Theorem mpv 10932

Description: Value of multiplication on positive reals. (Contributed by NM, 28-Feb-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
mpv	⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝐴 ·P 𝐵) = {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦 ·Q 𝑧)})

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧

Proof of Theorem mpv

Dummy variables 𝑓 𝑔 ℎ 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-mp 10905	. 2 ⊢ ·P = (𝑢 ∈ P, 𝑣 ∈ P ↦ {𝑓 ∣ ∃𝑔 ∈ 𝑢 ∃ℎ ∈ 𝑣 𝑓 = (𝑔 ·Q ℎ)})
2		mulclnq 10868	. 2 ⊢ ((𝑔 ∈ Q ∧ ℎ ∈ Q) → (𝑔 ·Q ℎ) ∈ Q)
3	1, 2	genpv 10920	1 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝐴 ·P 𝐵) = {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦 ·Q 𝑧)})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  {cab 2718  ∃wrex 3064  (class class class)co 7363   ·_Q cmq 10777  Pcnp 10780   ·_P cmp 10783

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-inf2 9560

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-oadd 8406  df-omul 8407  df-er 8640  df-ni 10793  df-mi 10795  df-lti 10796  df-mpq 10830  df-enq 10832  df-nq 10833  df-erq 10834  df-mq 10836  df-1nq 10837  df-np 10902  df-mp 10905

This theorem is referenced by:  mulcompr  10944