Theorem plpv 11122

Description: Value of addition on positive reals. (Contributed by NM, 28-Feb-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
plpv	⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝐴 +P 𝐵) = {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦 +Q 𝑧)})

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧

Proof of Theorem plpv

Dummy variables 𝑓 𝑔 ℎ 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-plp 11095	. 2 ⊢ +P = (𝑢 ∈ P, 𝑣 ∈ P ↦ {𝑓 ∣ ∃𝑔 ∈ 𝑢 ∃ℎ ∈ 𝑣 𝑓 = (𝑔 +Q ℎ)})
2		addclnq 11057	. 2 ⊢ ((𝑔 ∈ Q ∧ ℎ ∈ Q) → (𝑔 +Q ℎ) ∈ Q)
3	1, 2	genpv 11111	1 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝐴 +P 𝐵) = {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦 +Q 𝑧)})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {cab 2741  ∃wrex 3090  (class class class)co 7443   +_Q cplq 10967  Pcnp 10971   +_P cpp 10973

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-inf2 9669

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-oadd 8508  df-omul 8509  df-er 8745  df-ni 10984  df-pli 10985  df-mi 10986  df-lti 10987  df-plpq 11020  df-enq 11023  df-nq 11024  df-erq 11025  df-plq 11026  df-1nq 11028  df-np 11093  df-plp 11095

This theorem is used by:  addcompr  11133