MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sylow3lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sylow3lem3 19499
Description: Lemma for sylow3 19503, first part. The number of Sylow subgroups is the same as the index (number of cosets) of the normalizer of the Sylow subgroup ๐พ. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow3.x ๐‘‹ = (Baseโ€˜๐บ)
sylow3.g (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
sylow3.xf (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ Fin)
sylow3.p (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
sylow3lem1.a + = (+gโ€˜๐บ)
sylow3lem1.d โˆ’ = (-gโ€˜๐บ)
sylow3lem1.m โŠ• = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹, ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ƒ pSyl ๐บ) โ†ฆ ran (๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ โ†ฆ ((๐‘ฅ + ๐‘ง) โˆ’ ๐‘ฅ)))
sylow3lem2.k (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ (๐‘ƒ pSyl ๐บ))
sylow3lem2.h ๐ป = {๐‘ข โˆˆ ๐‘‹ โˆฃ (๐‘ข โŠ• ๐พ) = ๐พ}
sylow3lem2.n ๐‘ = {๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โˆฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹ ((๐‘ฅ + ๐‘ฆ) โˆˆ ๐พ โ†” (๐‘ฆ + ๐‘ฅ) โˆˆ ๐พ)}
Assertion
Ref Expression
sylow3lem3 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ƒ pSyl ๐บ)) = (โ™ฏโ€˜(๐‘‹ / (๐บ ~QG ๐‘))))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ข,๐‘ฆ,๐‘ง, โˆ’   ๐‘ข, โŠ• ,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘ฅ,๐ป,๐‘ฆ   ๐‘ข,๐พ,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘ข,๐‘,๐‘ง   ๐‘ข,๐‘‹,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘ข,๐บ,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐œ‘,๐‘ข,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘ข, + ,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘ข,๐‘ƒ,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง
Allowed substitution hints:   ๐ป(๐‘ง,๐‘ข)   ๐‘(๐‘ฅ,๐‘ฆ)

Proof of Theorem sylow3lem3
Dummy variables ๐‘” โ„Ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sylow3.xf . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ Fin)
2 pwfi 9180 . . . . . 6 (๐‘‹ โˆˆ Fin โ†” ๐’ซ ๐‘‹ โˆˆ Fin)
31, 2sylib 217 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐’ซ ๐‘‹ โˆˆ Fin)
4 slwsubg 19480 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘ƒ pSyl ๐บ) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
5 sylow3.x . . . . . . . . 9 ๐‘‹ = (Baseโ€˜๐บ)
65subgss 19009 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ ๐‘ฅ โŠ† ๐‘‹)
74, 6syl 17 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘ƒ pSyl ๐บ) โ†’ ๐‘ฅ โŠ† ๐‘‹)
84, 7elpwd 4608 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘ƒ pSyl ๐บ) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐’ซ ๐‘‹)
98ssriv 3986 . . . . 5 (๐‘ƒ pSyl ๐บ) โŠ† ๐’ซ ๐‘‹
10 ssfi 9175 . . . . 5 ((๐’ซ ๐‘‹ โˆˆ Fin โˆง (๐‘ƒ pSyl ๐บ) โŠ† ๐’ซ ๐‘‹) โ†’ (๐‘ƒ pSyl ๐บ) โˆˆ Fin)
113, 9, 10sylancl 586 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ pSyl ๐บ) โˆˆ Fin)
12 hashcl 14318 . . . 4 ((๐‘ƒ pSyl ๐บ) โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ƒ pSyl ๐บ)) โˆˆ โ„•0)
1311, 12syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ƒ pSyl ๐บ)) โˆˆ โ„•0)
1413nn0cnd 12536 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ƒ pSyl ๐บ)) โˆˆ โ„‚)
