MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  omopth Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omopth 8608
Description: An ordered pair theorem for finite integers. Analogous to nn0opthi 14170. (Contributed by Scott Fenton, 1-May-2012.)
Assertion
Ref Expression
omopth (((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โˆง (๐ถ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ท โˆˆ ฯ‰)) โ†’ ((((๐ด +o ๐ต) ยทo (๐ด +o ๐ต)) +o ๐ต) = (((๐ถ +o ๐ท) ยทo (๐ถ +o ๐ท)) +o ๐ท) โ†” (๐ด = ๐ถ โˆง ๐ต = ๐ท)))

Proof of Theorem omopth
StepHypRef Expression
1 oveq1 7364 . . . . . 6 (๐ด = if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) โ†’ (๐ด +o ๐ต) = (if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) +o ๐ต))
21, 1oveq12d 7375 . . . . 5 (๐ด = if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) โ†’ ((๐ด +o ๐ต) ยทo (๐ด +o ๐ต)) = ((if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) +o ๐ต) ยทo (if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) +o ๐ต)))
32oveq1d 7372 . . . 4 (๐ด = if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) โ†’ (((๐ด +o ๐ต) ยทo (๐ด +o ๐ต)) +o ๐ต) = (((if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) +o ๐ต) ยทo (if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) +o ๐ต)) +o ๐ต))
43eqeq1d 2738 . . 3 (๐ด = if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) โ†’ ((((๐ด +o ๐ต) ยทo (๐ด +o ๐ต)) +o ๐ต) = (((๐ถ +o ๐ท) ยทo (๐ถ +o ๐ท)) +o ๐ท) โ†” (((if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) +o ๐ต) ยทo (if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) +o ๐ต)) +o ๐ต) = (((๐ถ +o ๐ท) ยทo (๐ถ +o ๐ท)) +o ๐ท)))
5 eqeq1 2740 . . . 4 (๐ด = if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) โ†’ (๐ด = ๐ถ โ†” if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) = ๐ถ))
65anbi1d 630 . . 3 (๐ด = if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) โ†’ ((๐ด = ๐ถ โˆง ๐ต = ๐ท) โ†” (if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) = ๐ถ โˆง ๐ต = ๐ท)))
74, 6bibi12d 345 . 2 (๐ด = if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) โ†’ (((((๐ด +o ๐ต) ยทo (๐ด +o ๐ต)) +o ๐ต) = (((๐ถ +o ๐ท) ยทo (๐ถ +o ๐ท)) +o ๐ท) โ†” (๐ด = ๐ถ โˆง ๐ต = ๐ท)) โ†” ((((if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) +o ๐ต) ยทo (if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) +o ๐ต)) +o ๐ต) = (((๐ถ +o ๐ท) ยทo (๐ถ +o ๐ท)) +o ๐ท) โ†” (if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) = ๐ถ โˆง ๐ต = ๐ท))))
8 oveq2 7365 . . . . . 6 (๐ต = if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…) โ†’ (if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) +o ๐ต) = (if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) +o if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…)))
98, 8oveq12d 7375 . . . . 5 (๐ต = if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…) โ†’ ((if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) +o ๐ต) ยทo (if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) +o ๐ต)) = ((if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) +o if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…)) ยทo (if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) +o if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…))))
10 id 22 . . . . 5 (๐ต = if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…) โ†’ ๐ต = if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…))
