MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sylow1lem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sylow1lem4 18717
Description: Lemma for sylow1 18719. The stabilizer subgroup of any element of 𝑆 is at most 𝑃𝑁 in size. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow1.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
sylow1.g (𝜑𝐺 ∈ Grp)
sylow1.f (𝜑𝑋 ∈ Fin)
sylow1.p (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
sylow1.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
sylow1.d (𝜑 → (𝑃𝑁) ∥ (♯‘𝑋))
sylow1lem.a + = (+g𝐺)
sylow1lem.s 𝑆 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (♯‘𝑠) = (𝑃𝑁)}
sylow1lem.m = (𝑥𝑋, 𝑦𝑆 ↦ ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)))
sylow1lem3.1 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)}
sylow1lem4.b (𝜑𝐵𝑆)
sylow1lem4.h 𝐻 = {𝑢𝑋 ∣ (𝑢 𝐵) = 𝐵}
Assertion
Ref Expression
sylow1lem4 (𝜑 → (♯‘𝐻) ≤ (𝑃𝑁))
Distinct variable groups:   𝑔,𝑠,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧,𝐵   𝑔,𝐻,𝑥,𝑦   𝑆,𝑔,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑔,𝑁,𝑠,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑔,𝑋,𝑠,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   + ,𝑠,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑧,   ,𝑔,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑔,𝐺,𝑠,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑃,𝑔,𝑠,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔,𝑠)   + (𝑔)   (𝑠)   (𝑥,𝑦,𝑢,𝑔,𝑠)   𝑆(𝑠)   𝐻(𝑧,𝑢,𝑠)

Proof of Theorem sylow1lem4
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sylow1lem4.b . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵𝑆)
2 fveqeq2 6661 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = 𝐵 → ((♯‘𝑠) = (𝑃𝑁) ↔ (♯‘𝐵) = (𝑃𝑁)))
3 sylow1lem.s . . . . . . . . . . 11 𝑆 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (♯‘𝑠) = (𝑃𝑁)}
42, 3elrab2 3658 . . . . . . . . . 10 (𝐵𝑆 ↔ (𝐵 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ (♯‘𝐵) = (𝑃𝑁)))
51, 4sylib 221 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ (♯‘𝐵) = (𝑃𝑁)))
65simprd 499 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘𝐵) = (𝑃𝑁))
7 sylow1.p . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
8 prmnn 16007 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
97, 8syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
10 sylow1.n . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
119, 10nnexpcld 13602 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃𝑁) ∈ ℕ)
126, 11eqeltrd 2914 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
1312nnne0d 11675 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝐵) ≠ 0)
14 hasheq0 13720 . . . . . . . 8 (𝐵𝑆 → ((♯‘𝐵) = 0 ↔ 𝐵 = ∅))
1514necon3bid 3055 . . . . . . 7 (𝐵𝑆 → ((♯‘𝐵) ≠ 0 ↔ 𝐵 ≠ ∅))
161, 15syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((♯‘𝐵) ≠ 0 ↔ 𝐵 ≠ ∅))
1713, 16mpbid 235 . . . . 5 (𝜑𝐵 ≠ ∅)
18 n0 4282 . . . . 5 (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑎 𝑎𝐵)
1917, 18sylib 221 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑎 𝑎𝐵)
201adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝐵) → 𝐵𝑆)
21 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐻) → 𝑎𝐵)
22 oveq2 7148 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑎 → (𝑏 + 𝑧) = (𝑏 + 𝑎))
23 eqid 2822 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)) = (𝑧𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧))
24 ovex 7173 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 + 𝑎) ∈ V
2522, 23, 24fvmpt 6750 . . . . . . . . . . 11 (𝑎𝐵 → ((𝑧𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧))‘𝑎) = (𝑏 + 𝑎))
2621, 25syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐻) → ((𝑧𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧))‘𝑎) = (𝑏 + 𝑎))
27 ovex 7173 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 + 𝑧) ∈ V
2827, 23fnmpti 6471 . . . . . . . . . . 11 (𝑧𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)) Fn 𝐵
29 fnfvelrn 6830 . . . . . . . . . . 11 (((𝑧𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)) Fn 𝐵𝑎𝐵) → ((𝑧𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧))‘𝑎) ∈ ran (𝑧𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)))
3028, 21, 29sylancr 590 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐻) → ((𝑧𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧))‘𝑎) ∈ ran (𝑧𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)))
3126, 30eqeltrrd 2915 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐻) → (𝑏 + 𝑎) ∈ ran (𝑧𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)))
32 sylow1lem4.h . . . . . . . . . . . 12 𝐻 = {𝑢𝑋 ∣ (𝑢 𝐵) = 𝐵}
3332ssrab3 4032 . . . . . . . . . . 11 𝐻𝑋
34 simpr 488 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐻) → 𝑏𝐻)
3533, 34sseldi 3940 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐻) → 𝑏𝑋)
361ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐻) → 𝐵𝑆)
