Theorem ordtopn3 23090

Description: An open interval (𝐴, 𝐵) is open. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ordttopon.3	⊢ 𝑋 = dom 𝑅

Assertion

Ref	Expression
ordtopn3	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (¬ 𝑥𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝑅𝑥)} ∈ (ordTop‘𝑅))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋

Proof of Theorem ordtopn3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inrab 4282	. 2 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝑥𝑅𝐴} ∩ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝐵𝑅𝑥}) = {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (¬ 𝑥𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝑅𝑥)}
2		ordttopon.3	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = dom 𝑅
3	2	ordttopon 23087	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (ordTop‘𝑅) ∈ (TopOn‘𝑋))
4	3	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (ordTop‘𝑅) ∈ (TopOn‘𝑋))
5		topontop 22807	. . . 4 ⊢ ((ordTop‘𝑅) ∈ (TopOn‘𝑋) → (ordTop‘𝑅) ∈ Top)
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (ordTop‘𝑅) ∈ Top)
7	2	ordtopn1 23088	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝑥𝑅𝐴} ∈ (ordTop‘𝑅))
8	7	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝑥𝑅𝐴} ∈ (ordTop‘𝑅))
9	2	ordtopn2 23089	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝐵𝑅𝑥} ∈ (ordTop‘𝑅))
10	9	3adant2 1131	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝐵𝑅𝑥} ∈ (ordTop‘𝑅))
11		inopn 22793	. . 3 ⊢ (((ordTop‘𝑅) ∈ Top ∧ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝑥𝑅𝐴} ∈ (ordTop‘𝑅) ∧ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝐵𝑅𝑥} ∈ (ordTop‘𝑅)) → ({𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝑥𝑅𝐴} ∩ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝐵𝑅𝑥}) ∈ (ordTop‘𝑅))
12	6, 8, 10, 11	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ({𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝑥𝑅𝐴} ∩ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝐵𝑅𝑥}) ∈ (ordTop‘𝑅))
13	1, 12	eqeltrrid 2834	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (¬ 𝑥𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝑅𝑥)} ∈ (ordTop‘𝑅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3408   ∩ cin 3916   class class class wbr 5110  dom cdm 5641  ‘cfv 6514  ordTopcordt 17469  Topctop 22787  TopOnctopon 22804

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-om 7846  df-1o 8437  df-2o 8438  df-en 8922  df-fin 8925  df-fi 9369  df-topgen 17413  df-ordt 17471  df-top 22788  df-topon 22805  df-bases 22840

This theorem is referenced by: (None)