MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plpv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem plpv 10767
Description: Value of addition on positive reals. (Contributed by NM, 28-Feb-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
plpv ((𝐴P𝐵P) → (𝐴 +P 𝐵) = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝐴𝑧𝐵 𝑥 = (𝑦 +Q 𝑧)})
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧

Proof of Theorem plpv
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-plp 10740 . 2 +P = (𝑢P, 𝑣P ↦ {𝑓 ∣ ∃𝑔𝑢𝑣 𝑓 = (𝑔 +Q )})
2 addclnq 10702 . 2 ((𝑔QQ) → (𝑔 +Q ) ∈ Q)
31, 2genpv 10756 1 ((𝐴P𝐵P) → (𝐴 +P 𝐵) = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝐴𝑧𝐵 𝑥 = (𝑦 +Q 𝑧)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1542  wcel 2110  {cab 2717  wrex 3067  (class class class)co 7271   +Q cplq 10612  Pcnp 10616   +P cpp 10618
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-inf2 9377
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-om 7707  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-1o 8288  df-oadd 8292  df-omul 8293  df-er 8481  df-ni 10629  df-pli 10630  df-mi 10631  df-lti 10632  df-plpq 10665  df-enq 10668  df-nq 10669  df-erq 10670  df-plq 10671  df-1nq 10673  df-np 10738  df-plp 10740
This theorem is referenced by:  addcompr  10778
  Copyright terms: Public domain W3C validator