Theorem fmulcl 43812

Description: If ' Y ' is closed under the multiplication of two functions, then Y is closed under the multiplication ( ' X ' ) of a finite number of functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmulcl.1	⊢ 𝑃 = (𝑓 ∈ 𝑌, 𝑔 ∈ 𝑌 ↦ (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))))
fmulcl.2	⊢ 𝑋 = (seq1(𝑃, 𝑈)‘𝑁)
fmulcl.4	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (1...𝑀))
fmulcl.5	⊢ (𝜑 → 𝑈:(1...𝑀)⟶𝑌)
fmulcl.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑌 ∧ 𝑔 ∈ 𝑌) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝑌)
fmulcl.7	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ V)

Assertion

Ref	Expression
fmulcl	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑌)

Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑡,𝑇   𝑓,𝑌,𝑔   𝜑,𝑓,𝑔

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝑃(𝑡,𝑓,𝑔)   𝑈(𝑡,𝑓,𝑔)   𝑀(𝑡,𝑓,𝑔)   𝑁(𝑡,𝑓,𝑔)   𝑋(𝑡,𝑓,𝑔)   𝑌(𝑡)

Proof of Theorem fmulcl

Dummy variables ℎ 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmulcl.2	. 2 ⊢ 𝑋 = (seq1(𝑃, 𝑈)‘𝑁)
2		fmulcl.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (1...𝑀))
3		elfzuz 13437	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (1...𝑀) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
4	2, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
5		elfzuz3 13438	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (1...𝑀) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
6		fzss2 13481	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (1...𝑁) ⊆ (1...𝑀))
7	2, 5, 6	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1...𝑁) ⊆ (1...𝑀))
8	7	sselda 3944	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ (1...𝑁)) → ℎ ∈ (1...𝑀))
9		fmulcl.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈:(1...𝑀)⟶𝑌)
10	9	ffvelcdmda 7035	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ (1...𝑀)) → (𝑈‘ℎ) ∈ 𝑌)
11	8, 10	syldan 591	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ (1...𝑁)) → (𝑈‘ℎ) ∈ 𝑌)
12		simprl 769	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝑌 ∧ 𝑙 ∈ 𝑌)) → ℎ ∈ 𝑌)
13		simprr 771	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝑌 ∧ 𝑙 ∈ 𝑌)) → 𝑙 ∈ 𝑌)
14		fmulcl.7	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ V)
15	14	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝑌 ∧ 𝑙 ∈ 𝑌)) → 𝑇 ∈ V)
16		mptexg 7171	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ V → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((ℎ‘𝑡) · (𝑙‘𝑡))) ∈ V)
17	15, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝑌 ∧ 𝑙 ∈ 𝑌)) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((ℎ‘𝑡) · (𝑙‘𝑡))) ∈ V)
18		fveq1 6841	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = ℎ → (𝑓‘𝑡) = (ℎ‘𝑡))
19		fveq1 6841	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = 𝑙 → (𝑔‘𝑡) = (𝑙‘𝑡))
20	18, 19	oveqan12d 7376	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 = ℎ ∧ 𝑔 = 𝑙) → ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡)) = ((ℎ‘𝑡) · (𝑙‘𝑡)))
21	20	mpteq2dv 5207	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 = ℎ ∧ 𝑔 = 𝑙) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((ℎ‘𝑡) · (𝑙‘𝑡))))
22		fmulcl.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (𝑓 ∈ 𝑌, 𝑔 ∈ 𝑌 ↦ (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))))
23	21, 22	ovmpoga 7509	. . . . 5 ⊢ ((ℎ ∈ 𝑌 ∧ 𝑙 ∈ 𝑌 ∧ (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((ℎ‘𝑡) · (𝑙‘𝑡))) ∈ V) → (ℎ𝑃𝑙) = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((ℎ‘𝑡) · (𝑙‘𝑡))))
24	12, 13, 17, 23	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝑌 ∧ 𝑙 ∈ 𝑌)) → (ℎ𝑃𝑙) = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((ℎ‘𝑡) · (𝑙‘𝑡))))
25		3simpc 1150	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑌 ∧ 𝑙 ∈ 𝑌) → (ℎ ∈ 𝑌 ∧ 𝑙 ∈ 𝑌))
26		eleq1w 2820	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = ℎ → (𝑓 ∈ 𝑌 ↔ ℎ ∈ 𝑌))
