Theorem ordtopn3 23111

Description: An open interval (𝐴, 𝐵) is open. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ordttopon.3	⊢ 𝑋 = dom 𝑅

Assertion

Ref	Expression
ordtopn3	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (¬ 𝑥𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝑅𝑥)} ∈ (ordTop‘𝑅))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋

Proof of Theorem ordtopn3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inrab 4263	. 2 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝑥𝑅𝐴} ∩ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝐵𝑅𝑥}) = {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (¬ 𝑥𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝑅𝑥)}
2		ordttopon.3	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = dom 𝑅
3	2	ordttopon 23108	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (ordTop‘𝑅) ∈ (TopOn‘𝑋))
4	3	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (ordTop‘𝑅) ∈ (TopOn‘𝑋))
5		topontop 22828	. . . 4 ⊢ ((ordTop‘𝑅) ∈ (TopOn‘𝑋) → (ordTop‘𝑅) ∈ Top)
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (ordTop‘𝑅) ∈ Top)
7	2	ordtopn1 23109	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝑥𝑅𝐴} ∈ (ordTop‘𝑅))
8	7	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝑥𝑅𝐴} ∈ (ordTop‘𝑅))
9	2	ordtopn2 23110	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝐵𝑅𝑥} ∈ (ordTop‘𝑅))
10	9	3adant2 1131	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝐵𝑅𝑥} ∈ (ordTop‘𝑅))
11		inopn 22814	. . 3 ⊢ (((ordTop‘𝑅) ∈ Top ∧ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝑥𝑅𝐴} ∈ (ordTop‘𝑅) ∧ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝐵𝑅𝑥} ∈ (ordTop‘𝑅)) → ({𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝑥𝑅𝐴} ∩ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝐵𝑅𝑥}) ∈ (ordTop‘𝑅))
12	6, 8, 10, 11	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ({𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝑥𝑅𝐴} ∩ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝐵𝑅𝑥}) ∈ (ordTop‘𝑅))
13	1, 12	eqeltrrid 2836	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (¬ 𝑥𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝑅𝑥)} ∈ (ordTop‘𝑅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  {crab 3395   ∩ cin 3896   class class class wbr 5089  dom cdm 5614  ‘cfv 6481  ordTopcordt 17403  Topctop 22808  TopOnctopon 22825

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-om 7797  df-1o 8385  df-2o 8386  df-en 8870  df-fin 8873  df-fi 9295  df-topgen 17347  df-ordt 17405  df-top 22809  df-topon 22826  df-bases 22861

This theorem is referenced by: (None)