MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmpt12 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnmpt12 23392
Description: The composition of continuous functions is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmptid.j (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
cnmpt11.a (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
cnmpt1t.b (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐿))
cnmpt12.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
cnmpt12.l (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (TopOnβ€˜π‘))
cnmpt12.c (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ π‘Œ, 𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐢) ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐿) Cn 𝑀))
cnmpt12.d ((𝑦 = 𝐴 ∧ 𝑧 = 𝐡) β†’ 𝐢 = 𝐷)
Assertion
Ref Expression
cnmpt12 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐷) ∈ (𝐽 Cn 𝑀))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧,𝐴   𝑧,𝐡   𝑦,𝐷,𝑧   π‘₯,𝑦   πœ‘,π‘₯   π‘₯,𝐽,𝑦   π‘₯,𝑧,𝑀,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦,𝑧   π‘₯,π‘Œ,𝑦,𝑧   π‘₯,𝑍,𝑦,𝑧   π‘₯,𝐾,𝑦   π‘₯,𝐿,𝑦   𝑦,𝐡   π‘₯,𝐢
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑦,𝑧)   𝐴(π‘₯)   𝐡(π‘₯)   𝐢(𝑦,𝑧)   𝐷(π‘₯)   𝐽(𝑧)   𝐾(𝑧)   𝐿(𝑧)

Proof of Theorem cnmpt12
StepHypRef Expression
1 cnmptid.j . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
2 cnmpt12.k . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
3 cnmpt11.a . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
4 cnf2 22974 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):π‘‹βŸΆπ‘Œ)
51, 2, 3, 4syl3anc 1370 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):π‘‹βŸΆπ‘Œ)
65fvmptelcdm 7114 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ π‘Œ)
7 cnmpt12.l . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (TopOnβ€˜π‘))
8 cnmpt1t.b . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐿))
9 cnf2 22974 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (TopOnβ€˜π‘) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐿)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡):π‘‹βŸΆπ‘)
101, 7, 8, 9syl3anc 1370 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡):π‘‹βŸΆπ‘)
1110fvmptelcdm 7114 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐡 ∈ 𝑍)
126, 11jca 511 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 ∈ π‘Œ ∧ 𝐡 ∈ 𝑍))
13 txtopon 23316 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐿 ∈ (TopOnβ€˜π‘)) β†’ (𝐾 Γ—t 𝐿) ∈ (TopOnβ€˜(π‘Œ Γ— 𝑍)))
142, 7, 13syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐾 Γ—t 𝐿) ∈ (TopOnβ€˜(π‘Œ Γ— 𝑍)))
15 cnmpt12.c . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ π‘Œ, 𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐢) ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐿) Cn 𝑀))
16 cntop2 22966 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ π‘Œ, 𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐢) ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐿) Cn 𝑀) β†’ 𝑀 ∈ Top)
1715, 16syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ Top)
18 toptopon2 22641 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ Top ↔ 𝑀 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑀))
1917, 18sylib 217 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑀))
20 cnf2 22974 . . . . . . . . 9 (((𝐾 Γ—t 𝐿) ∈ (TopOnβ€˜(π‘Œ Γ— 𝑍)) ∧ 𝑀 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑀) ∧ (𝑦 ∈ π‘Œ, 𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐢) ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐿) Cn 𝑀)) β†’ (𝑦 ∈ π‘Œ, 𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐢):(π‘Œ Γ— 𝑍)⟢βˆͺ 𝑀)
