Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmulcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmulcl 40325
Description: If ' Y ' is closed under the multiplication of two functions, then Y is closed under the multiplication ( ' X ' ) of a finite number of functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fmulcl.1 𝑃 = (𝑓𝑌, 𝑔𝑌 ↦ (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))))
fmulcl.2 𝑋 = (seq1(𝑃, 𝑈)‘𝑁)
fmulcl.4 (𝜑𝑁 ∈ (1...𝑀))
fmulcl.5 (𝜑𝑈:(1...𝑀)⟶𝑌)
fmulcl.6 ((𝜑𝑓𝑌𝑔𝑌) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝑌)
fmulcl.7 (𝜑𝑇 ∈ V)
Assertion
Ref Expression
fmulcl (𝜑𝑋𝑌)
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑡,𝑇   𝑓,𝑌,𝑔   𝜑,𝑓,𝑔
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝑃(𝑡,𝑓,𝑔)   𝑈(𝑡,𝑓,𝑔)   𝑀(𝑡,𝑓,𝑔)   𝑁(𝑡,𝑓,𝑔)   𝑋(𝑡,𝑓,𝑔)   𝑌(𝑡)

Proof of Theorem fmulcl
Dummy variables 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fmulcl.2 . 2 𝑋 = (seq1(𝑃, 𝑈)‘𝑁)
2 fmulcl.4 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ (1...𝑀))
3 elfzuz 12544 . . . 4 (𝑁 ∈ (1...𝑀) → 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
42, 3syl 17 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘1))
5 elfzuz3 12545 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (1...𝑀) → 𝑀 ∈ (ℤ𝑁))
6 fzss2 12587 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (ℤ𝑁) → (1...𝑁) ⊆ (1...𝑀))
72, 5, 63syl 18 . . . . 5 (𝜑 → (1...𝑁) ⊆ (1...𝑀))
87sselda 3750 . . . 4 ((𝜑 ∈ (1...𝑁)) → ∈ (1...𝑀))
9 fmulcl.5 . . . . 5 (𝜑𝑈:(1...𝑀)⟶𝑌)
109ffvelrnda 6502 . . . 4 ((𝜑 ∈ (1...𝑀)) → (𝑈) ∈ 𝑌)
118, 10syldan 571 . . 3 ((𝜑 ∈ (1...𝑁)) → (𝑈) ∈ 𝑌)
12 simprl 746 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑌𝑙𝑌)) → 𝑌)
13 simprr 748 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑌𝑙𝑌)) → 𝑙𝑌)
14 fmulcl.7 . . . . . . 7 (𝜑𝑇 ∈ V)
1514adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑌𝑙𝑌)) → 𝑇 ∈ V)
16 mptexg 6627 . . . . . 6 (𝑇 ∈ V → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑡) · (𝑙𝑡))) ∈ V)
1715, 16syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑌𝑙𝑌)) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑡) · (𝑙𝑡))) ∈ V)
18 fveq1 6331 . . . . . . . 8 (𝑓 = → (𝑓𝑡) = (𝑡))
19 fveq1 6331 . . . . . . . 8 (𝑔 = 𝑙 → (𝑔𝑡) = (𝑙𝑡))
2018, 19oveqan12d 6811 . . . . . . 7 ((𝑓 = 𝑔 = 𝑙) → ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡)) = ((𝑡) · (𝑙𝑡)))
2120mpteq2dv 4877 . . . . . 6 ((𝑓 = 𝑔 = 𝑙) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) = (𝑡𝑇 ↦ ((𝑡) · (𝑙𝑡))))
22 fmulcl.1 . . . . . 6 𝑃 = (𝑓𝑌, 𝑔𝑌 ↦ (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))))
2321, 22ovmpt2ga 6936 . . . . 5 ((𝑌𝑙𝑌 ∧ (𝑡𝑇 ↦ ((𝑡) · (𝑙𝑡))) ∈ V) → (𝑃𝑙) = (𝑡𝑇 ↦ ((𝑡) · (𝑙𝑡))))
