Theorem sylow1lem4 19866

Description: Lemma for sylow1 19868. The stabilizer subgroup of any element of 𝑆 is at most 𝑃↑𝑁 in size. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
sylow1.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
sylow1.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
sylow1.f	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
sylow1.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
sylow1.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
sylow1.d	⊢ (𝜑 → (𝑃↑𝑁) ∥ (♯‘𝑋))
sylow1lem.a	⊢ + = (+g‘𝐺)
sylow1lem.s	⊢ 𝑆 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (♯‘𝑠) = (𝑃↑𝑁)}
sylow1lem.m	⊢ ⊕ = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)))
sylow1lem3.1	⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝑋 (𝑔 ⊕ 𝑥) = 𝑦)}
sylow1lem4.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
sylow1lem4.h	⊢ 𝐻 = {𝑢 ∈ 𝑋 ∣ (𝑢 ⊕ 𝐵) = 𝐵}

Assertion

Ref	Expression
sylow1lem4	⊢ (𝜑 → (♯‘𝐻) ≤ (𝑃↑𝑁))

Distinct variable groups:   𝑔,𝑠,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧,𝐵   𝑔,𝐻,𝑥,𝑦   𝑆,𝑔,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑔,𝑁,𝑠,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑔,𝑋,𝑠,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   + ,𝑠,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑧, ∼   ⊕ ,𝑔,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑔,𝐺,𝑠,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑃,𝑔,𝑠,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔, 𝑠)   + (𝑔)   ⊕ (𝑠)   ∼ (𝑥, 𝑦, 𝑢, 𝑔, 𝑠)   𝑆(𝑠)   𝐻(𝑧, 𝑢, 𝑠)

