Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pl42lem1N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pl42lem1N 38442
Description: Lemma for pl42N 38446. (Contributed by NM, 8-Apr-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pl42lem.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
pl42lem.l = (le‘𝐾)
pl42lem.j = (join‘𝐾)
pl42lem.m = (meet‘𝐾)
pl42lem.o = (oc‘𝐾)
pl42lem.f 𝐹 = (pmap‘𝐾)
pl42lem.p + = (+𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
pl42lem1N (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵)) → ((𝑋 ( 𝑌) ∧ 𝑍 ( 𝑊)) → (𝐹‘((((𝑋 𝑌) 𝑍) 𝑊) 𝑉)) = (((((𝐹𝑋) + (𝐹𝑌)) ∩ (𝐹𝑍)) + (𝐹𝑊)) ∩ (𝐹𝑉))))

Proof of Theorem pl42lem1N
StepHypRef Expression
1 simp11 1203 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵) ∧ (𝑋 ( 𝑌) ∧ 𝑍 ( 𝑊))) → 𝐾 ∈ HL)
21hllatd 37826 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵) ∧ (𝑋 ( 𝑌) ∧ 𝑍 ( 𝑊))) → 𝐾 ∈ Lat)
3 simp12 1204 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵) ∧ (𝑋 ( 𝑌) ∧ 𝑍 ( 𝑊))) → 𝑋𝐵)
4 simp13 1205 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵) ∧ (𝑋 ( 𝑌) ∧ 𝑍 ( 𝑊))) → 𝑌𝐵)
5 pl42lem.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐾)
6 pl42lem.j . . . . . . . 8 = (join‘𝐾)
75, 6latjcl 18328 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)
82, 3, 4, 7syl3anc 1371 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵) ∧ (𝑋 ( 𝑌) ∧ 𝑍 ( 𝑊))) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)
9 simp21 1206 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵) ∧ (𝑋 ( 𝑌) ∧ 𝑍 ( 𝑊))) → 𝑍𝐵)
10 pl42lem.m . . . . . . 7 = (meet‘𝐾)
115, 10latmcl 18329 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵𝑍𝐵) → ((𝑋 𝑌) 𝑍) ∈ 𝐵)
122, 8, 9, 11syl3anc 1371 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵) ∧ (𝑋 ( 𝑌) ∧ 𝑍 ( 𝑊))) → ((𝑋 𝑌) 𝑍) ∈ 𝐵)
13 simp22 1207 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵) ∧ (𝑋 ( 𝑌) ∧ 𝑍 ( 𝑊))) → 𝑊𝐵)
145, 6latjcl 18328 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑋 𝑌) 𝑍) ∈ 𝐵𝑊𝐵) → (((𝑋 𝑌) 𝑍) 𝑊) ∈ 𝐵)
152, 12, 13, 14syl3anc 1371 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵) ∧ (𝑋 ( 𝑌) ∧ 𝑍 ( 𝑊))) → (((𝑋 𝑌) 𝑍) 𝑊) ∈ 𝐵)
16 simp23 1208 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵) ∧ (𝑋 ( 𝑌) ∧ 𝑍 ( 𝑊))) → 𝑉𝐵)
17 eqid 2736 . . . . 5 (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
18 pl42lem.f . . . . 5 𝐹 = (pmap‘𝐾)
195, 10, 17, 18pmapmeet 38236 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (((𝑋 𝑌) 𝑍) 𝑊) ∈ 𝐵𝑉𝐵) → (𝐹‘((((𝑋 𝑌) 𝑍) 𝑊) 𝑉)) = ((𝐹‘(((𝑋 𝑌) 𝑍) 𝑊)) ∩ (𝐹𝑉)))
201, 15, 16, 19syl3anc 1371 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵) ∧ (𝑋 ( 𝑌) ∧ 𝑍 ( 𝑊))) → (𝐹‘((((𝑋 𝑌) 𝑍) 𝑊) 𝑉)) = ((𝐹‘(((𝑋 𝑌) 𝑍) 𝑊)) ∩ (𝐹𝑉)))
21 pl42lem.l . . . . . . 7 = (le‘𝐾)
22 hlop 37824 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
231, 22syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵) ∧ (𝑋 ( 𝑌) ∧ 𝑍 ( 𝑊))) → 𝐾 ∈ OP)
24 pl42lem.o . . . . . . . . 9 = (oc‘𝐾)
255, 24opoccl 37656 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑊𝐵) → ( 𝑊) ∈ 𝐵)
2623, 13, 25syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵) ∧ (𝑋 ( 𝑌) ∧ 𝑍 ( 𝑊))) → ( 𝑊) ∈ 𝐵)
275, 21, 10latmle2 18354 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵𝑍𝐵) → ((𝑋 𝑌) 𝑍) 𝑍)
