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Theorem omopth 8563
Description: An ordered pair theorem for finite integers. Analogous to nn0opthi 14085. (Contributed by Scott Fenton, 1-May-2012.)
Assertion
Ref Expression
omopth (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷 ∈ ω)) → ((((𝐴 +o 𝐵) ·o (𝐴 +o 𝐵)) +o 𝐵) = (((𝐶 +o 𝐷) ·o (𝐶 +o 𝐷)) +o 𝐷) ↔ (𝐴 = 𝐶𝐵 = 𝐷)))

Proof of Theorem omopth
StepHypRef Expression
1 oveq1 7344 . . . . . 6 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) → (𝐴 +o 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝐵))
21, 1oveq12d 7355 . . . . 5 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) → ((𝐴 +o 𝐵) ·o (𝐴 +o 𝐵)) = ((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝐵) ·o (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝐵)))
32oveq1d 7352 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) → (((𝐴 +o 𝐵) ·o (𝐴 +o 𝐵)) +o 𝐵) = (((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝐵) ·o (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝐵)) +o 𝐵))
43eqeq1d 2738 . . 3 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) → ((((𝐴 +o 𝐵) ·o (𝐴 +o 𝐵)) +o 𝐵) = (((𝐶 +o 𝐷) ·o (𝐶 +o 𝐷)) +o 𝐷) ↔ (((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝐵) ·o (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝐵)) +o 𝐵) = (((𝐶 +o 𝐷) ·o (𝐶 +o 𝐷)) +o 𝐷)))
5 eqeq1 2740 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) → (𝐴 = 𝐶 ↔ if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = 𝐶))
65anbi1d 630 . . 3 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) → ((𝐴 = 𝐶𝐵 = 𝐷) ↔ (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = 𝐶𝐵 = 𝐷)))
74, 6bibi12d 345 . 2 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) → (((((𝐴 +o 𝐵) ·o (𝐴 +o 𝐵)) +o 𝐵) = (((𝐶 +o 𝐷) ·o (𝐶 +o 𝐷)) +o 𝐷) ↔ (𝐴 = 𝐶𝐵 = 𝐷)) ↔ ((((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝐵) ·o (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝐵)) +o 𝐵) = (((𝐶 +o 𝐷) ·o (𝐶 +o 𝐷)) +o 𝐷) ↔ (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = 𝐶𝐵 = 𝐷))))
8 oveq2 7345 . . . . . 6 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) → (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)))
98, 8oveq12d 7355 . . . . 5 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) → ((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝐵) ·o (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝐵)) = ((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ·o (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅))))
10 id 22 . . . . 5 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) → 𝐵 = if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅))
119, 10oveq12d 7355 . . . 4 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) → (((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝐵) ·o (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝐵)) +o 𝐵) = (((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ·o (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅))) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)))
1211eqeq1d 2738 . . 3 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) → ((((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝐵) ·o (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝐵)) +o 𝐵) = (((𝐶 +o 𝐷) ·o (𝐶 +o 𝐷)) +o 𝐷) ↔ (((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ·o (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅))) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) = (((𝐶 +o 𝐷) ·o (𝐶 +o 𝐷)) +o 𝐷)))
13 eqeq1 2740 . . . 4 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) → (𝐵 = 𝐷 ↔ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) = 𝐷))
1413anbi2d 629 . . 3 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) → ((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = 𝐶𝐵 = 𝐷) ↔ (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = 𝐶 ∧ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) = 𝐷)))
1512, 14bibi12d 345 . 2 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) → (((((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝐵) ·o (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝐵)) +o 𝐵) = (((𝐶 +o 𝐷) ·o (𝐶 +o 𝐷)) +o 𝐷) ↔ (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = 𝐶𝐵 = 𝐷)) ↔ ((((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ·o (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅))) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) = (((𝐶 +o 𝐷) ·o (𝐶 +o 𝐷)) +o 𝐷) ↔ (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = 𝐶 ∧ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) = 𝐷))))
16 oveq1 7344 . . . . . 6 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) → (𝐶 +o 𝐷) = (if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o 𝐷))
1716, 16oveq12d 7355 . . . . 5 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) → ((𝐶 +o 𝐷) ·o (𝐶 +o 𝐷)) = ((if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o 𝐷) ·o (if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o 𝐷)))
1817oveq1d 7352 . . . 4 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) → (((𝐶 +o 𝐷) ·o (𝐶 +o 𝐷)) +o 𝐷) = (((if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o 𝐷) ·o (if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o 𝐷)) +o 𝐷))
1918eqeq2d 2747 . . 3 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) → ((((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ·o (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅))) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) = (((𝐶 +o 𝐷) ·o (𝐶 +o 𝐷)) +o 𝐷) ↔ (((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ·o (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅))) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) = (((if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o 𝐷) ·o (if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o 𝐷)) +o 𝐷)))
20 eqeq2 2748 . . . 4 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) → (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = 𝐶 ↔ if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅)))
2120anbi1d 630 . . 3 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) → ((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = 𝐶 ∧ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) = 𝐷) ↔ (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) ∧ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) = 𝐷)))
