Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pl42lem1N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pl42lem1N 38488
Description: Lemma for pl42N 38492. (Contributed by NM, 8-Apr-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pl42lem.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
pl42lem.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
pl42lem.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
pl42lem.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
pl42lem.o βŠ₯ = (ocβ€˜πΎ)
pl42lem.f 𝐹 = (pmapβ€˜πΎ)
pl42lem.p + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
pl42lem1N (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑍 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Š)) β†’ (πΉβ€˜((((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍) ∨ π‘Š) ∧ 𝑉)) = (((((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) ∩ (πΉβ€˜π‘)) + (πΉβ€˜π‘Š)) ∩ (πΉβ€˜π‘‰))))

Proof of Theorem pl42lem1N
StepHypRef Expression
1 simp11 1204 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑍 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Š))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
21hllatd 37872 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑍 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Š))) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
3 simp12 1205 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑍 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Š))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
4 simp13 1206 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑍 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Š))) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
5 pl42lem.b . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
6 pl42lem.j . . . . . . . 8 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
75, 6latjcl 18333 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡)
82, 3, 4, 7syl3anc 1372 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑍 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Š))) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡)
9 simp21 1207 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑍 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Š))) β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
10 pl42lem.m . . . . . . 7 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
115, 10latmcl 18334 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍) ∈ 𝐡)
122, 8, 9, 11syl3anc 1372 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑍 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Š))) β†’ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍) ∈ 𝐡)
13 simp22 1208 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑍 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Š))) β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
145, 6latjcl 18333 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍) ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡) β†’ (((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍) ∨ π‘Š) ∈ 𝐡)
152, 12, 13, 14syl3anc 1372 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑍 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Š))) β†’ (((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍) ∨ π‘Š) ∈ 𝐡)
16 simp23 1209 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑍 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Š))) β†’ 𝑉 ∈ 𝐡)
17 eqid 2733 . . . . 5 (Atomsβ€˜πΎ) = (Atomsβ€˜πΎ)
18 pl42lem.f . . . . 5 𝐹 = (pmapβ€˜πΎ)
195, 10, 17, 18pmapmeet 38282 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍) ∨ π‘Š) ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜((((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍) ∨ π‘Š) ∧ 𝑉)) = ((πΉβ€˜(((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍) ∨ π‘Š)) ∩ (πΉβ€˜π‘‰)))
201, 15, 16, 19syl3anc 1372 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑍 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Š))) β†’ (πΉβ€˜((((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍) ∨ π‘Š) ∧ 𝑉)) = ((πΉβ€˜(((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍) ∨ π‘Š)) ∩ (πΉβ€˜π‘‰)))
21 pl42lem.l . . . . . . 7 ≀ = (leβ€˜πΎ)
22 hlop 37870 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OP)
231, 22syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑍 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Š))) β†’ 𝐾 ∈ OP)
24 pl42lem.o . . . . . . . . 9 βŠ₯ = (ocβ€˜πΎ)
255, 24opoccl 37702 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ OP ∧ π‘Š ∈ 𝐡) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘Š) ∈ 𝐡)
2623, 13, 25syl2anc 585 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑍 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Š))) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘Š) ∈ 𝐡)
275, 21, 10latmle2 18359 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍) ≀ 𝑍)
282, 8, 9, 27syl3anc 1372 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑍 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Š))) β†’ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍) ≀ 𝑍)
29 simp3r 1203 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑍 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Š))) β†’ 𝑍 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Š))
305, 21, 2, 12, 9, 26, 28, 29lattrd 18340 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑍 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Š))) β†’ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍) ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Š))
31 pl42lem.p . . . . . . 7 + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
325, 21, 6, 18, 24, 31pmapojoinN 38477 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍) ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡) ∧ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍) ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Š)) β†’ (πΉβ€˜(((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍) ∨ π‘Š)) = ((πΉβ€˜((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍)) + (πΉβ€˜π‘Š)))
331, 12, 13, 30, 32syl31anc 1374 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑍 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Š))) β†’ (πΉβ€˜(((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍) ∨ π‘Š)) = ((πΉβ€˜((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍)) + (πΉβ€˜π‘Š)))
345, 10, 17, 18pmapmeet 38282 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍)) = ((πΉβ€˜(𝑋 ∨ π‘Œ)) ∩ (πΉβ€˜π‘)))
351, 8, 9, 34syl3anc 1372 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑍 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Š))) β†’ (πΉβ€˜((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍)) = ((πΉβ€˜(𝑋 ∨ π‘Œ)) ∩ (πΉβ€˜π‘)))
36 simp3l 1202 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑍 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Š))) β†’ 𝑋 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ))
375, 21, 6, 18, 24, 31pmapojoinN 38477 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 ∨ π‘Œ)) = ((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)))
381, 3, 4, 36, 37syl31anc 1374 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑍 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Š))) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 ∨ π‘Œ)) = ((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)))
3938ineq1d 4172 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑍 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Š))) β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 ∨ π‘Œ)) ∩ (πΉβ€˜π‘)) = (((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) ∩ (πΉβ€˜π‘)))
4035, 39eqtrd 2773 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑍 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Š))) β†’ (πΉβ€˜((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍)) = (((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) ∩ (πΉβ€˜π‘)))
4140oveq1d 7373 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑍 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Š))) β†’ ((πΉβ€˜((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍)) + (πΉβ€˜π‘Š)) = ((((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) ∩ (πΉβ€˜π‘)) + (πΉβ€˜π‘Š)))
4233, 41eqtrd 2773 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑍 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Š))) β†’ (πΉβ€˜(((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍) ∨ π‘Š)) = ((((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) ∩ (πΉβ€˜π‘)) + (πΉβ€˜π‘Š)))
4342ineq1d 4172 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑍 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Š))) β†’ ((πΉβ€˜(((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍) ∨ π‘Š)) ∩ (πΉβ€˜π‘‰)) = (((((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) ∩ (πΉβ€˜π‘)) + (πΉβ€˜π‘Š)) ∩ (πΉβ€˜π‘‰)))
4420, 43eqtrd 2773 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑍 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Š))) β†’ (πΉβ€˜((((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍) ∨ π‘Š) ∧ 𝑉)) = (((((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) ∩ (πΉβ€˜π‘)) + (πΉβ€˜π‘Š)) ∩ (πΉβ€˜π‘‰)))
45443expia 1122 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑍 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Š)) β†’ (πΉβ€˜((((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍) ∨ π‘Š) ∧ 𝑉)) = (((((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) ∩ (πΉβ€˜π‘)) + (πΉβ€˜π‘Š)) ∩ (πΉβ€˜π‘‰))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ∩ cin 3910   class class class wbr 5106  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088  lecple 17145  occoc 17146  joincjn 18205  meetcmee 18206  Latclat 18325  OPcops 37680  Atomscatm 37771  HLchlt 37858  pmapcpmap 38006  +𝑃cpadd 38304
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-proset 18189  df-poset 18207  df-plt 18224  df-lub 18240  df-glb 18241  df-join 18242  df-meet 18243  df-p0 18319  df-p1 18320  df-lat 18326  df-clat 18393  df-oposet 37684  df-ol 37686  df-oml 37687  df-covers 37774  df-ats 37775  df-atl 37806  df-cvlat 37830  df-hlat 37859  df-psubsp 38012  df-pmap 38013  df-padd 38305  df-polarityN 38412  df-psubclN 38444
This theorem is referenced by:  pl42lem4N  38491
  Copyright terms: Public domain W3C validator