MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmtrdifwrdellem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmtrdifwrdellem1 19259
Description: Lemma 1 for pmtrdifwrdel 19263. (Contributed by AV, 15-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
pmtrdifel.t 𝑇 = ran (pmTrsp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
pmtrdifel.r 𝑅 = ran (pmTrsp‘𝑁)
pmtrdifwrdel.0 𝑈 = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊𝑥) ∖ I )))
Assertion
Ref Expression
pmtrdifwrdellem1 (𝑊 ∈ Word 𝑇𝑈 ∈ Word 𝑅)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,𝑇   𝑥,𝑅   𝑥,𝑊
Allowed substitution hints:   𝑈(𝑥)   𝐾(𝑥)

Proof of Theorem pmtrdifwrdellem1
StepHypRef Expression
1 wrdsymbcl 14412 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑇𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊𝑥) ∈ 𝑇)
2 pmtrdifel.t . . . . 5 𝑇 = ran (pmTrsp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
3 pmtrdifel.r . . . . 5 𝑅 = ran (pmTrsp‘𝑁)
4 eqid 2736 . . . . 5 ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊𝑥) ∖ I )) = ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊𝑥) ∖ I ))
52, 3, 4pmtrdifellem1 19254 . . . 4 ((𝑊𝑥) ∈ 𝑇 → ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊𝑥) ∖ I )) ∈ 𝑅)
61, 5syl 17 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑇𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊𝑥) ∖ I )) ∈ 𝑅)
7 pmtrdifwrdel.0 . . 3 𝑈 = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊𝑥) ∖ I )))
86, 7fmptd 7059 . 2 (𝑊 ∈ Word 𝑇𝑈:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑅)
9 iswrdi 14403 . 2 (𝑈:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑅𝑈 ∈ Word 𝑅)
108, 9syl 17 1 (𝑊 ∈ Word 𝑇𝑈 ∈ Word 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  cdif 3906  {csn 4585  cmpt 5187   I cid 5529  dom cdm 5632  ran crn 5633  wf 6490  cfv 6494  (class class class)co 7354  0cc0 11048  ..^cfzo 13564  chash 14227  Word cword 14399  pmTrspcpmtr 19219
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7669  ax-cnex 11104  ax-resscn 11105  ax-1cn 11106  ax-icn 11107  ax-addcl 11108  ax-addrcl 11109  ax-mulcl 11110  ax-mulrcl 11111  ax-mulcom 11112  ax-addass 11113  ax-mulass 11114  ax-distr 11115  ax-i2m1 11116  ax-1ne0 11117  ax-1rid 11118  ax-rnegex 11119  ax-rrecex 11120  ax-cnre 11121  ax-pre-lttri 11122  ax-pre-lttrn 11123  ax-pre-ltadd 11124  ax-pre-mulgt0 11125
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-int 4907  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5530  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6252  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7310  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-om 7800  df-1st 7918  df-2nd 7919  df-frecs 8209  df-wrecs 8240  df-recs 8314  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-2o 8410  df-er 8645  df-en 8881  df-dom 8882  df-sdom 8883  df-fin 8884  df-card 9872  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-xr 11190  df-ltxr 11191  df-le 11192  df-sub 11384  df-neg 11385  df-nn 12151  df-n0 12411  df-z 12497  df-uz 12761  df-fz 13422  df-fzo 13565  df-hash 14228  df-word 14400  df-pmtr 19220
This theorem is referenced by:  pmtrdifwrdel  19263  pmtrdifwrdel2  19264
  Copyright terms: Public domain W3C validator