Theorem fmulcl 46011

Description: If ' Y ' is closed under the multiplication of two functions, then Y is closed under the multiplication ( ' X ' ) of a finite number of functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmulcl.1	⊢ 𝑃 = (𝑓 ∈ 𝑌, 𝑔 ∈ 𝑌 ↦ (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))))
fmulcl.2	⊢ 𝑋 = (seq1(𝑃, 𝑈)‘𝑁)
fmulcl.4	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (1...𝑀))
fmulcl.5	⊢ (𝜑 → 𝑈:(1...𝑀)⟶𝑌)
fmulcl.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑌 ∧ 𝑔 ∈ 𝑌) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝑌)
fmulcl.7	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ V)

Assertion

Ref	Expression
fmulcl	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑌)

Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑡,𝑇   𝑓,𝑌,𝑔   𝜑,𝑓,𝑔

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝑃(𝑡,𝑓,𝑔)   𝑈(𝑡,𝑓,𝑔)   𝑀(𝑡,𝑓,𝑔)   𝑁(𝑡,𝑓,𝑔)   𝑋(𝑡,𝑓,𝑔)   𝑌(𝑡)

Proof of Theorem fmulcl

Dummy variables ℎ 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmulcl.2	. 2 ⊢ 𝑋 = (seq1(𝑃, 𝑈)‘𝑁)
2		fmulcl.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (1...𝑀))
3		elfzuz 13474	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (1...𝑀) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
4	2, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
5		elfzuz3 13475	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (1...𝑀) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
6		fzss2 13518	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (1...𝑁) ⊆ (1...𝑀))
7	2, 5, 6	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1...𝑁) ⊆ (1...𝑀))
8	7	sselda 3921	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ (1...𝑁)) → ℎ ∈ (1...𝑀))
9		fmulcl.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈:(1...𝑀)⟶𝑌)
10	9	ffvelcdmda 7036	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ (1...𝑀)) → (𝑈‘ℎ) ∈ 𝑌)
11	8, 10	syldan 592	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ (1...𝑁)) → (𝑈‘ℎ) ∈ 𝑌)
12		simprl 771	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝑌 ∧ 𝑙 ∈ 𝑌)) → ℎ ∈ 𝑌)
13		simprr 773	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝑌 ∧ 𝑙 ∈ 𝑌)) → 𝑙 ∈ 𝑌)
14		fmulcl.7	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ V)
15	14	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝑌 ∧ 𝑙 ∈ 𝑌)) → 𝑇 ∈ V)
16		mptexg 7176	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ V → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((ℎ‘𝑡) · (𝑙‘𝑡))) ∈ V)
17	15, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝑌 ∧ 𝑙 ∈ 𝑌)) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((ℎ‘𝑡) · (𝑙‘𝑡))) ∈ V)
18		fveq1 6839	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = ℎ → (𝑓‘𝑡) = (ℎ‘𝑡))
19		fveq1 6839	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = 𝑙 → (𝑔‘𝑡) = (𝑙‘𝑡))
20	18, 19	oveqan12d 7386	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 = ℎ ∧ 𝑔 = 𝑙) → ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡)) = ((ℎ‘𝑡) · (𝑙‘𝑡)))
21	20	mpteq2dv 5179	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 = ℎ ∧ 𝑔 = 𝑙) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((ℎ‘𝑡) · (𝑙‘𝑡))))
22		fmulcl.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (𝑓 ∈ 𝑌, 𝑔 ∈ 𝑌 ↦ (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))))
23	21, 22	ovmpoga 7521	. . . . 5 ⊢ ((ℎ ∈ 𝑌 ∧ 𝑙 ∈ 𝑌 ∧ (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((ℎ‘𝑡) · (𝑙‘𝑡))) ∈ V) → (ℎ𝑃𝑙) = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((ℎ‘𝑡) · (𝑙‘𝑡))))
24	12, 13, 17, 23	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝑌 ∧ 𝑙 ∈ 𝑌)) → (ℎ𝑃𝑙) = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((ℎ‘𝑡) · (𝑙‘𝑡))))
25		3simpc 1151	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑌 ∧ 𝑙 ∈ 𝑌) → (ℎ ∈ 𝑌 ∧ 𝑙 ∈ 𝑌))
