MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmpt12 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnmpt12 23041
Description: The composition of continuous functions is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmptid.j (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
cnmpt11.a (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
cnmpt1t.b (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐿))
cnmpt12.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
cnmpt12.l (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (TopOnβ€˜π‘))
cnmpt12.c (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ π‘Œ, 𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐢) ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐿) Cn 𝑀))
cnmpt12.d ((𝑦 = 𝐴 ∧ 𝑧 = 𝐡) β†’ 𝐢 = 𝐷)
Assertion
Ref Expression
cnmpt12 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐷) ∈ (𝐽 Cn 𝑀))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧,𝐴   𝑧,𝐡   𝑦,𝐷,𝑧   π‘₯,𝑦   πœ‘,π‘₯   π‘₯,𝐽,𝑦   π‘₯,𝑧,𝑀,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦,𝑧   π‘₯,π‘Œ,𝑦,𝑧   π‘₯,𝑍,𝑦,𝑧   π‘₯,𝐾,𝑦   π‘₯,𝐿,𝑦   𝑦,𝐡   π‘₯,𝐢
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑦,𝑧)   𝐴(π‘₯)   𝐡(π‘₯)   𝐢(𝑦,𝑧)   𝐷(π‘₯)   𝐽(𝑧)   𝐾(𝑧)   𝐿(𝑧)

Proof of Theorem cnmpt12
StepHypRef Expression
1 cnmptid.j . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
2 cnmpt12.k . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
3 cnmpt11.a . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
4 cnf2 22623 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):π‘‹βŸΆπ‘Œ)
51, 2, 3, 4syl3anc 1372 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):π‘‹βŸΆπ‘Œ)
65fvmptelcdm 7065 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ π‘Œ)
7 cnmpt12.l . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (TopOnβ€˜π‘))
8 cnmpt1t.b . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐿))
9 cnf2 22623 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (TopOnβ€˜π‘) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐿)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡):π‘‹βŸΆπ‘)
101, 7, 8, 9syl3anc 1372 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡):π‘‹βŸΆπ‘)
1110fvmptelcdm 7065 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐡 ∈ 𝑍)
126, 11jca 513 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 ∈ π‘Œ ∧ 𝐡 ∈ 𝑍))
13 txtopon 22965 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐿 ∈ (TopOnβ€˜π‘)) β†’ (𝐾 Γ—t 𝐿) ∈ (TopOnβ€˜(π‘Œ Γ— 𝑍)))
142, 7, 13syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐾 Γ—t 𝐿) ∈ (TopOnβ€˜(π‘Œ Γ— 𝑍)))
15 cnmpt12.c . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ π‘Œ, 𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐢) ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐿) Cn 𝑀))
16 cntop2 22615 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ π‘Œ, 𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐢) ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐿) Cn 𝑀) β†’ 𝑀 ∈ Top)
1715, 16syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ Top)
18 toptopon2 22290 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ Top ↔ 𝑀 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑀))
1917, 18sylib 217 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑀))
20 cnf2 22623 . . . . . . . . 9 (((𝐾 Γ—t 𝐿) ∈ (TopOnβ€˜(π‘Œ Γ— 𝑍)) ∧ 𝑀 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑀) ∧ (𝑦 ∈ π‘Œ, 𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐢) ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐿) Cn 𝑀)) β†’ (𝑦 ∈ π‘Œ, 𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐢):(π‘Œ Γ— 𝑍)⟢βˆͺ 𝑀)