2114, 19, 15, 20syl3anc 1370 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ π‘Œ, 𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐢):(π‘Œ Γ— 𝑍)⟢βˆͺ 𝑀)
22 eqid 2731 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ π‘Œ, 𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐢) = (𝑦 ∈ π‘Œ, 𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐢)
2322fmpo 8057 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ βˆ€π‘§ ∈ 𝑍 𝐢 ∈ βˆͺ 𝑀 ↔ (𝑦 ∈ π‘Œ, 𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐢):(π‘Œ Γ— 𝑍)⟢βˆͺ 𝑀)
2421, 23sylibr 233 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ βˆ€π‘§ ∈ 𝑍 𝐢 ∈ βˆͺ 𝑀)
25 r2al 3193 . . . . . . 7 (βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ βˆ€π‘§ ∈ 𝑍 𝐢 ∈ βˆͺ 𝑀 ↔ βˆ€π‘¦βˆ€π‘§((𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) β†’ 𝐢 ∈ βˆͺ 𝑀))
2624, 25sylib 217 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦βˆ€π‘§((𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) β†’ 𝐢 ∈ βˆͺ 𝑀))
2726adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ βˆ€π‘¦βˆ€π‘§((𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) β†’ 𝐢 ∈ βˆͺ 𝑀))
28 eleq1 2820 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝐴 β†’ (𝑦 ∈ π‘Œ ↔ 𝐴 ∈ π‘Œ))
29 eleq1 2820 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝐡 β†’ (𝑧 ∈ 𝑍 ↔ 𝐡 ∈ 𝑍))
3028, 29bi2anan9 636 . . . . . . 7 ((𝑦 = 𝐴 ∧ 𝑧 = 𝐡) β†’ ((𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ↔ (𝐴 ∈ π‘Œ ∧ 𝐡 ∈ 𝑍)))
31 cnmpt12.d . . . . . . . 8 ((𝑦 = 𝐴 ∧ 𝑧 = 𝐡) β†’ 𝐢 = 𝐷)
3231eleq1d 2817 . . . . . . 7 ((𝑦 = 𝐴 ∧ 𝑧 = 𝐡) β†’ (𝐢 ∈ βˆͺ 𝑀 ↔ 𝐷 ∈ βˆͺ 𝑀))
3330, 32imbi12d 344 . . . . . 6 ((𝑦 = 𝐴 ∧ 𝑧 = 𝐡) β†’ (((𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) β†’ 𝐢 ∈ βˆͺ 𝑀) ↔ ((𝐴 ∈ π‘Œ ∧ 𝐡 ∈ 𝑍) β†’ 𝐷 ∈ βˆͺ 𝑀)))
3433spc2gv 3590 . . . . 5 ((𝐴 ∈ π‘Œ ∧ 𝐡 ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘¦βˆ€π‘§((𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) β†’ 𝐢 ∈ βˆͺ 𝑀) β†’ ((𝐴 ∈ π‘Œ ∧ 𝐡 ∈ 𝑍) β†’ 𝐷 ∈ βˆͺ 𝑀)))
3512, 27, 12, 34syl3c 66 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐷 ∈ βˆͺ 𝑀)
3631, 22ovmpoga 7565 . . . 4 ((𝐴 ∈ π‘Œ ∧ 𝐡 ∈ 𝑍 ∧ 𝐷 ∈ βˆͺ 𝑀) β†’ (𝐴(𝑦 ∈ π‘Œ, 𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐢)𝐡) = 𝐷)
376, 11, 35, 36syl3anc 1370 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝐴(𝑦 ∈ π‘Œ, 𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐢)𝐡) = 𝐷)
3837mpteq2dva 5248 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝐴(𝑦 ∈ π‘Œ, 𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐢)𝐡)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐷))
391, 3, 8, 15cnmpt12f 23391 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝐴(𝑦 ∈ π‘Œ, 𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐢)𝐡)) ∈ (𝐽 Cn 𝑀))
4038, 39eqeltrrd 2833 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐷) ∈ (𝐽 Cn 𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395  βˆ€wal 1538   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  βˆ€wral 3060  βˆͺ cuni 4908   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5674  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414  Topctop 22616  TopOnctopon 22633   Cn ccn 22949   Γ—t ctx 23285
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fv 6551  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-map 8825  df-topgen 17394  df-top 22617  df-topon 22634  df-bases 22670  df-cn 22952  df-tx 23287
This theorem is referenced by:  cnmptkk  23408  cnmptk1p  23410  divccn  24612  iihalf1cn  24674  iihalf2cn  24677  icchmeo  24686  pcocn  24765  pcopt  24770  pcopt2  24771  pcoass  24772  mulcncf  25195  plycn  26011  resqrtcn  26494  sqrtcn  26495  rmulccn  33207  pl1cn  33234  cxpcncf1  33906  gg-psercn2  35465  gg-rmulccn  35466  cxpcncf2  44914
  Copyright terms: Public domain W3C validator