119, 10oveq12d 7375 . . . 4 (๐ต = if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…) โ†’ (((if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) +o ๐ต) ยทo (if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) +o ๐ต)) +o ๐ต) = (((if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) +o if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…)) ยทo (if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) +o if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…))) +o if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…)))
1211eqeq1d 2738 . . 3 (๐ต = if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…) โ†’ ((((if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) +o ๐ต) ยทo (if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) +o ๐ต)) +o ๐ต) = (((๐ถ +o ๐ท) ยทo (๐ถ +o ๐ท)) +o ๐ท) โ†” (((if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) +o if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…)) ยทo (if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) +o if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…))) +o if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…)) = (((๐ถ +o ๐ท) ยทo (๐ถ +o ๐ท)) +o ๐ท)))
13 eqeq1 2740 . . . 4 (๐ต = if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…) โ†’ (๐ต = ๐ท โ†” if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…) = ๐ท))
1413anbi2d 629 . . 3 (๐ต = if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…) โ†’ ((if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) = ๐ถ โˆง ๐ต = ๐ท) โ†” (if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) = ๐ถ โˆง if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…) = ๐ท)))
1512, 14bibi12d 345 . 2 (๐ต = if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…) โ†’ (((((if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) +o ๐ต) ยทo (if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) +o ๐ต)) +o ๐ต) = (((๐ถ +o ๐ท) ยทo (๐ถ +o ๐ท)) +o ๐ท) โ†” (if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) = ๐ถ โˆง ๐ต = ๐ท)) โ†” ((((if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) +o if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…)) ยทo (if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) +o if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…))) +o if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…)) = (((๐ถ +o ๐ท) ยทo (๐ถ +o ๐ท)) +o ๐ท) โ†” (if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) = ๐ถ โˆง if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…) = ๐ท))))
16 oveq1 7364 . . . . . 6 (๐ถ = if(๐ถ โˆˆ ฯ‰, ๐ถ, โˆ…) โ†’ (๐ถ +o ๐ท) = (if(๐ถ โˆˆ ฯ‰, ๐ถ, โˆ…) +o ๐ท))
1716, 16oveq12d 7375 . . . . 5 (๐ถ = if(๐ถ โˆˆ ฯ‰, ๐ถ, โˆ…) โ†’ ((๐ถ +o ๐ท) ยทo (๐ถ +o ๐ท)) = ((if(๐ถ โˆˆ ฯ‰, ๐ถ, โˆ…) +o ๐ท) ยทo (if(๐ถ โˆˆ ฯ‰, ๐ถ, โˆ…) +o ๐ท)))
1817oveq1d 7372 . . . 4 (๐ถ = if(๐ถ โˆˆ ฯ‰, ๐ถ, โˆ…) โ†’ (((๐ถ +o ๐ท) ยทo (๐ถ +o ๐ท)) +o ๐ท) = (((if(๐ถ โˆˆ ฯ‰, ๐ถ, โˆ…) +o ๐ท) ยทo (if(๐ถ โˆˆ ฯ‰, ๐ถ, โˆ…) +o ๐ท)) +o ๐ท))
1918eqeq2d 2747 . . 3 (๐ถ = if(๐ถ โˆˆ ฯ‰, ๐ถ, โˆ…) โ†’ ((((if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) +o if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…)) ยทo (if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) +o if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…))) +o if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…)) = (((๐ถ +o ๐ท) ยทo (๐ถ +o ๐ท)) +o ๐ท) โ†” (((if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) +o if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…)) ยทo (if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) +o if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…))) +o if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…)) = (((if(๐ถ โˆˆ ฯ‰, ๐ถ, โˆ…) +o ๐ท) ยทo (if(๐ถ โˆˆ ฯ‰, ๐ถ, โˆ…) +o ๐ท)) +o ๐ท)))
