Theorem omopth 8586

Description: An ordered pair theorem for finite integers. Analogous to nn0opthi 14184. (Contributed by Scott Fenton, 1-May-2012.)

Assertion

Ref	Expression
omopth	⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷 ∈ ω)) → ((((𝐴 +o 𝐵) ·o (𝐴 +o 𝐵)) +o 𝐵) = (((𝐶 +o 𝐷) ·o (𝐶 +o 𝐷)) +o 𝐷) ↔ (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷)))

Proof of Theorem omopth

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7362	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) → (𝐴 +o 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝐵))
2	1, 1	oveq12d 7373	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) → ((𝐴 +o 𝐵) ·o (𝐴 +o 𝐵)) = ((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝐵) ·o (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝐵)))
3	2	oveq1d 7370	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) → (((𝐴 +o 𝐵) ·o (𝐴 +o 𝐵)) +o 𝐵) = (((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝐵) ·o (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝐵)) +o 𝐵))
4	3	eqeq1d 2735	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) → ((((𝐴 +o 𝐵) ·o (𝐴 +o 𝐵)) +o 𝐵) = (((𝐶 +o 𝐷) ·o (𝐶 +o 𝐷)) +o 𝐷) ↔ (((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝐵) ·o (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝐵)) +o 𝐵) = (((𝐶 +o 𝐷) ·o (𝐶 +o 𝐷)) +o 𝐷)))
5		eqeq1 2737	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) → (𝐴 = 𝐶 ↔ if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = 𝐶))
6	5	anbi1d 631	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) → ((𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷) ↔ (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷)))
7	4, 6	bibi12d 345	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) → (((((𝐴 +o 𝐵) ·o (𝐴 +o 𝐵)) +o 𝐵) = (((𝐶 +o 𝐷) ·o (𝐶 +o 𝐷)) +o 𝐷) ↔ (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷)) ↔ ((((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝐵) ·o (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝐵)) +o 𝐵) = (((𝐶 +o 𝐷) ·o (𝐶 +o 𝐷)) +o 𝐷) ↔ (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷))))
8		oveq2 7363	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) → (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)))
9	8, 8	oveq12d 7373	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) → ((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝐵) ·o (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝐵)) = ((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ·o (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅))))
10		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) → 𝐵 = if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅))
11	9, 10	oveq12d 7373	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) → (((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝐵) ·o (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝐵)) +o 𝐵) = (((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ·o (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅))) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)))
12	11	eqeq1d 2735	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) → ((((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝐵) ·o (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝐵)) +o 𝐵) = (((𝐶 +o 𝐷) ·o (𝐶 +o 𝐷)) +o 𝐷) ↔ (((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ·o (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅))) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) = (((𝐶 +o 𝐷) ·o (𝐶 +o 𝐷)) +o 𝐷)))
13		eqeq1 2737	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) → (𝐵 = 𝐷 ↔ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) = 𝐷))
14	13	anbi2d 630	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) → ((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷) ↔ (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = 𝐶 ∧ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) = 𝐷)))
15	12, 14	bibi12d 345	. 2 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) → (((((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝐵) ·o (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝐵)) +o 𝐵) = (((𝐶 +o 𝐷) ·o (𝐶 +o 𝐷)) +o 𝐷) ↔ (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷)) ↔ ((((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ·o (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅))) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) = (((𝐶 +o 𝐷) ·o (𝐶 +o 𝐷)) +o 𝐷) ↔ (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = 𝐶 ∧ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) = 𝐷))))
16		oveq1 7362	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) → (𝐶 +o 𝐷) = (if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o 𝐷))
17	16, 16	oveq12d 7373	. . . . 5 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) → ((𝐶 +o 𝐷) ·o (𝐶 +o 𝐷)) = ((if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o 𝐷) ·o (if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o 𝐷)))
18	17	oveq1d 7370	. . . 4 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) → (((𝐶 +o 𝐷) ·o (𝐶 +o 𝐷)) +o 𝐷) = (((if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o 𝐷) ·o (if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o 𝐷)) +o 𝐷))
19	18	eqeq2d 2744	. . 3 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) → ((((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ·o (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅))) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) = (((𝐶 +o 𝐷) ·o (𝐶 +o 𝐷)) +o 𝐷) ↔ (((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ·o (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅))) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) = (((if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o 𝐷) ·o (if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o 𝐷)) +o 𝐷)))
20		eqeq2 2745	. . . 4 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) → (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = 𝐶 ↔ if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅)))
21	20	anbi1d 631	. . 3 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) → ((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = 𝐶 ∧ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) = 𝐷) ↔ (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) ∧ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) = 𝐷)))
