MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sylow3lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sylow3lem3 19497
Description: Lemma for sylow3 19501, first part. The number of Sylow subgroups is the same as the index (number of cosets) of the normalizer of the Sylow subgroup ๐พ. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow3.x ๐‘‹ = (Baseโ€˜๐บ)
sylow3.g (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
sylow3.xf (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ Fin)
sylow3.p (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
sylow3lem1.a + = (+gโ€˜๐บ)
sylow3lem1.d โˆ’ = (-gโ€˜๐บ)
sylow3lem1.m โŠ• = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹, ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ƒ pSyl ๐บ) โ†ฆ ran (๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ โ†ฆ ((๐‘ฅ + ๐‘ง) โˆ’ ๐‘ฅ)))
sylow3lem2.k (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ (๐‘ƒ pSyl ๐บ))
sylow3lem2.h ๐ป = {๐‘ข โˆˆ ๐‘‹ โˆฃ (๐‘ข โŠ• ๐พ) = ๐พ}
sylow3lem2.n ๐‘ = {๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โˆฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹ ((๐‘ฅ + ๐‘ฆ) โˆˆ ๐พ โ†” (๐‘ฆ + ๐‘ฅ) โˆˆ ๐พ)}
Assertion
Ref Expression
sylow3lem3 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ƒ pSyl ๐บ)) = (โ™ฏโ€˜(๐‘‹ / (๐บ ~QG ๐‘))))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ข,๐‘ฆ,๐‘ง, โˆ’   ๐‘ข, โŠ• ,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘ฅ,๐ป,๐‘ฆ   ๐‘ข,๐พ,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘ข,๐‘,๐‘ง   ๐‘ข,๐‘‹,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘ข,๐บ,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐œ‘,๐‘ข,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘ข, + ,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘ข,๐‘ƒ,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง
Allowed substitution hints:   ๐ป(๐‘ง,๐‘ข)   ๐‘(๐‘ฅ,๐‘ฆ)

Proof of Theorem sylow3lem3
Dummy variables ๐‘” โ„Ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sylow3.xf . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ Fin)
2 pwfi 9178 . . . . . 6 (๐‘‹ โˆˆ Fin โ†” ๐’ซ ๐‘‹ โˆˆ Fin)
31, 2sylib 217 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐’ซ ๐‘‹ โˆˆ Fin)
4 slwsubg 19478 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘ƒ pSyl ๐บ) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
5 sylow3.x . . . . . . . . 9 ๐‘‹ = (Baseโ€˜๐บ)
65subgss 19007 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ ๐‘ฅ โŠ† ๐‘‹)
74, 6syl 17 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘ƒ pSyl ๐บ) โ†’ ๐‘ฅ โŠ† ๐‘‹)
84, 7elpwd 4609 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘ƒ pSyl ๐บ) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐’ซ ๐‘‹)
98ssriv 3987 . . . . 5 (๐‘ƒ pSyl ๐บ) โŠ† ๐’ซ ๐‘‹
10 ssfi 9173 . . . . 5 ((๐’ซ ๐‘‹ โˆˆ Fin โˆง (๐‘ƒ pSyl ๐บ) โŠ† ๐’ซ ๐‘‹) โ†’ (๐‘ƒ pSyl ๐บ) โˆˆ Fin)
113, 9, 10sylancl 587 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ pSyl ๐บ) โˆˆ Fin)
12 hashcl 14316 . . . 4 ((๐‘ƒ pSyl ๐บ) โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ƒ pSyl ๐บ)) โˆˆ โ„•0)
1311, 12syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ƒ pSyl ๐บ)) โˆˆ โ„•0)
1413nn0cnd 12534 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ƒ pSyl ๐บ)) โˆˆ โ„‚)
