Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmulcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmulcl 44850
Description: If ' Y ' is closed under the multiplication of two functions, then Y is closed under the multiplication ( ' X ' ) of a finite number of functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fmulcl.1 ๐‘ƒ = (๐‘“ โˆˆ ๐‘Œ, ๐‘” โˆˆ ๐‘Œ โ†ฆ (๐‘ก โˆˆ ๐‘‡ โ†ฆ ((๐‘“โ€˜๐‘ก) ยท (๐‘”โ€˜๐‘ก))))
fmulcl.2 ๐‘‹ = (seq1(๐‘ƒ, ๐‘ˆ)โ€˜๐‘)
fmulcl.4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (1...๐‘€))
fmulcl.5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ:(1...๐‘€)โŸถ๐‘Œ)
fmulcl.6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘“ โˆˆ ๐‘Œ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ (๐‘ก โˆˆ ๐‘‡ โ†ฆ ((๐‘“โ€˜๐‘ก) ยท (๐‘”โ€˜๐‘ก))) โˆˆ ๐‘Œ)
fmulcl.7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โˆˆ V)
Assertion
Ref Expression
fmulcl (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐‘Œ)
Distinct variable groups:   ๐‘“,๐‘”,๐‘ก,๐‘‡   ๐‘“,๐‘Œ,๐‘”   ๐œ‘,๐‘“,๐‘”
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ก)   ๐‘ƒ(๐‘ก,๐‘“,๐‘”)   ๐‘ˆ(๐‘ก,๐‘“,๐‘”)   ๐‘€(๐‘ก,๐‘“,๐‘”)   ๐‘(๐‘ก,๐‘“,๐‘”)   ๐‘‹(๐‘ก,๐‘“,๐‘”)   ๐‘Œ(๐‘ก)

Proof of Theorem fmulcl
Dummy variables โ„Ž ๐‘™ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fmulcl.2 . 2 ๐‘‹ = (seq1(๐‘ƒ, ๐‘ˆ)โ€˜๐‘)
2 fmulcl.4 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (1...๐‘€))
3 elfzuz 13500 . . . 4 (๐‘ โˆˆ (1...๐‘€) โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
42, 3syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
5 elfzuz3 13501 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ (1...๐‘€) โ†’ ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘))
6 fzss2 13544 . . . . . 6 (๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘) โ†’ (1...๐‘) โІ (1...๐‘€))
72, 5, 63syl 18 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (1...๐‘) โІ (1...๐‘€))
87sselda 3977 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ โ„Ž โˆˆ (1...๐‘€))
9 fmulcl.5 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ:(1...๐‘€)โŸถ๐‘Œ)
109ffvelcdmda 7079 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ (๐‘ˆโ€˜โ„Ž) โˆˆ ๐‘Œ)
118, 10syldan 590 . . 3 ((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐‘ˆโ€˜โ„Ž) โˆˆ ๐‘Œ)
12 simprl 768 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (โ„Ž โˆˆ ๐‘Œ โˆง ๐‘™ โˆˆ ๐‘Œ)) โ†’ โ„Ž โˆˆ ๐‘Œ)
13 simprr 770 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (โ„Ž โˆˆ ๐‘Œ โˆง ๐‘™ โˆˆ ๐‘Œ)) โ†’ ๐‘™ โˆˆ ๐‘Œ)
14 fmulcl.7 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โˆˆ V)
