Theorem peano2re 11319

Description: A theorem for reals analogous the second Peano postulate peano2nn 12186. (Contributed by NM, 5-Jul-2005.)

Assertion

Ref	Expression
peano2re	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)

Proof of Theorem peano2re

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11144	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		readdcl 11121	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
3	1, 2	mpan2 692	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7367  ℝcr 11037  1c1 11039   + caddc 11041

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2708  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-iota 6454  df-fv 6506  df-ov 7370

This theorem is referenced by:  lep1  11996  letrp1  11999  p1le  12000  ledivp1  12058  sup2  12112  nnssre  12178  nnge1  12205  div4p1lem1div2  12432  zltp1le  12577  suprzcl  12609  zeo  12615  peano2uz2  12617  uzind  12621  numltc  12670  uzwo  12861  ge0p1rp  12975  qbtwnxr  13152  xrsupsslem  13259  supxrunb1  13271  fznatpl1  13532  fzp1disj  13537  fzneuz  13562  fzp1nel  13565  ubmelm1fzo  13718  fllep1  13760  flflp1  13766  flhalf  13789  ltdifltdiv  13793  fldiv4p1lem1div2  13794  dfceil2  13798  ceim1l  13806  uzsup  13822  modltm1p1mod  13885  addmodlteq  13908  fsequb  13937  seqf1olem1  14003  seqf1olem2  14004  bernneq3  14193  expnbnd  14194  expmulnbnd  14197  discr1  14201  discr  14202  facwordi  14251  faclbnd  14252  hashfun  14399  seqcoll2  14427  rexuzre  15315  caubnd  15321  rlim2lt  15459  lo1bddrp  15487  rlimo1  15579  o1rlimmul  15581  o1fsum  15776  harmonic  15824  expcnv  15829  geomulcvg  15841  mertenslem1  15849  bpoly4  16024  nonsq  16729  eulerthlem2  16752  pcprendvds  16811  pcmpt  16863  pcfac  16870  vdwlem6  16957  vdwlem11  16962  chnccat  18592  chfacffsupp  22821  chfacfscmul0  22823  chfacfpmmul0  22827  tgioo  24761  zcld  24779  iocopnst  24907  cnheibor  24922  bndth  24925  cncmet  25289  pjthlem1  25404  ovolicc2lem3  25486  ovolicopnf  25491  ioorcl2  25539  dyadf  25558  dyadovol  25560  dyadss  25561  dyaddisjlem  25562  dyadmaxlem  25564  opnmbllem  25568  volsup2  25572  vitalilem2  25576  itg2const2  25708  itg2cnlem1  25728  dvfsumle  25988  dvfsumabs  25990  dvfsumlem1  25993  dvfsumlem3  25995  dvfsumrlim  25998  fta1glem2  26134  fta1lem  26273  aalioulem3  26300  ulmbdd  26363  itgulm  26373  psercnlem1  26390  abelthlem2  26397  abelthlem7  26403  reeff1olem  26411  logtayl  26624  loglesqrt  26725  atanlogsublem  26879  leibpi  26906  efrlim  26933  harmonicubnd  26973  fsumharmonic  26975  ftalem5  27040  basellem2  27045  basellem3  27046  chtnprm  27117  chpp1  27118  ppip1le  27124  ppiub  27167  logfaclbnd  27185  logfacrlim  27187  perfectlem2  27193  bcmono  27240  lgsvalmod  27279  gausslemma2dlem3  27331  lgseisen  27342  lgsquadlem1  27343  lgsquadlem2  27344  chebbnd1lem2  27433  chtppilimlem1  27436  rplogsumlem2  27448  dchrisumlema  27451  dchrisumlem1  27452  dchrisumlem3  27454  dchrisum0lem1  27479  chpdifbndlem1  27516  logdivbnd  27519  pntrmax  27527  pntrsumo1  27528  pntpbnd1a  27548  pntpbnd1  27549  pntpbnd2  27550  pntibndlem2  27554  pntlemg  27561  pntlemr  27565  pntlemj  27566  pntlemk  27569  ostth2lem1  27581  qabvle  27588  ostth2lem3  27598  ostth2lem4  27599  axlowdimlem16  29026  wwlksnredwwlkn  29963  wwlksnextproplem3  29979  wwlksext2clwwlk  30127  wwlksubclwwlk  30128  eupth2lems  30308  smcnlem  30768  minvecolem4  30951  pjhthlem1  31462  zltp1ne  35292  cvmliftlem7  35473  dnibndlem13  36750  knoppndvlem19  36790  knoppndvlem21  36792  icoreunrn  37675  relowlssretop  37679  ltflcei  37929  poimirlem1  37942  poimirlem2  37943  poimirlem4  37945  poimirlem6  37947  poimirlem7  37948  poimirlem8  37949  opnmbllem0  37977  mblfinlem1  37978  mblfinlem2  37979  mblfinlem4  37981  itg2addnclem2  37993  itg2addnclem3  37994  incsequz  38069  isbnd3  38105  rrntotbnd  38157  sn-sup2  42936  3cubeslem1  43116  3cubeslem2  43117  irrapxlem4  43253  pellexlem5  43261  pell14qrgapw  43304  pellfundgt1  43311  jm3.1lem2  43446  expdiophlem1  43449  fzuntgd  43885  zltlesub  45718  suplesup  45769  supxrunb3  45828  xrpnf  45913  fmul01lt1lem1  46014  limsupre3lem  46160  xlimxrre  46259  xlimpnfv  46266  ioodvbdlimc1lem1  46359  dvnxpaek  46370  dvnmul  46371  fourierdlem4  46539  fourierdlem11  46546  fourierdlem25  46560  fourierdlem50  46584  fourierdlem64  46598  fourierdlem65  46599  fourierdlem77  46611  fourierdlem79  46613  iinhoiicclem  47101  smfresal  47216  natglobalincr  47307  fmtno4prmfac  48035  lighneallem4a  48071  evenltle  48193  perfectALTVlem2  48198  logbpw2m1  49043