Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmulcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmulcl 43829
Description: If ' Y ' is closed under the multiplication of two functions, then Y is closed under the multiplication ( ' X ' ) of a finite number of functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fmulcl.1 ๐‘ƒ = (๐‘“ โˆˆ ๐‘Œ, ๐‘” โˆˆ ๐‘Œ โ†ฆ (๐‘ก โˆˆ ๐‘‡ โ†ฆ ((๐‘“โ€˜๐‘ก) ยท (๐‘”โ€˜๐‘ก))))
fmulcl.2 ๐‘‹ = (seq1(๐‘ƒ, ๐‘ˆ)โ€˜๐‘)
fmulcl.4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (1...๐‘€))
fmulcl.5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ:(1...๐‘€)โŸถ๐‘Œ)
fmulcl.6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘“ โˆˆ ๐‘Œ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ (๐‘ก โˆˆ ๐‘‡ โ†ฆ ((๐‘“โ€˜๐‘ก) ยท (๐‘”โ€˜๐‘ก))) โˆˆ ๐‘Œ)
fmulcl.7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โˆˆ V)
Assertion
Ref Expression
fmulcl (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐‘Œ)
Distinct variable groups:   ๐‘“,๐‘”,๐‘ก,๐‘‡   ๐‘“,๐‘Œ,๐‘”   ๐œ‘,๐‘“,๐‘”
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ก)   ๐‘ƒ(๐‘ก,๐‘“,๐‘”)   ๐‘ˆ(๐‘ก,๐‘“,๐‘”)   ๐‘€(๐‘ก,๐‘“,๐‘”)   ๐‘(๐‘ก,๐‘“,๐‘”)   ๐‘‹(๐‘ก,๐‘“,๐‘”)   ๐‘Œ(๐‘ก)

Proof of Theorem fmulcl
Dummy variables โ„Ž ๐‘™ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fmulcl.2 . 2 ๐‘‹ = (seq1(๐‘ƒ, ๐‘ˆ)โ€˜๐‘)
2 fmulcl.4 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (1...๐‘€))
3 elfzuz 13438 . . . 4 (๐‘ โˆˆ (1...๐‘€) โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
42, 3syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
5 elfzuz3 13439 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ (1...๐‘€) โ†’ ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘))
6 fzss2 13482 . . . . . 6 (๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘) โ†’ (1...๐‘) โŠ† (1...๐‘€))
72, 5, 63syl 18 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (1...๐‘) โŠ† (1...๐‘€))
87sselda 3945 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ โ„Ž โˆˆ (1...๐‘€))
9 fmulcl.5 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ:(1...๐‘€)โŸถ๐‘Œ)
109ffvelcdmda 7036 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ (๐‘ˆโ€˜โ„Ž) โˆˆ ๐‘Œ)
118, 10syldan 592 . . 3 ((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐‘ˆโ€˜โ„Ž) โˆˆ ๐‘Œ)
12 simprl 770 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (โ„Ž โˆˆ ๐‘Œ โˆง ๐‘™ โˆˆ ๐‘Œ)) โ†’ โ„Ž โˆˆ ๐‘Œ)
13 simprr 772 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (โ„Ž โˆˆ ๐‘Œ โˆง ๐‘™ โˆˆ ๐‘Œ)) โ†’ ๐‘™ โˆˆ ๐‘Œ)
14 fmulcl.7 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โˆˆ V)
1514adantr 482 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (โ„Ž โˆˆ ๐‘Œ โˆง ๐‘™ โˆˆ ๐‘Œ)) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ V)
