Theorem fmulcl 45562

Description: If ' Y ' is closed under the multiplication of two functions, then Y is closed under the multiplication ( ' X ' ) of a finite number of functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmulcl.1	⊢ 𝑃 = (𝑓 ∈ 𝑌, 𝑔 ∈ 𝑌 ↦ (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))))
fmulcl.2	⊢ 𝑋 = (seq1(𝑃, 𝑈)‘𝑁)
fmulcl.4	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (1...𝑀))
fmulcl.5	⊢ (𝜑 → 𝑈:(1...𝑀)⟶𝑌)
fmulcl.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑌 ∧ 𝑔 ∈ 𝑌) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝑌)
fmulcl.7	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ V)

Assertion

Ref	Expression
fmulcl	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑌)

Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑡,𝑇   𝑓,𝑌,𝑔   𝜑,𝑓,𝑔

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝑃(𝑡,𝑓,𝑔)   𝑈(𝑡,𝑓,𝑔)   𝑀(𝑡,𝑓,𝑔)   𝑁(𝑡,𝑓,𝑔)   𝑋(𝑡,𝑓,𝑔)   𝑌(𝑡)

Proof of Theorem fmulcl

Dummy variables ℎ 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmulcl.2	. 2 ⊢ 𝑋 = (seq1(𝑃, 𝑈)‘𝑁)
2		fmulcl.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (1...𝑀))
3		elfzuz 13423	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (1...𝑀) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
4	2, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
5		elfzuz3 13424	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (1...𝑀) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
6		fzss2 13467	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (1...𝑁) ⊆ (1...𝑀))
7	2, 5, 6	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1...𝑁) ⊆ (1...𝑀))
8	7	sselda 3935	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ (1...𝑁)) → ℎ ∈ (1...𝑀))
9		fmulcl.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈:(1...𝑀)⟶𝑌)
10	9	ffvelcdmda 7018	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ (1...𝑀)) → (𝑈‘ℎ) ∈ 𝑌)
11	8, 10	syldan 591	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ (1...𝑁)) → (𝑈‘ℎ) ∈ 𝑌)
12		simprl 770	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝑌 ∧ 𝑙 ∈ 𝑌)) → ℎ ∈ 𝑌)
13		simprr 772	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝑌 ∧ 𝑙 ∈ 𝑌)) → 𝑙 ∈ 𝑌)
14		fmulcl.7	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ V)
15	14	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝑌 ∧ 𝑙 ∈ 𝑌)) → 𝑇 ∈ V)
16		mptexg 7157	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ V → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((ℎ‘𝑡) · (𝑙‘𝑡))) ∈ V)
17	15, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝑌 ∧ 𝑙 ∈ 𝑌)) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((ℎ‘𝑡) · (𝑙‘𝑡))) ∈ V)
18		fveq1 6821	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = ℎ → (𝑓‘𝑡) = (ℎ‘𝑡))
19		fveq1 6821	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = 𝑙 → (𝑔‘𝑡) = (𝑙‘𝑡))
20	18, 19	oveqan12d 7368	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 = ℎ ∧ 𝑔 = 𝑙) → ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡)) = ((ℎ‘𝑡) · (𝑙‘𝑡)))
21	20	mpteq2dv 5186	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 = ℎ ∧ 𝑔 = 𝑙) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((ℎ‘𝑡) · (𝑙‘𝑡))))
22		fmulcl.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (𝑓 ∈ 𝑌, 𝑔 ∈ 𝑌 ↦ (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))))
23	21, 22	ovmpoga 7503	. . . . 5 ⊢ ((ℎ ∈ 𝑌 ∧ 𝑙 ∈ 𝑌 ∧ (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((ℎ‘𝑡) · (𝑙‘𝑡))) ∈ V) → (ℎ𝑃𝑙) = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((ℎ‘𝑡) · (𝑙‘𝑡))))
24	12, 13, 17, 23	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝑌 ∧ 𝑙 ∈ 𝑌)) → (ℎ𝑃𝑙) = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((ℎ‘𝑡) · (𝑙‘𝑡))))
25		3simpc 1150	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑌 ∧ 𝑙 ∈ 𝑌) → (ℎ ∈ 𝑌 ∧ 𝑙 ∈ 𝑌))
26		eleq1w 2811	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = ℎ → (𝑓 ∈ 𝑌 ↔ ℎ ∈ 𝑌))
