Theorem fmulcl 45827

Description: If ' Y ' is closed under the multiplication of two functions, then Y is closed under the multiplication ( ' X ' ) of a finite number of functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmulcl.1	⊢ 𝑃 = (𝑓 ∈ 𝑌, 𝑔 ∈ 𝑌 ↦ (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))))
fmulcl.2	⊢ 𝑋 = (seq1(𝑃, 𝑈)‘𝑁)
fmulcl.4	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (1...𝑀))
fmulcl.5	⊢ (𝜑 → 𝑈:(1...𝑀)⟶𝑌)
fmulcl.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑌 ∧ 𝑔 ∈ 𝑌) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝑌)
fmulcl.7	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ V)

Assertion

Ref	Expression
fmulcl	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑌)

Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑡,𝑇   𝑓,𝑌,𝑔   𝜑,𝑓,𝑔

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝑃(𝑡,𝑓,𝑔)   𝑈(𝑡,𝑓,𝑔)   𝑀(𝑡,𝑓,𝑔)   𝑁(𝑡,𝑓,𝑔)   𝑋(𝑡,𝑓,𝑔)   𝑌(𝑡)

Proof of Theorem fmulcl

Dummy variables ℎ 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmulcl.2	. 2 ⊢ 𝑋 = (seq1(𝑃, 𝑈)‘𝑁)
2		fmulcl.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (1...𝑀))
3		elfzuz 13436	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (1...𝑀) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
4	2, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
5		elfzuz3 13437	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (1...𝑀) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
6		fzss2 13480	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (1...𝑁) ⊆ (1...𝑀))
7	2, 5, 6	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1...𝑁) ⊆ (1...𝑀))
8	7	sselda 3933	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ (1...𝑁)) → ℎ ∈ (1...𝑀))
9		fmulcl.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈:(1...𝑀)⟶𝑌)
10	9	ffvelcdmda 7029	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ (1...𝑀)) → (𝑈‘ℎ) ∈ 𝑌)
11	8, 10	syldan 591	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ (1...𝑁)) → (𝑈‘ℎ) ∈ 𝑌)
12		simprl 770	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝑌 ∧ 𝑙 ∈ 𝑌)) → ℎ ∈ 𝑌)
13		simprr 772	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝑌 ∧ 𝑙 ∈ 𝑌)) → 𝑙 ∈ 𝑌)
14		fmulcl.7	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ V)
15	14	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝑌 ∧ 𝑙 ∈ 𝑌)) → 𝑇 ∈ V)
16		mptexg 7167	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ V → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((ℎ‘𝑡) · (𝑙‘𝑡))) ∈ V)
17	15, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝑌 ∧ 𝑙 ∈ 𝑌)) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((ℎ‘𝑡) · (𝑙‘𝑡))) ∈ V)
18		fveq1 6833	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = ℎ → (𝑓‘𝑡) = (ℎ‘𝑡))
19		fveq1 6833	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = 𝑙 → (𝑔‘𝑡) = (𝑙‘𝑡))
20	18, 19	oveqan12d 7377	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 = ℎ ∧ 𝑔 = 𝑙) → ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡)) = ((ℎ‘𝑡) · (𝑙‘𝑡)))
21	20	mpteq2dv 5192	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 = ℎ ∧ 𝑔 = 𝑙) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((ℎ‘𝑡) · (𝑙‘𝑡))))
22		fmulcl.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (𝑓 ∈ 𝑌, 𝑔 ∈ 𝑌 ↦ (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))))
23	21, 22	ovmpoga 7512	. . . . 5 ⊢ ((ℎ ∈ 𝑌 ∧ 𝑙 ∈ 𝑌 ∧ (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((ℎ‘𝑡) · (𝑙‘𝑡))) ∈ V) → (ℎ𝑃𝑙) = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((ℎ‘𝑡) · (𝑙‘𝑡))))
24	12, 13, 17, 23	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝑌 ∧ 𝑙 ∈ 𝑌)) → (ℎ𝑃𝑙) = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((ℎ‘𝑡) · (𝑙‘𝑡))))
25		3simpc 1150	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑌 ∧ 𝑙 ∈ 𝑌) → (ℎ ∈ 𝑌 ∧ 𝑙 ∈ 𝑌))
