Theorem sylow1lem4 19542

Description: Lemma for sylow1 19544. The stabilizer subgroup of any element of 𝑆 is at most 𝑃↑𝑁 in size. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
sylow1.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
sylow1.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
sylow1.f	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
sylow1.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
sylow1.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
sylow1.d	⊢ (𝜑 → (𝑃↑𝑁) ∥ (♯‘𝑋))
sylow1lem.a	⊢ + = (+g‘𝐺)
sylow1lem.s	⊢ 𝑆 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (♯‘𝑠) = (𝑃↑𝑁)}
sylow1lem.m	⊢ ⊕ = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)))
sylow1lem3.1	⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝑋 (𝑔 ⊕ 𝑥) = 𝑦)}
sylow1lem4.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
sylow1lem4.h	⊢ 𝐻 = {𝑢 ∈ 𝑋 ∣ (𝑢 ⊕ 𝐵) = 𝐵}

Assertion

Ref	Expression
sylow1lem4	⊢ (𝜑 → (♯‘𝐻) ≤ (𝑃↑𝑁))

Distinct variable groups:   𝑔,𝑠,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧,𝐵   𝑔,𝐻,𝑥,𝑦   𝑆,𝑔,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑔,𝑁,𝑠,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑔,𝑋,𝑠,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   + ,𝑠,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑧, ∼   ⊕ ,𝑔,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑔,𝐺,𝑠,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑃,𝑔,𝑠,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔,𝑠)   + (𝑔)   ⊕ (𝑠)   ∼ (𝑥,𝑦,𝑢,𝑔,𝑠)   𝑆(𝑠)   𝐻(𝑧,𝑢,𝑠)

