MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sylow1lem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sylow1lem4 18224
Description: Lemma for sylow1 18226. The stabilizer subgroup of any element of 𝑆 is at most 𝑃𝑁 in size. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow1.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
sylow1.g (𝜑𝐺 ∈ Grp)
sylow1.f (𝜑𝑋 ∈ Fin)
sylow1.p (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
sylow1.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
sylow1.d (𝜑 → (𝑃𝑁) ∥ (♯‘𝑋))
sylow1lem.a + = (+g𝐺)
sylow1lem.s 𝑆 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (♯‘𝑠) = (𝑃𝑁)}
sylow1lem.m = (𝑥𝑋, 𝑦𝑆 ↦ ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)))
sylow1lem3.1 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)}
sylow1lem4.b (𝜑𝐵𝑆)
sylow1lem4.h 𝐻 = {𝑢𝑋 ∣ (𝑢 𝐵) = 𝐵}
Assertion
Ref Expression
sylow1lem4 (𝜑 → (♯‘𝐻) ≤ (𝑃𝑁))
Distinct variable groups:   𝑔,𝑠,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧,𝐵   𝑔,𝐻,𝑥,𝑦   𝑆,𝑔,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑔,𝑁,𝑠,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑔,𝑋,𝑠,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   + ,𝑠,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑧,   ,𝑔,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑔,𝐺,𝑠,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑃,𝑔,𝑠,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔,𝑠)   + (𝑔)   (𝑠)   (𝑥,𝑦,𝑢,𝑔,𝑠)   𝑆(𝑠)   𝐻(𝑧,𝑢,𝑠)

Proof of Theorem sylow1lem4
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sylow1lem4.b . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵𝑆)
2 fveq2 6333 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = 𝐵 → (♯‘𝑠) = (♯‘𝐵))
32eqeq1d 2773 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = 𝐵 → ((♯‘𝑠) = (𝑃𝑁) ↔ (♯‘𝐵) = (𝑃𝑁)))
4 sylow1lem.s . . . . . . . . . . 11 𝑆 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (♯‘𝑠) = (𝑃𝑁)}
53, 4elrab2 3519 . . . . . . . . . 10 (𝐵𝑆 ↔ (𝐵 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ (♯‘𝐵) = (𝑃𝑁)))
61, 5sylib 208 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ (♯‘𝐵) = (𝑃𝑁)))
76simprd 479 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘𝐵) = (𝑃𝑁))
8 sylow1.p . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
9 prmnn 15596 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
108, 9syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
11 sylow1.n . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
1210, 11nnexpcld 13238 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃𝑁) ∈ ℕ)
137, 12eqeltrd 2850 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
1413nnne0d 11268 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝐵) ≠ 0)
15 hasheq0 13357 . . . . . . . 8 (𝐵𝑆 → ((♯‘𝐵) = 0 ↔ 𝐵 = ∅))
1615necon3bid 2987 . . . . . . 7 (𝐵𝑆 → ((♯‘𝐵) ≠ 0 ↔ 𝐵 ≠ ∅))
171, 16syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((♯‘𝐵) ≠ 0 ↔ 𝐵 ≠ ∅))
1814, 17mpbid 222 . . . . 5 (𝜑𝐵 ≠ ∅)
19 n0 4079 . . . . 5 (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑎 𝑎𝐵)
2018, 19sylib 208 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑎 𝑎𝐵)
211adantr 466 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝐵) → 𝐵𝑆)
22 simplr 746 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐻) → 𝑎𝐵)
23 oveq2 6802 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑎 → (𝑏 + 𝑧) = (𝑏 + 𝑎))
24 eqid 2771 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)) = (𝑧𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧))
25 ovex 6824 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 + 𝑎) ∈ V
2623, 24, 25fvmpt 6425 . . . . . . . . . . 11 (𝑎𝐵 → ((𝑧𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧))‘𝑎) = (𝑏 + 𝑎))