22	19, 21	bibi12d 345	. 2 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) → (((((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ·o (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅))) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) = (((𝐶 +o 𝐷) ·o (𝐶 +o 𝐷)) +o 𝐷) ↔ (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = 𝐶 ∧ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) = 𝐷)) ↔ ((((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ·o (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅))) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) = (((if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o 𝐷) ·o (if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o 𝐷)) +o 𝐷) ↔ (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) ∧ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) = 𝐷))))
23		oveq2 7363	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 = if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅) → (if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o 𝐷) = (if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅)))
24	23, 23	oveq12d 7373	. . . . 5 ⊢ (𝐷 = if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅) → ((if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o 𝐷) ·o (if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o 𝐷)) = ((if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅)) ·o (if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅))))
25		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐷 = if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅) → 𝐷 = if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅))
26	24, 25	oveq12d 7373	. . . 4 ⊢ (𝐷 = if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅) → (((if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o 𝐷) ·o (if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o 𝐷)) +o 𝐷) = (((if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅)) ·o (if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅))) +o if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅)))
27	26	eqeq2d 2744	. . 3 ⊢ (𝐷 = if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅) → ((((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ·o (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅))) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) = (((if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o 𝐷) ·o (if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o 𝐷)) +o 𝐷) ↔ (((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ·o (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅))) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) = (((if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅)) ·o (if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅))) +o if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅))))
28		eqeq2 2745	. . . 4 ⊢ (𝐷 = if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅) → (if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) = 𝐷 ↔ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) = if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅)))
29	28	anbi2d 630	. . 3 ⊢ (𝐷 = if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅) → ((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) ∧ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) = 𝐷) ↔ (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) ∧ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) = if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅))))
30	27, 29	bibi12d 345	. 2 ⊢ (𝐷 = if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅) → (((((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ·o (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅))) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) = (((if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o 𝐷) ·o (if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o 𝐷)) +o 𝐷) ↔ (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) ∧ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) = 𝐷)) ↔ ((((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ·o (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅))) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) = (((if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅)) ·o (if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅))) +o if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅)) ↔ (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) ∧ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) = if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅)))))
31		peano1 7828	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ ω
32	31	elimel 4546	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) ∈ ω
33	31	elimel 4546	. . 3 ⊢ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) ∈ ω
34	31	elimel 4546	. . 3 ⊢ if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) ∈ ω
35	31	elimel 4546	. . 3 ⊢ if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅) ∈ ω
36	32, 33, 34, 35	omopthi 8585	. 2 ⊢ ((((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ·o (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅))) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) = (((if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅)) ·o (if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅))) +o if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅)) ↔ (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) ∧ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) = if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅)))
37	7, 15, 22, 30, 36	dedth4h 4538	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷 ∈ ω)) → ((((𝐴 +o 𝐵) ·o (𝐴 +o 𝐵)) +o 𝐵) = (((𝐶 +o 𝐷) ·o (𝐶 +o 𝐷)) +o 𝐷) ↔ (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∅c0 4282  ifcif 4476  (class class class)co 7355  ωcom 7805   +_o coa 8391   ·_o comu 8392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374  ax-un 7677

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-2o 8395  df-oadd 8398  df-omul 8399

This theorem is referenced by: (None)