37 mptexg 6966 . . . . . . . . . . 11 (𝐵𝑆 → (𝑧𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)) ∈ V)
38 rnexg 7600 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)) ∈ V → ran (𝑧𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)) ∈ V)
3936, 37, 383syl 18 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐻) → ran (𝑧𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)) ∈ V)
40 simpr 488 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 = 𝑏𝑦 = 𝐵) → 𝑦 = 𝐵)
41 simpl 486 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 = 𝑏𝑦 = 𝐵) → 𝑥 = 𝑏)
4241oveq1d 7155 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 = 𝑏𝑦 = 𝐵) → (𝑥 + 𝑧) = (𝑏 + 𝑧))
4340, 42mpteq12dv 5127 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 = 𝑏𝑦 = 𝐵) → (𝑧𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)) = (𝑧𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)))
4443rneqd 5785 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 = 𝑏𝑦 = 𝐵) → ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)) = ran (𝑧𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)))
45 sylow1lem.m . . . . . . . . . . 11 = (𝑥𝑋, 𝑦𝑆 ↦ ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)))
4644, 45ovmpoga 7288 . . . . . . . . . 10 ((𝑏𝑋𝐵𝑆 ∧ ran (𝑧𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)) ∈ V) → (𝑏 𝐵) = ran (𝑧𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)))
4735, 36, 39, 46syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐻) → (𝑏 𝐵) = ran (𝑧𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)))
4831, 47eleqtrrd 2917 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐻) → (𝑏 + 𝑎) ∈ (𝑏 𝐵))
49 oveq1 7147 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 = 𝑏 → (𝑢 𝐵) = (𝑏 𝐵))
5049eqeq1d 2824 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 = 𝑏 → ((𝑢 𝐵) = 𝐵 ↔ (𝑏 𝐵) = 𝐵))
5150, 32elrab2 3658 . . . . . . . . . 10 (𝑏𝐻 ↔ (𝑏𝑋 ∧ (𝑏 𝐵) = 𝐵))
5251simprbi 500 . . . . . . . . 9 (𝑏𝐻 → (𝑏 𝐵) = 𝐵)
5352adantl 485 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐻) → (𝑏 𝐵) = 𝐵)
5448, 53eleqtrd 2916 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐻) → (𝑏 + 𝑎) ∈ 𝐵)
5554ex 416 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝐵) → (𝑏𝐻 → (𝑏 + 𝑎) ∈ 𝐵))
56 sylow1.g . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
5756ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑏𝐻𝑐𝐻)) → 𝐺 ∈ Grp)
58 simprl 770 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑏𝐻𝑐𝐻)) → 𝑏𝐻)
5933, 58sseldi 3940 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑏𝐻𝑐𝐻)) → 𝑏𝑋)
60 simprr 772 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑏𝐻𝑐𝐻)) → 𝑐𝐻)
6133, 60sseldi 3940 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑏𝐻𝑐𝐻)) → 𝑐𝑋)
625simpld 498 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ 𝒫 𝑋)
6362elpwid 4522 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵𝑋)
6463sselda 3942 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎𝐵) → 𝑎𝑋)
6564adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑏𝐻𝑐𝐻)) → 𝑎𝑋)
66 sylow1.x . . . . . . . . 9 𝑋 = (Base‘𝐺)
67 sylow1lem.a . . . . . . . . 9 + = (+g𝐺)
6866, 67grprcan 18128 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋𝑎𝑋)) → ((𝑏 + 𝑎) = (𝑐 + 𝑎) ↔ 𝑏 = 𝑐))
6957, 59, 61, 65, 68syl13anc 1369 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑏𝐻𝑐𝐻)) → ((𝑏 + 𝑎) = (𝑐 + 𝑎) ↔ 𝑏 = 𝑐))
7069ex 416 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝐵) → ((𝑏𝐻𝑐𝐻) → ((𝑏 + 𝑎) = (𝑐 + 𝑎) ↔ 𝑏 = 𝑐)))
7155, 70dom2d 8537 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝐵) → (𝐵𝑆𝐻𝐵))
7220, 71mpd 15 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐵) → 𝐻𝐵)
7319, 72exlimddv 1936 . . 3 (𝜑𝐻𝐵)
74 sylow1.f . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
75 ssfi 8726 . . . . 5 ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝐻𝑋) → 𝐻 ∈ Fin)
7674, 33, 75sylancl 589 . . . 4 (𝜑𝐻 ∈ Fin)
7774, 63ssfid 8729 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
78 hashdom 13736 . . . 4 ((𝐻 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐻) ≤ (♯‘𝐵) ↔ 𝐻𝐵))
7976, 77, 78syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → ((♯‘𝐻) ≤ (♯‘𝐵) ↔ 𝐻𝐵))
8073, 79mpbird 260 . 2 (𝜑 → (♯‘𝐻) ≤ (♯‘𝐵))
8180, 6breqtrd 5068 1 (𝜑 → (♯‘𝐻) ≤ (𝑃𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wex 1781  wcel 2114  wne 3011  wrex 3131  {crab 3134  Vcvv 3469  wss 3908  c0 4265  𝒫 cpw 4511  {cpr 4541   class class class wbr 5042  {copab 5104  cmpt 5122  ran crn 5533   Fn wfn 6329  cfv 6334  (class class class)co 7140  cmpo 7142  cdom 8494  Fincfn 8496  0cc0 10526  cle 10665  cn 11625  0cn0 11885  cexp 13425  chash 13686  cdvds 15598  cprime 16004  Basecbs 16474  +gcplusg 16556  Grpcgrp 18094
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-card 9356  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-prm 16005  df-0g 16706  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-grp 18097
This theorem is referenced by:  sylow1lem5  18718
  Copyright terms: Public domain W3C validator