Theorem ordtopn3 23422

Description: An open interval (𝐴, 𝐵) is open. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ordttopon.3	⊢ 𝑋 = dom 𝑅

Assertion

Ref	Expression
ordtopn3	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (¬ 𝑥𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝑅𝑥)} ∈ (ordTop‘𝑅))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋

Proof of Theorem ordtopn3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inrab 4265	. 2 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝑥𝑅𝐴} ∩ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝐵𝑅𝑥}) = {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (¬ 𝑥𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝑅𝑥)}
2		ordttopon.3	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = dom 𝑅
3	2	ordttopon 23419	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (ordTop‘𝑅) ∈ (TopOn‘𝑋))
4	3	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (ordTop‘𝑅) ∈ (TopOn‘𝑋))
5		topontop 23139	. . . 4 ⊢ ((ordTop‘𝑅) ∈ (TopOn‘𝑋) → (ordTop‘𝑅) ∈ Top)
6	4, 5	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (ordTop‘𝑅) ∈ Top)
7	2	ordtopn1 23420	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝑥𝑅𝐴} ∈ (ordTop‘𝑅))
8	7	3adant3 1150	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝑥𝑅𝐴} ∈ (ordTop‘𝑅))
9	2	ordtopn2 23421	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝐵𝑅𝑥} ∈ (ordTop‘𝑅))
10	9	3adant2 1149	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝐵𝑅𝑥} ∈ (ordTop‘𝑅))
11		inopn 23125	. . 3 ⊢ (((ordTop‘𝑅) ∈ Top ∧ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝑥𝑅𝐴} ∈ (ordTop‘𝑅) ∧ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝐵𝑅𝑥} ∈ (ordTop‘𝑅)) → ({𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝑥𝑅𝐴} ∩ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝐵𝑅𝑥}) ∈ (ordTop‘𝑅))
12	6, 8, 10, 11	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ({𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝑥𝑅𝐴} ∩ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝐵𝑅𝑥}) ∈ (ordTop‘𝑅))
13	1, 12	eqeltrrid 2867	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (¬ 𝑥𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝑅𝑥)} ∈ (ordTop‘𝑅))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3414   ∩ cin 3901   class class class wbr 5107  dom cdm 5659  ‘cfv 6537  ordTopcordt 17589  Topctop 23119  TopOnctopon 23136

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-om 7866  df-1o 8458  df-2o 8459  df-en 8956  df-fin 8959  df-fi 9384  df-topgen 17532  df-ordt 17591  df-top 23120  df-topon 23137  df-bases 23172

This theorem is used by: (None)