20 eqeq2 2748 . . . 4 (๐ถ = if(๐ถ โˆˆ ฯ‰, ๐ถ, โˆ…) โ†’ (if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) = ๐ถ โ†” if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) = if(๐ถ โˆˆ ฯ‰, ๐ถ, โˆ…)))
2120anbi1d 630 . . 3 (๐ถ = if(๐ถ โˆˆ ฯ‰, ๐ถ, โˆ…) โ†’ ((if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) = ๐ถ โˆง if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…) = ๐ท) โ†” (if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) = if(๐ถ โˆˆ ฯ‰, ๐ถ, โˆ…) โˆง if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…) = ๐ท)))
2219, 21bibi12d 345 . 2 (๐ถ = if(๐ถ โˆˆ ฯ‰, ๐ถ, โˆ…) โ†’ (((((if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) +o if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…)) ยทo (if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) +o if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…))) +o if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…)) = (((๐ถ +o ๐ท) ยทo (๐ถ +o ๐ท)) +o ๐ท) โ†” (if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) = ๐ถ โˆง if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…) = ๐ท)) โ†” ((((if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) +o if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…)) ยทo (if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) +o if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…))) +o if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…)) = (((if(๐ถ โˆˆ ฯ‰, ๐ถ, โˆ…) +o ๐ท) ยทo (if(๐ถ โˆˆ ฯ‰, ๐ถ, โˆ…) +o ๐ท)) +o ๐ท) โ†” (if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) = if(๐ถ โˆˆ ฯ‰, ๐ถ, โˆ…) โˆง if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…) = ๐ท))))
23 oveq2 7365 . . . . . 6 (๐ท = if(๐ท โˆˆ ฯ‰, ๐ท, โˆ…) โ†’ (if(๐ถ โˆˆ ฯ‰, ๐ถ, โˆ…) +o ๐ท) = (if(๐ถ โˆˆ ฯ‰, ๐ถ, โˆ…) +o if(๐ท โˆˆ ฯ‰, ๐ท, โˆ…)))
2423, 23oveq12d 7375 . . . . 5 (๐ท = if(๐ท โˆˆ ฯ‰, ๐ท, โˆ…) โ†’ ((if(๐ถ โˆˆ ฯ‰, ๐ถ, โˆ…) +o ๐ท) ยทo (if(๐ถ โˆˆ ฯ‰, ๐ถ, โˆ…) +o ๐ท)) = ((if(๐ถ โˆˆ ฯ‰, ๐ถ, โˆ…) +o if(๐ท โˆˆ ฯ‰, ๐ท, โˆ…)) ยทo (if(๐ถ โˆˆ ฯ‰, ๐ถ, โˆ…) +o if(๐ท โˆˆ ฯ‰, ๐ท, โˆ…))))
25 id 22 . . . . 5 (๐ท = if(๐ท โˆˆ ฯ‰, ๐ท, โˆ…) โ†’ ๐ท = if(๐ท โˆˆ ฯ‰, ๐ท, โˆ…))
2624, 25oveq12d 7375 . . . 4 (๐ท = if(๐ท โˆˆ ฯ‰, ๐ท, โˆ…) โ†’ (((if(๐ถ โˆˆ ฯ‰, ๐ถ, โˆ…) +o ๐ท) ยทo (if(๐ถ โˆˆ ฯ‰, ๐ถ, โˆ…) +o ๐ท)) +o ๐ท) = (((if(๐ถ โˆˆ ฯ‰, ๐ถ, โˆ…) +o if(๐ท โˆˆ ฯ‰, ๐ท, โˆ…)) ยทo (if(๐ถ โˆˆ ฯ‰, ๐ถ, โˆ…) +o if(๐ท โˆˆ ฯ‰, ๐ท, โˆ…))) +o if(๐ท โˆˆ ฯ‰, ๐ท, โˆ…)))
2726eqeq2d 2747 . . 3 (๐ท = if(๐ท โˆˆ ฯ‰, ๐ท, โˆ…) โ†’ ((((if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) +o if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…)) ยทo (if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) +o if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…))) +o if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…)) = (((if(๐ถ โˆˆ ฯ‰, ๐ถ, โˆ…) +o ๐ท) ยทo (if(๐ถ โˆˆ ฯ‰, ๐ถ, โˆ…) +o ๐ท)) +o ๐ท) โ†” (((if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) +o if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…)) ยทo (if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) +o if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…))) +o if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…)) = (((if(๐ถ โˆˆ ฯ‰, ๐ถ, โˆ…) +o if(๐ท โˆˆ ฯ‰, ๐ท, โˆ…)) ยทo (if(๐ถ โˆˆ ฯ‰, ๐ถ, โˆ…) +o if(๐ท โˆˆ ฯ‰, ๐ท, โˆ…))) +o if(๐ท โˆˆ ฯ‰, ๐ท, โˆ…))))
