐴 = 𝐶𝐵 = 𝐷)) ↔ ((((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝐵) ·o (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝐵)) +o 𝐵) = (((𝐶 +o 𝐷) ·o (𝐶 +o 𝐷)) +o 𝐷) ↔ (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = 𝐶𝐵 = 𝐷))))
8 oveq2 7143 . . . . . 6 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) → (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)))
98, 8oveq12d 7153 . . . . 5 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) → ((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝐵) ·o (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝐵)) = ((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ·o (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅))))
10 id 22 . . . . 5 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) → 𝐵 = if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅))
119, 10oveq12d 7153 . . . 4 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) → (((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝐵) ·o (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝐵)) +o 𝐵) = (((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ·o (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅))) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)))
1211eqeq1d 2800 . . 3 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) → ((((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝐵) ·o (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝐵)) +o 𝐵) = (((𝐶 +o 𝐷) ·o (𝐶 +o 𝐷)) +o 𝐷) ↔ (((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ·o (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅))) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) = (((𝐶 +o 𝐷) ·o (𝐶 +o 𝐷)) +o 𝐷)))
13 eqeq1 2802 . . . 4 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) → (𝐵 = 𝐷 ↔ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) = 𝐷))
1413anbi2d 631 . . 3 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) → ((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = 𝐶𝐵 = 𝐷) ↔ (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = 𝐶 ∧ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) = 𝐷)))
1512, 14bibi12d 349 . 2 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) → (((((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝐵) ·o (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝐵)) +o 𝐵) = (((𝐶 +o 𝐷) ·o (𝐶 +o 𝐷)) +o 𝐷) ↔ (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = 𝐶𝐵 = 𝐷)) ↔ ((((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ·o (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅))) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) = (((𝐶 +o 𝐷) ·o (𝐶 +o 𝐷)) +o 𝐷) ↔ (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = 𝐶 ∧ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) = 𝐷))))
16 oveq1 7142 . . . . . 6 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) → (𝐶 +o 𝐷) = (if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o 𝐷))
1716, 16oveq12d 7153 . . . . 5 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) → ((𝐶 +o 𝐷) ·o (𝐶 +o 𝐷)) = ((if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o 𝐷) ·o (if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o 𝐷)))
1817oveq1d 7150 . . . 4 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) → (((𝐶 +o 𝐷) ·o (𝐶 +o 𝐷)) +o 𝐷) = (((if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o 𝐷) ·o (if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o 𝐷)) +o 𝐷))
1918eqeq2d 2809 . . 3 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) → ((((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ·o (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅))) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) = (((𝐶 +o 𝐷) ·o (𝐶 +o 𝐷)) +o 𝐷) ↔ (((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ·o (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅))) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) = (((if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o 𝐷) ·o (if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o 𝐷)) +o 𝐷)))
20 eqeq2 2810 . . . 4 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) → (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = 𝐶 ↔ if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅)))
2120anbi1d 632 . . 3 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) → ((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = 𝐶 ∧ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) = 𝐷) ↔ (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) ∧ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) = 𝐷)))
2219, 21bibi12d 349 . 2 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) → (((((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ·o (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅))) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) = (((𝐶 +o 𝐷) ·o (𝐶 +o 𝐷)) +o 𝐷) ↔ (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = 𝐶 ∧ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) = 𝐷)) ↔ ((((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ·o (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅))) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) = (((if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o 𝐷) ·o (if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o 𝐷)) +o 𝐷) ↔ (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) ∧ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) = 𝐷))))
23 oveq2 7143 . . . . . 6 (𝐷 = if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅) → (if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o 𝐷) = (if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅)))
2423, 23oveq12d 7153 . . . . 5 (𝐷 = if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅) → ((if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o 𝐷) ·o (if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o 𝐷)) = ((if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅)) ·o (if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅))))
25 id 22 . . . . 5 (𝐷 = if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅) → 𝐷 = if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅))
2624, 25oveq12d 7153 . . . 4 (𝐷 = if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅) → (((if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o 𝐷) ·o (if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o 𝐷)) +o 𝐷) = (((if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅)) ·o (if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅))) +o if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅)))
2726eqeq2d 2809 . . 3 (𝐷 = if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅) → ((((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ·o (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅))) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) = (((if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o 𝐷) ·o (if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o 𝐷)) +o 𝐷) ↔ (((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ·o (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅))) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) = (((if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅)) ·o (if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅))) +o if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅))))
28 eqeq2 2810 . . . 4 (𝐷 = if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅) → (if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) = 𝐷 ↔ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) = if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅)))
2928anbi2d 631 . . 3 (𝐷 = if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅) → ((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) ∧ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) = 𝐷) ↔ (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) ∧ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) = if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅))))
3027, 29bibi12d 349 . 2 (𝐷 = if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅) → (((((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ·o (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅))) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) = (((if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o 𝐷) ·o (if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o 𝐷)) +o 𝐷) ↔ (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) ∧ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) = 𝐷)) ↔ ((((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ·o (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅))) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) = (((if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅)) ·o (if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅))) +o if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅)) ↔ (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) ∧ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) = if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅)))))
31 peano1 7581 . . . 4 ∅ ∈ ω
3231elimel 4492 . . 3 if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) ∈ ω
3331elimel 4492 . . 3 if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) ∈ ω
3431elimel 4492 . . 3 if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) ∈ ω
3531elimel 4492 . . 3 if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅) ∈ ω
3632, 33, 34, 35omopthi 8267 . 2 ((((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ·o (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅))) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) = (((if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅)) ·o (if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅))) +o if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅)) ↔ (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) ∧ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) = if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅)))
377, 15, 22, 30, 36dedth4h 4484 1 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷 ∈ ω)) → ((((𝐴 +o 𝐵) ·o (𝐴 +o 𝐵)) +o 𝐵) = (((𝐶 +o 𝐷) ·o (𝐶 +o 𝐷)) +o 𝐷) ↔ (𝐴 = 𝐶𝐵 = 𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2111  c0 4243  ifcif 4425  (class class class)co 7135  ωcom 7560   +o coa 8082   ·o comu 8083
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-omul 8090
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