Theorem fzind 12348

Description: Induction on the integers from 𝑀 to 𝑁 inclusive . The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
fzind.1	⊢ (𝑥 = 𝑀 → (𝜑 ↔ 𝜓))
fzind.2	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜒))
fzind.3	⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑 ↔ 𝜃))
fzind.4	⊢ (𝑥 = 𝐾 → (𝜑 ↔ 𝜏))
fzind.5	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝜓)
fzind.6	⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁)) → (𝜒 → 𝜃))

Assertion

Ref	Expression
fzind	⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)) → 𝜏)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐾   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜒,𝑥   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥   𝜏,𝑥   𝜃,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑦)   𝜃(𝑦)   𝜏(𝑦)   𝐾(𝑦)

Proof of Theorem fzind

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 5073	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (𝑥 ≤ 𝑁 ↔ 𝑀 ≤ 𝑁))
2	1	anbi2d 628	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≤ 𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
3		fzind.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (𝜑 ↔ 𝜓))
4	2, 3	imbi12d 344	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≤ 𝑁) → 𝜑) ↔ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝜓)))
5		breq1 5073	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ≤ 𝑁 ↔ 𝑦 ≤ 𝑁))
6	5	anbi2d 628	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≤ 𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ≤ 𝑁)))
7		fzind.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜒))
8	6, 7	imbi12d 344	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≤ 𝑁) → 𝜑) ↔ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ≤ 𝑁) → 𝜒)))
9		breq1 5073	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 ≤ 𝑁 ↔ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁))
10	9	anbi2d 628	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≤ 𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁)))
11		fzind.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑 ↔ 𝜃))
12	10, 11	imbi12d 344	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≤ 𝑁) → 𝜑) ↔ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁) → 𝜃)))
13		breq1 5073	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (𝑥 ≤ 𝑁 ↔ 𝐾 ≤ 𝑁))
14	13	anbi2d 628	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≤ 𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
15		fzind.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (𝜑 ↔ 𝜏))
16	14, 15	imbi12d 344	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≤ 𝑁) → 𝜑) ↔ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 𝜏)))
17		fzind.5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝜓)
18	17	3expib 1120	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝜓))
19		zre 12253	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℝ)
20		zre 12253	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
21		p1le 11750	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁) → 𝑦 ≤ 𝑁)
22	21	3expia 1119	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑦 + 1) ≤ 𝑁 → 𝑦 ≤ 𝑁))
23	19, 20, 22	syl2an 595	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑦 + 1) ≤ 𝑁 → 𝑦 ≤ 𝑁))
24	23	imdistanda 571	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ≤ 𝑁)))
25	24	imim1d 82	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ≤ 𝑁) → 𝜒) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁) → 𝜒)))
26	25	3ad2ant2 1132	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦) → (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ≤ 𝑁) → 𝜒) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁) → 𝜒)))
27		zltp1le 12300	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑦 < 𝑁 ↔ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁))
28	27	adantlr 711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑦 < 𝑁 ↔ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁))
29	28	expcom 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦) → (𝑦 < 𝑁 ↔ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁)))
30	29	pm5.32d 576	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑁) ↔ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦) ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁)))
31	30	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑁) ↔ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦) ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁)))
32		fzind.6	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁)) → (𝜒 → 𝜃))
33	32	expcom 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝜒 → 𝜃)))
34	33	3expa 1116	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑁) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝜒 → 𝜃)))
35	34	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑁) → (𝜒 → 𝜃)))
36	31, 35	sylbird 259	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦) ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁) → (𝜒 → 𝜃)))
37	36	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦) ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁) → (𝜒 → 𝜃))))
38	37	com23 86	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦) ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝜒 → 𝜃))))
39	38	expd 415	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦) → ((𝑦 + 1) ≤ 𝑁 → (𝑁 ∈ ℤ → (𝜒 → 𝜃)))))
40	39	3impib 1114	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦) → ((𝑦 + 1) ≤ 𝑁 → (𝑁 ∈ ℤ → (𝜒 → 𝜃))))
41	40	impcomd 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁) → (𝜒 → 𝜃)))
42	41	a2d 29	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦) → (((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁) → 𝜒) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁) → 𝜃)))
43	26, 42	syld 47	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦) → (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ≤ 𝑁) → 𝜒) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁) → 𝜃)))
44	4, 8, 12, 16, 18, 43	uzind 12342	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 𝜏))
45	44	expcomd 416	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (𝐾 ≤ 𝑁 → (𝑁 ∈ ℤ → 𝜏)))
46	45	3expb 1118	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾)) → (𝐾 ≤ 𝑁 → (𝑁 ∈ ℤ → 𝜏)))
47	46	expcom 413	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (𝑀 ∈ ℤ → (𝐾 ≤ 𝑁 → (𝑁 ∈ ℤ → 𝜏))))
48	47	com23 86	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (𝐾 ≤ 𝑁 → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → 𝜏))))
49	48	3impia 1115	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → 𝜏)))
50	49	impd 410	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝜏))
51	50	impcom 407	1 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)) → 𝜏)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070  (class class class)co 7255  ℝcr 10801  1c1 10803   + caddc 10805   < clt 10940   ≤ cle 10941  ℤcz 12249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250

This theorem is referenced by:  fnn0ind  12349  fzind2  13433  fzindd  39912  ssinc  42526  ssdec  42527