Proof of Theorem sylow1lem4

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sylow1lem4.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
2		fveqeq2 6851	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 = 𝐵 → ((♯‘𝑠) = (𝑃↑𝑁) ↔ (♯‘𝐵) = (𝑃↑𝑁)))
3		sylow1lem.s	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑆 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (♯‘𝑠) = (𝑃↑𝑁)}
4	2, 3	elrab2 3651	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑆 ↔ (𝐵 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ (♯‘𝐵) = (𝑃↑𝑁)))
5	1, 4	sylib 218	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ (♯‘𝐵) = (𝑃↑𝑁)))
6	5	simprd 495	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) = (𝑃↑𝑁))
7		sylow1.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
8		prmnn 16613	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
9	7, 8	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
10		sylow1.n	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
11	9, 10	nnexpcld 14180	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑𝑁) ∈ ℕ)
12	6, 11	eqeltrd 2837	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
13	12	nnne0d 12207	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ≠ 0)
14		hasheq0 14298	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑆 → ((♯‘𝐵) = 0 ↔ 𝐵 = ∅))
15	14	necon3bid 2977	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑆 → ((♯‘𝐵) ≠ 0 ↔ 𝐵 ≠ ∅))
16	1, 15	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐵) ≠ 0 ↔ 𝐵 ≠ ∅))
17	13, 16	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ ∅)
18		n0 4307	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑎 𝑎 ∈ 𝐵)
19	17, 18	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 𝑎 ∈ 𝐵)
20	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝑆)
21		simplr 769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻) → 𝑎 ∈ 𝐵)
22		oveq2 7376	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝑎 → (𝑏 + 𝑧) = (𝑏 + 𝑎))
23		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)) = (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧))
24		ovex 7401	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 + 𝑎) ∈ V
25	22, 23, 24	fvmpt 6949	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐵 → ((𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧))‘𝑎) = (𝑏 + 𝑎))
26	21, 25	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻) → ((𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧))‘𝑎) = (𝑏 + 𝑎))
27		ovex 7401	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 + 𝑧) ∈ V
28	27, 23	fnmpti 6643	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)) Fn 𝐵
29		fnfvelrn 7034	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)) Fn 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ((𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧))‘𝑎) ∈ ran (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)))
30	28, 21, 29	sylancr 588	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻) → ((𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧))‘𝑎) ∈ ran (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)))
31	26, 30	eqeltrrd 2838	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻) → (𝑏 + 𝑎) ∈ ran (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)))
32		sylow1lem4.h	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐻 = {𝑢 ∈ 𝑋 ∣ (𝑢 ⊕ 𝐵) = 𝐵}
33	32	ssrab3 4036	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐻 ⊆ 𝑋
34		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻) → 𝑏 ∈ 𝐻)
35	33, 34	sselid 3933	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻) → 𝑏 ∈ 𝑋)
36	1	ad2antrr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻) → 𝐵 ∈ 𝑆)
37		mptexg 7177	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑆 → (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)) ∈ V)
38		rnexg 7854	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)) ∈ V → ran (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)) ∈ V)
39	36, 37, 38	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻) → ran (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)) ∈ V)
40		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 = 𝑏 ∧ 𝑦 = 𝐵) → 𝑦 = 𝐵)
41		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 = 𝑏 ∧ 𝑦 = 𝐵) → 𝑥 = 𝑏)
42	41	oveq1d 7383	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 = 𝑏 ∧ 𝑦 = 𝐵) → (𝑥 + 𝑧) = (𝑏 + 𝑧))
43	40, 42	mpteq12dv 5187	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 = 𝑏 ∧ 𝑦 = 𝐵) → (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)) = (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)))
44	43	rneqd 5895	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 = 𝑏 ∧ 𝑦 = 𝐵) → ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)) = ran (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)))
45		sylow1lem.m	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ⊕ = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)))
46	44, 45	ovmpoga 7522	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ ran (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)) ∈ V) → (𝑏 ⊕ 𝐵) = ran (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)))
47	35, 36, 39, 46	syl3anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻) → (𝑏 ⊕ 𝐵) = ran (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)))
48	31, 47	eleqtrrd 2840	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻) → (𝑏 + 𝑎) ∈ (𝑏 ⊕ 𝐵))
49		oveq1 7375	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 = 𝑏 → (𝑢 ⊕ 𝐵) = (𝑏 ⊕ 𝐵))
50	49	eqeq1d 2739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 = 𝑏 → ((𝑢 ⊕ 𝐵) = 𝐵 ↔ (𝑏 ⊕ 𝐵) = 𝐵))
51	50, 32	elrab2 3651	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐻 ↔ (𝑏 ∈ 𝑋 ∧ (𝑏 ⊕ 𝐵) = 𝐵))
52	51	simprbi 497	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐻 → (𝑏 ⊕ 𝐵) = 𝐵)
53	52	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻) → (𝑏 ⊕ 𝐵) = 𝐵)
54	48, 53	eleqtrd 2839	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻) → (𝑏 + 𝑎) ∈ 𝐵)
55	54	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝑏 ∈ 𝐻 → (𝑏 + 𝑎) ∈ 𝐵))
56		sylow1.g	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
57	56	ad2antrr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ∈ 𝐻 ∧ 𝑐 ∈ 𝐻)) → 𝐺 ∈ Grp)
58		simprl 771	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ∈ 𝐻 ∧ 𝑐 ∈ 𝐻)) → 𝑏 ∈ 𝐻)
59	33, 58	sselid 3933	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ∈ 𝐻 ∧ 𝑐 ∈ 𝐻)) → 𝑏 ∈ 𝑋)
60		simprr 773	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ∈ 𝐻 ∧ 𝑐 ∈ 𝐻)) → 𝑐 ∈ 𝐻)
61	33, 60	sselid 3933	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ∈ 𝐻 ∧ 𝑐 ∈ 𝐻)) → 𝑐 ∈ 𝑋)
62	5	simpld 494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝒫 𝑋)
63	62	elpwid 4565	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑋)
64	63	sselda 3935	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝑎 ∈ 𝑋)
65	64	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ∈ 𝐻 ∧ 𝑐 ∈ 𝐻)) → 𝑎 ∈ 𝑋)
66		sylow1.x	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
67		sylow1lem.a	. . . . . . . . 9 ⊢ + = (+g‘𝐺)
68	66, 67	grprcan 18915	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑎 ∈ 𝑋)) → ((𝑏 + 𝑎) = (𝑐 + 𝑎) ↔ 𝑏 = 𝑐))
69	57, 59, 61, 65, 68	syl13anc 1375	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ∈ 𝐻 ∧ 𝑐 ∈ 𝐻)) → ((𝑏 + 𝑎) = (𝑐 + 𝑎) ↔ 𝑏 = 𝑐))
70	69	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ((𝑏 ∈ 𝐻 ∧ 𝑐 ∈ 𝐻) → ((𝑏 + 𝑎) = (𝑐 + 𝑎) ↔ 𝑏 = 𝑐)))
71	55, 70	dom2d 8942	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝐵 ∈ 𝑆 → 𝐻 ≼ 𝐵))
72	20, 71	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝐻 ≼ 𝐵)
73	19, 72	exlimddv 1937	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ≼ 𝐵)
74		sylow1.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
75		ssfi 9109	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝐻 ⊆ 𝑋) → 𝐻 ∈ Fin)
76	74, 33, 75	sylancl 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Fin)
77	74, 63	ssfid 9181	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
78		hashdom 14314	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐻) ≤ (♯‘𝐵) ↔ 𝐻 ≼ 𝐵))
79	76, 77, 78	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐻) ≤ (♯‘𝐵) ↔ 𝐻 ≼ 𝐵))
80	73, 79	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐻) ≤ (♯‘𝐵))
81	80, 6	breqtrd 5126	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐻) ≤ (𝑃↑𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3062  {crab 3401  Vcvv 3442   ⊆ wss 3903  ∅c0 4287  𝒫 cpw 4556  {cpr 4584   class class class wbr 5100  {copab 5162   ↦ cmpt 5181  ran crn 5633   Fn wfn 6495  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   ∈ cmpo 7370   ≼ cdom 8893  Fincfn 8895  0cc0 11038   ≤ cle 11179  ℕcn 12157  ℕ₀cn0 12413  ↑cexp 13996  ♯chash 14265   ∥ cdvds 16191  ℙcprime 16610  Basecbs 17148  +_gcplusg 17189  Grpcgrp 18875

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-oadd 8411  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-n0 12414  df-xnn0 12487  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436  df-seq 13937  df-exp 13997  df-hash 14266  df-prm 16611  df-0g 17373  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-grp 18878

This theorem is referenced by:  sylow1lem5  19543