MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sylow3lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sylow3lem3 18241
Description: Lemma for sylow3 18245, first part. The number of Sylow subgroups is the same as the index (number of cosets) of the normalizer of the Sylow subgroup 𝐾. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow3.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
sylow3.g (𝜑𝐺 ∈ Grp)
sylow3.xf (𝜑𝑋 ∈ Fin)
sylow3.p (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
sylow3lem1.a + = (+g𝐺)
sylow3lem1.d = (-g𝐺)
sylow3lem1.m = (𝑥𝑋, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)))
sylow3lem2.k (𝜑𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
sylow3lem2.h 𝐻 = {𝑢𝑋 ∣ (𝑢 𝐾) = 𝐾}
sylow3lem2.n 𝑁 = {𝑥𝑋 ∣ ∀𝑦𝑋 ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐾 ↔ (𝑦 + 𝑥) ∈ 𝐾)}
Assertion
Ref Expression
sylow3lem3 (𝜑 → (♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) = (♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑢,𝑦,𝑧,   𝑢, ,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐻,𝑦   𝑢,𝐾,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢,𝑁,𝑧   𝑢,𝑋,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢,𝐺,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢, + ,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢,𝑃,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐻(𝑧,𝑢)   𝑁(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem sylow3lem3
Dummy variables 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sylow3.xf . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
2 pwfi 8496 . . . . . 6 (𝑋 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑋 ∈ Fin)
31, 2sylib 209 . . . . 5 (𝜑 → 𝒫 𝑋 ∈ Fin)
4 slwsubg 18222 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺))
5 sylow3.x . . . . . . . . 9 𝑋 = (Base‘𝐺)
65subgss 17793 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑥𝑋)
74, 6syl 17 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → 𝑥𝑋)
8 selpw 4358 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋𝑥𝑋)
97, 8sylibr 225 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋)
109ssriv 3802 . . . . 5 (𝑃 pSyl 𝐺) ⊆ 𝒫 𝑋
11 ssfi 8415 . . . . 5 ((𝒫 𝑋 ∈ Fin ∧ (𝑃 pSyl 𝐺) ⊆ 𝒫 𝑋) → (𝑃 pSyl 𝐺) ∈ Fin)
123, 10, 11sylancl 576 . . . 4 (𝜑 → (𝑃 pSyl 𝐺) ∈ Fin)
13 hashcl 13361 . . . 4 ((𝑃 pSyl 𝐺) ∈ Fin → (♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) ∈ ℕ0)
1412, 13syl 17 . . 3 (𝜑 → (♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) ∈ ℕ0)
1514nn0cnd 11615 . 2 (𝜑 → (♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) ∈ ℂ)
16 sylow3.g . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
17 sylow3lem2.n . . . . . . . 8 𝑁 = {𝑥𝑋 ∣ ∀𝑦𝑋 ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐾 ↔ (𝑦 + 𝑥) ∈ 𝐾)}
18 sylow3lem1.a . . . . . . . 8 + = (+g𝐺)
1917, 5, 18nmzsubg 17833 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Grp → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
20 eqid 2806 . . . . . . . 8 (𝐺 ~QG 𝑁) = (𝐺 ~QG 𝑁)
215, 20eqger 17842 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺 ~QG 𝑁) Er 𝑋)
2216, 19, 213syl 18 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 ~QG 𝑁) Er 𝑋)
2322qsss 8039 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁)) ⊆ 𝒫 𝑋)
24 ssfi 8415 . . . . 5 ((𝒫 𝑋 ∈ Fin ∧ (𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁)) ⊆ 𝒫 𝑋) → (𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁)) ∈ Fin)
253, 23, 24syl2anc 575 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁)) ∈ Fin)
26 hashcl 13361 . . . 4 ((𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁)) ∈ Fin → (♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) ∈ ℕ0)
2725, 26syl 17 . . 3 (𝜑 → (♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) ∈ ℕ0)
2827nn0cnd 11615 . 2 (𝜑 → (♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) ∈ ℂ)
2916, 19syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
30 eqid 2806 . . . . . 6 (0g𝐺) = (0g𝐺)
3130subg0cl 17800 . . . . 5 (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g𝐺) ∈ 𝑁)
32 ne0i 4122 . . . . 5 ((0g𝐺) ∈ 𝑁𝑁 ≠ ∅)
3329, 31, 323syl 18 . . . 4 (𝜑𝑁 ≠ ∅)
345subgss 17793 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑁𝑋)
3516, 19, 343syl 18 . . . . . 6 (𝜑𝑁𝑋)
36 ssfi 8415 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑁𝑋) → 𝑁 ∈ Fin)
371, 35, 36syl2anc 575 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
38 hashnncl 13371 . . . . 5 (𝑁 ∈ Fin → ((♯‘𝑁) ∈ ℕ ↔ 𝑁 ≠ ∅))