16 mptexg 7172 . . . . . 6 (๐‘‡ โˆˆ V โ†’ (๐‘ก โˆˆ ๐‘‡ โ†ฆ ((โ„Žโ€˜๐‘ก) ยท (๐‘™โ€˜๐‘ก))) โˆˆ V)
1715, 16syl 17 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (โ„Ž โˆˆ ๐‘Œ โˆง ๐‘™ โˆˆ ๐‘Œ)) โ†’ (๐‘ก โˆˆ ๐‘‡ โ†ฆ ((โ„Žโ€˜๐‘ก) ยท (๐‘™โ€˜๐‘ก))) โˆˆ V)
18 fveq1 6842 . . . . . . . 8 (๐‘“ = โ„Ž โ†’ (๐‘“โ€˜๐‘ก) = (โ„Žโ€˜๐‘ก))
19 fveq1 6842 . . . . . . . 8 (๐‘” = ๐‘™ โ†’ (๐‘”โ€˜๐‘ก) = (๐‘™โ€˜๐‘ก))
2018, 19oveqan12d 7377 . . . . . . 7 ((๐‘“ = โ„Ž โˆง ๐‘” = ๐‘™) โ†’ ((๐‘“โ€˜๐‘ก) ยท (๐‘”โ€˜๐‘ก)) = ((โ„Žโ€˜๐‘ก) ยท (๐‘™โ€˜๐‘ก)))
2120mpteq2dv 5208 . . . . . 6 ((๐‘“ = โ„Ž โˆง ๐‘” = ๐‘™) โ†’ (๐‘ก โˆˆ ๐‘‡ โ†ฆ ((๐‘“โ€˜๐‘ก) ยท (๐‘”โ€˜๐‘ก))) = (๐‘ก โˆˆ ๐‘‡ โ†ฆ ((โ„Žโ€˜๐‘ก) ยท (๐‘™โ€˜๐‘ก))))
22 fmulcl.1 . . . . . 6 ๐‘ƒ = (๐‘“ โˆˆ ๐‘Œ, ๐‘” โˆˆ ๐‘Œ โ†ฆ (๐‘ก โˆˆ ๐‘‡ โ†ฆ ((๐‘“โ€˜๐‘ก) ยท (๐‘”โ€˜๐‘ก))))
2321, 22ovmpoga 7510 . . . . 5 ((โ„Ž โˆˆ ๐‘Œ โˆง ๐‘™ โˆˆ ๐‘Œ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐‘‡ โ†ฆ ((โ„Žโ€˜๐‘ก) ยท (๐‘™โ€˜๐‘ก))) โˆˆ V) โ†’ (โ„Ž๐‘ƒ๐‘™) = (๐‘ก โˆˆ ๐‘‡ โ†ฆ ((โ„Žโ€˜๐‘ก) ยท (๐‘™โ€˜๐‘ก))))
2412, 13, 17, 23syl3anc 1372 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (โ„Ž โˆˆ ๐‘Œ โˆง ๐‘™ โˆˆ ๐‘Œ)) โ†’ (โ„Ž๐‘ƒ๐‘™) = (๐‘ก โˆˆ ๐‘‡ โ†ฆ ((โ„Žโ€˜๐‘ก) ยท (๐‘™โ€˜๐‘ก))))
25 3simpc 1151 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ ๐‘Œ โˆง ๐‘™ โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ (โ„Ž โˆˆ ๐‘Œ โˆง ๐‘™ โˆˆ ๐‘Œ))
26 eleq1w 2821 . . . . . . . . 9 (๐‘“ = โ„Ž โ†’ (๐‘“ โˆˆ ๐‘Œ โ†” โ„Ž โˆˆ ๐‘Œ))
27263anbi2d 1442 . . . . . . . 8 (๐‘“ = โ„Ž โ†’ ((๐œ‘ โˆง ๐‘“ โˆˆ ๐‘Œ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐‘Œ) โ†” (๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ ๐‘Œ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐‘Œ)))
2818oveq1d 7373 . . . . . . . . . 10 (๐‘“ = โ„Ž โ†’ ((๐‘“โ€˜๐‘ก) ยท (๐‘”โ€˜๐‘ก)) = ((โ„Žโ€˜๐‘ก) ยท (๐‘”โ€˜๐‘ก)))
2928mpteq2dv 5208 . . . . . . . . 9 (๐‘“ = โ„Ž โ†’ (๐‘ก โˆˆ ๐‘‡ โ†ฆ ((๐‘“โ€˜๐‘ก) ยท (๐‘”โ€˜๐‘ก))) = (๐‘ก โˆˆ ๐‘‡ โ†ฆ ((โ„Žโ€˜๐‘ก) ยท (๐‘”โ€˜๐‘ก))))
3029eleq1d 2823 . . . . . . . 8 (๐‘“ = โ„Ž โ†’ ((๐‘ก โˆˆ ๐‘‡ โ†ฆ ((๐‘“โ€˜๐‘ก) ยท (๐‘”โ€˜๐‘ก))) โˆˆ ๐‘Œ โ†” (๐‘ก โˆˆ ๐‘‡ โ†ฆ ((โ„Žโ€˜๐‘ก) ยท (๐‘”โ€˜๐‘ก))) โˆˆ ๐‘Œ))
3127, 30imbi12d 345 . . . . . . 7 (๐‘“ = โ„Ž โ†’ (((๐œ‘ โˆง ๐‘“ โˆˆ ๐‘Œ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ (๐‘ก โˆˆ ๐‘‡ โ†ฆ ((๐‘“โ€˜๐‘ก) ยท (๐‘”โ€˜๐‘ก))) โˆˆ ๐‘Œ) โ†” ((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ ๐‘Œ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ (๐‘ก โˆˆ ๐‘‡ โ†ฆ ((โ„Žโ€˜๐‘ก) ยท (๐‘”โ€˜๐‘ก))) โˆˆ ๐‘Œ)))
32 eleq1w 2821 . . . . . . . . 9 (๐‘” = ๐‘™ โ†’ (๐‘” โˆˆ ๐‘Œ โ†” ๐‘™ โˆˆ ๐‘Œ))
