Theorem fzind 12689

Description: Induction on the integers from 𝑀 to 𝑁 inclusive . The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
fzind.1	⊢ (𝑥 = 𝑀 → (𝜑 ↔ 𝜓))
fzind.2	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜒))
fzind.3	⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑 ↔ 𝜃))
fzind.4	⊢ (𝑥 = 𝐾 → (𝜑 ↔ 𝜏))
fzind.5	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝜓)
fzind.6	⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁)) → (𝜒 → 𝜃))

Assertion

Ref	Expression
fzind	⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)) → 𝜏)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐾   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜒,𝑥   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥   𝜏,𝑥   𝜃,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑦)   𝜃(𝑦)   𝜏(𝑦)   𝐾(𝑦)

Proof of Theorem fzind

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 5112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (𝑥 ≤ 𝑁 ↔ 𝑀 ≤ 𝑁))
2	1	anbi2d 641	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≤ 𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
3		fzind.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (𝜑 ↔ 𝜓))
4	2, 3	imbi12d 347	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≤ 𝑁) → 𝜑) ↔ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝜓)))
5		breq1 5112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ≤ 𝑁 ↔ 𝑦 ≤ 𝑁))
6	5	anbi2d 641	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≤ 𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ≤ 𝑁)))
7		fzind.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜒))
8	6, 7	imbi12d 347	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≤ 𝑁) → 𝜑) ↔ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ≤ 𝑁) → 𝜒)))
9		breq1 5112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 ≤ 𝑁 ↔ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁))
10	9	anbi2d 641	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≤ 𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁)))
11		fzind.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑 ↔ 𝜃))
12	10, 11	imbi12d 347	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≤ 𝑁) → 𝜑) ↔ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁) → 𝜃)))
13		breq1 5112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (𝑥 ≤ 𝑁 ↔ 𝐾 ≤ 𝑁))
14	13	anbi2d 641	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≤ 𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
15		fzind.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (𝜑 ↔ 𝜏))
16	14, 15	imbi12d 347	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≤ 𝑁) → 𝜑) ↔ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 𝜏)))
17		fzind.5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝜓)
18	17	3expib 1140	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝜓))
19		zre 12590	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℝ)
20		zre 12590	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
21		p1le 12055	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁) → 𝑦 ≤ 𝑁)
22	21	3expia 1139	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑦 + 1) ≤ 𝑁 → 𝑦 ≤ 𝑁))
23	19, 20, 22	syl2an 607	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑦 + 1) ≤ 𝑁 → 𝑦 ≤ 𝑁))
24	23	imdistanda 581	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ≤ 𝑁)))
25	24	imim1d 83	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ≤ 𝑁) → 𝜒) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁) → 𝜒)))
26	25	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦) → (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ≤ 𝑁) → 𝜒) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁) → 𝜒)))
27		zltp1le 12639	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑦 < 𝑁 ↔ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁))
28	27	adantlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑦 < 𝑁 ↔ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁))
29	28	expcom 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦) → (𝑦 < 𝑁 ↔ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁)))
30	29	pm5.32d 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑁) ↔ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦) ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁)))
31	30	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑁) ↔ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦) ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁)))
32		fzind.6	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁)) → (𝜒 → 𝜃))
33	32	expcom 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝜒 → 𝜃)))
34	33	3expa 1136	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑁) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝜒 → 𝜃)))
35	34	com12 33	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑁) → (𝜒 → 𝜃)))
36	31, 35	sylbird 263	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦) ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁) → (𝜒 → 𝜃)))
37	36	ex 417	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦) ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁) → (𝜒 → 𝜃))))
38	37	com23 87	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦) ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝜒 → 𝜃))))
39	38	expd 420	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦) → ((𝑦 + 1) ≤ 𝑁 → (𝑁 ∈ ℤ → (𝜒 → 𝜃)))))
40	39	3impib 1134	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦) → ((𝑦 + 1) ≤ 𝑁 → (𝑁 ∈ ℤ → (𝜒 → 𝜃))))
41	40	impcomd 416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁) → (𝜒 → 𝜃)))
42	41	a2d 30	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦) → (((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁) → 𝜒) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁) → 𝜃)))
43	26, 42	syld 48	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦) → (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ≤ 𝑁) → 𝜒) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁) → 𝜃)))
44	4, 8, 12, 16, 18, 43	uzind 12683	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 𝜏))
45	44	expcomd 421	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (𝐾 ≤ 𝑁 → (𝑁 ∈ ℤ → 𝜏)))
46	45	3expb 1138	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾)) → (𝐾 ≤ 𝑁 → (𝑁 ∈ ℤ → 𝜏)))
47	46	expcom 418	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (𝑀 ∈ ℤ → (𝐾 ≤ 𝑁 → (𝑁 ∈ ℤ → 𝜏))))
48	47	com23 87	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (𝐾 ≤ 𝑁 → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → 𝜏))))
49	48	3impia 1135	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → 𝜏)))
50	49	impd 415	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝜏))
51	50	impcom 412	1 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)) → 𝜏)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5109  (class class class)co 7410  ℝcr 11094  1c1 11096   + caddc 11098   < clt 11238   ≤ cle 11239  ℤcz 12586

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-n0 12500  df-z 12587

This theorem is referenced by:  fnn0ind  12690  fzindd  12693  fzind2  13813  ssinc  45825  ssdec  45826