27	26	3anbi2d 1441	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = ℎ → ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑌 ∧ 𝑔 ∈ 𝑌) ↔ (𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑌 ∧ 𝑔 ∈ 𝑌)))
28	18	oveq1d 7372	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = ℎ → ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡)) = ((ℎ‘𝑡) · (𝑔‘𝑡)))
29	28	mpteq2dv 5207	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = ℎ → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((ℎ‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))))
30	29	eleq1d 2822	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = ℎ → ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝑌 ↔ (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((ℎ‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝑌))
31	27, 30	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = ℎ → (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑌 ∧ 𝑔 ∈ 𝑌) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝑌) ↔ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑌 ∧ 𝑔 ∈ 𝑌) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((ℎ‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝑌)))
32		eleq1w 2820	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 = 𝑙 → (𝑔 ∈ 𝑌 ↔ 𝑙 ∈ 𝑌))
33	32	3anbi3d 1442	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = 𝑙 → ((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑌 ∧ 𝑔 ∈ 𝑌) ↔ (𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑌 ∧ 𝑙 ∈ 𝑌)))
34	19	oveq2d 7373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 = 𝑙 → ((ℎ‘𝑡) · (𝑔‘𝑡)) = ((ℎ‘𝑡) · (𝑙‘𝑡)))
35	34	mpteq2dv 5207	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 = 𝑙 → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((ℎ‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((ℎ‘𝑡) · (𝑙‘𝑡))))
36	35	eleq1d 2822	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = 𝑙 → ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((ℎ‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝑌 ↔ (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((ℎ‘𝑡) · (𝑙‘𝑡))) ∈ 𝑌))
37	33, 36	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = 𝑙 → (((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑌 ∧ 𝑔 ∈ 𝑌) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((ℎ‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝑌) ↔ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑌 ∧ 𝑙 ∈ 𝑌) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((ℎ‘𝑡) · (𝑙‘𝑡))) ∈ 𝑌)))
38		fmulcl.6	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑌 ∧ 𝑔 ∈ 𝑌) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝑌)
39	31, 37, 38	vtocl2g 3531	. . . . . 6 ⊢ ((ℎ ∈ 𝑌 ∧ 𝑙 ∈ 𝑌) → ((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑌 ∧ 𝑙 ∈ 𝑌) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((ℎ‘𝑡) · (𝑙‘𝑡))) ∈ 𝑌))
40	25, 39	mpcom 38	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑌 ∧ 𝑙 ∈ 𝑌) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((ℎ‘𝑡) · (𝑙‘𝑡))) ∈ 𝑌)
41	40	3expb 1120	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝑌 ∧ 𝑙 ∈ 𝑌)) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((ℎ‘𝑡) · (𝑙‘𝑡))) ∈ 𝑌)
42	24, 41	eqeltrd 2838	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝑌 ∧ 𝑙 ∈ 𝑌)) → (ℎ𝑃𝑙) ∈ 𝑌)
43	4, 11, 42	seqcl 13928	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq1(𝑃, 𝑈)‘𝑁) ∈ 𝑌)
44	1, 43	eqeltrid 2842	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3445   ⊆ wss 3910   ↦ cmpt 5188  ⟶wf 6492  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357   ∈ cmpo 7359  1c1 11052   · cmul 11056  ℤ_≥cuz 12763  ...cfz 13424  seqcseq 13906

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-seq 13907

This theorem is referenced by:  fmuldfeqlem1  43813  stoweidlem51  44282