Theorem sylow1lem4 19206

Description: Lemma for sylow1 19208. The stabilizer subgroup of any element of 𝑆 is at most 𝑃↑𝑁 in size. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
sylow1.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
sylow1.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
sylow1.f	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
sylow1.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
sylow1.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
sylow1.d	⊢ (𝜑 → (𝑃↑𝑁) ∥ (♯‘𝑋))
sylow1lem.a	⊢ + = (+g‘𝐺)
sylow1lem.s	⊢ 𝑆 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (♯‘𝑠) = (𝑃↑𝑁)}
sylow1lem.m	⊢ ⊕ = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)))
sylow1lem3.1	⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝑋 (𝑔 ⊕ 𝑥) = 𝑦)}
sylow1lem4.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
sylow1lem4.h	⊢ 𝐻 = {𝑢 ∈ 𝑋 ∣ (𝑢 ⊕ 𝐵) = 𝐵}

Assertion

Ref	Expression
sylow1lem4	⊢ (𝜑 → (♯‘𝐻) ≤ (𝑃↑𝑁))

Distinct variable groups:   𝑔,𝑠,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧,𝐵   𝑔,𝐻,𝑥,𝑦   𝑆,𝑔,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑔,𝑁,𝑠,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑔,𝑋,𝑠,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   + ,𝑠,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑧, ∼   ⊕ ,𝑔,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑔,𝐺,𝑠,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑃,𝑔,𝑠,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔,𝑠)   + (𝑔)   ⊕ (𝑠)   ∼ (𝑥,𝑦,𝑢,𝑔,𝑠)   𝑆(𝑠)   𝐻(𝑧,𝑢,𝑠)

