Theorem pmtrdifel 19709

Description: A transposition of elements of a set without a special element corresponds to a transposition of elements of the set. (Contributed by AV, 15-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmtrdifel.t	⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
pmtrdifel.r	⊢ 𝑅 = ran (pmTrsp‘𝑁)

Assertion

Ref	Expression
pmtrdifel	⊢ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ∃𝑟 ∈ 𝑅 ∀𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})(𝑡‘𝑥) = (𝑟‘𝑥)

Distinct variable groups:   𝑡,𝑟,𝑥   𝐾,𝑟   𝑁,𝑟,𝑥   𝑅,𝑟   𝑥,𝑇

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥, 𝑡)   𝑇(𝑡, 𝑟)   𝐾(𝑥, 𝑡)   𝑁(𝑡)

Proof of Theorem pmtrdifel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pmtrdifel.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
2		pmtrdifel.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = ran (pmTrsp‘𝑁)
3		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom (𝑡 ∖ I )) = ((pmTrsp‘𝑁)‘dom (𝑡 ∖ I ))
4	1, 2, 3	pmtrdifellem1 19705	. . 3 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑇 → ((pmTrsp‘𝑁)‘dom (𝑡 ∖ I )) ∈ 𝑅)
5	1, 2, 3	pmtrdifellem3 19707	. . 3 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑇 → ∀𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})(𝑡‘𝑥) = (((pmTrsp‘𝑁)‘dom (𝑡 ∖ I ))‘𝑥))
6		fveq1 6895	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = ((pmTrsp‘𝑁)‘dom (𝑡 ∖ I )) → (𝑟‘𝑥) = (((pmTrsp‘𝑁)‘dom (𝑡 ∖ I ))‘𝑥))
7	6	eqeq2d 2774	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = ((pmTrsp‘𝑁)‘dom (𝑡 ∖ I )) → ((𝑡‘𝑥) = (𝑟‘𝑥) ↔ (𝑡‘𝑥) = (((pmTrsp‘𝑁)‘dom (𝑡 ∖ I ))‘𝑥)))
8	7	ralbidv 3189	. . . 4 ⊢ (𝑟 = ((pmTrsp‘𝑁)‘dom (𝑡 ∖ I )) → (∀𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})(𝑡‘𝑥) = (𝑟‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})(𝑡‘𝑥) = (((pmTrsp‘𝑁)‘dom (𝑡 ∖ I ))‘𝑥)))
9	8	rspcev 3580	. . 3 ⊢ ((((pmTrsp‘𝑁)‘dom (𝑡 ∖ I )) ∈ 𝑅 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})(𝑡‘𝑥) = (((pmTrsp‘𝑁)‘dom (𝑡 ∖ I ))‘𝑥)) → ∃𝑟 ∈ 𝑅 ∀𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})(𝑡‘𝑥) = (𝑟‘𝑥))
10	4, 5, 9	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑇 → ∃𝑟 ∈ 𝑅 ∀𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})(𝑡‘𝑥) = (𝑟‘𝑥))
11	10	rgen 3082	1 ⊢ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ∃𝑟 ∈ 𝑅 ∀𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})(𝑡‘𝑥) = (𝑟‘𝑥)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  ∀wral 3080  ∃wrex 3090   ∖ cdif 4048  {csn 4588   I cid 5549  dom cdm 5655  ran crn 5656  ‘cfv 6547  pmTrspcpmtr 19670

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-om 7888  df-1o 8490  df-2o 8491  df-er 8731  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-fin 8991  df-pmtr 19671

This theorem is used by: (None)