MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sylow1lem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sylow1lem4 18655
Description: Lemma for sylow1 18657. The stabilizer subgroup of any element of 𝑆 is at most 𝑃𝑁 in size. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow1.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
sylow1.g (𝜑𝐺 ∈ Grp)
sylow1.f (𝜑𝑋 ∈ Fin)
sylow1.p (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
sylow1.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
sylow1.d (𝜑 → (𝑃𝑁) ∥ (♯‘𝑋))
sylow1lem.a + = (+g𝐺)
sylow1lem.s 𝑆 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (♯‘𝑠) = (𝑃𝑁)}
sylow1lem.m = (𝑥𝑋, 𝑦𝑆 ↦ ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)))
sylow1lem3.1 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)}
sylow1lem4.b (𝜑𝐵𝑆)
sylow1lem4.h 𝐻 = {𝑢𝑋 ∣ (𝑢 𝐵) = 𝐵}
Assertion
Ref Expression
sylow1lem4 (𝜑 → (♯‘𝐻) ≤ (𝑃𝑁))
Distinct variable groups:   𝑔,𝑠,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧,𝐵   𝑔,𝐻,𝑥,𝑦   𝑆,𝑔,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑔,𝑁,𝑠,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑔,𝑋,𝑠,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   + ,𝑠,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑧,   ,𝑔,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑔,𝐺,𝑠,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑃,𝑔,𝑠,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔,𝑠)   + (𝑔)   (𝑠)   (𝑥,𝑦,𝑢,𝑔,𝑠)   𝑆(𝑠)   𝐻(𝑧,𝑢,𝑠)

Proof of Theorem sylow1lem4
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sylow1lem4.b . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵𝑆)
2 fveqeq2 6672 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = 𝐵 → ((♯‘𝑠) = (𝑃𝑁) ↔ (♯‘𝐵) = (𝑃𝑁)))
3 sylow1lem.s . . . . . . . . . . 11 𝑆 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (♯‘𝑠) = (𝑃𝑁)}
42, 3elrab2 3680 . . . . . . . . . 10 (𝐵𝑆 ↔ (𝐵 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ (♯‘𝐵) = (𝑃𝑁)))
51, 4sylib 219 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ (♯‘𝐵) = (𝑃𝑁)))
65simprd 496 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘𝐵) = (𝑃𝑁))
7 sylow1.p . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
8 prmnn 16006 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
97, 8syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
10 sylow1.n . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
119, 10nnexpcld 13594 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃𝑁) ∈ ℕ)
126, 11eqeltrd 2910 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
1312nnne0d 11675 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝐵) ≠ 0)
14 hasheq0 13712 . . . . . . . 8 (𝐵𝑆 → ((♯‘𝐵) = 0 ↔ 𝐵 = ∅))
1514necon3bid 3057 . . . . . . 7 (𝐵𝑆 → ((♯‘𝐵) ≠ 0 ↔ 𝐵 ≠ ∅))
161, 15syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((♯‘𝐵) ≠ 0 ↔ 𝐵 ≠ ∅))
1713, 16mpbid 233 . . . . 5 (𝜑𝐵 ≠ ∅)
18 n0 4307 . . . . 5 (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑎 𝑎𝐵)
1917, 18sylib 219 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑎 𝑎𝐵)
201adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝐵) → 𝐵𝑆)
21 simplr 765 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐻) → 𝑎𝐵)
22 oveq2 7153 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑎 → (𝑏 + 𝑧) = (𝑏 + 𝑎))
23 eqid 2818 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)) = (𝑧𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧))
24 ovex 7178 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 + 𝑎) ∈ V
2522, 23, 24fvmpt 6761 . . . . . . . . . . 11 (𝑎𝐵 → ((𝑧𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧))‘𝑎) = (𝑏 + 𝑎))
2621, 25syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐻) → ((𝑧𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧))‘𝑎) = (𝑏 + 𝑎))
27 ovex 7178 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 + 𝑧) ∈ V
2827, 23fnmpti 6484 . . . . . . . . . . 11 (𝑧𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)) Fn 𝐵
29 fnfvelrn 6840 . . . . . . . . . . 11 (((𝑧𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)) Fn 𝐵𝑎𝐵) → ((𝑧𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧))‘𝑎) ∈ ran (𝑧𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)))
3028, 21, 29sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐻) → ((𝑧𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧))‘𝑎) ∈ ran (𝑧𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)))
3126, 30eqeltrrd 2911 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐻) → (𝑏 + 𝑎) ∈ ran (𝑧𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)))
32 sylow1lem4.h . . . . . . . . . . . 12 𝐻 = {𝑢𝑋 ∣ (𝑢 𝐵) = 𝐵}
3332ssrab3 4054 . . . . . . . . . . 11 𝐻𝑋
34 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐻) → 𝑏𝐻)
3533, 34sseldi 3962 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐻) → 𝑏𝑋)
361ad2antrr 722 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐻) → 𝐵𝑆)