Proof of Theorem sylow1lem4

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sylow1lem4.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
2		fveqeq2 6783	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 = 𝐵 → ((♯‘𝑠) = (𝑃↑𝑁) ↔ (♯‘𝐵) = (𝑃↑𝑁)))
3		sylow1lem.s	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑆 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (♯‘𝑠) = (𝑃↑𝑁)}
4	2, 3	elrab2 3627	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑆 ↔ (𝐵 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ (♯‘𝐵) = (𝑃↑𝑁)))
5	1, 4	sylib 217	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ (♯‘𝐵) = (𝑃↑𝑁)))
6	5	simprd 496	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) = (𝑃↑𝑁))
7		sylow1.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
8		prmnn 16379	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
9	7, 8	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
10		sylow1.n	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
11	9, 10	nnexpcld 13960	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑𝑁) ∈ ℕ)
12	6, 11	eqeltrd 2839	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
13	12	nnne0d 12023	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ≠ 0)
14		hasheq0 14078	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑆 → ((♯‘𝐵) = 0 ↔ 𝐵 = ∅))
15	14	necon3bid 2988	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑆 → ((♯‘𝐵) ≠ 0 ↔ 𝐵 ≠ ∅))
16	1, 15	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐵) ≠ 0 ↔ 𝐵 ≠ ∅))
17	13, 16	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ ∅)
18		n0 4280	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑎 𝑎 ∈ 𝐵)
19	17, 18	sylib 217	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 𝑎 ∈ 𝐵)
20	1	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝑆)
21		simplr 766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻) → 𝑎 ∈ 𝐵)
22		oveq2 7283	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝑎 → (𝑏 + 𝑧) = (𝑏 + 𝑎))
23		eqid 2738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)) = (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧))
24		ovex 7308	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 + 𝑎) ∈ V
25	22, 23, 24	fvmpt 6875	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐵 → ((𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧))‘𝑎) = (𝑏 + 𝑎))
26	21, 25	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻) → ((𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧))‘𝑎) = (𝑏 + 𝑎))
27		ovex 7308	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 + 𝑧) ∈ V
28	27, 23	fnmpti 6576	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)) Fn 𝐵
29		fnfvelrn 6958	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)) Fn 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ((𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧))‘𝑎) ∈ ran (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)))
30	28, 21, 29	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻) → ((𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧))‘𝑎) ∈ ran (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)))
31	26, 30	eqeltrrd 2840	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻) → (𝑏 + 𝑎) ∈ ran (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)))
32		sylow1lem4.h	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐻 = {𝑢 ∈ 𝑋 ∣ (𝑢 ⊕ 𝐵) = 𝐵}
33	32	ssrab3 4015	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐻 ⊆ 𝑋
34		simpr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻) → 𝑏 ∈ 𝐻)
35	33, 34	sselid 3919	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻) → 𝑏 ∈ 𝑋)
36	1	ad2antrr 723	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻) → 𝐵 ∈ 𝑆)
37		mptexg 7097	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑆 → (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)) ∈ V)
38		rnexg 7751	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)) ∈ V → ran (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)) ∈ V)
39	36, 37, 38	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻) → ran (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)) ∈ V)
40		simpr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 = 𝑏 ∧ 𝑦 = 𝐵) → 𝑦 = 𝐵)
41		simpl 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 = 𝑏 ∧ 𝑦 = 𝐵) → 𝑥 = 𝑏)
42	41	oveq1d 7290	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 = 𝑏 ∧ 𝑦 = 𝐵) → (𝑥 + 𝑧) = (𝑏 + 𝑧))
43	40, 42	mpteq12dv 5165	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 = 𝑏 ∧ 𝑦 = 𝐵) → (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)) = (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)))
44	43	rneqd 5847	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 = 𝑏 ∧ 𝑦 = 𝐵) → ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)) = ran (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)))
45		sylow1lem.m	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ⊕ = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)))
46	44, 45	ovmpoga 7427	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ ran (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)) ∈ V) → (𝑏 ⊕ 𝐵) = ran (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)))
47	35, 36, 39, 46	syl3anc 1370	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻) → (𝑏 ⊕ 𝐵) = ran (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)))
48	31, 47	eleqtrrd 2842	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻) → (𝑏 + 𝑎) ∈ (𝑏 ⊕ 𝐵))
49		oveq1 7282	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 = 𝑏 → (𝑢 ⊕ 𝐵) = (𝑏 ⊕ 𝐵))
50	49	eqeq1d 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 = 𝑏 → ((𝑢 ⊕ 𝐵) = 𝐵 ↔ (𝑏 ⊕ 𝐵) = 𝐵))
51	50, 32	elrab2 3627	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐻 ↔ (𝑏 ∈ 𝑋 ∧ (𝑏 ⊕ 𝐵) = 𝐵))
52	51	simprbi 497	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐻 → (𝑏 ⊕ 𝐵) = 𝐵)
53	52	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻) → (𝑏 ⊕ 𝐵) = 𝐵)
54	48, 53	eleqtrd 2841	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻) → (𝑏 + 𝑎) ∈ 𝐵)
55	54	ex 413	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝑏 ∈ 𝐻 → (𝑏 + 𝑎) ∈ 𝐵))
56		sylow1.g	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
57	56	ad2antrr 723	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ∈ 𝐻 ∧ 𝑐 ∈ 𝐻)) → 𝐺 ∈ Grp)
58		simprl 768	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ∈ 𝐻 ∧ 𝑐 ∈ 𝐻)) → 𝑏 ∈ 𝐻)
59	33, 58	sselid 3919	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ∈ 𝐻 ∧ 𝑐 ∈ 𝐻)) → 𝑏 ∈ 𝑋)
60		simprr 770	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ∈ 𝐻 ∧ 𝑐 ∈ 𝐻)) → 𝑐 ∈ 𝐻)
61	33, 60	sselid 3919	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ∈ 𝐻 ∧ 𝑐 ∈ 𝐻)) → 𝑐 ∈ 𝑋)
62	5	simpld 495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝒫 𝑋)
63	62	elpwid 4544	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑋)
64	63	sselda 3921	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝑎 ∈ 𝑋)
65	64	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ∈ 𝐻 ∧ 𝑐 ∈ 𝐻)) → 𝑎 ∈ 𝑋)
66		sylow1.x	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
67		sylow1lem.a	. . . . . . . . 9 ⊢ + = (+g‘𝐺)
68	66, 67	grprcan 18613	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑎 ∈ 𝑋)) → ((𝑏 + 𝑎) = (𝑐 + 𝑎) ↔ 𝑏 = 𝑐))
69	57, 59, 61, 65, 68	syl13anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ∈ 𝐻 ∧ 𝑐 ∈ 𝐻)) → ((𝑏 + 𝑎) = (𝑐 + 𝑎) ↔ 𝑏 = 𝑐))
70	69	ex 413	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ((𝑏 ∈ 𝐻 ∧ 𝑐 ∈ 𝐻) → ((𝑏 + 𝑎) = (𝑐 + 𝑎) ↔ 𝑏 = 𝑐)))
71	55, 70	dom2d 8781	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝐵 ∈ 𝑆 → 𝐻 ≼ 𝐵))
72	20, 71	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝐻 ≼ 𝐵)
73	19, 72	exlimddv 1938	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ≼ 𝐵)
74		sylow1.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
75		ssfi 8956	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝐻 ⊆ 𝑋) → 𝐻 ∈ Fin)
76	74, 33, 75	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Fin)
77	74, 63	ssfid 9042	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
78		hashdom 14094	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐻) ≤ (♯‘𝐵) ↔ 𝐻 ≼ 𝐵))
79	76, 77, 78	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐻) ≤ (♯‘𝐵) ↔ 𝐻 ≼ 𝐵))
80	73, 79	mpbird 256	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐻) ≤ (♯‘𝐵))
81	80, 6	breqtrd 5100	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐻) ≤ (𝑃↑𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539  ∃wex 1782   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∃wrex 3065  {crab 3068  Vcvv 3432   ⊆ wss 3887  ∅c0 4256  𝒫 cpw 4533  {cpr 4563   class class class wbr 5074  {copab 5136   ↦ cmpt 5157  ran crn 5590   Fn wfn 6428  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   ∈ cmpo 7277   ≼ cdom 8731  Fincfn 8733  0cc0 10871   ≤ cle 11010  ℕcn 11973  ℕ₀cn0 12233  ↑cexp 13782  ♯chash 14044   ∥ cdvds 15963  ℙcprime 16376  Basecbs 16912  +_gcplusg 16962  Grpcgrp 18577

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-oadd 8301  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-xnn0 12306  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-prm 16377  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580

This theorem is referenced by:  sylow1lem5  19207