15 sylow3.g . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
16 sylow3lem2.n . . . . . . . 8 ๐‘ = {๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โˆฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹ ((๐‘ฅ + ๐‘ฆ) โˆˆ ๐พ โ†” (๐‘ฆ + ๐‘ฅ) โˆˆ ๐พ)}
17 sylow3lem1.a . . . . . . . 8 + = (+gโ€˜๐บ)
1816, 5, 17nmzsubg 19047 . . . . . . 7 (๐บ โˆˆ Grp โ†’ ๐‘ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
19 eqid 2732 . . . . . . . 8 (๐บ ~QG ๐‘) = (๐บ ~QG ๐‘)
205, 19eqger 19060 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ (๐บ ~QG ๐‘) Er ๐‘‹)
2115, 18, 203syl 18 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐บ ~QG ๐‘) Er ๐‘‹)
2221qsss 8774 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ / (๐บ ~QG ๐‘)) โŠ† ๐’ซ ๐‘‹)
233, 22ssfid 9269 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ / (๐บ ~QG ๐‘)) โˆˆ Fin)
24 hashcl 14318 . . . 4 ((๐‘‹ / (๐บ ~QG ๐‘)) โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘‹ / (๐บ ~QG ๐‘))) โˆˆ โ„•0)
2523, 24syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘‹ / (๐บ ~QG ๐‘))) โˆˆ โ„•0)
2625nn0cnd 12536 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘‹ / (๐บ ~QG ๐‘))) โˆˆ โ„‚)
2715, 18syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
28 eqid 2732 . . . . . 6 (0gโ€˜๐บ) = (0gโ€˜๐บ)
2928subg0cl 19016 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ (0gโ€˜๐บ) โˆˆ ๐‘)
30 ne0i 4334 . . . . 5 ((0gโ€˜๐บ) โˆˆ ๐‘ โ†’ ๐‘ โ‰  โˆ…)
3127, 29, 303syl 18 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โ‰  โˆ…)
325subgss 19009 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ ๐‘ โŠ† ๐‘‹)
3315, 18, 323syl 18 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โŠ† ๐‘‹)
341, 33ssfid 9269 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
35 hashnncl 14328 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ Fin โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘) โˆˆ โ„• โ†” ๐‘ โ‰  โˆ…))
3634, 35syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘) โˆˆ โ„• โ†” ๐‘ โ‰  โˆ…))
3731, 36mpbird 256 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘) โˆˆ โ„•)
3837nncnd 12230 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚)
3937nnne0d 12264 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘) โ‰  0)
40 sylow3.p . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
41 sylow3lem1.d . . . . 5 โˆ’ = (-gโ€˜๐บ)
42 sylow3lem1.m . . . . 5 โŠ• = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹, ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ƒ pSyl ๐บ) โ†ฆ ran (๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ โ†ฆ ((๐‘ฅ + ๐‘ง) โˆ’ ๐‘ฅ)))
435, 15, 1, 40, 17, 41, 42sylow3lem1 19497 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โŠ• โˆˆ (๐บ GrpAct (๐‘ƒ pSyl ๐บ)))
44 sylow3lem2.k . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ (๐‘ƒ pSyl ๐บ))
45 sylow3lem2.h . . . . 5 ๐ป = {๐‘ข โˆˆ ๐‘‹ โˆฃ (๐‘ข โŠ• ๐พ) = ๐พ}
46 eqid 2732 . . . . 5 (๐บ ~QG ๐ป) = (๐บ ~QG ๐ป)
47 eqid 2732 . . . . 5 {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ({๐‘ฅ, ๐‘ฆ} โŠ† (๐‘ƒ pSyl ๐บ) โˆง โˆƒ๐‘” โˆˆ ๐‘‹ (๐‘” โŠ• ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)} = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ({๐‘ฅ, ๐‘ฆ} โŠ† (๐‘ƒ pSyl ๐บ) โˆง โˆƒ๐‘” โˆˆ ๐‘‹ (๐‘” โŠ• ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)}