33323anbi3d 1443 . . . . . . . 8 (๐‘” = ๐‘™ โ†’ ((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ ๐‘Œ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐‘Œ) โ†” (๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ ๐‘Œ โˆง ๐‘™ โˆˆ ๐‘Œ)))
3419oveq2d 7374 . . . . . . . . . 10 (๐‘” = ๐‘™ โ†’ ((โ„Žโ€˜๐‘ก) ยท (๐‘”โ€˜๐‘ก)) = ((โ„Žโ€˜๐‘ก) ยท (๐‘™โ€˜๐‘ก)))
3534mpteq2dv 5208 . . . . . . . . 9 (๐‘” = ๐‘™ โ†’ (๐‘ก โˆˆ ๐‘‡ โ†ฆ ((โ„Žโ€˜๐‘ก) ยท (๐‘”โ€˜๐‘ก))) = (๐‘ก โˆˆ ๐‘‡ โ†ฆ ((โ„Žโ€˜๐‘ก) ยท (๐‘™โ€˜๐‘ก))))
3635eleq1d 2823 . . . . . . . 8 (๐‘” = ๐‘™ โ†’ ((๐‘ก โˆˆ ๐‘‡ โ†ฆ ((โ„Žโ€˜๐‘ก) ยท (๐‘”โ€˜๐‘ก))) โˆˆ ๐‘Œ โ†” (๐‘ก โˆˆ ๐‘‡ โ†ฆ ((โ„Žโ€˜๐‘ก) ยท (๐‘™โ€˜๐‘ก))) โˆˆ ๐‘Œ))
3733, 36imbi12d 345 . . . . . . 7 (๐‘” = ๐‘™ โ†’ (((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ ๐‘Œ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ (๐‘ก โˆˆ ๐‘‡ โ†ฆ ((โ„Žโ€˜๐‘ก) ยท (๐‘”โ€˜๐‘ก))) โˆˆ ๐‘Œ) โ†” ((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ ๐‘Œ โˆง ๐‘™ โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ (๐‘ก โˆˆ ๐‘‡ โ†ฆ ((โ„Žโ€˜๐‘ก) ยท (๐‘™โ€˜๐‘ก))) โˆˆ ๐‘Œ)))
38 fmulcl.6 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘“ โˆˆ ๐‘Œ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ (๐‘ก โˆˆ ๐‘‡ โ†ฆ ((๐‘“โ€˜๐‘ก) ยท (๐‘”โ€˜๐‘ก))) โˆˆ ๐‘Œ)
3931, 37, 38vtocl2g 3532 . . . . . 6 ((โ„Ž โˆˆ ๐‘Œ โˆง ๐‘™ โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ ((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ ๐‘Œ โˆง ๐‘™ โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ (๐‘ก โˆˆ ๐‘‡ โ†ฆ ((โ„Žโ€˜๐‘ก) ยท (๐‘™โ€˜๐‘ก))) โˆˆ ๐‘Œ))
4025, 39mpcom 38 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ ๐‘Œ โˆง ๐‘™ โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ (๐‘ก โˆˆ ๐‘‡ โ†ฆ ((โ„Žโ€˜๐‘ก) ยท (๐‘™โ€˜๐‘ก))) โˆˆ ๐‘Œ)
41403expb 1121 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (โ„Ž โˆˆ ๐‘Œ โˆง ๐‘™ โˆˆ ๐‘Œ)) โ†’ (๐‘ก โˆˆ ๐‘‡ โ†ฆ ((โ„Žโ€˜๐‘ก) ยท (๐‘™โ€˜๐‘ก))) โˆˆ ๐‘Œ)
4224, 41eqeltrd 2838 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (โ„Ž โˆˆ ๐‘Œ โˆง ๐‘™ โˆˆ ๐‘Œ)) โ†’ (โ„Ž๐‘ƒ๐‘™) โˆˆ ๐‘Œ)
434, 11, 42seqcl 13929 . 2 (๐œ‘ โ†’ (seq1(๐‘ƒ, ๐‘ˆ)โ€˜๐‘) โˆˆ ๐‘Œ)
441, 43eqeltrid 2842 1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐‘Œ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  Vcvv 3446   โŠ† wss 3911   โ†ฆ cmpt 5189  โŸถwf 6493  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   โˆˆ cmpo 7360  1c1 11053   ยท cmul 11057  โ„คโ‰ฅcuz 12764  ...cfz 13425  seqcseq 13907
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-nn 12155  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-fz 13426  df-seq 13908
This theorem is referenced by:  fmuldfeqlem1  43830  stoweidlem51  44299
  Copyright terms: Public domain W3C validator