Theorem fmulcl 45502

Description: If ' Y ' is closed under the multiplication of two functions, then Y is closed under the multiplication ( ' X ' ) of a finite number of functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmulcl.1	⊢ 𝑃 = (𝑓 ∈ 𝑌, 𝑔 ∈ 𝑌 ↦ (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))))
fmulcl.2	⊢ 𝑋 = (seq1(𝑃, 𝑈)‘𝑁)
fmulcl.4	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (1...𝑀))
fmulcl.5	⊢ (𝜑 → 𝑈:(1...𝑀)⟶𝑌)
fmulcl.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑌 ∧ 𝑔 ∈ 𝑌) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝑌)
fmulcl.7	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ V)

Assertion

Ref	Expression
fmulcl	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑌)

Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑡,𝑇   𝑓,𝑌,𝑔   𝜑,𝑓,𝑔

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝑃(𝑡,𝑓,𝑔)   𝑈(𝑡,𝑓,𝑔)   𝑀(𝑡,𝑓,𝑔)   𝑁(𝑡,𝑓,𝑔)   𝑋(𝑡,𝑓,𝑔)   𝑌(𝑡)

Proof of Theorem fmulcl

Dummy variables ℎ 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmulcl.2	. 2 ⊢ 𝑋 = (seq1(𝑃, 𝑈)‘𝑁)
2		fmulcl.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (1...𝑀))
3		elfzuz 13580	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (1...𝑀) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
4	2, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
5		elfzuz3 13581	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (1...𝑀) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
6		fzss2 13624	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (1...𝑁) ⊆ (1...𝑀))
7	2, 5, 6	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1...𝑁) ⊆ (1...𝑀))
8	7	sselda 4008	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ (1...𝑁)) → ℎ ∈ (1...𝑀))
9		fmulcl.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈:(1...𝑀)⟶𝑌)
10	9	ffvelcdmda 7118	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ (1...𝑀)) → (𝑈‘ℎ) ∈ 𝑌)
11	8, 10	syldan 590	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ (1...𝑁)) → (𝑈‘ℎ) ∈ 𝑌)
12		simprl 770	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝑌 ∧ 𝑙 ∈ 𝑌)) → ℎ ∈ 𝑌)
13		simprr 772	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝑌 ∧ 𝑙 ∈ 𝑌)) → 𝑙 ∈ 𝑌)
14		fmulcl.7	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ V)
15	14	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝑌 ∧ 𝑙 ∈ 𝑌)) → 𝑇 ∈ V)
16		mptexg 7258	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ V → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((ℎ‘𝑡) · (𝑙‘𝑡))) ∈ V)
17	15, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝑌 ∧ 𝑙 ∈ 𝑌)) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((ℎ‘𝑡) · (𝑙‘𝑡))) ∈ V)
18		fveq1 6919	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = ℎ → (𝑓‘𝑡) = (ℎ‘𝑡))
19		fveq1 6919	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = 𝑙 → (𝑔‘𝑡) = (𝑙‘𝑡))
20	18, 19	oveqan12d 7467	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 = ℎ ∧ 𝑔 = 𝑙) → ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡)) = ((ℎ‘𝑡) · (𝑙‘𝑡)))
21	20	mpteq2dv 5268	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 = ℎ ∧ 𝑔 = 𝑙) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((ℎ‘𝑡) · (𝑙‘𝑡))))
22		fmulcl.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (𝑓 ∈ 𝑌, 𝑔 ∈ 𝑌 ↦ (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))))
23	21, 22	ovmpoga 7604	. . . . 5 ⊢ ((ℎ ∈ 𝑌 ∧ 𝑙 ∈ 𝑌 ∧ (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((ℎ‘𝑡) · (𝑙‘𝑡))) ∈ V) → (ℎ𝑃𝑙) = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((ℎ‘𝑡) · (𝑙‘𝑡))))
24	12, 13, 17, 23	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝑌 ∧ 𝑙 ∈ 𝑌)) → (ℎ𝑃𝑙) = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((ℎ‘𝑡) · (𝑙‘𝑡))))
25		3simpc 1150	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑌 ∧ 𝑙 ∈ 𝑌) → (ℎ ∈ 𝑌 ∧ 𝑙 ∈ 𝑌))