3937, 38syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((♯‘𝑁) ∈ ℕ ↔ 𝑁 ≠ ∅))
4033, 39mpbird 248 . . 3 (𝜑 → (♯‘𝑁) ∈ ℕ)
4140nncnd 11317 . 2 (𝜑 → (♯‘𝑁) ∈ ℂ)
4240nnne0d 11347 . 2 (𝜑 → (♯‘𝑁) ≠ 0)
43 sylow3.p . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
44 sylow3lem1.d . . . . 5 = (-g𝐺)
45 sylow3lem1.m . . . . 5 = (𝑥𝑋, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)))
465, 16, 1, 43, 18, 44, 45sylow3lem1 18239 . . . 4 (𝜑 ∈ (𝐺 GrpAct (𝑃 pSyl 𝐺)))
47 sylow3lem2.k . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
48 sylow3lem2.h . . . . 5 𝐻 = {𝑢𝑋 ∣ (𝑢 𝐾) = 𝐾}
49 eqid 2806 . . . . 5 (𝐺 ~QG 𝐻) = (𝐺 ~QG 𝐻)
50 eqid 2806 . . . . 5 {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)}
515, 48, 49, 50orbsta2 17944 . . . 4 ((( ∈ (𝐺 GrpAct (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (♯‘𝑋) = ((♯‘[𝐾]{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)}) · (♯‘𝐻)))
5246, 47, 1, 51syl21anc 857 . . 3 (𝜑 → (♯‘𝑋) = ((♯‘[𝐾]{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)}) · (♯‘𝐻)))
535, 20, 29, 1lagsubg2 17853 . . 3 (𝜑 → (♯‘𝑋) = ((♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) · (♯‘𝑁)))
5450, 5gaorber 17938 . . . . . . . 8 ( ∈ (𝐺 GrpAct (𝑃 pSyl 𝐺)) → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)} Er (𝑃 pSyl 𝐺))
5546, 54syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)} Er (𝑃 pSyl 𝐺))
5655ecss 8019 . . . . . 6 (𝜑 → [𝐾]{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)} ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺))
5747adantr 468 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → 𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
58 simpr 473 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
591adantr 468 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → 𝑋 ∈ Fin)
605, 59, 58, 57, 18, 44sylow2 18238 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → ∃𝑢𝑋 = ran (𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢)))
61 eqcom 2813 . . . . . . . . . . 11 ((𝑢 𝐾) = = (𝑢 𝐾))
62 simpr 473 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑢𝑋) → 𝑢𝑋)
6357adantr 468 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑢𝑋) → 𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
64 mptexg 6705 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → (𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢)) ∈ V)
65 rnexg 7324 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢)) ∈ V → ran (𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢)) ∈ V)
6663, 64, 653syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑢𝑋) → ran (𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢)) ∈ V)
67 simpr 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 = 𝑢𝑦 = 𝐾) → 𝑦 = 𝐾)
68 simpl 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 = 𝑢𝑦 = 𝐾) → 𝑥 = 𝑢)
6968oveq1d 6885 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 = 𝑢𝑦 = 𝐾) → (𝑥 + 𝑧) = (𝑢 + 𝑧))
7069, 68oveq12d 6888 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 = 𝑢𝑦 = 𝐾) → ((𝑥 + 𝑧) 𝑥) = ((𝑢 + 𝑧) 𝑢))
7167, 70mpteq12dv 4927 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 = 𝑢𝑦 = 𝐾) → (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)) = (𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢)))
7271rneqd 5554 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 = 𝑢𝑦 = 𝐾) → ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)) = ran (𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢)))
7372, 45ovmpt2ga 7016 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑢𝑋𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ran (𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢)) ∈ V) → (𝑢 𝐾) = ran (𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢)))
7462, 63, 66, 73syl3anc 1483 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑢𝑋) → (𝑢 𝐾) = ran (𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢)))
7574eqeq2d 2816 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑢𝑋) → ( = (𝑢 𝐾) ↔ = ran (𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢))))
7661, 75syl5bb 274 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑢𝑋) → ((𝑢 𝐾) = = ran (𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢))))
7776rexbidva 3237 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → (∃𝑢𝑋 (𝑢 𝐾) = ↔ ∃𝑢𝑋 = ran (𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢))))
7860, 77mpbird 248 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → ∃𝑢𝑋 (𝑢 𝐾) = )