2219, 21bibi12d 345 . 2 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) → (((((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ·o (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅))) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) = (((𝐶 +o 𝐷) ·o (𝐶 +o 𝐷)) +o 𝐷) ↔ (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = 𝐶 ∧ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) = 𝐷)) ↔ ((((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ·o (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅))) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) = (((if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o 𝐷) ·o (if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o 𝐷)) +o 𝐷) ↔ (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) ∧ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) = 𝐷))))
23 oveq2 7345 . . . . . 6 (𝐷 = if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅) → (if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o 𝐷) = (if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅)))
2423, 23oveq12d 7355 . . . . 5 (𝐷 = if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅) → ((if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o 𝐷) ·o (if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o 𝐷)) = ((if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅)) ·o (if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅))))
25 id 22 . . . . 5 (𝐷 = if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅) → 𝐷 = if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅))
2624, 25oveq12d 7355 . . . 4 (𝐷 = if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅) → (((if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o 𝐷) ·o (if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o 𝐷)) +o 𝐷) = (((if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅)) ·o (if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅))) +o if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅)))
2726eqeq2d 2747 . . 3 (𝐷 = if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅) → ((((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ·o (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅))) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) = (((if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o 𝐷) ·o (if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o 𝐷)) +o 𝐷) ↔ (((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ·o (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅))) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) = (((if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅)) ·o (if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅))) +o if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅))))
28 eqeq2 2748 . . . 4 (𝐷 = if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅) → (if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) = 𝐷 ↔ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) = if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅)))
2928anbi2d 629 . . 3 (𝐷 = if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅) → ((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) ∧ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) = 𝐷) ↔ (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) ∧ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) = if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅))))
3027, 29bibi12d 345 . 2 (𝐷 = if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅) → (((((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ·o (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅))) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) = (((if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o 𝐷) ·o (if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o 𝐷)) +o 𝐷) ↔ (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) ∧ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) = 𝐷)) ↔ ((((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ·o (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅))) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) = (((if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅)) ·o (if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅))) +o if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅)) ↔ (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) ∧ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) = if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅)))))
31 peano1 7803 . . . 4 ∅ ∈ ω
3231elimel 4542 . . 3 if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) ∈ ω
3331elimel 4542 . . 3 if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) ∈ ω
3431elimel 4542 . . 3 if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) ∈ ω
3531elimel 4542 . . 3 if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅) ∈ ω
3632, 33, 34, 35omopthi 8562 . 2 ((((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ·o (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅))) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) = (((if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅)) ·o (if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅))) +o if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅)) ↔ (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) ∧ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) = if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅)))
377, 15, 22, 30, 36dedth4h 4534 1 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷 ∈ ω)) → ((((𝐴 +o 𝐵) ·o (𝐴 +o 𝐵)) +o 𝐵) = (((𝐶 +o 𝐷) ·o (𝐶 +o 𝐷)) +o 𝐷) ↔ (𝐴 = 𝐶𝐵 = 𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1540  wcel 2105  c0 4269  ifcif 4473  (class class class)co 7337  ωcom 7780   +o coa 8364   ·o comu 8365
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pr 5372  ax-un 7650
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-om 7781  df-2nd 7900  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-1o 8367  df-2o 8368  df-oadd 8371  df-omul 8372
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