Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmulcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmulcl 44998
Description: If ' Y ' is closed under the multiplication of two functions, then Y is closed under the multiplication ( ' X ' ) of a finite number of functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fmulcl.1 ๐‘ƒ = (๐‘“ โˆˆ ๐‘Œ, ๐‘” โˆˆ ๐‘Œ โ†ฆ (๐‘ก โˆˆ ๐‘‡ โ†ฆ ((๐‘“โ€˜๐‘ก) ยท (๐‘”โ€˜๐‘ก))))
fmulcl.2 ๐‘‹ = (seq1(๐‘ƒ, ๐‘ˆ)โ€˜๐‘)
fmulcl.4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (1...๐‘€))
fmulcl.5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ:(1...๐‘€)โŸถ๐‘Œ)
fmulcl.6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘“ โˆˆ ๐‘Œ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ (๐‘ก โˆˆ ๐‘‡ โ†ฆ ((๐‘“โ€˜๐‘ก) ยท (๐‘”โ€˜๐‘ก))) โˆˆ ๐‘Œ)
fmulcl.7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โˆˆ V)
Assertion
Ref Expression
fmulcl (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐‘Œ)
Distinct variable groups:   ๐‘“,๐‘”,๐‘ก,๐‘‡   ๐‘“,๐‘Œ,๐‘”   ๐œ‘,๐‘“,๐‘”
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ก)   ๐‘ƒ(๐‘ก,๐‘“,๐‘”)   ๐‘ˆ(๐‘ก,๐‘“,๐‘”)   ๐‘€(๐‘ก,๐‘“,๐‘”)   ๐‘(๐‘ก,๐‘“,๐‘”)   ๐‘‹(๐‘ก,๐‘“,๐‘”)   ๐‘Œ(๐‘ก)

Proof of Theorem fmulcl
Dummy variables โ„Ž ๐‘™ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fmulcl.2 . 2 ๐‘‹ = (seq1(๐‘ƒ, ๐‘ˆ)โ€˜๐‘)
2 fmulcl.4 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (1...๐‘€))
3 elfzuz 13537 . . . 4 (๐‘ โˆˆ (1...๐‘€) โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
42, 3syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
5 elfzuz3 13538 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ (1...๐‘€) โ†’ ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘))
6 fzss2 13581 . . . . . 6 (๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘) โ†’ (1...๐‘) โІ (1...๐‘€))
72, 5, 63syl 18 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (1...๐‘) โІ (1...๐‘€))
87sselda 3982 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ โ„Ž โˆˆ (1...๐‘€))
9 fmulcl.5 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ:(1...๐‘€)โŸถ๐‘Œ)
109ffvelcdmda 7099 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ (๐‘ˆโ€˜โ„Ž) โˆˆ ๐‘Œ)
118, 10syldan 589 . . 3 ((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐‘ˆโ€˜โ„Ž) โˆˆ ๐‘Œ)
12 simprl 769 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (โ„Ž โˆˆ ๐‘Œ โˆง ๐‘™ โˆˆ ๐‘Œ)) โ†’ โ„Ž โˆˆ ๐‘Œ)
13 simprr 771 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (โ„Ž โˆˆ ๐‘Œ โˆง ๐‘™ โˆˆ ๐‘Œ)) โ†’ ๐‘™ โˆˆ ๐‘Œ)
14 fmulcl.7 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โˆˆ V)