15 sylow3.g . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
16 sylow3lem2.n . . . . . . . 8 ๐‘ = {๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โˆฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹ ((๐‘ฅ + ๐‘ฆ) โˆˆ ๐พ โ†” (๐‘ฆ + ๐‘ฅ) โˆˆ ๐พ)}
17 sylow3lem1.a . . . . . . . 8 + = (+gโ€˜๐บ)
1816, 5, 17nmzsubg 19045 . . . . . . 7 (๐บ โˆˆ Grp โ†’ ๐‘ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
19 eqid 2733 . . . . . . . 8 (๐บ ~QG ๐‘) = (๐บ ~QG ๐‘)
205, 19eqger 19058 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ (๐บ ~QG ๐‘) Er ๐‘‹)
2115, 18, 203syl 18 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐บ ~QG ๐‘) Er ๐‘‹)
2221qsss 8772 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ / (๐บ ~QG ๐‘)) โŠ† ๐’ซ ๐‘‹)
233, 22ssfid 9267 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ / (๐บ ~QG ๐‘)) โˆˆ Fin)
24 hashcl 14316 . . . 4 ((๐‘‹ / (๐บ ~QG ๐‘)) โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘‹ / (๐บ ~QG ๐‘))) โˆˆ โ„•0)
2523, 24syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘‹ / (๐บ ~QG ๐‘))) โˆˆ โ„•0)
2625nn0cnd 12534 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘‹ / (๐บ ~QG ๐‘))) โˆˆ โ„‚)
2715, 18syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
28 eqid 2733 . . . . . 6 (0gโ€˜๐บ) = (0gโ€˜๐บ)
2928subg0cl 19014 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ (0gโ€˜๐บ) โˆˆ ๐‘)
30 ne0i 4335 . . . . 5 ((0gโ€˜๐บ) โˆˆ ๐‘ โ†’ ๐‘ โ‰  โˆ…)
3127, 29, 303syl 18 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โ‰  โˆ…)
325subgss 19007 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ ๐‘ โŠ† ๐‘‹)
3315, 18, 323syl 18 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โŠ† ๐‘‹)
341, 33ssfid 9267 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
35 hashnncl 14326 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ Fin โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘) โˆˆ โ„• โ†” ๐‘ โ‰  โˆ…))
3634, 35syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘) โˆˆ โ„• โ†” ๐‘ โ‰  โˆ…))
3731, 36mpbird 257 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘) โˆˆ โ„•)
3837nncnd 12228 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚)
3937nnne0d 12262 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘) โ‰  0)
40 sylow3.p . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
41 sylow3lem1.d . . . . 5 โˆ’ = (-gโ€˜๐บ)
42 sylow3lem1.m . . . . 5 โŠ• = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹, ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ƒ pSyl ๐บ) โ†ฆ ran (๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ โ†ฆ ((๐‘ฅ + ๐‘ง) โˆ’ ๐‘ฅ)))
435, 15, 1, 40, 17, 41, 42sylow3lem1 19495 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โŠ• โˆˆ (๐บ GrpAct (๐‘ƒ pSyl ๐บ)))
44 sylow3lem2.k . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ (๐‘ƒ pSyl ๐บ))
45 sylow3lem2.h . . . . 5 ๐ป = {๐‘ข โˆˆ ๐‘‹ โˆฃ (๐‘ข โŠ• ๐พ) = ๐พ}
46 eqid 2733 . . . . 5 (๐บ ~QG ๐ป) = (๐บ ~QG ๐ป)
47 eqid 2733 . . . . 5 {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ({๐‘ฅ, ๐‘ฆ} โŠ† (๐‘ƒ pSyl ๐บ) โˆง โˆƒ๐‘” โˆˆ ๐‘‹ (๐‘” โŠ• ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)} = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ({๐‘ฅ, ๐‘ฆ} โŠ† (๐‘ƒ pSyl ๐บ) โˆง โˆƒ๐‘” โˆˆ ๐‘‹ (๐‘” โŠ• ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)}
485, 45, 46, 47orbsta2 19178 . . . 4 ((( โŠ• โˆˆ (๐บ GrpAct (๐‘ƒ pSyl ๐บ)) โˆง ๐พ โˆˆ (๐‘ƒ pSyl ๐บ)) โˆง ๐‘‹ โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘‹) = ((โ™ฏโ€˜[๐พ]{โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ({๐‘ฅ, ๐‘ฆ} โŠ† (๐‘ƒ pSyl ๐บ) โˆง โˆƒ๐‘” โˆˆ ๐‘‹ (๐‘” โŠ• ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)}) ยท (โ™ฏโ€˜๐ป)))
4943, 44, 1, 48syl21anc 837 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘‹) = ((โ™ฏโ€˜[๐พ]{โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ({๐‘ฅ, ๐‘ฆ} โŠ† (๐‘ƒ pSyl ๐บ) โˆง โˆƒ๐‘” โˆˆ ๐‘‹ (๐‘” โŠ• ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)}) ยท (โ™ฏโ€˜๐ป)))
505, 19, 27, 1lagsubg2 19071 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘‹) = ((โ™ฏโ€˜(๐‘‹ / (๐บ ~QG ๐‘))) ยท (โ™ฏโ€˜๐‘)))
5147, 5gaorber 19172 . . . . . . . 8 ( โŠ• โˆˆ (๐บ GrpAct (๐‘ƒ pSyl ๐บ)) โ†’ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ({๐‘ฅ, ๐‘ฆ} โŠ† (๐‘ƒ pSyl ๐บ) โˆง โˆƒ๐‘” โˆˆ ๐‘‹ (๐‘” โŠ• ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)} Er (๐‘ƒ pSyl ๐บ))
5243, 51syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ({๐‘ฅ, ๐‘ฆ} โŠ† (๐‘ƒ pSyl ๐บ) โˆง โˆƒ๐‘” โˆˆ ๐‘‹ (๐‘” โŠ• ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)} Er (๐‘ƒ pSyl ๐บ))
5352ecss 8749 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ [๐พ]{โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ({๐‘ฅ, ๐‘ฆ} โŠ† (๐‘ƒ pSyl ๐บ) โˆง โˆƒ๐‘” โˆˆ ๐‘‹ (๐‘” โŠ• ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)} โŠ† (๐‘ƒ pSyl ๐บ))
5444adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ (๐‘ƒ pSyl ๐บ)) โ†’ ๐พ โˆˆ (๐‘ƒ pSyl ๐บ))
55 simpr 486 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ (๐‘ƒ pSyl ๐บ)) โ†’ โ„Ž โˆˆ (๐‘ƒ pSyl ๐บ))
561adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ (๐‘ƒ pSyl ๐บ)) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ Fin)
575, 56, 55, 54, 17, 41sylow2 19494 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ (๐‘ƒ pSyl ๐บ)) โ†’ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘‹ โ„Ž = ran (๐‘ง โˆˆ ๐พ โ†ฆ ((๐‘ข + ๐‘ง) โˆ’ ๐‘ข)))
58 eqcom 2740 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ข โŠ• ๐พ) = โ„Ž โ†” โ„Ž = (๐‘ข โŠ• ๐พ))
59 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ (๐‘ƒ pSyl ๐บ)) โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ๐‘ข โˆˆ ๐‘‹)
6054adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ (๐‘ƒ pSyl ๐บ)) โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ๐พ โˆˆ (๐‘ƒ pSyl ๐บ))
61 mptexg 7223 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐พ โˆˆ (๐‘ƒ pSyl ๐บ) โ†’ (๐‘ง โˆˆ ๐พ โ†ฆ ((๐‘ข + ๐‘ง) โˆ’ ๐‘ข)) โˆˆ V)
62 rnexg 7895 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ง โˆˆ ๐พ โ†ฆ ((๐‘ข + ๐‘ง) โˆ’ ๐‘ข)) โˆˆ V โ†’ ran (๐‘ง โˆˆ ๐พ โ†ฆ ((๐‘ข + ๐‘ง) โˆ’ ๐‘ข)) โˆˆ V)
6360, 61, 623syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ (๐‘ƒ pSyl ๐บ)) โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ran (๐‘ง โˆˆ ๐พ โ†ฆ ((๐‘ข + ๐‘ง) โˆ’ ๐‘ข)) โˆˆ V)
64 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ฅ = ๐‘ข โˆง ๐‘ฆ = ๐พ) โ†’ ๐‘ฆ = ๐พ)