485, 45, 46, 47orbsta2 19180 . . . 4 ((( โŠ• โˆˆ (๐บ GrpAct (๐‘ƒ pSyl ๐บ)) โˆง ๐พ โˆˆ (๐‘ƒ pSyl ๐บ)) โˆง ๐‘‹ โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘‹) = ((โ™ฏโ€˜[๐พ]{โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ({๐‘ฅ, ๐‘ฆ} โŠ† (๐‘ƒ pSyl ๐บ) โˆง โˆƒ๐‘” โˆˆ ๐‘‹ (๐‘” โŠ• ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)}) ยท (โ™ฏโ€˜๐ป)))
4943, 44, 1, 48syl21anc 836 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘‹) = ((โ™ฏโ€˜[๐พ]{โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ({๐‘ฅ, ๐‘ฆ} โŠ† (๐‘ƒ pSyl ๐บ) โˆง โˆƒ๐‘” โˆˆ ๐‘‹ (๐‘” โŠ• ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)}) ยท (โ™ฏโ€˜๐ป)))
505, 19, 27, 1lagsubg2 19073 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘‹) = ((โ™ฏโ€˜(๐‘‹ / (๐บ ~QG ๐‘))) ยท (โ™ฏโ€˜๐‘)))
5147, 5gaorber 19174 . . . . . . . 8 ( โŠ• โˆˆ (๐บ GrpAct (๐‘ƒ pSyl ๐บ)) โ†’ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ({๐‘ฅ, ๐‘ฆ} โŠ† (๐‘ƒ pSyl ๐บ) โˆง โˆƒ๐‘” โˆˆ ๐‘‹ (๐‘” โŠ• ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)} Er (๐‘ƒ pSyl ๐บ))
5243, 51syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ({๐‘ฅ, ๐‘ฆ} โŠ† (๐‘ƒ pSyl ๐บ) โˆง โˆƒ๐‘” โˆˆ ๐‘‹ (๐‘” โŠ• ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)} Er (๐‘ƒ pSyl ๐บ))
5352ecss 8751 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ [๐พ]{โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ({๐‘ฅ, ๐‘ฆ} โŠ† (๐‘ƒ pSyl ๐บ) โˆง โˆƒ๐‘” โˆˆ ๐‘‹ (๐‘” โŠ• ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)} โŠ† (๐‘ƒ pSyl ๐บ))
5444adantr 481 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ (๐‘ƒ pSyl ๐บ)) โ†’ ๐พ โˆˆ (๐‘ƒ pSyl ๐บ))
55 simpr 485 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ (๐‘ƒ pSyl ๐บ)) โ†’ โ„Ž โˆˆ (๐‘ƒ pSyl ๐บ))
561adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ (๐‘ƒ pSyl ๐บ)) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ Fin)
575, 56, 55, 54, 17, 41sylow2 19496 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ (๐‘ƒ pSyl ๐บ)) โ†’ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘‹ โ„Ž = ran (๐‘ง โˆˆ ๐พ โ†ฆ ((๐‘ข + ๐‘ง) โˆ’ ๐‘ข)))
58 eqcom 2739 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ข โŠ• ๐พ) = โ„Ž โ†” โ„Ž = (๐‘ข โŠ• ๐พ))
59 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ (๐‘ƒ pSyl ๐บ)) โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ๐‘ข โˆˆ ๐‘‹)
6054adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ (๐‘ƒ pSyl ๐บ)) โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ๐พ โˆˆ (๐‘ƒ pSyl ๐บ))
61 mptexg 7225 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐พ โˆˆ (๐‘ƒ pSyl ๐บ) โ†’ (๐‘ง โˆˆ ๐พ โ†ฆ ((๐‘ข + ๐‘ง) โˆ’ ๐‘ข)) โˆˆ V)
62 rnexg 7897 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ง โˆˆ ๐พ โ†ฆ ((๐‘ข + ๐‘ง) โˆ’ ๐‘ข)) โˆˆ V โ†’ ran (๐‘ง โˆˆ ๐พ โ†ฆ ((๐‘ข + ๐‘ง) โˆ’ ๐‘ข)) โˆˆ V)
6360, 61, 623syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ (๐‘ƒ pSyl ๐บ)) โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ran (๐‘ง โˆˆ ๐พ โ†ฆ ((๐‘ข + ๐‘ง) โˆ’ ๐‘ข)) โˆˆ V)
64 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ฅ = ๐‘ข โˆง ๐‘ฆ = ๐พ) โ†’ ๐‘ฆ = ๐พ)
65 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ฅ = ๐‘ข โˆง ๐‘ฆ = ๐พ) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ข)
6665oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ฅ = ๐‘ข โˆง ๐‘ฆ = ๐พ) โ†’ (๐‘ฅ + ๐‘ง) = (๐‘ข + ๐‘ง))