1514adantr 479 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (โ„Ž โˆˆ ๐‘Œ โˆง ๐‘™ โˆˆ ๐‘Œ)) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ V)
16 mptexg 7239 . . . . . 6 (๐‘‡ โˆˆ V โ†’ (๐‘ก โˆˆ ๐‘‡ โ†ฆ ((โ„Žโ€˜๐‘ก) ยท (๐‘™โ€˜๐‘ก))) โˆˆ V)
1715, 16syl 17 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (โ„Ž โˆˆ ๐‘Œ โˆง ๐‘™ โˆˆ ๐‘Œ)) โ†’ (๐‘ก โˆˆ ๐‘‡ โ†ฆ ((โ„Žโ€˜๐‘ก) ยท (๐‘™โ€˜๐‘ก))) โˆˆ V)
18 fveq1 6901 . . . . . . . 8 (๐‘“ = โ„Ž โ†’ (๐‘“โ€˜๐‘ก) = (โ„Žโ€˜๐‘ก))
19 fveq1 6901 . . . . . . . 8 (๐‘” = ๐‘™ โ†’ (๐‘”โ€˜๐‘ก) = (๐‘™โ€˜๐‘ก))
2018, 19oveqan12d 7445 . . . . . . 7 ((๐‘“ = โ„Ž โˆง ๐‘” = ๐‘™) โ†’ ((๐‘“โ€˜๐‘ก) ยท (๐‘”โ€˜๐‘ก)) = ((โ„Žโ€˜๐‘ก) ยท (๐‘™โ€˜๐‘ก)))
2120mpteq2dv 5254 . . . . . 6 ((๐‘“ = โ„Ž โˆง ๐‘” = ๐‘™) โ†’ (๐‘ก โˆˆ ๐‘‡ โ†ฆ ((๐‘“โ€˜๐‘ก) ยท (๐‘”โ€˜๐‘ก))) = (๐‘ก โˆˆ ๐‘‡ โ†ฆ ((โ„Žโ€˜๐‘ก) ยท (๐‘™โ€˜๐‘ก))))
22 fmulcl.1 . . . . . 6 ๐‘ƒ = (๐‘“ โˆˆ ๐‘Œ, ๐‘” โˆˆ ๐‘Œ โ†ฆ (๐‘ก โˆˆ ๐‘‡ โ†ฆ ((๐‘“โ€˜๐‘ก) ยท (๐‘”โ€˜๐‘ก))))
2321, 22ovmpoga 7581 . . . . 5 ((โ„Ž โˆˆ ๐‘Œ โˆง ๐‘™ โˆˆ ๐‘Œ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐‘‡ โ†ฆ ((โ„Žโ€˜๐‘ก) ยท (๐‘™โ€˜๐‘ก))) โˆˆ V) โ†’ (โ„Ž๐‘ƒ๐‘™) = (๐‘ก โˆˆ ๐‘‡ โ†ฆ ((โ„Žโ€˜๐‘ก) ยท (๐‘™โ€˜๐‘ก))))
2412, 13, 17, 23syl3anc 1368 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (โ„Ž โˆˆ ๐‘Œ โˆง ๐‘™ โˆˆ ๐‘Œ)) โ†’ (โ„Ž๐‘ƒ๐‘™) = (๐‘ก โˆˆ ๐‘‡ โ†ฆ ((โ„Žโ€˜๐‘ก) ยท (๐‘™โ€˜๐‘ก))))
25 3simpc 1147 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ ๐‘Œ โˆง ๐‘™ โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ (โ„Ž โˆˆ ๐‘Œ โˆง ๐‘™ โˆˆ ๐‘Œ))
26 eleq1w 2812 . . . . . . . . 9 (๐‘“ = โ„Ž โ†’ (๐‘“ โˆˆ ๐‘Œ โ†” โ„Ž โˆˆ ๐‘Œ))
27263anbi2d 1437 . . . . . . . 8 (๐‘“ = โ„Ž โ†’ ((๐œ‘ โˆง ๐‘“ โˆˆ ๐‘Œ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐‘Œ) โ†” (๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ ๐‘Œ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐‘Œ)))
2818oveq1d 7441 . . . . . . . . . 10 (๐‘“ = โ„Ž โ†’ ((๐‘“โ€˜๐‘ก) ยท (๐‘”โ€˜๐‘ก)) = ((โ„Žโ€˜๐‘ก) ยท (๐‘”โ€˜๐‘ก)))
2928mpteq2dv 5254 . . . . . . . . 9 (๐‘“ = โ„Ž โ†’ (๐‘ก โˆˆ ๐‘‡ โ†ฆ ((๐‘“โ€˜๐‘ก) ยท (๐‘”โ€˜๐‘ก))) = (๐‘ก โˆˆ ๐‘‡ โ†ฆ ((โ„Žโ€˜๐‘ก) ยท (๐‘”โ€˜๐‘ก))))
3029eleq1d 2814 . . . . . . . 8 (๐‘“ = โ„Ž โ†’ ((๐‘ก โˆˆ ๐‘‡ โ†ฆ ((๐‘“โ€˜๐‘ก) ยท (๐‘”โ€˜๐‘ก))) โˆˆ ๐‘Œ โ†” (๐‘ก โˆˆ ๐‘‡ โ†ฆ ((โ„Žโ€˜๐‘ก) ยท (๐‘”โ€˜๐‘ก))) โˆˆ ๐‘Œ))
3127, 30imbi12d 343 . . . . . . 7 (๐‘“ = โ„Ž โ†’ (((๐œ‘ โˆง ๐‘“ โˆˆ ๐‘Œ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ (๐‘ก โˆˆ ๐‘‡ โ†ฆ ((๐‘“โ€˜๐‘ก) ยท (๐‘”โ€˜๐‘ก))) โˆˆ ๐‘Œ) โ†” ((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ ๐‘Œ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ (๐‘ก โˆˆ ๐‘‡ โ†ฆ ((โ„Žโ€˜๐‘ก) ยท (๐‘”โ€˜๐‘ก))) โˆˆ ๐‘Œ)))
32 eleq1w 2812 . . . . . . . . 9 (๐‘” = ๐‘™ โ†’ (๐‘” โˆˆ ๐‘Œ โ†” ๐‘™ โˆˆ ๐‘Œ))