2114, 19, 15, 20syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ π‘Œ, 𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐢):(π‘Œ Γ— 𝑍)⟢βˆͺ 𝑀)
22 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ π‘Œ, 𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐢) = (𝑦 ∈ π‘Œ, 𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐢)
2322fmpo 8004 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ βˆ€π‘§ ∈ 𝑍 𝐢 ∈ βˆͺ 𝑀 ↔ (𝑦 ∈ π‘Œ, 𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐢):(π‘Œ Γ— 𝑍)⟢βˆͺ 𝑀)
2421, 23sylibr 233 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ βˆ€π‘§ ∈ 𝑍 𝐢 ∈ βˆͺ 𝑀)
25 r2al 3188 . . . . . . 7 (βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ βˆ€π‘§ ∈ 𝑍 𝐢 ∈ βˆͺ 𝑀 ↔ βˆ€π‘¦βˆ€π‘§((𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) β†’ 𝐢 ∈ βˆͺ 𝑀))
2624, 25sylib 217 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦βˆ€π‘§((𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) β†’ 𝐢 ∈ βˆͺ 𝑀))
2726adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ βˆ€π‘¦βˆ€π‘§((𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) β†’ 𝐢 ∈ βˆͺ 𝑀))
28 eleq1 2822 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝐴 β†’ (𝑦 ∈ π‘Œ ↔ 𝐴 ∈ π‘Œ))
29 eleq1 2822 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝐡 β†’ (𝑧 ∈ 𝑍 ↔ 𝐡 ∈ 𝑍))
3028, 29bi2anan9 638 . . . . . . 7 ((𝑦 = 𝐴 ∧ 𝑧 = 𝐡) β†’ ((𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ↔ (𝐴 ∈ π‘Œ ∧ 𝐡 ∈ 𝑍)))
31 cnmpt12.d . . . . . . . 8 ((𝑦 = 𝐴 ∧ 𝑧 = 𝐡) β†’ 𝐢 = 𝐷)
3231eleq1d 2819 . . . . . . 7 ((𝑦 = 𝐴 ∧ 𝑧 = 𝐡) β†’ (𝐢 ∈ βˆͺ 𝑀 ↔ 𝐷 ∈ βˆͺ 𝑀))
3330, 32imbi12d 345 . . . . . 6 ((𝑦 = 𝐴 ∧ 𝑧 = 𝐡) β†’ (((𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) β†’ 𝐢 ∈ βˆͺ 𝑀) ↔ ((𝐴 ∈ π‘Œ ∧ 𝐡 ∈ 𝑍) β†’ 𝐷 ∈ βˆͺ 𝑀)))
3433spc2gv 3561 . . . . 5 ((𝐴 ∈ π‘Œ ∧ 𝐡 ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘¦βˆ€π‘§((𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) β†’ 𝐢 ∈ βˆͺ 𝑀) β†’ ((𝐴 ∈ π‘Œ ∧ 𝐡 ∈ 𝑍) β†’ 𝐷 ∈ βˆͺ 𝑀)))
3512, 27, 12, 34syl3c 66 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐷 ∈ βˆͺ 𝑀)
3631, 22ovmpoga 7513 . . . 4 ((𝐴 ∈ π‘Œ ∧ 𝐡 ∈ 𝑍 ∧ 𝐷 ∈ βˆͺ 𝑀) β†’ (𝐴(𝑦 ∈ π‘Œ, 𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐢)𝐡) = 𝐷)
376, 11, 35, 36syl3anc 1372 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝐴(𝑦 ∈ π‘Œ, 𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐢)𝐡) = 𝐷)
3837mpteq2dva 5209 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝐴(𝑦 ∈ π‘Œ, 𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐢)𝐡)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐷))
391, 3, 8, 15cnmpt12f 23040 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝐴(𝑦 ∈ π‘Œ, 𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐢)𝐡)) ∈ (𝐽 Cn 𝑀))
4038, 39eqeltrrd 2835 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐷) ∈ (𝐽 Cn 𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397  βˆ€wal 1540   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆͺ cuni 4869   ↦ cmpt 5192   Γ— cxp 5635  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   ∈ cmpo 7363  Topctop 22265  TopOnctopon 22282   Cn ccn 22598   Γ—t ctx 22934
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-map 8773  df-topgen 17333  df-top 22266  df-topon 22283  df-bases 22319  df-cn 22601  df-tx 22936
This theorem is referenced by:  cnmptkk  23057  cnmptk1p  23059  pcocn  24403  pcopt  24408  pcopt2  24409  pcoass  24410  resqrtcn  26125  sqrtcn  26126  rmulccn  32573  pl1cn  32600  cxpcncf1  33272  cxpcncf2  44230
  Copyright terms: Public domain W3C validator