Theorem ordtopn3 21804

Description: An open interval (𝐴, 𝐵) is open. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ordttopon.3	⊢ 𝑋 = dom 𝑅

Assertion

Ref	Expression
ordtopn3	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (¬ 𝑥𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝑅𝑥)} ∈ (ordTop‘𝑅))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋

Proof of Theorem ordtopn3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inrab 4275	. 2 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝑥𝑅𝐴} ∩ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝐵𝑅𝑥}) = {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (¬ 𝑥𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝑅𝑥)}
2		ordttopon.3	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = dom 𝑅
3	2	ordttopon 21801	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (ordTop‘𝑅) ∈ (TopOn‘𝑋))
4	3	3ad2ant1 1129	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (ordTop‘𝑅) ∈ (TopOn‘𝑋))
5		topontop 21521	. . . 4 ⊢ ((ordTop‘𝑅) ∈ (TopOn‘𝑋) → (ordTop‘𝑅) ∈ Top)
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (ordTop‘𝑅) ∈ Top)
7	2	ordtopn1 21802	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝑥𝑅𝐴} ∈ (ordTop‘𝑅))
8	7	3adant3 1128	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝑥𝑅𝐴} ∈ (ordTop‘𝑅))
9	2	ordtopn2 21803	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝐵𝑅𝑥} ∈ (ordTop‘𝑅))
10	9	3adant2 1127	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝐵𝑅𝑥} ∈ (ordTop‘𝑅))
11		inopn 21507	. . 3 ⊢ (((ordTop‘𝑅) ∈ Top ∧ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝑥𝑅𝐴} ∈ (ordTop‘𝑅) ∧ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝐵𝑅𝑥} ∈ (ordTop‘𝑅)) → ({𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝑥𝑅𝐴} ∩ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝐵𝑅𝑥}) ∈ (ordTop‘𝑅))
12	6, 8, 10, 11	syl3anc 1367	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ({𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝑥𝑅𝐴} ∩ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝐵𝑅𝑥}) ∈ (ordTop‘𝑅))
13	1, 12	eqeltrrid 2918	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (¬ 𝑥𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝑅𝑥)} ∈ (ordTop‘𝑅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  {crab 3142   ∩ cin 3935   class class class wbr 5066  dom cdm 5555  ‘cfv 6355  ordTopcordt 16772  Topctop 21501  TopOnctopon 21518

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-oadd 8106  df-er 8289  df-en 8510  df-fin 8513  df-fi 8875  df-topgen 16717  df-ordt 16774  df-top 21502  df-topon 21519  df-bases 21554

This theorem is referenced by: (None)