Theorem omopth 8626

Description: An ordered pair theorem for finite integers. Analogous to nn0opthi 14235. (Contributed by Scott Fenton, 1-May-2012.)

Assertion

Ref	Expression
omopth	⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷 ∈ ω)) → ((((𝐴 +o 𝐵) ·o (𝐴 +o 𝐵)) +o 𝐵) = (((𝐶 +o 𝐷) ·o (𝐶 +o 𝐷)) +o 𝐷) ↔ (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷)))

Proof of Theorem omopth

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7394	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) → (𝐴 +o 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝐵))
2	1, 1	oveq12d 7405	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) → ((𝐴 +o 𝐵) ·o (𝐴 +o 𝐵)) = ((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝐵) ·o (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝐵)))
3	2	oveq1d 7402	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) → (((𝐴 +o 𝐵) ·o (𝐴 +o 𝐵)) +o 𝐵) = (((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝐵) ·o (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝐵)) +o 𝐵))
4	3	eqeq1d 2731	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) → ((((𝐴 +o 𝐵) ·o (𝐴 +o 𝐵)) +o 𝐵) = (((𝐶 +o 𝐷) ·o (𝐶 +o 𝐷)) +o 𝐷) ↔ (((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝐵) ·o (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝐵)) +o 𝐵) = (((𝐶 +o 𝐷) ·o (𝐶 +o 𝐷)) +o 𝐷)))
5		eqeq1 2733	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) → (𝐴 = 𝐶 ↔ if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = 𝐶))
6	5	anbi1d 631	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) → ((𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷) ↔ (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷)))
7	4, 6	bibi12d 345	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) → (((((𝐴 +o 𝐵) ·o (𝐴 +o 𝐵)) +o 𝐵) = (((𝐶 +o 𝐷) ·o (𝐶 +o 𝐷)) +o 𝐷) ↔ (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷)) ↔ ((((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝐵) ·o (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝐵)) +o 𝐵) = (((𝐶 +o 𝐷) ·o (𝐶 +o 𝐷)) +o 𝐷) ↔ (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷))))
8		oveq2 7395	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) → (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)))
9	8, 8	oveq12d 7405	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) → ((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝐵) ·o (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝐵)) = ((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ·o (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅))))
10		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) → 𝐵 = if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅))
11	9, 10	oveq12d 7405	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) → (((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝐵) ·o (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝐵)) +o 𝐵) = (((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ·o (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅))) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)))
12	11	eqeq1d 2731	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) → ((((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝐵) ·o (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝐵)) +o 𝐵) = (((𝐶 +o 𝐷) ·o (𝐶 +o 𝐷)) +o 𝐷) ↔ (((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ·o (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅))) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) = (((𝐶 +o 𝐷) ·o (𝐶 +o 𝐷)) +o 𝐷)))
13		eqeq1 2733	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) → (𝐵 = 𝐷 ↔ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) = 𝐷))
14	13	anbi2d 630	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) → ((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷) ↔ (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = 𝐶 ∧ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) = 𝐷)))
15	12, 14	bibi12d 345	. 2 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) → (((((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝐵) ·o (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝐵)) +o 𝐵) = (((𝐶 +o 𝐷) ·o (𝐶 +o 𝐷)) +o 𝐷) ↔ (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷)) ↔ ((((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ·o (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅))) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) = (((𝐶 +o 𝐷) ·o (𝐶 +o 𝐷)) +o 𝐷) ↔ (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = 𝐶 ∧ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) = 𝐷))))
16		oveq1 7394	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) → (𝐶 +o 𝐷) = (if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o 𝐷))
17	16, 16	oveq12d 7405	. . . . 5 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) → ((𝐶 +o 𝐷) ·o (𝐶 +o 𝐷)) = ((if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o 𝐷) ·o (if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o 𝐷)))
18	17	oveq1d 7402	. . . 4 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) → (((𝐶 +o 𝐷) ·o (𝐶 +o 𝐷)) +o 𝐷) = (((if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o 𝐷) ·o (if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o 𝐷)) +o 𝐷))
19	18	eqeq2d 2740	. . 3 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) → ((((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ·o (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅))) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) = (((𝐶 +o 𝐷) ·o (𝐶 +o 𝐷)) +o 𝐷) ↔ (((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ·o (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅))) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) = (((if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o 𝐷) ·o (if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o 𝐷)) +o 𝐷)))
20		eqeq2 2741	. . . 4 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) → (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = 𝐶 ↔ if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅)))
21	20	anbi1d 631	. . 3 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) → ((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = 𝐶 ∧ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) = 𝐷) ↔ (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) ∧ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) = 𝐷)))