Proof of Theorem sylow1lem4

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sylow1lem4.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
2		fveqeq2 6925	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 = 𝐵 → ((♯‘𝑠) = (𝑃↑𝑁) ↔ (♯‘𝐵) = (𝑃↑𝑁)))
3		sylow1lem.s	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑆 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (♯‘𝑠) = (𝑃↑𝑁)}
4	2, 3	elrab2 3652	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑆 ↔ (𝐵 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ (♯‘𝐵) = (𝑃↑𝑁)))
5	1, 4	sylib 221	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ (♯‘𝐵) = (𝑃↑𝑁)))
6	5	simprd 501	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) = (𝑃↑𝑁))
7		sylow1.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
8		prmnn 16893	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
9	7, 8	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
10		sylow1.n	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
11	9, 10	nnexpcld 14430	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑𝑁) ∈ ℕ)
12	6, 11	eqeltrd 2864	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
13	12	nnne0d 12428	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ≠ 0)
14		hasheq0 14548	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑆 → ((♯‘𝐵) = 0 ↔ 𝐵 = ∅))
15	14	necon3bid 3003	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑆 → ((♯‘𝐵) ≠ 0 ↔ 𝐵 ≠ ∅))
16	1, 15	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐵) ≠ 0 ↔ 𝐵 ≠ ∅))
17	13, 16	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ ∅)
18		n0 4303	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑎 𝑎 ∈ 𝐵)
19	17, 18	sylib 221	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 𝑎 ∈ 𝐵)
20	1	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝑆)
21		simplr 781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻) → 𝑎 ∈ 𝐵)
22		oveq2 7459	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝑎 → (𝑏 + 𝑧) = (𝑏 + 𝑎))
23		eqid 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)) = (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧))
24		ovex 7484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 + 𝑎) ∈ V
25	22, 23, 24	fvmpt 7024	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐵 → ((𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧))‘𝑎) = (𝑏 + 𝑎))
26	21, 25	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻) → ((𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧))‘𝑎) = (𝑏 + 𝑎))
27		ovex 7484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 + 𝑧) ∈ V
28	27, 23	fnmpti 6712	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)) Fn 𝐵
29		fnfvelrn 7112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)) Fn 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ((𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧))‘𝑎) ∈ ran (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)))
30	28, 21, 29	sylancr 599	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻) → ((𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧))‘𝑎) ∈ ran (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)))
31	26, 30	eqeltrrd 2865	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻) → (𝑏 + 𝑎) ∈ ran (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)))
32		sylow1lem4.h	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐻 = {𝑢 ∈ 𝑋 ∣ (𝑢 ⊕ 𝐵) = 𝐵}
33	32	ssrab3 4010	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐻 ⊆ 𝑋
34		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻) → 𝑏 ∈ 𝐻)
35	33, 34	sselid 3911	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻) → 𝑏 ∈ 𝑋)
36	1	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻) → 𝐵 ∈ 𝑆)
37		mptexg 7258	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑆 → (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)) ∈ V)
38		rnexg 7948	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)) ∈ V → ran (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)) ∈ V)
39	36, 37, 38	3syl 19	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻) → ran (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)) ∈ V)
40		simpr 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 = 𝑏 ∧ 𝑦 = 𝐵) → 𝑦 = 𝐵)
41		simpl 488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 = 𝑏 ∧ 𝑦 = 𝐵) → 𝑥 = 𝑏)
42	41	oveq1d 7466	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 = 𝑏 ∧ 𝑦 = 𝐵) → (𝑥 + 𝑧) = (𝑏 + 𝑧))
43	40, 42	mpteq12dv 5198	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 = 𝑏 ∧ 𝑦 = 𝐵) → (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)) = (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)))
44	43	rneqd 5932	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 = 𝑏 ∧ 𝑦 = 𝐵) → ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)) = ran (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)))
45		sylow1lem.m	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ⊕ = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)))
46	44, 45	ovmpoga 7606	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ ran (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)) ∈ V) → (𝑏 ⊕ 𝐵) = ran (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)))
47	35, 36, 39, 46	syl3anc 1399	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻) → (𝑏 ⊕ 𝐵) = ran (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)))
48	31, 47	eleqtrrd 2867	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻) → (𝑏 + 𝑎) ∈ (𝑏 ⊕ 𝐵))
49		oveq1 7458	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 = 𝑏 → (𝑢 ⊕ 𝐵) = (𝑏 ⊕ 𝐵))
50	49	eqeq1d 2765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 = 𝑏 → ((𝑢 ⊕ 𝐵) = 𝐵 ↔ (𝑏 ⊕ 𝐵) = 𝐵))
51	50, 32	elrab2 3652	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐻 ↔ (𝑏 ∈ 𝑋 ∧ (𝑏 ⊕ 𝐵) = 𝐵))
52	51	simprbi 503	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐻 → (𝑏 ⊕ 𝐵) = 𝐵)
53	52	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻) → (𝑏 ⊕ 𝐵) = 𝐵)
54	48, 53	eleqtrd 2866	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻) → (𝑏 + 𝑎) ∈ 𝐵)
55	54	ex 418	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝑏 ∈ 𝐻 → (𝑏 + 𝑎) ∈ 𝐵))
56		sylow1.g	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
57	56	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ∈ 𝐻 ∧ 𝑐 ∈ 𝐻)) → 𝐺 ∈ Grp)
58		simprl 783	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ∈ 𝐻 ∧ 𝑐 ∈ 𝐻)) → 𝑏 ∈ 𝐻)
59	33, 58	sselid 3911	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ∈ 𝐻 ∧ 𝑐 ∈ 𝐻)) → 𝑏 ∈ 𝑋)
60		simprr 785	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ∈ 𝐻 ∧ 𝑐 ∈ 𝐻)) → 𝑐 ∈ 𝐻)
61	33, 60	sselid 3911	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ∈ 𝐻 ∧ 𝑐 ∈ 𝐻)) → 𝑐 ∈ 𝑋)
62	5	simpld 500	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝒫 𝑋)
63	62	elpwid 4569	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑋)
64	63	sselda 3913	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝑎 ∈ 𝑋)
65	64	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ∈ 𝐻 ∧ 𝑐 ∈ 𝐻)) → 𝑎 ∈ 𝑋)
66		sylow1.x	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
67		sylow1lem.a	. . . . . . . . 9 ⊢ + = (+g‘𝐺)
68	66, 67	grprcan 19234	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑎 ∈ 𝑋)) → ((𝑏 + 𝑎) = (𝑐 + 𝑎) ↔ 𝑏 = 𝑐))
69	57, 59, 61, 65, 68	syl13anc 1400	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ∈ 𝐻 ∧ 𝑐 ∈ 𝐻)) → ((𝑏 + 𝑎) = (𝑐 + 𝑎) ↔ 𝑏 = 𝑐))
70	69	ex 418	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ((𝑏 ∈ 𝐻 ∧ 𝑐 ∈ 𝐻) → ((𝑏 + 𝑎) = (𝑐 + 𝑎) ↔ 𝑏 = 𝑐)))
71	55, 70	dom2d 9058	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝐵 ∈ 𝑆 → 𝐻 ≼ 𝐵))
72	20, 71	mpd 16	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝐻 ≼ 𝐵)
73	19, 72	exlimddv 1970	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ≼ 𝐵)
74		sylow1.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
75		ssfi 9226	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝐻 ⊆ 𝑋) → 𝐻 ∈ Fin)
76	74, 33, 75	sylancl 598	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Fin)
77	74, 63	ssfid 9298	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
78		hashdom 14564	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐻) ≤ (♯‘𝐵) ↔ 𝐻 ≼ 𝐵))
79	76, 77, 78	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐻) ≤ (♯‘𝐵) ↔ 𝐻 ≼ 𝐵))
80	73, 79	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐻) ≤ (♯‘𝐵))
81	80, 6	breqtrd 5137	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐻) ≤ (𝑃↑𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∃wrex 3090  {crab 3416  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900  ∅c0 4281  𝒫 cpw 4560  {cpr 4590   class class class wbr 5108  {copab 5173   ↦ cmpt 5192  ran crn 5659   Fn wfn 6561  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451   ∈ cmpo 7453   ≼ cdom 9009  Fincfn 9011  0cc0 11239   ≤ cle 11383  ℕcn 12375  ℕ₀cn0 12646  ↑cexp 14244  ♯chash 14515   ∥ cdvds 16466  ℙcprime 16890  Basecbs 17431  +_gcplusg 17472  Grpcgrp 19194

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-oadd 8518  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-n0 12647  df-xnn0 12720  df-z 12734  df-uz 13006  df-fz 13680  df-seq 14185  df-exp 14245  df-hash 14516  df-prm 16891  df-0g 17662  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-grp 19197

This theorem is used by:  sylow1lem5  19867