282, 8, 9, 27syl3anc 1371 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵) ∧ (𝑋 ( 𝑌) ∧ 𝑍 ( 𝑊))) → ((𝑋 𝑌) 𝑍) 𝑍)
29 simp3r 1202 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵) ∧ (𝑋 ( 𝑌) ∧ 𝑍 ( 𝑊))) → 𝑍 ( 𝑊))
305, 21, 2, 12, 9, 26, 28, 29lattrd 18335 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵) ∧ (𝑋 ( 𝑌) ∧ 𝑍 ( 𝑊))) → ((𝑋 𝑌) 𝑍) ( 𝑊))
31 pl42lem.p . . . . . . 7 + = (+𝑃𝐾)
325, 21, 6, 18, 24, 31pmapojoinN 38431 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑋 𝑌) 𝑍) ∈ 𝐵𝑊𝐵) ∧ ((𝑋 𝑌) 𝑍) ( 𝑊)) → (𝐹‘(((𝑋 𝑌) 𝑍) 𝑊)) = ((𝐹‘((𝑋 𝑌) 𝑍)) + (𝐹𝑊)))
331, 12, 13, 30, 32syl31anc 1373 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵) ∧ (𝑋 ( 𝑌) ∧ 𝑍 ( 𝑊))) → (𝐹‘(((𝑋 𝑌) 𝑍) 𝑊)) = ((𝐹‘((𝑋 𝑌) 𝑍)) + (𝐹𝑊)))
345, 10, 17, 18pmapmeet 38236 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵𝑍𝐵) → (𝐹‘((𝑋 𝑌) 𝑍)) = ((𝐹‘(𝑋 𝑌)) ∩ (𝐹𝑍)))
351, 8, 9, 34syl3anc 1371 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵) ∧ (𝑋 ( 𝑌) ∧ 𝑍 ( 𝑊))) → (𝐹‘((𝑋 𝑌) 𝑍)) = ((𝐹‘(𝑋 𝑌)) ∩ (𝐹𝑍)))
36 simp3l 1201 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵) ∧ (𝑋 ( 𝑌) ∧ 𝑍 ( 𝑊))) → 𝑋 ( 𝑌))
375, 21, 6, 18, 24, 31pmapojoinN 38431 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 ( 𝑌)) → (𝐹‘(𝑋 𝑌)) = ((𝐹𝑋) + (𝐹𝑌)))
381, 3, 4, 36, 37syl31anc 1373 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵) ∧ (𝑋 ( 𝑌) ∧ 𝑍 ( 𝑊))) → (𝐹‘(𝑋 𝑌)) = ((𝐹𝑋) + (𝐹𝑌)))
3938ineq1d 4171 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵) ∧ (𝑋 ( 𝑌) ∧ 𝑍 ( 𝑊))) → ((𝐹‘(𝑋 𝑌)) ∩ (𝐹𝑍)) = (((𝐹𝑋) + (𝐹𝑌)) ∩ (𝐹𝑍)))
4035, 39eqtrd 2776 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵) ∧ (𝑋 ( 𝑌) ∧ 𝑍 ( 𝑊))) → (𝐹‘((𝑋 𝑌) 𝑍)) = (((𝐹𝑋) + (𝐹𝑌)) ∩ (𝐹𝑍)))
4140oveq1d 7372 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵) ∧ (𝑋 ( 𝑌) ∧ 𝑍 ( 𝑊))) → ((𝐹‘((𝑋 𝑌) 𝑍)) + (𝐹𝑊)) = ((((𝐹𝑋) + (𝐹𝑌)) ∩ (𝐹𝑍)) + (𝐹𝑊)))
4233, 41eqtrd 2776 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵) ∧ (𝑋 ( 𝑌) ∧ 𝑍 ( 𝑊))) → (𝐹‘(((𝑋 𝑌) 𝑍) 𝑊)) = ((((𝐹𝑋) + (𝐹𝑌)) ∩ (𝐹𝑍)) + (𝐹𝑊)))
4342ineq1d 4171 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵) ∧ (𝑋 ( 𝑌) ∧ 𝑍 ( 𝑊))) → ((𝐹‘(((𝑋 𝑌) 𝑍) 𝑊)) ∩ (𝐹𝑉)) = (((((𝐹𝑋) + (𝐹𝑌)) ∩ (𝐹𝑍)) + (𝐹𝑊)) ∩ (𝐹𝑉)))
4420, 43eqtrd 2776 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵) ∧ (𝑋 ( 𝑌) ∧ 𝑍 ( 𝑊))) → (𝐹‘((((𝑋 𝑌) 𝑍) 𝑊) 𝑉)) = (((((𝐹𝑋) + (𝐹𝑌)) ∩ (𝐹𝑍)) + (𝐹𝑊)) ∩ (𝐹𝑉)))
45443expia 1121 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵)) → ((𝑋 ( 𝑌) ∧ 𝑍 ( 𝑊)) → (𝐹‘((((𝑋 𝑌) 𝑍) 𝑊) 𝑉)) = (((((𝐹𝑋) + (𝐹𝑌)) ∩ (𝐹𝑍)) + (𝐹𝑊)) ∩ (𝐹𝑉))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  cin 3909   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  Basecbs 17083  lecple 17140  occoc 17141  joincjn 18200  meetcmee 18201  Latclat 18320  OPcops 37634  Atomscatm 37725  HLchlt 37812  pmapcpmap 37960  +𝑃cpadd 38258
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-proset 18184  df-poset 18202  df-plt 18219  df-lub 18235  df-glb 18236  df-join 18237  df-meet 18238  df-p0 18314  df-p1 18315  df-lat 18321  df-clat 18388  df-oposet 37638  df-ol 37640  df-oml 37641  df-covers 37728  df-ats 37729  df-atl 37760  df-cvlat 37784  df-hlat 37813  df-psubsp 37966  df-pmap 37967  df-padd 38259  df-polarityN 38366  df-psubclN 38398
This theorem is referenced by:  pl42lem4N  38445
  Copyright terms: Public domain W3C validator