Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pl42lem1N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pl42lem1N 37274
 Description: Lemma for pl42N 37278. (Contributed by NM, 8-Apr-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pl42lem.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
pl42lem.l = (le‘𝐾)
pl42lem.j = (join‘𝐾)
pl42lem.m = (meet‘𝐾)
pl42lem.o = (oc‘𝐾)
pl42lem.f 𝐹 = (pmap‘𝐾)
pl42lem.p + = (+𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
pl42lem1N (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵)) → ((𝑋 ( 𝑌) ∧ 𝑍 ( 𝑊)) → (𝐹‘((((𝑋 𝑌) 𝑍) 𝑊) 𝑉)) = (((((𝐹𝑋) + (𝐹𝑌)) ∩ (𝐹𝑍)) + (𝐹𝑊)) ∩ (𝐹𝑉))))

Proof of Theorem pl42lem1N
StepHypRef Expression
1 simp11 1200 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵) ∧ (𝑋 ( 𝑌) ∧ 𝑍 ( 𝑊))) → 𝐾 ∈ HL)
21hllatd 36659 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵) ∧ (𝑋 ( 𝑌) ∧ 𝑍 ( 𝑊))) → 𝐾 ∈ Lat)
3 simp12 1201 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵) ∧ (𝑋 ( 𝑌) ∧ 𝑍 ( 𝑊))) → 𝑋𝐵)
4 simp13 1202 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵) ∧ (𝑋 ( 𝑌) ∧ 𝑍 ( 𝑊))) → 𝑌𝐵)
5 pl42lem.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐾)
6 pl42lem.j . . . . . . . 8 = (join‘𝐾)
75, 6latjcl 17657 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)
82, 3, 4, 7syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵) ∧ (𝑋 ( 𝑌) ∧ 𝑍 ( 𝑊))) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)
9 simp21 1203 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵) ∧ (𝑋 ( 𝑌) ∧ 𝑍 ( 𝑊))) → 𝑍𝐵)
10 pl42lem.m . . . . . . 7 = (meet‘𝐾)
115, 10latmcl 17658 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵𝑍𝐵) → ((𝑋 𝑌) 𝑍) ∈ 𝐵)
122, 8, 9, 11syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵) ∧ (𝑋 ( 𝑌) ∧ 𝑍 ( 𝑊))) → ((𝑋 𝑌) 𝑍) ∈ 𝐵)
13 simp22 1204 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵) ∧ (𝑋 ( 𝑌) ∧ 𝑍 ( 𝑊))) → 𝑊𝐵)
145, 6latjcl 17657 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑋 𝑌) 𝑍) ∈ 𝐵𝑊𝐵) → (((𝑋 𝑌) 𝑍) 𝑊) ∈ 𝐵)
152, 12, 13, 14syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵) ∧ (𝑋 ( 𝑌) ∧ 𝑍 ( 𝑊))) → (((𝑋 𝑌) 𝑍) 𝑊) ∈ 𝐵)
16 simp23 1205 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵) ∧ (𝑋 ( 𝑌) ∧ 𝑍 ( 𝑊))) → 𝑉𝐵)
17 eqid 2801 . . . . 5 (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
18 pl42lem.f . . . . 5 𝐹 = (pmap‘𝐾)
195, 10, 17, 18pmapmeet 37068 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (((𝑋 𝑌) 𝑍) 𝑊) ∈ 𝐵𝑉𝐵) → (𝐹‘((((𝑋 𝑌) 𝑍) 𝑊) 𝑉)) = ((𝐹‘(((𝑋 𝑌) 𝑍) 𝑊)) ∩ (𝐹𝑉)))
201, 15, 16, 19syl3anc 1368 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵) ∧ (𝑋 ( 𝑌) ∧ 𝑍 ( 𝑊))) → (𝐹‘((((𝑋 𝑌) 𝑍) 𝑊) 𝑉)) = ((𝐹‘(((𝑋 𝑌) 𝑍) 𝑊)) ∩ (𝐹𝑉)))
21 pl42lem.l . . . . . . 7 = (le‘𝐾)
22 hlop 36657 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
231, 22syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵) ∧ (𝑋 ( 𝑌) ∧ 𝑍 ( 𝑊))) → 𝐾 ∈ OP)
24 pl42lem.o . . . . . . . . 9 = (oc‘𝐾)
255, 24opoccl 36489 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑊𝐵) → ( 𝑊) ∈ 𝐵)
2623, 13, 25syl2anc 587 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵) ∧ (𝑋 ( 𝑌) ∧ 𝑍 ( 𝑊))) → ( 𝑊) ∈ 𝐵)
275, 21, 10latmle2 17683 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵𝑍𝐵) → ((𝑋 𝑌) 𝑍) 𝑍)
282, 8, 9, 27syl3anc 1368 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵) ∧ (𝑋 ( 𝑌) ∧ 𝑍 ( 𝑊))) → ((𝑋 𝑌) 𝑍) 𝑍)