65 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ฅ = ๐‘ข โˆง ๐‘ฆ = ๐พ) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ข)
6665oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ฅ = ๐‘ข โˆง ๐‘ฆ = ๐พ) โ†’ (๐‘ฅ + ๐‘ง) = (๐‘ข + ๐‘ง))
6766, 65oveq12d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ฅ = ๐‘ข โˆง ๐‘ฆ = ๐พ) โ†’ ((๐‘ฅ + ๐‘ง) โˆ’ ๐‘ฅ) = ((๐‘ข + ๐‘ง) โˆ’ ๐‘ข))
6864, 67mpteq12dv 5240 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ฅ = ๐‘ข โˆง ๐‘ฆ = ๐พ) โ†’ (๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ โ†ฆ ((๐‘ฅ + ๐‘ง) โˆ’ ๐‘ฅ)) = (๐‘ง โˆˆ ๐พ โ†ฆ ((๐‘ข + ๐‘ง) โˆ’ ๐‘ข)))
6968rneqd 5938 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฅ = ๐‘ข โˆง ๐‘ฆ = ๐พ) โ†’ ran (๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ โ†ฆ ((๐‘ฅ + ๐‘ง) โˆ’ ๐‘ฅ)) = ran (๐‘ง โˆˆ ๐พ โ†ฆ ((๐‘ข + ๐‘ง) โˆ’ ๐‘ข)))
7069, 42ovmpoga 7562 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ข โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐พ โˆˆ (๐‘ƒ pSyl ๐บ) โˆง ran (๐‘ง โˆˆ ๐พ โ†ฆ ((๐‘ข + ๐‘ง) โˆ’ ๐‘ข)) โˆˆ V) โ†’ (๐‘ข โŠ• ๐พ) = ran (๐‘ง โˆˆ ๐พ โ†ฆ ((๐‘ข + ๐‘ง) โˆ’ ๐‘ข)))
7159, 60, 63, 70syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ (๐‘ƒ pSyl ๐บ)) โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (๐‘ข โŠ• ๐พ) = ran (๐‘ง โˆˆ ๐พ โ†ฆ ((๐‘ข + ๐‘ง) โˆ’ ๐‘ข)))
7271eqeq2d 2744 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ (๐‘ƒ pSyl ๐บ)) โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (โ„Ž = (๐‘ข โŠ• ๐พ) โ†” โ„Ž = ran (๐‘ง โˆˆ ๐พ โ†ฆ ((๐‘ข + ๐‘ง) โˆ’ ๐‘ข))))
7358, 72bitrid 283 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ (๐‘ƒ pSyl ๐บ)) โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ((๐‘ข โŠ• ๐พ) = โ„Ž โ†” โ„Ž = ran (๐‘ง โˆˆ ๐พ โ†ฆ ((๐‘ข + ๐‘ง) โˆ’ ๐‘ข))))
7473rexbidva 3177 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ (๐‘ƒ pSyl ๐บ)) โ†’ (โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘‹ (๐‘ข โŠ• ๐พ) = โ„Ž โ†” โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘‹ โ„Ž = ran (๐‘ง โˆˆ ๐พ โ†ฆ ((๐‘ข + ๐‘ง) โˆ’ ๐‘ข))))
7557, 74mpbird 257 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ (๐‘ƒ pSyl ๐บ)) โ†’ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘‹ (๐‘ข โŠ• ๐พ) = โ„Ž)
7647gaorb 19171 . . . . . . . 8 (๐พ{โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ({๐‘ฅ, ๐‘ฆ} โŠ† (๐‘ƒ pSyl ๐บ) โˆง โˆƒ๐‘” โˆˆ ๐‘‹ (๐‘” โŠ• ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)}โ„Ž โ†” (๐พ โˆˆ (๐‘ƒ pSyl ๐บ) โˆง โ„Ž โˆˆ (๐‘ƒ pSyl ๐บ) โˆง โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘‹ (๐‘ข โŠ• ๐พ) = โ„Ž))
7754, 55, 75, 76syl3anbrc 1344 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ (๐‘ƒ pSyl ๐บ)) โ†’ ๐พ{โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ({๐‘ฅ, ๐‘ฆ} โŠ† (๐‘ƒ pSyl ๐บ) โˆง โˆƒ๐‘” โˆˆ ๐‘‹ (๐‘” โŠ• ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)}โ„Ž)
78 elecg 8746 . . . . . . . 8 ((โ„Ž โˆˆ (๐‘ƒ pSyl ๐บ) โˆง ๐พ โˆˆ (๐‘ƒ pSyl ๐บ)) โ†’ (โ„Ž โˆˆ [๐พ]{โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ({๐‘ฅ, ๐‘ฆ} โŠ† (๐‘ƒ pSyl ๐บ) โˆง โˆƒ๐‘” โˆˆ ๐‘‹ (๐‘” โŠ• ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)} โ†” ๐พ{โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ({๐‘ฅ, ๐‘ฆ} โŠ† (๐‘ƒ pSyl ๐บ) โˆง โˆƒ๐‘” โˆˆ ๐‘‹ (๐‘” โŠ• ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)}โ„Ž))