33323anbi3d 1438 . . . . . . . 8 (๐‘” = ๐‘™ โ†’ ((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ ๐‘Œ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐‘Œ) โ†” (๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ ๐‘Œ โˆง ๐‘™ โˆˆ ๐‘Œ)))
3419oveq2d 7442 . . . . . . . . . 10 (๐‘” = ๐‘™ โ†’ ((โ„Žโ€˜๐‘ก) ยท (๐‘”โ€˜๐‘ก)) = ((โ„Žโ€˜๐‘ก) ยท (๐‘™โ€˜๐‘ก)))
3534mpteq2dv 5254 . . . . . . . . 9 (๐‘” = ๐‘™ โ†’ (๐‘ก โˆˆ ๐‘‡ โ†ฆ ((โ„Žโ€˜๐‘ก) ยท (๐‘”โ€˜๐‘ก))) = (๐‘ก โˆˆ ๐‘‡ โ†ฆ ((โ„Žโ€˜๐‘ก) ยท (๐‘™โ€˜๐‘ก))))
3635eleq1d 2814 . . . . . . . 8 (๐‘” = ๐‘™ โ†’ ((๐‘ก โˆˆ ๐‘‡ โ†ฆ ((โ„Žโ€˜๐‘ก) ยท (๐‘”โ€˜๐‘ก))) โˆˆ ๐‘Œ โ†” (๐‘ก โˆˆ ๐‘‡ โ†ฆ ((โ„Žโ€˜๐‘ก) ยท (๐‘™โ€˜๐‘ก))) โˆˆ ๐‘Œ))
3733, 36imbi12d 343 . . . . . . 7 (๐‘” = ๐‘™ โ†’ (((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ ๐‘Œ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ (๐‘ก โˆˆ ๐‘‡ โ†ฆ ((โ„Žโ€˜๐‘ก) ยท (๐‘”โ€˜๐‘ก))) โˆˆ ๐‘Œ) โ†” ((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ ๐‘Œ โˆง ๐‘™ โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ (๐‘ก โˆˆ ๐‘‡ โ†ฆ ((โ„Žโ€˜๐‘ก) ยท (๐‘™โ€˜๐‘ก))) โˆˆ ๐‘Œ)))
38 fmulcl.6 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘“ โˆˆ ๐‘Œ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ (๐‘ก โˆˆ ๐‘‡ โ†ฆ ((๐‘“โ€˜๐‘ก) ยท (๐‘”โ€˜๐‘ก))) โˆˆ ๐‘Œ)
3931, 37, 38vtocl2g 3562 . . . . . 6 ((โ„Ž โˆˆ ๐‘Œ โˆง ๐‘™ โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ ((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ ๐‘Œ โˆง ๐‘™ โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ (๐‘ก โˆˆ ๐‘‡ โ†ฆ ((โ„Žโ€˜๐‘ก) ยท (๐‘™โ€˜๐‘ก))) โˆˆ ๐‘Œ))
4025, 39mpcom 38 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ ๐‘Œ โˆง ๐‘™ โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ (๐‘ก โˆˆ ๐‘‡ โ†ฆ ((โ„Žโ€˜๐‘ก) ยท (๐‘™โ€˜๐‘ก))) โˆˆ ๐‘Œ)
41403expb 1117 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (โ„Ž โˆˆ ๐‘Œ โˆง ๐‘™ โˆˆ ๐‘Œ)) โ†’ (๐‘ก โˆˆ ๐‘‡ โ†ฆ ((โ„Žโ€˜๐‘ก) ยท (๐‘™โ€˜๐‘ก))) โˆˆ ๐‘Œ)
4224, 41eqeltrd 2829 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (โ„Ž โˆˆ ๐‘Œ โˆง ๐‘™ โˆˆ ๐‘Œ)) โ†’ (โ„Ž๐‘ƒ๐‘™) โˆˆ ๐‘Œ)
434, 11, 42seqcl 14027 . 2 (๐œ‘ โ†’ (seq1(๐‘ƒ, ๐‘ˆ)โ€˜๐‘) โˆˆ ๐‘Œ)
441, 43eqeltrid 2833 1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐‘Œ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  Vcvv 3473   โІ wss 3949   โ†ฆ cmpt 5235  โŸถwf 6549  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   โˆˆ cmpo 7428  1c1 11147   ยท cmul 11151  โ„คโ‰ฅcuz 12860  ...cfz 13524  seqcseq 14006
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-seq 14007
This theorem is referenced by:  fmuldfeqlem1  44999  stoweidlem51  45468
  Copyright terms: Public domain W3C validator