1514adantr 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (โ„Ž โˆˆ ๐‘Œ โˆง ๐‘™ โˆˆ ๐‘Œ)) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ V)
16 mptexg 7217 . . . . . 6 (๐‘‡ โˆˆ V โ†’ (๐‘ก โˆˆ ๐‘‡ โ†ฆ ((โ„Žโ€˜๐‘ก) ยท (๐‘™โ€˜๐‘ก))) โˆˆ V)
1715, 16syl 17 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (โ„Ž โˆˆ ๐‘Œ โˆง ๐‘™ โˆˆ ๐‘Œ)) โ†’ (๐‘ก โˆˆ ๐‘‡ โ†ฆ ((โ„Žโ€˜๐‘ก) ยท (๐‘™โ€˜๐‘ก))) โˆˆ V)
18 fveq1 6883 . . . . . . . 8 (๐‘“ = โ„Ž โ†’ (๐‘“โ€˜๐‘ก) = (โ„Žโ€˜๐‘ก))
19 fveq1 6883 . . . . . . . 8 (๐‘” = ๐‘™ โ†’ (๐‘”โ€˜๐‘ก) = (๐‘™โ€˜๐‘ก))
2018, 19oveqan12d 7423 . . . . . . 7 ((๐‘“ = โ„Ž โˆง ๐‘” = ๐‘™) โ†’ ((๐‘“โ€˜๐‘ก) ยท (๐‘”โ€˜๐‘ก)) = ((โ„Žโ€˜๐‘ก) ยท (๐‘™โ€˜๐‘ก)))
2120mpteq2dv 5243 . . . . . 6 ((๐‘“ = โ„Ž โˆง ๐‘” = ๐‘™) โ†’ (๐‘ก โˆˆ ๐‘‡ โ†ฆ ((๐‘“โ€˜๐‘ก) ยท (๐‘”โ€˜๐‘ก))) = (๐‘ก โˆˆ ๐‘‡ โ†ฆ ((โ„Žโ€˜๐‘ก) ยท (๐‘™โ€˜๐‘ก))))
22 fmulcl.1 . . . . . 6 ๐‘ƒ = (๐‘“ โˆˆ ๐‘Œ, ๐‘” โˆˆ ๐‘Œ โ†ฆ (๐‘ก โˆˆ ๐‘‡ โ†ฆ ((๐‘“โ€˜๐‘ก) ยท (๐‘”โ€˜๐‘ก))))
2321, 22ovmpoga 7557 . . . . 5 ((โ„Ž โˆˆ ๐‘Œ โˆง ๐‘™ โˆˆ ๐‘Œ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐‘‡ โ†ฆ ((โ„Žโ€˜๐‘ก) ยท (๐‘™โ€˜๐‘ก))) โˆˆ V) โ†’ (โ„Ž๐‘ƒ๐‘™) = (๐‘ก โˆˆ ๐‘‡ โ†ฆ ((โ„Žโ€˜๐‘ก) ยท (๐‘™โ€˜๐‘ก))))
2412, 13, 17, 23syl3anc 1368 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (โ„Ž โˆˆ ๐‘Œ โˆง ๐‘™ โˆˆ ๐‘Œ)) โ†’ (โ„Ž๐‘ƒ๐‘™) = (๐‘ก โˆˆ ๐‘‡ โ†ฆ ((โ„Žโ€˜๐‘ก) ยท (๐‘™โ€˜๐‘ก))))
25 3simpc 1147 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ ๐‘Œ โˆง ๐‘™ โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ (โ„Ž โˆˆ ๐‘Œ โˆง ๐‘™ โˆˆ ๐‘Œ))
26 eleq1w 2810 . . . . . . . . 9 (๐‘“ = โ„Ž โ†’ (๐‘“ โˆˆ ๐‘Œ โ†” โ„Ž โˆˆ ๐‘Œ))
27263anbi2d 1437 . . . . . . . 8 (๐‘“ = โ„Ž โ†’ ((๐œ‘ โˆง ๐‘“ โˆˆ ๐‘Œ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐‘Œ) โ†” (๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ ๐‘Œ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐‘Œ)))
2818oveq1d 7419 . . . . . . . . . 10 (๐‘“ = โ„Ž โ†’ ((๐‘“โ€˜๐‘ก) ยท (๐‘”โ€˜๐‘ก)) = ((โ„Žโ€˜๐‘ก) ยท (๐‘”โ€˜๐‘ก)))
2928mpteq2dv 5243 . . . . . . . . 9 (๐‘“ = โ„Ž โ†’ (๐‘ก โˆˆ ๐‘‡ โ†ฆ ((๐‘“โ€˜๐‘ก) ยท (๐‘”โ€˜๐‘ก))) = (๐‘ก โˆˆ ๐‘‡ โ†ฆ ((โ„Žโ€˜๐‘ก) ยท (๐‘”โ€˜๐‘ก))))
3029eleq1d 2812 . . . . . . . 8 (๐‘“ = โ„Ž โ†’ ((๐‘ก โˆˆ ๐‘‡ โ†ฆ ((๐‘“โ€˜๐‘ก) ยท (๐‘”โ€˜๐‘ก))) โˆˆ ๐‘Œ โ†” (๐‘ก โˆˆ ๐‘‡ โ†ฆ ((โ„Žโ€˜๐‘ก) ยท (๐‘”โ€˜๐‘ก))) โˆˆ ๐‘Œ))
3127, 30imbi12d 344 . . . . . . 7 (๐‘“ = โ„Ž โ†’ (((๐œ‘ โˆง ๐‘“ โˆˆ ๐‘Œ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ (๐‘ก โˆˆ ๐‘‡ โ†ฆ ((๐‘“โ€˜๐‘ก) ยท (๐‘”โ€˜๐‘ก))) โˆˆ ๐‘Œ) โ†” ((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ ๐‘Œ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ (๐‘ก โˆˆ ๐‘‡ โ†ฆ ((โ„Žโ€˜๐‘ก) ยท (๐‘”โ€˜๐‘ก))) โˆˆ ๐‘Œ)))
32 eleq1w 2810 . . . . . . . . 9 (๐‘” = ๐‘™ โ†’ (๐‘” โˆˆ ๐‘Œ โ†” ๐‘™ โˆˆ ๐‘Œ))