2412, 13, 17, 23syl3anc 1475 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑌𝑙𝑌)) → (𝑃𝑙) = (𝑡𝑇 ↦ ((𝑡) · (𝑙𝑡))))
25 3simpc 1145 . . . . . 6 ((𝜑𝑌𝑙𝑌) → (𝑌𝑙𝑌))
26 eleq1w 2832 . . . . . . . . 9 (𝑓 = → (𝑓𝑌𝑌))
27263anbi2d 1551 . . . . . . . 8 (𝑓 = → ((𝜑𝑓𝑌𝑔𝑌) ↔ (𝜑𝑌𝑔𝑌)))
2818oveq1d 6807 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = → ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡)) = ((𝑡) · (𝑔𝑡)))
2928mpteq2dv 4877 . . . . . . . . 9 (𝑓 = → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) = (𝑡𝑇 ↦ ((𝑡) · (𝑔𝑡))))
3029eleq1d 2834 . . . . . . . 8 (𝑓 = → ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝑌 ↔ (𝑡𝑇 ↦ ((𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝑌))
3127, 30imbi12d 333 . . . . . . 7 (𝑓 = → (((𝜑𝑓𝑌𝑔𝑌) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝑌) ↔ ((𝜑𝑌𝑔𝑌) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝑌)))
32 eleq1w 2832 . . . . . . . . 9 (𝑔 = 𝑙 → (𝑔𝑌𝑙𝑌))
33323anbi3d 1552 . . . . . . . 8 (𝑔 = 𝑙 → ((𝜑𝑌𝑔𝑌) ↔ (𝜑𝑌𝑙𝑌)))
3419oveq2d 6808 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = 𝑙 → ((𝑡) · (𝑔𝑡)) = ((𝑡) · (𝑙𝑡)))
3534mpteq2dv 4877 . . . . . . . . 9 (𝑔 = 𝑙 → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑡) · (𝑔𝑡))) = (𝑡𝑇 ↦ ((𝑡) · (𝑙𝑡))))
3635eleq1d 2834 . . . . . . . 8 (𝑔 = 𝑙 → ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝑌 ↔ (𝑡𝑇 ↦ ((𝑡) · (𝑙𝑡))) ∈ 𝑌))
3733, 36imbi12d 333 . . . . . . 7 (𝑔 = 𝑙 → (((𝜑𝑌𝑔𝑌) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝑌) ↔ ((𝜑𝑌𝑙𝑌) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑡) · (𝑙𝑡))) ∈ 𝑌)))
38 fmulcl.6 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓𝑌𝑔𝑌) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝑌)
3931, 37, 38vtocl2g 3419 . . . . . 6 ((𝑌𝑙𝑌) → ((𝜑𝑌𝑙𝑌) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑡) · (𝑙𝑡))) ∈ 𝑌))
4025, 39mpcom 38 . . . . 5 ((𝜑𝑌𝑙𝑌) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑡) · (𝑙𝑡))) ∈ 𝑌)
41403expb 1112 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑌𝑙𝑌)) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑡) · (𝑙𝑡))) ∈ 𝑌)
4224, 41eqeltrd 2849 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑌𝑙𝑌)) → (𝑃𝑙) ∈ 𝑌)
434, 11, 42seqcl 13027 . 2 (𝜑 → (seq1(𝑃, 𝑈)‘𝑁) ∈ 𝑌)
441, 43syl5eqel 2853 1 (𝜑𝑋𝑌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1070   = wceq 1630  wcel 2144  Vcvv 3349  wss 3721  cmpt 4861  wf 6027  cfv 6031  (class class class)co 6792  cmpt2 6794  1c1 10138   · cmul 10142  cuz 11887  ...cfz 12532  seqcseq 13007
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-fz 12533  df-seq 13008
This theorem is referenced by:  fmuldfeqlem1  40326  stoweidlem51  40779
  Copyright terms: Public domain W3C validator