26		eleq1w 2819	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = ℎ → (𝑓 ∈ 𝑌 ↔ ℎ ∈ 𝑌))
27	26	3anbi2d 1444	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = ℎ → ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑌 ∧ 𝑔 ∈ 𝑌) ↔ (𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑌 ∧ 𝑔 ∈ 𝑌)))
28	18	oveq1d 7382	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = ℎ → ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡)) = ((ℎ‘𝑡) · (𝑔‘𝑡)))
29	28	mpteq2dv 5179	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = ℎ → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((ℎ‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))))
30	29	eleq1d 2821	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = ℎ → ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝑌 ↔ (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((ℎ‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝑌))
31	27, 30	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = ℎ → (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑌 ∧ 𝑔 ∈ 𝑌) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝑌) ↔ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑌 ∧ 𝑔 ∈ 𝑌) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((ℎ‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝑌)))
32		eleq1w 2819	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 = 𝑙 → (𝑔 ∈ 𝑌 ↔ 𝑙 ∈ 𝑌))
33	32	3anbi3d 1445	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = 𝑙 → ((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑌 ∧ 𝑔 ∈ 𝑌) ↔ (𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑌 ∧ 𝑙 ∈ 𝑌)))
34	19	oveq2d 7383	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 = 𝑙 → ((ℎ‘𝑡) · (𝑔‘𝑡)) = ((ℎ‘𝑡) · (𝑙‘𝑡)))
35	34	mpteq2dv 5179	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 = 𝑙 → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((ℎ‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((ℎ‘𝑡) · (𝑙‘𝑡))))
36	35	eleq1d 2821	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = 𝑙 → ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((ℎ‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝑌 ↔ (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((ℎ‘𝑡) · (𝑙‘𝑡))) ∈ 𝑌))
37	33, 36	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = 𝑙 → (((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑌 ∧ 𝑔 ∈ 𝑌) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((ℎ‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝑌) ↔ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑌 ∧ 𝑙 ∈ 𝑌) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((ℎ‘𝑡) · (𝑙‘𝑡))) ∈ 𝑌)))
38		fmulcl.6	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑌 ∧ 𝑔 ∈ 𝑌) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝑌)
39	31, 37, 38	vtocl2g 3517	. . . . . 6 ⊢ ((ℎ ∈ 𝑌 ∧ 𝑙 ∈ 𝑌) → ((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑌 ∧ 𝑙 ∈ 𝑌) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((ℎ‘𝑡) · (𝑙‘𝑡))) ∈ 𝑌))
40	25, 39	mpcom 38	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑌 ∧ 𝑙 ∈ 𝑌) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((ℎ‘𝑡) · (𝑙‘𝑡))) ∈ 𝑌)
41	40	3expb 1121	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝑌 ∧ 𝑙 ∈ 𝑌)) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((ℎ‘𝑡) · (𝑙‘𝑡))) ∈ 𝑌)
42	24, 41	eqeltrd 2836	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝑌 ∧ 𝑙 ∈ 𝑌)) → (ℎ𝑃𝑙) ∈ 𝑌)
43	4, 11, 42	seqcl 13984	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq1(𝑃, 𝑈)‘𝑁) ∈ 𝑌)
44	1, 43	eqeltrid 2840	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3429   ⊆ wss 3889   ↦ cmpt 5166  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   ∈ cmpo 7369  1c1 11039   · cmul 11043  ℤ_≥cuz 12788  ...cfz 13461  seqcseq 13963

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-seq 13964

This theorem is referenced by:  fmuldfeqlem1  46012  stoweidlem51  46479