33323anbi3d 1438 . . . . . . . 8 (๐‘” = ๐‘™ โ†’ ((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ ๐‘Œ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐‘Œ) โ†” (๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ ๐‘Œ โˆง ๐‘™ โˆˆ ๐‘Œ)))
3419oveq2d 7420 . . . . . . . . . 10 (๐‘” = ๐‘™ โ†’ ((โ„Žโ€˜๐‘ก) ยท (๐‘”โ€˜๐‘ก)) = ((โ„Žโ€˜๐‘ก) ยท (๐‘™โ€˜๐‘ก)))
3534mpteq2dv 5243 . . . . . . . . 9 (๐‘” = ๐‘™ โ†’ (๐‘ก โˆˆ ๐‘‡ โ†ฆ ((โ„Žโ€˜๐‘ก) ยท (๐‘”โ€˜๐‘ก))) = (๐‘ก โˆˆ ๐‘‡ โ†ฆ ((โ„Žโ€˜๐‘ก) ยท (๐‘™โ€˜๐‘ก))))
3635eleq1d 2812 . . . . . . . 8 (๐‘” = ๐‘™ โ†’ ((๐‘ก โˆˆ ๐‘‡ โ†ฆ ((โ„Žโ€˜๐‘ก) ยท (๐‘”โ€˜๐‘ก))) โˆˆ ๐‘Œ โ†” (๐‘ก โˆˆ ๐‘‡ โ†ฆ ((โ„Žโ€˜๐‘ก) ยท (๐‘™โ€˜๐‘ก))) โˆˆ ๐‘Œ))
3733, 36imbi12d 344 . . . . . . 7 (๐‘” = ๐‘™ โ†’ (((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ ๐‘Œ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ (๐‘ก โˆˆ ๐‘‡ โ†ฆ ((โ„Žโ€˜๐‘ก) ยท (๐‘”โ€˜๐‘ก))) โˆˆ ๐‘Œ) โ†” ((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ ๐‘Œ โˆง ๐‘™ โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ (๐‘ก โˆˆ ๐‘‡ โ†ฆ ((โ„Žโ€˜๐‘ก) ยท (๐‘™โ€˜๐‘ก))) โˆˆ ๐‘Œ)))
38 fmulcl.6 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘“ โˆˆ ๐‘Œ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ (๐‘ก โˆˆ ๐‘‡ โ†ฆ ((๐‘“โ€˜๐‘ก) ยท (๐‘”โ€˜๐‘ก))) โˆˆ ๐‘Œ)
3931, 37, 38vtocl2g 3557 . . . . . 6 ((โ„Ž โˆˆ ๐‘Œ โˆง ๐‘™ โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ ((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ ๐‘Œ โˆง ๐‘™ โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ (๐‘ก โˆˆ ๐‘‡ โ†ฆ ((โ„Žโ€˜๐‘ก) ยท (๐‘™โ€˜๐‘ก))) โˆˆ ๐‘Œ))
4025, 39mpcom 38 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ ๐‘Œ โˆง ๐‘™ โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ (๐‘ก โˆˆ ๐‘‡ โ†ฆ ((โ„Žโ€˜๐‘ก) ยท (๐‘™โ€˜๐‘ก))) โˆˆ ๐‘Œ)
41403expb 1117 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (โ„Ž โˆˆ ๐‘Œ โˆง ๐‘™ โˆˆ ๐‘Œ)) โ†’ (๐‘ก โˆˆ ๐‘‡ โ†ฆ ((โ„Žโ€˜๐‘ก) ยท (๐‘™โ€˜๐‘ก))) โˆˆ ๐‘Œ)
4224, 41eqeltrd 2827 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (โ„Ž โˆˆ ๐‘Œ โˆง ๐‘™ โˆˆ ๐‘Œ)) โ†’ (โ„Ž๐‘ƒ๐‘™) โˆˆ ๐‘Œ)
434, 11, 42seqcl 13991 . 2 (๐œ‘ โ†’ (seq1(๐‘ƒ, ๐‘ˆ)โ€˜๐‘) โˆˆ ๐‘Œ)
441, 43eqeltrid 2831 1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐‘Œ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  Vcvv 3468   โІ wss 3943   โ†ฆ cmpt 5224  โŸถwf 6532  โ€˜cfv 6536  (class class class)co 7404   โˆˆ cmpo 7406  1c1 11110   ยท cmul 11114  โ„คโ‰ฅcuz 12823  ...cfz 13487  seqcseq 13969
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-fz 13488  df-seq 13970
This theorem is referenced by:  fmuldfeqlem1  44851  stoweidlem51  45320
  Copyright terms: Public domain W3C validator