37 mptexg 6975 . . . . . . . . . . 11 (𝐵𝑆 → (𝑧𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)) ∈ V)
38 rnexg 7603 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)) ∈ V → ran (𝑧𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)) ∈ V)
3936, 37, 383syl 18 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐻) → ran (𝑧𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)) ∈ V)
40 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 = 𝑏𝑦 = 𝐵) → 𝑦 = 𝐵)
41 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 = 𝑏𝑦 = 𝐵) → 𝑥 = 𝑏)
4241oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 = 𝑏𝑦 = 𝐵) → (𝑥 + 𝑧) = (𝑏 + 𝑧))
4340, 42mpteq12dv 5142 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 = 𝑏𝑦 = 𝐵) → (𝑧𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)) = (𝑧𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)))
4443rneqd 5801 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 = 𝑏𝑦 = 𝐵) → ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)) = ran (𝑧𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)))
45 sylow1lem.m . . . . . . . . . . 11 = (𝑥𝑋, 𝑦𝑆 ↦ ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)))
4644, 45ovmpoga 7293 . . . . . . . . . 10 ((𝑏𝑋𝐵𝑆 ∧ ran (𝑧𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)) ∈ V) → (𝑏 𝐵) = ran (𝑧𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)))
4735, 36, 39, 46syl3anc 1363 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐻) → (𝑏 𝐵) = ran (𝑧𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)))
4831, 47eleqtrrd 2913 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐻) → (𝑏 + 𝑎) ∈ (𝑏 𝐵))
49 oveq1 7152 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 = 𝑏 → (𝑢 𝐵) = (𝑏 𝐵))
5049eqeq1d 2820 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 = 𝑏 → ((𝑢 𝐵) = 𝐵 ↔ (𝑏 𝐵) = 𝐵))
5150, 32elrab2 3680 . . . . . . . . . 10 (𝑏𝐻 ↔ (𝑏𝑋 ∧ (𝑏 𝐵) = 𝐵))
5251simprbi 497 . . . . . . . . 9 (𝑏𝐻 → (𝑏 𝐵) = 𝐵)
5352adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐻) → (𝑏 𝐵) = 𝐵)
5448, 53eleqtrd 2912 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐻) → (𝑏 + 𝑎) ∈ 𝐵)
5554ex 413 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝐵) → (𝑏𝐻 → (𝑏 + 𝑎) ∈ 𝐵))
56 sylow1.g . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
5756ad2antrr 722 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑏𝐻𝑐𝐻)) → 𝐺 ∈ Grp)
58 simprl 767 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑏𝐻𝑐𝐻)) → 𝑏𝐻)
5933, 58sseldi 3962 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑏𝐻𝑐𝐻)) → 𝑏𝑋)
60 simprr 769 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑏𝐻𝑐𝐻)) → 𝑐𝐻)
6133, 60sseldi 3962 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑏𝐻𝑐𝐻)) → 𝑐𝑋)
625simpld 495 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ 𝒫 𝑋)
6362elpwid 4549 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵𝑋)
6463sselda 3964 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎𝐵) → 𝑎𝑋)
6564adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑏𝐻𝑐𝐻)) → 𝑎𝑋)
66 sylow1.x . . . . . . . . 9 𝑋 = (Base‘𝐺)
67 sylow1lem.a . . . . . . . . 9 + = (+g𝐺)
6866, 67grprcan 18075 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋𝑎𝑋)) → ((𝑏 + 𝑎) = (𝑐 + 𝑎) ↔ 𝑏 = 𝑐))
6957, 59, 61, 65, 68syl13anc 1364 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑏𝐻𝑐𝐻)) → ((𝑏 + 𝑎) = (𝑐 + 𝑎) ↔ 𝑏 = 𝑐))
7069ex 413 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝐵) → ((𝑏𝐻𝑐𝐻) → ((𝑏 + 𝑎) = (𝑐 + 𝑎) ↔ 𝑏 = 𝑐)))
7155, 70dom2d 8538 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝐵) → (𝐵𝑆𝐻𝐵))
7220, 71mpd 15 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐵) → 𝐻𝐵)
7319, 72exlimddv 1927 . . 3 (𝜑𝐻𝐵)
74 sylow1.f . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
75 ssfi 8726 . . . . 5 ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝐻𝑋) → 𝐻 ∈ Fin)
7674, 33, 75sylancl 586 . . . 4 (𝜑𝐻 ∈ Fin)
7774, 63ssfid 8729 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
78 hashdom 13728 . . . 4 ((𝐻 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐻) ≤ (♯‘𝐵) ↔ 𝐻𝐵))
7976, 77, 78syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → ((♯‘𝐻) ≤ (♯‘𝐵) ↔ 𝐻𝐵))
8073, 79mpbird 258 . 2 (𝜑 → (♯‘𝐻) ≤ (♯‘𝐵))
8180, 6breqtrd 5083 1 (𝜑 → (♯‘𝐻) ≤ (𝑃𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wex 1771  wcel 2105  wne 3013  wrex 3136  {crab 3139  Vcvv 3492  wss 3933  c0 4288  𝒫 cpw 4535  {cpr 4559   class class class wbr 5057  {copab 5119  cmpt 5137  ran crn 5549   Fn wfn 6343  cfv 6348  (class class class)co 7145  cmpo 7147  cdom 8495  Fincfn 8497  0cc0 10525  cle 10664  cn 11626  0cn0 11885  cexp 13417  chash 13678  cdvds 15595  cprime 16003  Basecbs 16471  +gcplusg 16553  Grpcgrp 18041
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881  df-seq 13358  df-exp 13418  df-hash 13679  df-prm 16004  df-0g 16703  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-grp 18044
This theorem is referenced by:  sylow1lem5  18656
  Copyright terms: Public domain W3C validator