MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  recgt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem recgt0 12060
Description: The reciprocal of a positive number is positive. Exercise 4 of [Apostol] p. 21. (Contributed by NM, 25-Aug-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
recgt0 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ 0 < (1 / ๐ด))

Proof of Theorem recgt0
StepHypRef Expression
1 simpl 484 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
21recnd 11242 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
3 gt0ne0 11679 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ๐ด โ‰  0)
42, 3recne0d 11984 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (1 / ๐ด) โ‰  0)
54necomd 2997 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ 0 โ‰  (1 / ๐ด))
65neneqd 2946 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ยฌ 0 = (1 / ๐ด))
7 0lt1 11736 . . . . 5 0 < 1
8 0re 11216 . . . . . 6 0 โˆˆ โ„
9 1re 11214 . . . . . 6 1 โˆˆ โ„
108, 9ltnsymi 11333 . . . . 5 (0 < 1 โ†’ ยฌ 1 < 0)
117, 10ax-mp 5 . . . 4 ยฌ 1 < 0
12 simpll 766 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โˆง (1 / ๐ด) < 0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
133adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โˆง (1 / ๐ด) < 0) โ†’ ๐ด โ‰  0)
1412, 13rereccld 12041 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โˆง (1 / ๐ด) < 0) โ†’ (1 / ๐ด) โˆˆ โ„)
1514renegcld 11641 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โˆง (1 / ๐ด) < 0) โ†’ -(1 / ๐ด) โˆˆ โ„)
16 simpr 486 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โˆง (1 / ๐ด) < 0) โ†’ (1 / ๐ด) < 0)
171, 3rereccld 12041 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (1 / ๐ด) โˆˆ โ„)
1817adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โˆง (1 / ๐ด) < 0) โ†’ (1 / ๐ด) โˆˆ โ„)
1918lt0neg1d 11783 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โˆง (1 / ๐ด) < 0) โ†’ ((1 / ๐ด) < 0 โ†” 0 < -(1 / ๐ด)))
2016, 19mpbid 231 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โˆง (1 / ๐ด) < 0) โ†’ 0 < -(1 / ๐ด))
21 simplr 768 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โˆง (1 / ๐ด) < 0) โ†’ 0 < ๐ด)
2215, 12, 20, 21mulgt0d 11369 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โˆง (1 / ๐ด) < 0) โ†’ 0 < (-(1 / ๐ด) ยท ๐ด))
232adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โˆง (1 / ๐ด) < 0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2423, 13reccld 11983 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โˆง (1 / ๐ด) < 0) โ†’ (1 / ๐ด) โˆˆ โ„‚)
2524, 23mulneg1d 11667 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โˆง (1 / ๐ด) < 0) โ†’ (-(1 / ๐ด) ยท ๐ด) = -((1 / ๐ด) ยท ๐ด))
2623, 13recid2d 11986 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โˆง (1 / ๐ด) < 0) โ†’ ((1 / ๐ด) ยท ๐ด) = 1)
2726negeqd 11454 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โˆง (1 / ๐ด) < 0) โ†’ -((1 / ๐ด) ยท ๐ด) = -1)
2825, 27eqtrd 2773 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โˆง (1 / ๐ด) < 0) โ†’ (-(1 / ๐ด) ยท ๐ด) = -1)
2922, 28breqtrd 5175 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โˆง (1 / ๐ด) < 0) โ†’ 0 < -1)
30 1red 11215 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โˆง (1 / ๐ด) < 0) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
3130lt0neg1d 11783 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โˆง (1 / ๐ด) < 0) โ†’ (1 < 0 โ†” 0 < -1))
3229, 31mpbird 257 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โˆง (1 / ๐ด) < 0) โ†’ 1 < 0)
3332ex 414 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ((1 / ๐ด) < 0 โ†’ 1 < 0))
3411, 33mtoi 198 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ยฌ (1 / ๐ด) < 0)
35 ioran 983 . . 3 (ยฌ (0 = (1 / ๐ด) โˆจ (1 / ๐ด) < 0) โ†” (ยฌ 0 = (1 / ๐ด) โˆง ยฌ (1 / ๐ด) < 0))
366, 34, 35sylanbrc 584 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ยฌ (0 = (1 / ๐ด) โˆจ (1 / ๐ด) < 0))
37 axlttri 11285 . . 3 ((0 โˆˆ โ„ โˆง (1 / ๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ (0 < (1 / ๐ด) โ†” ยฌ (0 = (1 / ๐ด) โˆจ (1 / ๐ด) < 0)))
388, 17, 37sylancr 588 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (0 < (1 / ๐ด) โ†” ยฌ (0 = (1 / ๐ด) โˆจ (1 / ๐ด) < 0)))
3936, 38mpbird 257 1 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ 0 < (1 / ๐ด))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941   class class class wbr 5149  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  โ„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   ยท cmul 11115   < clt 11248  -cneg 11445   / cdiv 11871
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872
This theorem is referenced by:  prodgt0  12061  ltdiv1  12078  ltrec1  12101  lerec2  12102  lediv12a  12107  recgt1i  12111  recreclt  12113  recgt0i  12119  recgt0d  12148  nnrecgt0  12255  nnrecl  12470  resqrex  15197  leopmul  31387  cdj1i  31686
  Copyright terms: Public domain W3C validator