MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordtopn3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordtopn3 23205
Description: An open interval (𝐴, 𝐵) is open. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ordttopon.3 𝑋 = dom 𝑅
Assertion
Ref Expression
ordtopn3 ((𝑅𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) → {𝑥𝑋 ∣ (¬ 𝑥𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝑅𝑥)} ∈ (ordTop‘𝑅))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋

Proof of Theorem ordtopn3
StepHypRef Expression
1 inrab 4315 . 2 ({𝑥𝑋 ∣ ¬ 𝑥𝑅𝐴} ∩ {𝑥𝑋 ∣ ¬ 𝐵𝑅𝑥}) = {𝑥𝑋 ∣ (¬ 𝑥𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝑅𝑥)}
2 ordttopon.3 . . . . . 6 𝑋 = dom 𝑅
32ordttopon 23202 . . . . 5 (𝑅𝑉 → (ordTop‘𝑅) ∈ (TopOn‘𝑋))
433ad2ant1 1133 . . . 4 ((𝑅𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) → (ordTop‘𝑅) ∈ (TopOn‘𝑋))
5 topontop 22920 . . . 4 ((ordTop‘𝑅) ∈ (TopOn‘𝑋) → (ordTop‘𝑅) ∈ Top)
64, 5syl 17 . . 3 ((𝑅𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) → (ordTop‘𝑅) ∈ Top)
72ordtopn1 23203 . . . 4 ((𝑅𝑉𝐴𝑋) → {𝑥𝑋 ∣ ¬ 𝑥𝑅𝐴} ∈ (ordTop‘𝑅))
873adant3 1132 . . 3 ((𝑅𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) → {𝑥𝑋 ∣ ¬ 𝑥𝑅𝐴} ∈ (ordTop‘𝑅))
92ordtopn2 23204 . . . 4 ((𝑅𝑉𝐵𝑋) → {𝑥𝑋 ∣ ¬ 𝐵𝑅𝑥} ∈ (ordTop‘𝑅))
1093adant2 1131 . . 3 ((𝑅𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) → {𝑥𝑋 ∣ ¬ 𝐵𝑅𝑥} ∈ (ordTop‘𝑅))
11 inopn 22906 . . 3 (((ordTop‘𝑅) ∈ Top ∧ {𝑥𝑋 ∣ ¬ 𝑥𝑅𝐴} ∈ (ordTop‘𝑅) ∧ {𝑥𝑋 ∣ ¬ 𝐵𝑅𝑥} ∈ (ordTop‘𝑅)) → ({𝑥𝑋 ∣ ¬ 𝑥𝑅𝐴} ∩ {𝑥𝑋 ∣ ¬ 𝐵𝑅𝑥}) ∈ (ordTop‘𝑅))
126, 8, 10, 11syl3anc 1372 . 2 ((𝑅𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) → ({𝑥𝑋 ∣ ¬ 𝑥𝑅𝐴} ∩ {𝑥𝑋 ∣ ¬ 𝐵𝑅𝑥}) ∈ (ordTop‘𝑅))
131, 12eqeltrrid 2845 1 ((𝑅𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) → {𝑥𝑋 ∣ (¬ 𝑥𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝑅𝑥)} ∈ (ordTop‘𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107  {crab 3435  cin 3949   class class class wbr 5142  dom cdm 5684  cfv 6560  ordTopcordt 17545  Topctop 22900  TopOnctopon 22917
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-om 7889  df-1o 8507  df-2o 8508  df-en 8987  df-fin 8990  df-fi 9452  df-topgen 17489  df-ordt 17547  df-top 22901  df-topon 22918  df-bases 22954
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator