Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmulcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmulcl 43510
Description: If ' Y ' is closed under the multiplication of two functions, then Y is closed under the multiplication ( ' X ' ) of a finite number of functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fmulcl.1 𝑃 = (𝑓𝑌, 𝑔𝑌 ↦ (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))))
fmulcl.2 𝑋 = (seq1(𝑃, 𝑈)‘𝑁)
fmulcl.4 (𝜑𝑁 ∈ (1...𝑀))
fmulcl.5 (𝜑𝑈:(1...𝑀)⟶𝑌)
fmulcl.6 ((𝜑𝑓𝑌𝑔𝑌) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝑌)
fmulcl.7 (𝜑𝑇 ∈ V)
Assertion
Ref Expression
fmulcl (𝜑𝑋𝑌)
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑡,𝑇   𝑓,𝑌,𝑔   𝜑,𝑓,𝑔
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝑃(𝑡,𝑓,𝑔)   𝑈(𝑡,𝑓,𝑔)   𝑀(𝑡,𝑓,𝑔)   𝑁(𝑡,𝑓,𝑔)   𝑋(𝑡,𝑓,𝑔)   𝑌(𝑡)

Proof of Theorem fmulcl
Dummy variables 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fmulcl.2 . 2 𝑋 = (seq1(𝑃, 𝑈)‘𝑁)
2 fmulcl.4 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ (1...𝑀))
3 elfzuz 13354 . . . 4 (𝑁 ∈ (1...𝑀) → 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
42, 3syl 17 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘1))
5 elfzuz3 13355 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (1...𝑀) → 𝑀 ∈ (ℤ𝑁))
6 fzss2 13398 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (ℤ𝑁) → (1...𝑁) ⊆ (1...𝑀))
72, 5, 63syl 18 . . . . 5 (𝜑 → (1...𝑁) ⊆ (1...𝑀))
87sselda 3932 . . . 4 ((𝜑 ∈ (1...𝑁)) → ∈ (1...𝑀))
9 fmulcl.5 . . . . 5 (𝜑𝑈:(1...𝑀)⟶𝑌)
109ffvelcdmda 7018 . . . 4 ((𝜑 ∈ (1...𝑀)) → (𝑈) ∈ 𝑌)
118, 10syldan 591 . . 3 ((𝜑 ∈ (1...𝑁)) → (𝑈) ∈ 𝑌)
12 simprl 768 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑌𝑙𝑌)) → 𝑌)
13 simprr 770 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑌𝑙𝑌)) → 𝑙𝑌)
14 fmulcl.7 . . . . . . 7 (𝜑𝑇 ∈ V)
1514adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑌𝑙𝑌)) → 𝑇 ∈ V)
16 mptexg 7154 . . . . . 6 (𝑇 ∈ V → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑡) · (𝑙𝑡))) ∈ V)
1715, 16syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑌𝑙𝑌)) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑡) · (𝑙𝑡))) ∈ V)
18 fveq1 6825 . . . . . . . 8 (𝑓 = → (𝑓𝑡) = (𝑡))
19 fveq1 6825 . . . . . . . 8 (𝑔 = 𝑙 → (𝑔𝑡) = (𝑙𝑡))
2018, 19oveqan12d 7357 . . . . . . 7 ((𝑓 = 𝑔 = 𝑙) → ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡)) = ((𝑡) · (𝑙𝑡)))
2120mpteq2dv 5195 . . . . . 6 ((𝑓 = 𝑔 = 𝑙) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) = (𝑡𝑇 ↦ ((𝑡) · (𝑙𝑡))))
22 fmulcl.1 . . . . . 6 𝑃 = (𝑓𝑌, 𝑔𝑌 ↦ (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))))
2321, 22ovmpoga 7490 . . . . 5 ((𝑌𝑙𝑌 ∧ (𝑡𝑇 ↦ ((𝑡) · (𝑙𝑡))) ∈ V) → (𝑃𝑙) = (𝑡𝑇 ↦ ((𝑡) · (𝑙𝑡))))
2412, 13, 17, 23syl3anc 1370 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑌𝑙𝑌)) → (𝑃𝑙) = (𝑡𝑇 ↦ ((𝑡) · (𝑙𝑡))))
25 3simpc 1149 . . . . . 6 ((𝜑𝑌𝑙𝑌) → (𝑌𝑙𝑌))
26 eleq1w 2819 . . . . . . . . 9 (𝑓 = → (𝑓𝑌𝑌))
27263anbi2d 1440 . . . . . . . 8 (𝑓 = → ((𝜑𝑓𝑌𝑔𝑌) ↔ (𝜑𝑌𝑔𝑌)))
2818oveq1d 7353 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = → ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡)) = ((𝑡) · (𝑔𝑡)))
2928mpteq2dv 5195 . . . . . . . . 9 (𝑓 = → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) = (𝑡𝑇 ↦ ((𝑡) · (𝑔𝑡))))
3029eleq1d 2821 . . . . . . . 8 (𝑓 = → ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝑌 ↔ (𝑡𝑇 ↦ ((𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝑌))
3127, 30imbi12d 344 . . . . . . 7 (𝑓 = → (((𝜑𝑓𝑌𝑔𝑌) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝑌) ↔ ((𝜑𝑌𝑔𝑌) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝑌)))
32 eleq1w 2819 . . . . . . . . 9 (𝑔 = 𝑙 → (𝑔𝑌𝑙𝑌))
33323anbi3d 1441 . . . . . . . 8 (𝑔 = 𝑙 → ((𝜑𝑌𝑔𝑌) ↔ (𝜑𝑌𝑙𝑌)))
3419oveq2d 7354 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = 𝑙 → ((𝑡) · (𝑔𝑡)) = ((𝑡) · (𝑙𝑡)))
3534mpteq2dv 5195 . . . . . . . . 9 (𝑔 = 𝑙 → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑡) · (𝑔𝑡))) = (𝑡𝑇 ↦ ((𝑡) · (𝑙𝑡))))
3635eleq1d 2821 . . . . . . . 8 (𝑔 = 𝑙 → ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝑌 ↔ (𝑡𝑇 ↦ ((𝑡) · (𝑙𝑡))) ∈ 𝑌))
3733, 36imbi12d 344 . . . . . . 7 (𝑔 = 𝑙 → (((𝜑𝑌𝑔𝑌) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝑌) ↔ ((𝜑𝑌𝑙𝑌) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑡) · (𝑙𝑡))) ∈ 𝑌)))
38 fmulcl.6 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓𝑌𝑔𝑌) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝑌)
3931, 37, 38vtocl2g 3519 . . . . . 6 ((𝑌𝑙𝑌) → ((𝜑𝑌𝑙𝑌) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑡) · (𝑙𝑡))) ∈ 𝑌))
4025, 39mpcom 38 . . . . 5 ((𝜑𝑌𝑙𝑌) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑡) · (𝑙𝑡))) ∈ 𝑌)
41403expb 1119 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑌𝑙𝑌)) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑡) · (𝑙𝑡))) ∈ 𝑌)
4224, 41eqeltrd 2837 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑌𝑙𝑌)) → (𝑃𝑙) ∈ 𝑌)
434, 11, 42seqcl 13845 . 2 (𝜑 → (seq1(𝑃, 𝑈)‘𝑁) ∈ 𝑌)
441, 43eqeltrid 2841 1 (𝜑𝑋𝑌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  Vcvv 3441  wss 3898  cmpt 5176  wf 6476  cfv 6480  (class class class)co 7338  cmpo 7340  1c1 10974   · cmul 10978  cuz 12684  ...cfz 13341  seqcseq 13823
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5230  ax-sep 5244  ax-nul 5251  ax-pow 5309  ax-pr 5373  ax-un 7651  ax-cnex 11029  ax-resscn 11030  ax-1cn 11031  ax-icn 11032  ax-addcl 11033  ax-addrcl 11034  ax-mulcl 11035  ax-mulrcl 11036  ax-mulcom 11037  ax-addass 11038  ax-mulass 11039  ax-distr 11040  ax-i2m1 11041  ax-1ne0 11042  ax-1rid 11043  ax-rnegex 11044  ax-rrecex 11045  ax-cnre 11046  ax-pre-lttri 11047  ax-pre-lttrn 11048  ax-pre-ltadd 11049  ax-pre-mulgt0 11050
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4271  df-if 4475  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4854  df-iun 4944  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5177  df-tr 5211  df-id 5519  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6239  df-ord 6306  df-on 6307  df-lim 6308  df-suc 6309  df-iota 6432  df-fun 6482  df-fn 6483  df-f 6484  df-f1 6485  df-fo 6486  df-f1o 6487  df-fv 6488  df-riota 7294  df-ov 7341  df-oprab 7342  df-mpo 7343  df-om 7782  df-1st 7900  df-2nd 7901  df-frecs 8168  df-wrecs 8199  df-recs 8273  df-rdg 8312  df-er 8570  df-en 8806  df-dom 8807  df-sdom 8808  df-pnf 11113  df-mnf 11114  df-xr 11115  df-ltxr 11116  df-le 11117  df-sub 11309  df-neg 11310  df-nn 12076  df-n0 12336  df-z 12422  df-uz 12685  df-fz 13342  df-seq 13824
This theorem is referenced by:  fmuldfeqlem1  43511  stoweidlem51  43980
  Copyright terms: Public domain W3C validator