22	19, 21	bibi12d 345	. 2 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) → (((((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ·o (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅))) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) = (((𝐶 +o 𝐷) ·o (𝐶 +o 𝐷)) +o 𝐷) ↔ (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = 𝐶 ∧ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) = 𝐷)) ↔ ((((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ·o (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅))) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) = (((if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o 𝐷) ·o (if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o 𝐷)) +o 𝐷) ↔ (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) ∧ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) = 𝐷))))
23		oveq2 7395	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 = if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅) → (if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o 𝐷) = (if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅)))
24	23, 23	oveq12d 7405	. . . . 5 ⊢ (𝐷 = if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅) → ((if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o 𝐷) ·o (if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o 𝐷)) = ((if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅)) ·o (if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅))))
25		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐷 = if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅) → 𝐷 = if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅))
26	24, 25	oveq12d 7405	. . . 4 ⊢ (𝐷 = if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅) → (((if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o 𝐷) ·o (if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o 𝐷)) +o 𝐷) = (((if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅)) ·o (if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅))) +o if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅)))
27	26	eqeq2d 2740	. . 3 ⊢ (𝐷 = if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅) → ((((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ·o (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅))) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) = (((if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o 𝐷) ·o (if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o 𝐷)) +o 𝐷) ↔ (((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ·o (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅))) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) = (((if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅)) ·o (if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅))) +o if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅))))
28		eqeq2 2741	. . . 4 ⊢ (𝐷 = if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅) → (if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) = 𝐷 ↔ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) = if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅)))
29	28	anbi2d 630	. . 3 ⊢ (𝐷 = if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅) → ((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) ∧ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) = 𝐷) ↔ (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) ∧ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) = if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅))))
30	27, 29	bibi12d 345	. 2 ⊢ (𝐷 = if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅) → (((((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ·o (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅))) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) = (((if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o 𝐷) ·o (if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o 𝐷)) +o 𝐷) ↔ (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) ∧ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) = 𝐷)) ↔ ((((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ·o (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅))) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) = (((if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅)) ·o (if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅))) +o if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅)) ↔ (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) ∧ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) = if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅)))))
31		peano1 7865	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ ω
32	31	elimel 4558	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) ∈ ω
33	31	elimel 4558	. . 3 ⊢ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) ∈ ω
34	31	elimel 4558	. . 3 ⊢ if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) ∈ ω
35	31	elimel 4558	. . 3 ⊢ if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅) ∈ ω
36	32, 33, 34, 35	omopthi 8625	. 2 ⊢ ((((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ·o (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅))) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) = (((if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅)) ·o (if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +o if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅))) +o if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅)) ↔ (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) ∧ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) = if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅)))
37	7, 15, 22, 30, 36	dedth4h 4550	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷 ∈ ω)) → ((((𝐴 +o 𝐵) ·o (𝐴 +o 𝐵)) +o 𝐵) = (((𝐶 +o 𝐷) ·o (𝐶 +o 𝐷)) +o 𝐷) ↔ (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∅c0 4296  ifcif 4488  (class class class)co 7387  ωcom 7842   +_o coa 8431   ·_o comu 8432

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-oadd 8438  df-omul 8439

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