Theorem mpv 11028

Description: Value of multiplication on positive reals. (Contributed by NM, 28-Feb-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
mpv	⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝐴 ·P 𝐵) = {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦 ·Q 𝑧)})

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧

Proof of Theorem mpv

Dummy variables 𝑓 𝑔 ℎ 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-mp 11001	. 2 ⊢ ·P = (𝑢 ∈ P, 𝑣 ∈ P ↦ {𝑓 ∣ ∃𝑔 ∈ 𝑢 ∃ℎ ∈ 𝑣 𝑓 = (𝑔 ·Q ℎ)})
2		mulclnq 10964	. 2 ⊢ ((𝑔 ∈ Q ∧ ℎ ∈ Q) → (𝑔 ·Q ℎ) ∈ Q)
3	1, 2	genpv 11016	1 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝐴 ·P 𝐵) = {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦 ·Q 𝑧)})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {cab 2704  ∃wrex 3065  (class class class)co 7414   ·_Q cmq 10873  Pcnp 10876   ·_P cmp 10879

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9658

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-oadd 8484  df-omul 8485  df-er 8718  df-ni 10889  df-mi 10891  df-lti 10892  df-mpq 10926  df-enq 10928  df-nq 10929  df-erq 10930  df-mq 10932  df-1nq 10933  df-np 10998  df-mp 11001

This theorem is referenced by:  mulcompr  11040