MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmpt12 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnmpt12 23391
Description: The composition of continuous functions is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmptid.j (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
cnmpt11.a (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
cnmpt1t.b (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐿))
cnmpt12.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
cnmpt12.l (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (TopOnβ€˜π‘))
cnmpt12.c (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ π‘Œ, 𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐢) ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐿) Cn 𝑀))
cnmpt12.d ((𝑦 = 𝐴 ∧ 𝑧 = 𝐡) β†’ 𝐢 = 𝐷)
Assertion
Ref Expression
cnmpt12 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐷) ∈ (𝐽 Cn 𝑀))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧,𝐴   𝑧,𝐡   𝑦,𝐷,𝑧   π‘₯,𝑦   πœ‘,π‘₯   π‘₯,𝐽,𝑦   π‘₯,𝑧,𝑀,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦,𝑧   π‘₯,π‘Œ,𝑦,𝑧   π‘₯,𝑍,𝑦,𝑧   π‘₯,𝐾,𝑦   π‘₯,𝐿,𝑦   𝑦,𝐡   π‘₯,𝐢
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑦,𝑧)   𝐴(π‘₯)   𝐡(π‘₯)   𝐢(𝑦,𝑧)   𝐷(π‘₯)   𝐽(𝑧)   𝐾(𝑧)   𝐿(𝑧)

Proof of Theorem cnmpt12
StepHypRef Expression
1 cnmptid.j . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
2 cnmpt12.k . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
3 cnmpt11.a . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
4 cnf2 22973 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):π‘‹βŸΆπ‘Œ)
51, 2, 3, 4syl3anc 1369 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):π‘‹βŸΆπ‘Œ)
65fvmptelcdm 7113 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ π‘Œ)
7 cnmpt12.l . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (TopOnβ€˜π‘))
8 cnmpt1t.b . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐿))
9 cnf2 22973 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (TopOnβ€˜π‘) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐿)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡):π‘‹βŸΆπ‘)
101, 7, 8, 9syl3anc 1369 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡):π‘‹βŸΆπ‘)
1110fvmptelcdm 7113 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐡 ∈ 𝑍)
126, 11jca 510 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 ∈ π‘Œ ∧ 𝐡 ∈ 𝑍))
13 txtopon 23315 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐿 ∈ (TopOnβ€˜π‘)) β†’ (𝐾 Γ—t 𝐿) ∈ (TopOnβ€˜(π‘Œ Γ— 𝑍)))
142, 7, 13syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐾 Γ—t 𝐿) ∈ (TopOnβ€˜(π‘Œ Γ— 𝑍)))
15 cnmpt12.c . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ π‘Œ, 𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐢) ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐿) Cn 𝑀))
16 cntop2 22965 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ π‘Œ, 𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐢) ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐿) Cn 𝑀) β†’ 𝑀 ∈ Top)
1715, 16syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ Top)
18 toptopon2 22640 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ Top ↔ 𝑀 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑀))
1917, 18sylib 217 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑀))
20 cnf2 22973 . . . . . . . . 9 (((𝐾 Γ—t 𝐿) ∈ (TopOnβ€˜(π‘Œ Γ— 𝑍)) ∧ 𝑀 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑀) ∧ (𝑦 ∈ π‘Œ, 𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐢) ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐿) Cn 𝑀)) β†’ (𝑦 ∈ π‘Œ, 𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐢):(π‘Œ Γ— 𝑍)⟢βˆͺ 𝑀)