2722, 26syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐻) → ((𝑧𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧))‘𝑎) = (𝑏 + 𝑎))
28 ovex 6824 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 + 𝑧) ∈ V
2928, 24fnmpti 6163 . . . . . . . . . . 11 (𝑧𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)) Fn 𝐵
30 fnfvelrn 6500 . . . . . . . . . . 11 (((𝑧𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)) Fn 𝐵𝑎𝐵) → ((𝑧𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧))‘𝑎) ∈ ran (𝑧𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)))
3129, 22, 30sylancr 569 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐻) → ((𝑧𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧))‘𝑎) ∈ ran (𝑧𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)))
3227, 31eqeltrrd 2851 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐻) → (𝑏 + 𝑎) ∈ ran (𝑧𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)))
33 sylow1lem4.h . . . . . . . . . . . 12 𝐻 = {𝑢𝑋 ∣ (𝑢 𝐵) = 𝐵}
34 ssrab2 3837 . . . . . . . . . . . 12 {𝑢𝑋 ∣ (𝑢 𝐵) = 𝐵} ⊆ 𝑋
3533, 34eqsstri 3785 . . . . . . . . . . 11 𝐻𝑋
36 simpr 471 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐻) → 𝑏𝐻)
3735, 36sseldi 3751 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐻) → 𝑏𝑋)
381ad2antrr 699 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐻) → 𝐵𝑆)
39 mptexg 6629 . . . . . . . . . . 11 (𝐵𝑆 → (𝑧𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)) ∈ V)
40 rnexg 7246 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)) ∈ V → ran (𝑧𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)) ∈ V)
4138, 39, 403syl 18 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐻) → ran (𝑧𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)) ∈ V)
42 simpr 471 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 = 𝑏𝑦 = 𝐵) → 𝑦 = 𝐵)
43 simpl 468 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 = 𝑏𝑦 = 𝐵) → 𝑥 = 𝑏)
4443oveq1d 6809 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 = 𝑏𝑦 = 𝐵) → (𝑥 + 𝑧) = (𝑏 + 𝑧))
4542, 44mpteq12dv 4868 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 = 𝑏𝑦 = 𝐵) → (𝑧𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)) = (𝑧𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)))
4645rneqd 5492 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 = 𝑏𝑦 = 𝐵) → ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)) = ran (𝑧𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)))
47 sylow1lem.m . . . . . . . . . . 11 = (𝑥𝑋, 𝑦𝑆 ↦ ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)))
4846, 47ovmpt2ga 6938 . . . . . . . . . 10 ((𝑏𝑋𝐵𝑆 ∧ ran (𝑧𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)) ∈ V) → (𝑏 𝐵) = ran (𝑧𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)))
4937, 38, 41, 48syl3anc 1476 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐻) → (𝑏 𝐵) = ran (𝑧𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)))
5032, 49eleqtrrd 2853 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐻) → (𝑏 + 𝑎) ∈ (𝑏 𝐵))
51 oveq1 6801 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 = 𝑏 → (𝑢 𝐵) = (𝑏 𝐵))
5251eqeq1d 2773 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 = 𝑏 → ((𝑢 𝐵) = 𝐵 ↔ (𝑏 𝐵) = 𝐵))
5352, 33elrab2 3519 . . . . . . . . . 10 (𝑏𝐻 ↔ (𝑏𝑋 ∧ (𝑏 𝐵) = 𝐵))
5453simprbi 480 . . . . . . . . 9 (𝑏𝐻 → (𝑏 𝐵) = 𝐵)
5554adantl 467 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐻) → (𝑏 𝐵) = 𝐵)
5650, 55eleqtrd 2852 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐻) → (𝑏 + 𝑎) ∈ 𝐵)
5756ex 397 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝐵) → (𝑏𝐻 → (𝑏 + 𝑎) ∈ 𝐵))
58 sylow1.g . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
5958ad2antrr 699 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑏𝐻𝑐𝐻)) → 𝐺 ∈ Grp)
60 simprl 748 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑏𝐻𝑐𝐻)) → 𝑏𝐻)