26		eleq1w 2819	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = ℎ → (𝑓 ∈ 𝑌 ↔ ℎ ∈ 𝑌))
27	26	3anbi2d 1443	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = ℎ → ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑌 ∧ 𝑔 ∈ 𝑌) ↔ (𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑌 ∧ 𝑔 ∈ 𝑌)))
28	18	oveq1d 7373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = ℎ → ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡)) = ((ℎ‘𝑡) · (𝑔‘𝑡)))
29	28	mpteq2dv 5192	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = ℎ → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((ℎ‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))))
30	29	eleq1d 2821	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = ℎ → ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝑌 ↔ (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((ℎ‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝑌))
31	27, 30	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = ℎ → (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑌 ∧ 𝑔 ∈ 𝑌) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝑌) ↔ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑌 ∧ 𝑔 ∈ 𝑌) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((ℎ‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝑌)))
32		eleq1w 2819	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 = 𝑙 → (𝑔 ∈ 𝑌 ↔ 𝑙 ∈ 𝑌))
33	32	3anbi3d 1444	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = 𝑙 → ((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑌 ∧ 𝑔 ∈ 𝑌) ↔ (𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑌 ∧ 𝑙 ∈ 𝑌)))
34	19	oveq2d 7374	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 = 𝑙 → ((ℎ‘𝑡) · (𝑔‘𝑡)) = ((ℎ‘𝑡) · (𝑙‘𝑡)))
35	34	mpteq2dv 5192	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 = 𝑙 → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((ℎ‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((ℎ‘𝑡) · (𝑙‘𝑡))))
36	35	eleq1d 2821	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = 𝑙 → ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((ℎ‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝑌 ↔ (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((ℎ‘𝑡) · (𝑙‘𝑡))) ∈ 𝑌))
37	33, 36	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = 𝑙 → (((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑌 ∧ 𝑔 ∈ 𝑌) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((ℎ‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝑌) ↔ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑌 ∧ 𝑙 ∈ 𝑌) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((ℎ‘𝑡) · (𝑙‘𝑡))) ∈ 𝑌)))
38		fmulcl.6	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑌 ∧ 𝑔 ∈ 𝑌) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝑌)
39	31, 37, 38	vtocl2g 3529	. . . . . 6 ⊢ ((ℎ ∈ 𝑌 ∧ 𝑙 ∈ 𝑌) → ((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑌 ∧ 𝑙 ∈ 𝑌) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((ℎ‘𝑡) · (𝑙‘𝑡))) ∈ 𝑌))
40	25, 39	mpcom 38	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑌 ∧ 𝑙 ∈ 𝑌) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((ℎ‘𝑡) · (𝑙‘𝑡))) ∈ 𝑌)
41	40	3expb 1120	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝑌 ∧ 𝑙 ∈ 𝑌)) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((ℎ‘𝑡) · (𝑙‘𝑡))) ∈ 𝑌)
42	24, 41	eqeltrd 2836	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝑌 ∧ 𝑙 ∈ 𝑌)) → (ℎ𝑃𝑙) ∈ 𝑌)
43	4, 11, 42	seqcl 13945	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq1(𝑃, 𝑈)‘𝑁) ∈ 𝑌)
44	1, 43	eqeltrid 2840	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3440   ⊆ wss 3901   ↦ cmpt 5179  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358   ∈ cmpo 7360  1c1 11027   · cmul 11031  ℤ_≥cuz 12751  ...cfz 13423  seqcseq 13924

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424  df-seq 13925

This theorem is referenced by:  fmuldfeqlem1  45828  stoweidlem51  46295