6766, 65oveq12d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ฅ = ๐‘ข โˆง ๐‘ฆ = ๐พ) โ†’ ((๐‘ฅ + ๐‘ง) โˆ’ ๐‘ฅ) = ((๐‘ข + ๐‘ง) โˆ’ ๐‘ข))
6864, 67mpteq12dv 5239 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ฅ = ๐‘ข โˆง ๐‘ฆ = ๐พ) โ†’ (๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ โ†ฆ ((๐‘ฅ + ๐‘ง) โˆ’ ๐‘ฅ)) = (๐‘ง โˆˆ ๐พ โ†ฆ ((๐‘ข + ๐‘ง) โˆ’ ๐‘ข)))
6968rneqd 5937 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฅ = ๐‘ข โˆง ๐‘ฆ = ๐พ) โ†’ ran (๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ โ†ฆ ((๐‘ฅ + ๐‘ง) โˆ’ ๐‘ฅ)) = ran (๐‘ง โˆˆ ๐พ โ†ฆ ((๐‘ข + ๐‘ง) โˆ’ ๐‘ข)))
7069, 42ovmpoga 7564 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ข โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐พ โˆˆ (๐‘ƒ pSyl ๐บ) โˆง ran (๐‘ง โˆˆ ๐พ โ†ฆ ((๐‘ข + ๐‘ง) โˆ’ ๐‘ข)) โˆˆ V) โ†’ (๐‘ข โŠ• ๐พ) = ran (๐‘ง โˆˆ ๐พ โ†ฆ ((๐‘ข + ๐‘ง) โˆ’ ๐‘ข)))
7159, 60, 63, 70syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ (๐‘ƒ pSyl ๐บ)) โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (๐‘ข โŠ• ๐พ) = ran (๐‘ง โˆˆ ๐พ โ†ฆ ((๐‘ข + ๐‘ง) โˆ’ ๐‘ข)))
7271eqeq2d 2743 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ (๐‘ƒ pSyl ๐บ)) โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (โ„Ž = (๐‘ข โŠ• ๐พ) โ†” โ„Ž = ran (๐‘ง โˆˆ ๐พ โ†ฆ ((๐‘ข + ๐‘ง) โˆ’ ๐‘ข))))
7358, 72bitrid 282 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ (๐‘ƒ pSyl ๐บ)) โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ((๐‘ข โŠ• ๐พ) = โ„Ž โ†” โ„Ž = ran (๐‘ง โˆˆ ๐พ โ†ฆ ((๐‘ข + ๐‘ง) โˆ’ ๐‘ข))))
7473rexbidva 3176 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ (๐‘ƒ pSyl ๐บ)) โ†’ (โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘‹ (๐‘ข โŠ• ๐พ) = โ„Ž โ†” โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘‹ โ„Ž = ran (๐‘ง โˆˆ ๐พ โ†ฆ ((๐‘ข + ๐‘ง) โˆ’ ๐‘ข))))
7557, 74mpbird 256 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ (๐‘ƒ pSyl ๐บ)) โ†’ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘‹ (๐‘ข โŠ• ๐พ) = โ„Ž)
7647gaorb 19173 . . . . . . . 8 (๐พ{โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ({๐‘ฅ, ๐‘ฆ} โŠ† (๐‘ƒ pSyl ๐บ) โˆง โˆƒ๐‘” โˆˆ ๐‘‹ (๐‘” โŠ• ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)}โ„Ž โ†” (๐พ โˆˆ (๐‘ƒ pSyl ๐บ) โˆง โ„Ž โˆˆ (๐‘ƒ pSyl ๐บ) โˆง โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘‹ (๐‘ข โŠ• ๐พ) = โ„Ž))
7754, 55, 75, 76syl3anbrc 1343 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ (๐‘ƒ pSyl ๐บ)) โ†’ ๐พ{โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ({๐‘ฅ, ๐‘ฆ} โŠ† (๐‘ƒ pSyl ๐บ) โˆง โˆƒ๐‘” โˆˆ ๐‘‹ (๐‘” โŠ• ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)}โ„Ž)
78 elecg 8748 . . . . . . . 8 ((โ„Ž โˆˆ (๐‘ƒ pSyl ๐บ) โˆง ๐พ โˆˆ (๐‘ƒ pSyl ๐บ)) โ†’ (โ„Ž โˆˆ [๐พ]{โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ({๐‘ฅ, ๐‘ฆ} โŠ† (๐‘ƒ pSyl ๐บ) โˆง โˆƒ๐‘” โˆˆ ๐‘‹ (๐‘” โŠ• ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)} โ†” ๐พ{โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ({๐‘ฅ, ๐‘ฆ} โŠ† (๐‘ƒ pSyl ๐บ) โˆง โˆƒ๐‘” โˆˆ ๐‘‹ (๐‘” โŠ• ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)}โ„Ž))