6135, 60sseldi 3751 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑏𝐻𝑐𝐻)) → 𝑏𝑋)
62 simprr 750 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑏𝐻𝑐𝐻)) → 𝑐𝐻)
6335, 62sseldi 3751 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑏𝐻𝑐𝐻)) → 𝑐𝑋)
646simpld 478 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ 𝒫 𝑋)
6564elpwid 4310 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵𝑋)
6665sselda 3753 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎𝐵) → 𝑎𝑋)
6766adantr 466 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑏𝐻𝑐𝐻)) → 𝑎𝑋)
68 sylow1.x . . . . . . . . 9 𝑋 = (Base‘𝐺)
69 sylow1lem.a . . . . . . . . 9 + = (+g𝐺)
7068, 69grprcan 17664 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋𝑎𝑋)) → ((𝑏 + 𝑎) = (𝑐 + 𝑎) ↔ 𝑏 = 𝑐))
7159, 61, 63, 67, 70syl13anc 1478 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑏𝐻𝑐𝐻)) → ((𝑏 + 𝑎) = (𝑐 + 𝑎) ↔ 𝑏 = 𝑐))
7271ex 397 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝐵) → ((𝑏𝐻𝑐𝐻) → ((𝑏 + 𝑎) = (𝑐 + 𝑎) ↔ 𝑏 = 𝑐)))
7357, 72dom2d 8151 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝐵) → (𝐵𝑆𝐻𝐵))
7421, 73mpd 15 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐵) → 𝐻𝐵)
7520, 74exlimddv 2015 . . 3 (𝜑𝐻𝐵)
76 sylow1.f . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
77 ssfi 8337 . . . . 5 ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝐻𝑋) → 𝐻 ∈ Fin)
7876, 35, 77sylancl 568 . . . 4 (𝜑𝐻 ∈ Fin)
79 ssfi 8337 . . . . 5 ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑋) → 𝐵 ∈ Fin)
8076, 65, 79syl2anc 567 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
81 hashdom 13371 . . . 4 ((𝐻 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐻) ≤ (♯‘𝐵) ↔ 𝐻𝐵))
8278, 80, 81syl2anc 567 . . 3 (𝜑 → ((♯‘𝐻) ≤ (♯‘𝐵) ↔ 𝐻𝐵))
8375, 82mpbird 247 . 2 (𝜑 → (♯‘𝐻) ≤ (♯‘𝐵))
8483, 7breqtrd 4813 1 (𝜑 → (♯‘𝐻) ≤ (𝑃𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wex 1852  wcel 2145  wne 2943  wrex 3062  {crab 3065  Vcvv 3351  wss 3724  c0 4064  𝒫 cpw 4298  {cpr 4319   class class class wbr 4787  {copab 4847  cmpt 4864  ran crn 5251   Fn wfn 6027  cfv 6032  (class class class)co 6794  cmpt2 6796  cdom 8108  Fincfn 8110  0cc0 10139  cle 10278  cn 11223  0cn0 11495  cexp 13068  chash 13322  cdvds 15190  cprime 15593  Basecbs 16065  +gcplusg 16150  Grpcgrp 17631
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7097  ax-cnex 10195  ax-resscn 10196  ax-1cn 10197  ax-icn 10198  ax-addcl 10199  ax-addrcl 10200  ax-mulcl 10201  ax-mulrcl 10202  ax-mulcom 10203  ax-addass 10204  ax-mulass 10205  ax-distr 10206  ax-i2m1 10207  ax-1ne0 10208  ax-1rid 10209  ax-rnegex 10210  ax-rrecex 10211  ax-cnre 10212  ax-pre-lttri 10213  ax-pre-lttrn 10214  ax-pre-ltadd 10215  ax-pre-mulgt0 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 829  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3589  df-csb 3684  df-dif 3727  df-un 3729  df-in 3731  df-ss 3738  df-pss 3740  df-nul 4065  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5824  df-ord 5870  df-on 5871  df-lim 5872  df-suc 5873  df-iota 5995  df-fun 6034  df-fn 6035  df-f 6036  df-f1 6037  df-fo 6038  df-f1o 6039  df-fv 6040  df-riota 6755  df-ov 6797  df-oprab 6798  df-mpt2 6799  df-om 7214  df-1st 7316  df-2nd 7317  df-wrecs 7560  df-recs 7622  df-rdg 7660  df-1o 7714  df-oadd 7718  df-er 7897  df-en 8111  df-dom 8112  df-sdom 8113  df-fin 8114  df-card 8966  df-pnf 10279  df-mnf 10280  df-xr 10281  df-ltxr 10282  df-le 10283  df-sub 10471  df-neg 10472  df-nn 11224  df-n0 11496  df-xnn0 11567  df-z 11581  df-uz 11890  df-fz 12535  df-seq 13010  df-exp 13069  df-hash 13323  df-prm 15594  df-0g 16311  df-mgm 17451  df-sgrp 17493  df-mnd 17504  df-grp 17634
This theorem is referenced by:  sylow1lem5  18225
  Copyright terms: Public domain W3C validator