28 eqeq2 2748 . . . 4 (๐ท = if(๐ท โˆˆ ฯ‰, ๐ท, โˆ…) โ†’ (if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…) = ๐ท โ†” if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…) = if(๐ท โˆˆ ฯ‰, ๐ท, โˆ…)))
2928anbi2d 629 . . 3 (๐ท = if(๐ท โˆˆ ฯ‰, ๐ท, โˆ…) โ†’ ((if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) = if(๐ถ โˆˆ ฯ‰, ๐ถ, โˆ…) โˆง if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…) = ๐ท) โ†” (if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) = if(๐ถ โˆˆ ฯ‰, ๐ถ, โˆ…) โˆง if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…) = if(๐ท โˆˆ ฯ‰, ๐ท, โˆ…))))
3027, 29bibi12d 345 . 2 (๐ท = if(๐ท โˆˆ ฯ‰, ๐ท, โˆ…) โ†’ (((((if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) +o if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…)) ยทo (if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) +o if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…))) +o if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…)) = (((if(๐ถ โˆˆ ฯ‰, ๐ถ, โˆ…) +o ๐ท) ยทo (if(๐ถ โˆˆ ฯ‰, ๐ถ, โˆ…) +o ๐ท)) +o ๐ท) โ†” (if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) = if(๐ถ โˆˆ ฯ‰, ๐ถ, โˆ…) โˆง if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…) = ๐ท)) โ†” ((((if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) +o if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…)) ยทo (if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) +o if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…))) +o if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…)) = (((if(๐ถ โˆˆ ฯ‰, ๐ถ, โˆ…) +o if(๐ท โˆˆ ฯ‰, ๐ท, โˆ…)) ยทo (if(๐ถ โˆˆ ฯ‰, ๐ถ, โˆ…) +o if(๐ท โˆˆ ฯ‰, ๐ท, โˆ…))) +o if(๐ท โˆˆ ฯ‰, ๐ท, โˆ…)) โ†” (if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) = if(๐ถ โˆˆ ฯ‰, ๐ถ, โˆ…) โˆง if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…) = if(๐ท โˆˆ ฯ‰, ๐ท, โˆ…)))))
31 peano1 7825 . . . 4 โˆ… โˆˆ ฯ‰
3231elimel 4555 . . 3 if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) โˆˆ ฯ‰
3331elimel 4555 . . 3 if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…) โˆˆ ฯ‰
3431elimel 4555 . . 3 if(๐ถ โˆˆ ฯ‰, ๐ถ, โˆ…) โˆˆ ฯ‰
3531elimel 4555 . . 3 if(๐ท โˆˆ ฯ‰, ๐ท, โˆ…) โˆˆ ฯ‰
3632, 33, 34, 35omopthi 8607 . 2 ((((if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) +o if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…)) ยทo (if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) +o if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…))) +o if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…)) = (((if(๐ถ โˆˆ ฯ‰, ๐ถ, โˆ…) +o if(๐ท โˆˆ ฯ‰, ๐ท, โˆ…)) ยทo (if(๐ถ โˆˆ ฯ‰, ๐ถ, โˆ…) +o if(๐ท โˆˆ ฯ‰, ๐ท, โˆ…))) +o if(๐ท โˆˆ ฯ‰, ๐ท, โˆ…)) โ†” (if(๐ด โˆˆ ฯ‰, ๐ด, โˆ…) = if(๐ถ โˆˆ ฯ‰, ๐ถ, โˆ…) โˆง if(๐ต โˆˆ ฯ‰, ๐ต, โˆ…) = if(๐ท โˆˆ ฯ‰, ๐ท, โˆ…)))
377, 15, 22, 30, 36dedth4h 4547 1 (((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โˆง (๐ถ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ท โˆˆ ฯ‰)) โ†’ ((((๐ด +o ๐ต) ยทo (๐ด +o ๐ต)) +o ๐ต) = (((๐ถ +o ๐ท) ยทo (๐ถ +o ๐ท)) +o ๐ท) โ†” (๐ด = ๐ถ โˆง ๐ต = ๐ท)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โˆ…c0 4282  ifcif 4486  (class class class)co 7357  ฯ‰com 7802   +o coa 8409   ยทo comu 8410
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pr 5384  ax-un 7672
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-oadd 8416  df-omul 8417
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator