MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  p1le Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem p1le 12095
Description: A transitive property of plus 1 and 'less than or equal'. (Contributed by NM, 16-Aug-2005.)
Assertion
Ref Expression
p1le ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 1) ≤ 𝐵) → 𝐴𝐵)

Proof of Theorem p1le
StepHypRef Expression
1 lep1 12091 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ (𝐴 + 1))
21adantr 479 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ≤ (𝐴 + 1))
3 peano2re 11423 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
43ancli 547 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℝ))
5 letr 11344 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ (𝐴 + 1) ∧ (𝐴 + 1) ≤ 𝐵) → 𝐴𝐵))
653expa 1115 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ (𝐴 + 1) ∧ (𝐴 + 1) ≤ 𝐵) → 𝐴𝐵))
74, 6sylan 578 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ (𝐴 + 1) ∧ (𝐴 + 1) ≤ 𝐵) → 𝐴𝐵))
82, 7mpand 693 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 1) ≤ 𝐵𝐴𝐵))
983impia 1114 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 1) ≤ 𝐵) → 𝐴𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1084  wcel 2098   class class class wbr 5150  (class class class)co 7424  cr 11143  1c1 11145   + caddc 11147  cle 11285
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-er 8729  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483
This theorem is referenced by:  fzind  12696
  Copyright terms: Public domain W3C validator