2114, 19, 15, 20syl3anc 1369 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ π‘Œ, 𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐢):(π‘Œ Γ— 𝑍)⟢βˆͺ 𝑀)
22 eqid 2730 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ π‘Œ, 𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐢) = (𝑦 ∈ π‘Œ, 𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐢)
2322fmpo 8056 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ βˆ€π‘§ ∈ 𝑍 𝐢 ∈ βˆͺ 𝑀 ↔ (𝑦 ∈ π‘Œ, 𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐢):(π‘Œ Γ— 𝑍)⟢βˆͺ 𝑀)
2421, 23sylibr 233 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ βˆ€π‘§ ∈ 𝑍 𝐢 ∈ βˆͺ 𝑀)
25 r2al 3192 . . . . . . 7 (βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ βˆ€π‘§ ∈ 𝑍 𝐢 ∈ βˆͺ 𝑀 ↔ βˆ€π‘¦βˆ€π‘§((𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) β†’ 𝐢 ∈ βˆͺ 𝑀))
2624, 25sylib 217 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦βˆ€π‘§((𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) β†’ 𝐢 ∈ βˆͺ 𝑀))
2726adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ βˆ€π‘¦βˆ€π‘§((𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) β†’ 𝐢 ∈ βˆͺ 𝑀))
28 eleq1 2819 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝐴 β†’ (𝑦 ∈ π‘Œ ↔ 𝐴 ∈ π‘Œ))
29 eleq1 2819 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝐡 β†’ (𝑧 ∈ 𝑍 ↔ 𝐡 ∈ 𝑍))
3028, 29bi2anan9 635 . . . . . . 7 ((𝑦 = 𝐴 ∧ 𝑧 = 𝐡) β†’ ((𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ↔ (𝐴 ∈ π‘Œ ∧ 𝐡 ∈ 𝑍)))
31 cnmpt12.d . . . . . . . 8 ((𝑦 = 𝐴 ∧ 𝑧 = 𝐡) β†’ 𝐢 = 𝐷)
3231eleq1d 2816 . . . . . . 7 ((𝑦 = 𝐴 ∧ 𝑧 = 𝐡) β†’ (𝐢 ∈ βˆͺ 𝑀 ↔ 𝐷 ∈ βˆͺ 𝑀))
3330, 32imbi12d 343 . . . . . 6 ((𝑦 = 𝐴 ∧ 𝑧 = 𝐡) β†’ (((𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) β†’ 𝐢 ∈ βˆͺ 𝑀) ↔ ((𝐴 ∈ π‘Œ ∧ 𝐡 ∈ 𝑍) β†’ 𝐷 ∈ βˆͺ 𝑀)))
3433spc2gv 3589 . . . . 5 ((𝐴 ∈ π‘Œ ∧ 𝐡 ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘¦βˆ€π‘§((𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) β†’ 𝐢 ∈ βˆͺ 𝑀) β†’ ((𝐴 ∈ π‘Œ ∧ 𝐡 ∈ 𝑍) β†’ 𝐷 ∈ βˆͺ 𝑀)))
3512, 27, 12, 34syl3c 66 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐷 ∈ βˆͺ 𝑀)
3631, 22ovmpoga 7564 . . . 4 ((𝐴 ∈ π‘Œ ∧ 𝐡 ∈ 𝑍 ∧ 𝐷 ∈ βˆͺ 𝑀) β†’ (𝐴(𝑦 ∈ π‘Œ, 𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐢)𝐡) = 𝐷)
376, 11, 35, 36syl3anc 1369 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝐴(𝑦 ∈ π‘Œ, 𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐢)𝐡) = 𝐷)
3837mpteq2dva 5247 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝐴(𝑦 ∈ π‘Œ, 𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐢)𝐡)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐷))
391, 3, 8, 15cnmpt12f 23390 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝐴(𝑦 ∈ π‘Œ, 𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐢)𝐡)) ∈ (𝐽 Cn 𝑀))
4038, 39eqeltrrd 2832 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐷) ∈ (𝐽 Cn 𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394  βˆ€wal 1537   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  βˆͺ cuni 4907   ↦ cmpt 5230   Γ— cxp 5673  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413  Topctop 22615  TopOnctopon 22632   Cn ccn 22948   Γ—t ctx 23284
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-map 8824  df-topgen 17393  df-top 22616  df-topon 22633  df-bases 22669  df-cn 22951  df-tx 23286
This theorem is referenced by:  cnmptkk  23407  cnmptk1p  23409  divccn  24611  iihalf1cn  24673  iihalf2cn  24676  icchmeo  24685  pcocn  24764  pcopt  24769  pcopt2  24770  pcoass  24771  mulcncf  25194  plycn  26010  resqrtcn  26493  sqrtcn  26494  rmulccn  33206  pl1cn  33233  cxpcncf1  33905  gg-psercn2  35464  gg-rmulccn  35465  cxpcncf2  44913
  Copyright terms: Public domain W3C validator