Theorem recgt0 11279

Description: The reciprocal of a positive number is positive. Exercise 4 of [Apostol] p. 21. (Contributed by NM, 25-Aug-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
recgt0	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (1 / 𝐴))

Proof of Theorem recgt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 475	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	recnd 10460	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
3		gt0ne0 10898	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
4	2, 3	recne0d 11203	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (1 / 𝐴) ≠ 0)
5	4	necomd 3016	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 ≠ (1 / 𝐴))
6	5	neneqd 2966	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ¬ 0 = (1 / 𝐴))
7		0lt1 10955	. . . . 5 ⊢ 0 < 1
8		0re 10433	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
9		1re 10431	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
10	8, 9	ltnsymi 10551	. . . . 5 ⊢ (0 < 1 → ¬ 1 < 0)
11	7, 10	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ¬ 1 < 0
12		simpll 754	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
13	3	adantr 473	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → 𝐴 ≠ 0)
14	12, 13	rereccld 11260	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
15	14	renegcld 10860	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → -(1 / 𝐴) ∈ ℝ)
16		simpr 477	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → (1 / 𝐴) < 0)
17	1, 3	rereccld 11260	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
18	17	adantr 473	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
19	18	lt0neg1d 11002	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → ((1 / 𝐴) < 0 ↔ 0 < -(1 / 𝐴)))
20	16, 19	mpbid 224	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → 0 < -(1 / 𝐴))
21		simplr 756	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → 0 < 𝐴)
22	15, 12, 20, 21	mulgt0d 10587	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → 0 < (-(1 / 𝐴) · 𝐴))
23	2	adantr 473	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
24	23, 13	reccld 11202	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
25	24, 23	mulneg1d 10886	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → (-(1 / 𝐴) · 𝐴) = -((1 / 𝐴) · 𝐴))
26	23, 13	recid2d 11205	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → ((1 / 𝐴) · 𝐴) = 1)
27	26	negeqd 10672	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → -((1 / 𝐴) · 𝐴) = -1)
28	25, 27	eqtrd 2808	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → (-(1 / 𝐴) · 𝐴) = -1)
29	22, 28	breqtrd 4949	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → 0 < -1)
30		1red 10432	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → 1 ∈ ℝ)
31	30	lt0neg1d 11002	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → (1 < 0 ↔ 0 < -1))
32	29, 31	mpbird 249	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → 1 < 0)
33	32	ex 405	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ((1 / 𝐴) < 0 → 1 < 0))
34	11, 33	mtoi 191	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ¬ (1 / 𝐴) < 0)
35		ioran 966	. . 3 ⊢ (¬ (0 = (1 / 𝐴) ∨ (1 / 𝐴) < 0) ↔ (¬ 0 = (1 / 𝐴) ∧ ¬ (1 / 𝐴) < 0))
36	6, 34, 35	sylanbrc 575	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ¬ (0 = (1 / 𝐴) ∨ (1 / 𝐴) < 0))
37		axlttri 10504	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐴) ∈ ℝ) → (0 < (1 / 𝐴) ↔ ¬ (0 = (1 / 𝐴) ∨ (1 / 𝐴) < 0)))
38	8, 17, 37	sylancr 578	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (0 < (1 / 𝐴) ↔ ¬ (0 = (1 / 𝐴) ∨ (1 / 𝐴) < 0)))
39	36, 38	mpbird 249	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (1 / 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 387   ∨ wo 833   = wceq 1507   ∈ wcel 2048   ≠ wne 2961   class class class wbr 4923  (class class class)co 6970  ℂcc 10325  ℝcr 10326  0cc0 10327  1c1 10328   · cmul 10332   < clt 10466  -cneg 10663   / cdiv 11090

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-resscn 10384  ax-1cn 10385  ax-icn 10386  ax-addcl 10387  ax-addrcl 10388  ax-mulcl 10389  ax-mulrcl 10390  ax-mulcom 10391  ax-addass 10392  ax-mulass 10393  ax-distr 10394  ax-i2m1 10395  ax-1ne0 10396  ax-1rid 10397  ax-rnegex 10398  ax-rrecex 10399  ax-cnre 10400  ax-pre-lttri 10401  ax-pre-lttrn 10402  ax-pre-ltadd 10403  ax-pre-mulgt0 10404

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-op 4442  df-uni 4707  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-id 5305  df-po 5319  df-so 5320  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-er 8081  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-pnf 10468  df-mnf 10469  df-xr 10470  df-ltxr 10471  df-le 10472  df-sub 10664  df-neg 10665  df-div 11091

This theorem is referenced by:  prodgt0  11280  ltdiv1  11297  ltrec1  11320  lerec2  11321  lediv12a  11326  recgt1i  11330  recreclt  11332  recgt0i  11338  recgt0d  11367  nnrecgt0  11476  nnrecl  11698  resqrex  14461  leopmul  29682  cdj1i  29981