7955, 54, 78syl2anc 585 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ (๐‘ƒ pSyl ๐บ)) โ†’ (โ„Ž โˆˆ [๐พ]{โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ({๐‘ฅ, ๐‘ฆ} โŠ† (๐‘ƒ pSyl ๐บ) โˆง โˆƒ๐‘” โˆˆ ๐‘‹ (๐‘” โŠ• ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)} โ†” ๐พ{โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ({๐‘ฅ, ๐‘ฆ} โŠ† (๐‘ƒ pSyl ๐บ) โˆง โˆƒ๐‘” โˆˆ ๐‘‹ (๐‘” โŠ• ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)}โ„Ž))
8077, 79mpbird 257 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ (๐‘ƒ pSyl ๐บ)) โ†’ โ„Ž โˆˆ [๐พ]{โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ({๐‘ฅ, ๐‘ฆ} โŠ† (๐‘ƒ pSyl ๐บ) โˆง โˆƒ๐‘” โˆˆ ๐‘‹ (๐‘” โŠ• ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)})
8153, 80eqelssd 4004 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ [๐พ]{โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ({๐‘ฅ, ๐‘ฆ} โŠ† (๐‘ƒ pSyl ๐บ) โˆง โˆƒ๐‘” โˆˆ ๐‘‹ (๐‘” โŠ• ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)} = (๐‘ƒ pSyl ๐บ))
8281fveq2d 6896 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜[๐พ]{โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ({๐‘ฅ, ๐‘ฆ} โŠ† (๐‘ƒ pSyl ๐บ) โˆง โˆƒ๐‘” โˆˆ ๐‘‹ (๐‘” โŠ• ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)}) = (โ™ฏโ€˜(๐‘ƒ pSyl ๐บ)))
835, 15, 1, 40, 17, 41, 42, 44, 45, 16sylow3lem2 19496 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ป = ๐‘)
8483fveq2d 6896 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ป) = (โ™ฏโ€˜๐‘))
8582, 84oveq12d 7427 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((โ™ฏโ€˜[๐พ]{โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ({๐‘ฅ, ๐‘ฆ} โŠ† (๐‘ƒ pSyl ๐บ) โˆง โˆƒ๐‘” โˆˆ ๐‘‹ (๐‘” โŠ• ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)}) ยท (โ™ฏโ€˜๐ป)) = ((โ™ฏโ€˜(๐‘ƒ pSyl ๐บ)) ยท (โ™ฏโ€˜๐‘)))
8649, 50, 853eqtr3rd 2782 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((โ™ฏโ€˜(๐‘ƒ pSyl ๐บ)) ยท (โ™ฏโ€˜๐‘)) = ((โ™ฏโ€˜(๐‘‹ / (๐บ ~QG ๐‘))) ยท (โ™ฏโ€˜๐‘)))
8714, 26, 38, 39, 86mulcan2ad 11850 1 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ƒ pSyl ๐บ)) = (โ™ฏโ€˜(๐‘‹ / (๐บ ~QG ๐‘))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941  โˆ€wral 3062  โˆƒwrex 3071  {crab 3433  Vcvv 3475   โŠ† wss 3949  โˆ…c0 4323  ๐’ซ cpw 4603  {cpr 4631   class class class wbr 5149  {copab 5211   โ†ฆ cmpt 5232  ran crn 5678  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   โˆˆ cmpo 7411   Er wer 8700  [cec 8701   / cqs 8702  Fincfn 8939   ยท cmul 11115  โ„•cn 12212  โ„•0cn0 12472  โ™ฏchash 14290  โ„™cprime 16608  Basecbs 17144  +gcplusg 17197  0gc0g 17385  Grpcgrp 18819  -gcsg 18821  SubGrpcsubg 19000   ~QG cqg 19002   GrpAct cga 19153   pSyl cslw 19395
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-omul 8471  df-er 8703  df-ec 8705  df-qs 8709  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-acn 9937  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633  df-dvds 16198  df-gcd 16436  df-prm 16609  df-pc 16770  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-mulg 18951  df-subg 19003  df-eqg 19005  df-ghm 19090  df-ga 19154  df-od 19396  df-pgp 19398  df-slw 19399
This theorem is referenced by:  sylow3lem4  19498
  Copyright terms: Public domain W3C validator