7950gaorb 17937 . . . . . . . 8 (𝐾{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)} ↔ (𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∃𝑢𝑋 (𝑢 𝐾) = ))
8057, 58, 78, 79syl3anbrc 1436 . . . . . . 7 ((𝜑 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → 𝐾{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)})
81 elecg 8016 . . . . . . . 8 (( ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ 𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → ( ∈ [𝐾]{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)} ↔ 𝐾{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)}))
8258, 57, 81syl2anc 575 . . . . . . 7 ((𝜑 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → ( ∈ [𝐾]{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)} ↔ 𝐾{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)}))
8380, 82mpbird 248 . . . . . 6 ((𝜑 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → ∈ [𝐾]{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)})
8456, 83eqelssd 3819 . . . . 5 (𝜑 → [𝐾]{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)} = (𝑃 pSyl 𝐺))
8584fveq2d 6408 . . . 4 (𝜑 → (♯‘[𝐾]{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)}) = (♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)))
865, 16, 1, 43, 18, 44, 45, 47, 48, 17sylow3lem2 18240 . . . . 5 (𝜑𝐻 = 𝑁)
8786fveq2d 6408 . . . 4 (𝜑 → (♯‘𝐻) = (♯‘𝑁))
8885, 87oveq12d 6888 . . 3 (𝜑 → ((♯‘[𝐾]{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)}) · (♯‘𝐻)) = ((♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) · (♯‘𝑁)))
8952, 53, 883eqtr3rd 2849 . 2 (𝜑 → ((♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) · (♯‘𝑁)) = ((♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) · (♯‘𝑁)))
9015, 28, 41, 42, 89mulcan2ad 10944 1 (𝜑 → (♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) = (♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1637  wcel 2156  wne 2978  wral 3096  wrex 3097  {crab 3100  Vcvv 3391  wss 3769  c0 4116  𝒫 cpw 4351  {cpr 4372   class class class wbr 4844  {copab 4906  cmpt 4923  ran crn 5312  cfv 6097  (class class class)co 6870  cmpt2 6872   Er wer 7972  [cec 7973   / cqs 7974  Fincfn 8188   · cmul 10222  cn 11301  0cn0 11555  chash 13333  cprime 15599  Basecbs 16064  +gcplusg 16149  0gc0g 16301  Grpcgrp 17623  -gcsg 17625  SubGrpcsubg 17786   ~QG cqg 17788   GrpAct cga 17919   pSyl cslw 18144
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7175  ax-inf2 8781  ax-cnex 10273  ax-resscn 10274  ax-1cn 10275  ax-icn 10276  ax-addcl 10277  ax-addrcl 10278  ax-mulcl 10279  ax-mulrcl 10280  ax-mulcom 10281  ax-addass 10282  ax-mulass 10283  ax-distr 10284  ax-i2m1 10285  ax-1ne0 10286  ax-1rid 10287  ax-rnegex 10288  ax-rrecex 10289  ax-cnre 10290  ax-pre-lttri 10291  ax-pre-lttrn 10292  ax-pre-ltadd 10293  ax-pre-mulgt0 10294  ax-pre-sup 10295
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-nel 3082  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rmo 3104  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-int 4670  df-iun 4714  df-disj 4813  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-se 5271  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6060  df-fun 6099  df-fn 6100  df-f 6101  df-f1 6102  df-fo 6103  df-f1o 6104  df-fv 6105  df-isom 6106  df-riota 6831  df-ov 6873  df-oprab 6874  df-mpt2 6875  df-om 7292  df-1st 7394  df-2nd 7395  df-wrecs 7638  df-recs 7700  df-rdg 7738  df-1o 7792  df-2o 7793  df-oadd 7796  df-omul 7797  df-er 7975  df-ec 7977  df-qs 7981  df-map 8090  df-en 8189  df-dom 8190  df-sdom 8191  df-fin 8192  df-sup 8583  df-inf 8584  df-oi 8650  df-card 9044  df-acn 9047  df-cda 9271  df-pnf 10357  df-mnf 10358  df-xr 10359  df-ltxr 10360  df-le 10361  df-sub 10549  df-neg 10550  df-div 10966  df-nn 11302  df-2 11360  df-3 11361  df-n0 11556  df-xnn0 11626  df-z 11640  df-uz 11901  df-q 12004  df-rp 12043  df-fz 12546  df-fzo 12686  df-fl 12813  df-mod 12889  df-seq 13021  df-exp 13080  df-fac 13277  df-bc 13306  df-hash 13334  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-clim 14438  df-sum 14636  df-dvds 15200  df-gcd 15432  df-prm 15600  df-pc 15755  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-0g 16303  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-sbg 17628  df-mulg 17742  df-subg 17789  df-eqg 17791  df-ghm 17856  df-ga 17920  df-od 18145  df-pgp 18147  df-slw 18148
This theorem is referenced by:  sylow3lem4  18242
  Copyright terms: Public domain W3C validator