Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pl42lem1N Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem pl42lem1N 38936
Description: Lemma for pl42N 38940. (Contributed by NM, 8-Apr-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pl42lem.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
pl42lem.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
pl42lem.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
pl42lem.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
pl42lem.o βŠ₯ = (ocβ€˜πΎ)
pl42lem.f 𝐹 = (pmapβ€˜πΎ)
pl42lem.p + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
pl42lem1N (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑍 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Š)) β†’ (πΉβ€˜((((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍) ∨ π‘Š) ∧ 𝑉)) = (((((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) ∩ (πΉβ€˜π‘)) + (πΉβ€˜π‘Š)) ∩ (πΉβ€˜π‘‰))))
Proof of Theorem pl42lem1N
StepHypRef Expression
1 simp11 1203 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑍 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Š))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
21hllatd 38320 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑍 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Š))) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
3 simp12 1204 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑍 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Š))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
4 simp13 1205 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑍 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Š))) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
5 pl42lem.b . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
6 pl42lem.j . . . . . . . 8 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
75, 6latjcl 18394 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡)
82, 3, 4, 7syl3anc 1371 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑍 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Š))) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡)
9 simp21 1206 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑍 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Š))) β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
10 pl42lem.m . . . . . . 7 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
115, 10latmcl 18395 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍) ∈ 𝐡)
122, 8, 9, 11syl3anc 1371 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑍 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Š))) β†’ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍) ∈ 𝐡)
13 simp22 1207 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑍 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Š))) β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
145, 6latjcl 18394 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍) ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡) β†’ (((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍) ∨ π‘Š) ∈ 𝐡)
152, 12, 13, 14syl3anc 1371 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑍 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Š))) β†’ (((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍) ∨ π‘Š) ∈ 𝐡)
16 simp23 1208 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑍 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Š))) β†’ 𝑉 ∈ 𝐡)
17 eqid 2732 . . . . 5 (Atomsβ€˜πΎ) = (Atomsβ€˜πΎ)
18 pl42lem.f . . . . 5 𝐹 = (pmapβ€˜πΎ)
195, 10, 17, 18pmapmeet 38730 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍) ∨ π‘Š) ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜((((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍) ∨ π‘Š) ∧ 𝑉)) = ((πΉβ€˜(((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍) ∨ π‘Š)) ∩ (πΉβ€˜π‘‰)))
201, 15, 16, 19syl3anc 1371 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑍 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Š))) β†’ (πΉβ€˜((((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍) ∨ π‘Š) ∧ 𝑉)) = ((πΉβ€˜(((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍) ∨ π‘Š)) ∩ (πΉβ€˜π‘‰)))
21 pl42lem.l . . . . . . 7 ≀ = (leβ€˜πΎ)
22 hlop 38318 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OP)
231, 22syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑍 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Š))) β†’ 𝐾 ∈ OP)
24 pl42lem.o . . . . . . . . 9 βŠ₯ = (ocβ€˜πΎ)
255, 24opoccl 38150 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ OP ∧ π‘Š ∈ 𝐡) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘Š) ∈ 𝐡)
2623, 13, 25syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑍 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Š))) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘Š) ∈ 𝐡)
275, 21, 10latmle2 18420 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍) ≀ 𝑍)
282, 8, 9, 27syl3anc 1371 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑍 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Š))) β†’ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍) ≀ 𝑍)
29 simp3r 1202 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑍 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Š))) β†’ 𝑍 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Š))
305, 21, 2, 12, 9, 26, 28, 29lattrd 18401 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑍 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Š))) β†’ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍) ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Š))
31 pl42lem.p . . . . . . 7 + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
325, 21, 6, 18, 24, 31pmapojoinN 38925 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍) ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡) ∧ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍) ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Š)) β†’ (πΉβ€˜(((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍) ∨ π‘Š)) = ((πΉβ€˜((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍)) + (πΉβ€˜π‘Š)))
331, 12, 13, 30, 32syl31anc 1373 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑍 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Š))) β†’ (πΉβ€˜(((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍) ∨ π‘Š)) = ((πΉβ€˜((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍)) + (πΉβ€˜π‘Š)))
345, 10, 17, 18pmapmeet 38730 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍)) = ((πΉβ€˜(𝑋 ∨ π‘Œ)) ∩ (πΉβ€˜π‘)))
351, 8, 9, 34syl3anc 1371 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑍 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Š))) β†’ (πΉβ€˜((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍)) = ((πΉβ€˜(𝑋 ∨ π‘Œ)) ∩ (πΉβ€˜π‘)))
36 simp3l 1201 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑍 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Š))) β†’ 𝑋 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ))
375, 21, 6, 18, 24, 31pmapojoinN 38925 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 ∨ π‘Œ)) = ((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)))
381, 3, 4, 36, 37syl31anc 1373 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑍 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Š))) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 ∨ π‘Œ)) = ((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)))
3938ineq1d 4211 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑍 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Š))) β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 ∨ π‘Œ)) ∩ (πΉβ€˜π‘)) = (((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) ∩ (πΉβ€˜π‘)))
4035, 39eqtrd 2772 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑍 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Š))) β†’ (πΉβ€˜((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍)) = (((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) ∩ (πΉβ€˜π‘)))
4140oveq1d 7426 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑍 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Š))) β†’ ((πΉβ€˜((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍)) + (πΉβ€˜π‘Š)) = ((((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) ∩ (πΉβ€˜π‘)) + (πΉβ€˜π‘Š)))
4233, 41eqtrd 2772 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑍 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Š))) β†’ (πΉβ€˜(((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍) ∨ π‘Š)) = ((((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) ∩ (πΉβ€˜π‘)) + (πΉβ€˜π‘Š)))
4342ineq1d 4211 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑍 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Š))) β†’ ((πΉβ€˜(((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍) ∨ π‘Š)) ∩ (πΉβ€˜π‘‰)) = (((((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) ∩ (πΉβ€˜π‘)) + (πΉβ€˜π‘Š)) ∩ (πΉβ€˜π‘‰)))
4420, 43eqtrd 2772 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑍 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Š))) β†’ (πΉβ€˜((((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍) ∨ π‘Š) ∧ 𝑉)) = (((((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) ∩ (πΉβ€˜π‘)) + (πΉβ€˜π‘Š)) ∩ (πΉβ€˜π‘‰)))
45443expia 1121 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑍 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Š)) β†’ (πΉβ€˜((((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍) ∨ π‘Š) ∧ 𝑉)) = (((((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) ∩ (πΉβ€˜π‘)) + (πΉβ€˜π‘Š)) ∩ (πΉβ€˜π‘‰))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ∩ cin 3947   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  Basecbs 17146  lecple 17206  occoc 17207  joincjn 18266  meetcmee 18267  Latclat 18386  OPcops 38128  Atomscatm 38219  HLchlt 38306  pmapcpmap 38454  +𝑃cpadd 38752
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-proset 18250  df-poset 18268  df-plt 18285  df-lub 18301  df-glb 18302  df-join 18303  df-meet 18304  df-p0 18380  df-p1 18381  df-lat 18387  df-clat 18454  df-oposet 38132  df-ol 38134  df-oml 38135  df-covers 38222  df-ats 38223  df-atl 38254  df-cvlat 38278  df-hlat 38307  df-psubsp 38460  df-pmap 38461  df-padd 38753  df-polarityN 38860  df-psubclN 38892
This theorem is referenced by:  pl42lem4N  38939
  Copyright terms: Public domain W3C validator