29 simp3r 1199 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵) ∧ (𝑋 ( 𝑌) ∧ 𝑍 ( 𝑊))) → 𝑍 ( 𝑊))
305, 21, 2, 12, 9, 26, 28, 29lattrd 17664 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵) ∧ (𝑋 ( 𝑌) ∧ 𝑍 ( 𝑊))) → ((𝑋 𝑌) 𝑍) ( 𝑊))
31 pl42lem.p . . . . . . 7 + = (+𝑃𝐾)
325, 21, 6, 18, 24, 31pmapojoinN 37263 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑋 𝑌) 𝑍) ∈ 𝐵𝑊𝐵) ∧ ((𝑋 𝑌) 𝑍) ( 𝑊)) → (𝐹‘(((𝑋 𝑌) 𝑍) 𝑊)) = ((𝐹‘((𝑋 𝑌) 𝑍)) + (𝐹𝑊)))
331, 12, 13, 30, 32syl31anc 1370 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵) ∧ (𝑋 ( 𝑌) ∧ 𝑍 ( 𝑊))) → (𝐹‘(((𝑋 𝑌) 𝑍) 𝑊)) = ((𝐹‘((𝑋 𝑌) 𝑍)) + (𝐹𝑊)))
345, 10, 17, 18pmapmeet 37068 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵𝑍𝐵) → (𝐹‘((𝑋 𝑌) 𝑍)) = ((𝐹‘(𝑋 𝑌)) ∩ (𝐹𝑍)))
351, 8, 9, 34syl3anc 1368 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵) ∧ (𝑋 ( 𝑌) ∧ 𝑍 ( 𝑊))) → (𝐹‘((𝑋 𝑌) 𝑍)) = ((𝐹‘(𝑋 𝑌)) ∩ (𝐹𝑍)))
36 simp3l 1198 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵) ∧ (𝑋 ( 𝑌) ∧ 𝑍 ( 𝑊))) → 𝑋 ( 𝑌))
375, 21, 6, 18, 24, 31pmapojoinN 37263 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 ( 𝑌)) → (𝐹‘(𝑋 𝑌)) = ((𝐹𝑋) + (𝐹𝑌)))
381, 3, 4, 36, 37syl31anc 1370 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵) ∧ (𝑋 ( 𝑌) ∧ 𝑍 ( 𝑊))) → (𝐹‘(𝑋 𝑌)) = ((𝐹𝑋) + (𝐹𝑌)))
3938ineq1d 4141 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵) ∧ (𝑋 ( 𝑌) ∧ 𝑍 ( 𝑊))) → ((𝐹‘(𝑋 𝑌)) ∩ (𝐹𝑍)) = (((𝐹𝑋) + (𝐹𝑌)) ∩ (𝐹𝑍)))
4035, 39eqtrd 2836 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵) ∧ (𝑋 ( 𝑌) ∧ 𝑍 ( 𝑊))) → (𝐹‘((𝑋 𝑌) 𝑍)) = (((𝐹𝑋) + (𝐹𝑌)) ∩ (𝐹𝑍)))
4140oveq1d 7154 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵) ∧ (𝑋 ( 𝑌) ∧ 𝑍 ( 𝑊))) → ((𝐹‘((𝑋 𝑌) 𝑍)) + (𝐹𝑊)) = ((((𝐹𝑋) + (𝐹𝑌)) ∩ (𝐹𝑍)) + (𝐹𝑊)))
4233, 41eqtrd 2836 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵) ∧ (𝑋 ( 𝑌) ∧ 𝑍 ( 𝑊))) → (𝐹‘(((𝑋 𝑌) 𝑍) 𝑊)) = ((((𝐹𝑋) + (𝐹𝑌)) ∩ (𝐹𝑍)) + (𝐹𝑊)))
4342ineq1d 4141 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵) ∧ (𝑋 ( 𝑌) ∧ 𝑍 ( 𝑊))) → ((𝐹‘(((𝑋 𝑌) 𝑍) 𝑊)) ∩ (𝐹𝑉)) = (((((𝐹𝑋) + (𝐹𝑌)) ∩ (𝐹𝑍)) + (𝐹𝑊)) ∩ (𝐹𝑉)))
4420, 43eqtrd 2836 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵) ∧ (𝑋 ( 𝑌) ∧ 𝑍 ( 𝑊))) → (𝐹‘((((𝑋 𝑌) 𝑍) 𝑊) 𝑉)) = (((((𝐹𝑋) + (𝐹𝑌)) ∩ (𝐹𝑍)) + (𝐹𝑊)) ∩ (𝐹𝑉)))
45443expia 1118 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵)) → ((𝑋 ( 𝑌) ∧ 𝑍 ( 𝑊)) → (𝐹‘((((𝑋 𝑌) 𝑍) 𝑊) 𝑉)) = (((((𝐹𝑋) + (𝐹𝑌)) ∩ (𝐹𝑍)) + (𝐹𝑊)) ∩ (𝐹𝑉))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2112   ∩ cin 3883   class class class wbr 5033  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  Basecbs 16479  lecple 16568  occoc 16569  joincjn 17550  meetcmee 17551  Latclat 17651  OPcops 36467  Atomscatm 36558  HLchlt 36645  pmapcpmap 36792  +𝑃cpadd 37090 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-riotaBAD 36248 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5428  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-undef 7926  df-proset 17534  df-poset 17552  df-plt 17564  df-lub 17580  df-glb 17581  df-join 17582  df-meet 17583  df-p0 17645  df-p1 17646  df-lat 17652  df-clat 17714  df-oposet 36471  df-ol 36473  df-oml 36474  df-covers 36561  df-ats 36562  df-atl 36593  df-cvlat 36617  df-hlat 36646  df-psubsp 36798  df-pmap 36799  df-padd 37091  df-polarityN 37198  df-psubclN 37230 This theorem is referenced by:  pl42lem4N  37277
 Copyright terms: Public domain W3C validator