7955, 54, 78syl2anc 584 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ (๐‘ƒ pSyl ๐บ)) โ†’ (โ„Ž โˆˆ [๐พ]{โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ({๐‘ฅ, ๐‘ฆ} โŠ† (๐‘ƒ pSyl ๐บ) โˆง โˆƒ๐‘” โˆˆ ๐‘‹ (๐‘” โŠ• ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)} โ†” ๐พ{โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ({๐‘ฅ, ๐‘ฆ} โŠ† (๐‘ƒ pSyl ๐บ) โˆง โˆƒ๐‘” โˆˆ ๐‘‹ (๐‘” โŠ• ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)}โ„Ž))
8077, 79mpbird 256 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ (๐‘ƒ pSyl ๐บ)) โ†’ โ„Ž โˆˆ [๐พ]{โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ({๐‘ฅ, ๐‘ฆ} โŠ† (๐‘ƒ pSyl ๐บ) โˆง โˆƒ๐‘” โˆˆ ๐‘‹ (๐‘” โŠ• ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)})
8153, 80eqelssd 4003 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ [๐พ]{โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ({๐‘ฅ, ๐‘ฆ} โŠ† (๐‘ƒ pSyl ๐บ) โˆง โˆƒ๐‘” โˆˆ ๐‘‹ (๐‘” โŠ• ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)} = (๐‘ƒ pSyl ๐บ))
8281fveq2d 6895 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜[๐พ]{โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ({๐‘ฅ, ๐‘ฆ} โŠ† (๐‘ƒ pSyl ๐บ) โˆง โˆƒ๐‘” โˆˆ ๐‘‹ (๐‘” โŠ• ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)}) = (โ™ฏโ€˜(๐‘ƒ pSyl ๐บ)))
835, 15, 1, 40, 17, 41, 42, 44, 45, 16sylow3lem2 19498 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ป = ๐‘)
8483fveq2d 6895 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ป) = (โ™ฏโ€˜๐‘))
8582, 84oveq12d 7429 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((โ™ฏโ€˜[๐พ]{โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ({๐‘ฅ, ๐‘ฆ} โŠ† (๐‘ƒ pSyl ๐บ) โˆง โˆƒ๐‘” โˆˆ ๐‘‹ (๐‘” โŠ• ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)}) ยท (โ™ฏโ€˜๐ป)) = ((โ™ฏโ€˜(๐‘ƒ pSyl ๐บ)) ยท (โ™ฏโ€˜๐‘)))
8649, 50, 853eqtr3rd 2781 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((โ™ฏโ€˜(๐‘ƒ pSyl ๐บ)) ยท (โ™ฏโ€˜๐‘)) = ((โ™ฏโ€˜(๐‘‹ / (๐บ ~QG ๐‘))) ยท (โ™ฏโ€˜๐‘)))
8714, 26, 38, 39, 86mulcan2ad 11852 1 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ƒ pSyl ๐บ)) = (โ™ฏโ€˜(๐‘‹ / (๐บ ~QG ๐‘))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940  โˆ€wral 3061  โˆƒwrex 3070  {crab 3432  Vcvv 3474   โŠ† wss 3948  โˆ…c0 4322  ๐’ซ cpw 4602  {cpr 4630   class class class wbr 5148  {copab 5210   โ†ฆ cmpt 5231  ran crn 5677  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   โˆˆ cmpo 7413   Er wer 8702  [cec 8703   / cqs 8704  Fincfn 8941   ยท cmul 11117  โ„•cn 12214  โ„•0cn0 12474  โ™ฏchash 14292  โ„™cprime 16610  Basecbs 17146  +gcplusg 17199  0gc0g 17387  Grpcgrp 18821  -gcsg 18823  SubGrpcsubg 19002   ~QG cqg 19004   GrpAct cga 19155   pSyl cslw 19397
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-omul 8473  df-er 8705  df-ec 8707  df-qs 8711  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12475  df-xnn0 12547  df-z 12561  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-fl 13759  df-mod 13837  df-seq 13969  df-exp 14030  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-clim 15434  df-sum 15635  df-dvds 16200  df-gcd 16438  df-prm 16611  df-pc 16772  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-0g 17389  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-submnd 18674  df-grp 18824  df-minusg 18825  df-sbg 18826  df-mulg 18953  df-subg 19005  df-eqg 19007  df-ghm 19092  df-ga 19156  df-od 19398  df-pgp 19400  df-slw 19401
This theorem is referenced by:  sylow3lem4  19500
  Copyright terms: Public domain W3C validator