27	26	3anbi2d 1443	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = ℎ → ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑌 ∧ 𝑔 ∈ 𝑌) ↔ (𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑌 ∧ 𝑔 ∈ 𝑌)))
28	18	oveq1d 7364	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = ℎ → ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡)) = ((ℎ‘𝑡) · (𝑔‘𝑡)))
29	28	mpteq2dv 5186	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = ℎ → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((ℎ‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))))
30	29	eleq1d 2813	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = ℎ → ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝑌 ↔ (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((ℎ‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝑌))
31	27, 30	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = ℎ → (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑌 ∧ 𝑔 ∈ 𝑌) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝑌) ↔ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑌 ∧ 𝑔 ∈ 𝑌) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((ℎ‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝑌)))
32		eleq1w 2811	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 = 𝑙 → (𝑔 ∈ 𝑌 ↔ 𝑙 ∈ 𝑌))
33	32	3anbi3d 1444	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = 𝑙 → ((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑌 ∧ 𝑔 ∈ 𝑌) ↔ (𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑌 ∧ 𝑙 ∈ 𝑌)))
34	19	oveq2d 7365	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 = 𝑙 → ((ℎ‘𝑡) · (𝑔‘𝑡)) = ((ℎ‘𝑡) · (𝑙‘𝑡)))
35	34	mpteq2dv 5186	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 = 𝑙 → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((ℎ‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((ℎ‘𝑡) · (𝑙‘𝑡))))
36	35	eleq1d 2813	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = 𝑙 → ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((ℎ‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝑌 ↔ (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((ℎ‘𝑡) · (𝑙‘𝑡))) ∈ 𝑌))
37	33, 36	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = 𝑙 → (((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑌 ∧ 𝑔 ∈ 𝑌) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((ℎ‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝑌) ↔ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑌 ∧ 𝑙 ∈ 𝑌) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((ℎ‘𝑡) · (𝑙‘𝑡))) ∈ 𝑌)))
38		fmulcl.6	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑌 ∧ 𝑔 ∈ 𝑌) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝑌)
39	31, 37, 38	vtocl2g 3529	. . . . . 6 ⊢ ((ℎ ∈ 𝑌 ∧ 𝑙 ∈ 𝑌) → ((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑌 ∧ 𝑙 ∈ 𝑌) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((ℎ‘𝑡) · (𝑙‘𝑡))) ∈ 𝑌))
40	25, 39	mpcom 38	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑌 ∧ 𝑙 ∈ 𝑌) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((ℎ‘𝑡) · (𝑙‘𝑡))) ∈ 𝑌)
41	40	3expb 1120	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝑌 ∧ 𝑙 ∈ 𝑌)) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((ℎ‘𝑡) · (𝑙‘𝑡))) ∈ 𝑌)
42	24, 41	eqeltrd 2828	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝑌 ∧ 𝑙 ∈ 𝑌)) → (ℎ𝑃𝑙) ∈ 𝑌)
43	4, 11, 42	seqcl 13929	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq1(𝑃, 𝑈)‘𝑁) ∈ 𝑌)
44	1, 43	eqeltrid 2832	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3436   ⊆ wss 3903   ↦ cmpt 5173  ⟶wf 6478  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349   ∈ cmpo 7351  1c1 11010   · cmul 11014  ℤ_≥cuz 12735  ...cfz 13410  seqcseq 13908

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-fz 13411  df-seq 13909

This theorem is referenced by:  fmuldfeqlem1  45563  stoweidlem51  46032