26		eleq1w 2827	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = ℎ → (𝑓 ∈ 𝑌 ↔ ℎ ∈ 𝑌))
27	26	3anbi2d 1441	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = ℎ → ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑌 ∧ 𝑔 ∈ 𝑌) ↔ (𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑌 ∧ 𝑔 ∈ 𝑌)))
28	18	oveq1d 7463	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = ℎ → ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡)) = ((ℎ‘𝑡) · (𝑔‘𝑡)))
29	28	mpteq2dv 5268	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = ℎ → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((ℎ‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))))
30	29	eleq1d 2829	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = ℎ → ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝑌 ↔ (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((ℎ‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝑌))
31	27, 30	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = ℎ → (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑌 ∧ 𝑔 ∈ 𝑌) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝑌) ↔ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑌 ∧ 𝑔 ∈ 𝑌) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((ℎ‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝑌)))
32		eleq1w 2827	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 = 𝑙 → (𝑔 ∈ 𝑌 ↔ 𝑙 ∈ 𝑌))
33	32	3anbi3d 1442	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = 𝑙 → ((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑌 ∧ 𝑔 ∈ 𝑌) ↔ (𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑌 ∧ 𝑙 ∈ 𝑌)))
34	19	oveq2d 7464	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 = 𝑙 → ((ℎ‘𝑡) · (𝑔‘𝑡)) = ((ℎ‘𝑡) · (𝑙‘𝑡)))
35	34	mpteq2dv 5268	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 = 𝑙 → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((ℎ‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((ℎ‘𝑡) · (𝑙‘𝑡))))
36	35	eleq1d 2829	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = 𝑙 → ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((ℎ‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝑌 ↔ (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((ℎ‘𝑡) · (𝑙‘𝑡))) ∈ 𝑌))
37	33, 36	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = 𝑙 → (((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑌 ∧ 𝑔 ∈ 𝑌) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((ℎ‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝑌) ↔ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑌 ∧ 𝑙 ∈ 𝑌) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((ℎ‘𝑡) · (𝑙‘𝑡))) ∈ 𝑌)))
38		fmulcl.6	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑌 ∧ 𝑔 ∈ 𝑌) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝑌)
39	31, 37, 38	vtocl2g 3586	. . . . . 6 ⊢ ((ℎ ∈ 𝑌 ∧ 𝑙 ∈ 𝑌) → ((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑌 ∧ 𝑙 ∈ 𝑌) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((ℎ‘𝑡) · (𝑙‘𝑡))) ∈ 𝑌))
40	25, 39	mpcom 38	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑌 ∧ 𝑙 ∈ 𝑌) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((ℎ‘𝑡) · (𝑙‘𝑡))) ∈ 𝑌)
41	40	3expb 1120	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝑌 ∧ 𝑙 ∈ 𝑌)) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((ℎ‘𝑡) · (𝑙‘𝑡))) ∈ 𝑌)
42	24, 41	eqeltrd 2844	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝑌 ∧ 𝑙 ∈ 𝑌)) → (ℎ𝑃𝑙) ∈ 𝑌)
43	4, 11, 42	seqcl 14073	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq1(𝑃, 𝑈)‘𝑁) ∈ 𝑌)
44	1, 43	eqeltrid 2848	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488   ⊆ wss 3976   ↦ cmpt 5249  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ∈ cmpo 7450  1c1 11185   · cmul 11189  ℤ_≥cuz 12903  ...cfz 13567  seqcseq 14052

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-seq 14053

This theorem is referenced by:  fmuldfeqlem1  45503  stoweidlem51  45972