Theorem pmtrdifwrdellem3 19006

Description: Lemma 3 for pmtrdifwrdel 19008. (Contributed by AV, 15-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmtrdifel.t	⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
pmtrdifel.r	⊢ 𝑅 = ran (pmTrsp‘𝑁)
pmtrdifwrdel.0	⊢ 𝑈 = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊‘𝑥) ∖ I )))

Assertion

Ref	Expression
pmtrdifwrdellem3	⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑇 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))∀𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})((𝑊‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑈‘𝑖)‘𝑛))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,𝑇   𝑥,𝑅   𝑥,𝑊   𝑇,𝑖,𝑛   𝑖,𝑊,𝑛   𝑥,𝑖

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑖,𝑛)   𝑈(𝑥,𝑖,𝑛)   𝐾(𝑥,𝑖,𝑛)   𝑁(𝑖,𝑛)

Proof of Theorem pmtrdifwrdellem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wrdsymbcl 14158	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑇 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘𝑖) ∈ 𝑇)
2		pmtrdifel.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
3		pmtrdifel.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = ran (pmTrsp‘𝑁)
4		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊‘𝑖) ∖ I )) = ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊‘𝑖) ∖ I ))
5	2, 3, 4	pmtrdifellem3 19001	. . . 4 ⊢ ((𝑊‘𝑖) ∈ 𝑇 → ∀𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})((𝑊‘𝑖)‘𝑛) = (((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊‘𝑖) ∖ I ))‘𝑛))
6	1, 5	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑇 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ∀𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})((𝑊‘𝑖)‘𝑛) = (((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊‘𝑖) ∖ I ))‘𝑛))
7		pmtrdifwrdel.0	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊‘𝑥) ∖ I )))
8		fveq2 6756	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑖 → (𝑊‘𝑥) = (𝑊‘𝑖))
9	8	difeq1d 4052	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑖 → ((𝑊‘𝑥) ∖ I ) = ((𝑊‘𝑖) ∖ I ))
10	9	dmeqd 5803	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑖 → dom ((𝑊‘𝑥) ∖ I ) = dom ((𝑊‘𝑖) ∖ I ))
11	10	fveq2d 6760	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑖 → ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊‘𝑥) ∖ I )) = ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊‘𝑖) ∖ I )))
12		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑇 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
13		fvexd 6771	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑇 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊‘𝑖) ∖ I )) ∈ V)
14	7, 11, 12, 13	fvmptd3 6880	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑇 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑈‘𝑖) = ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊‘𝑖) ∖ I )))
15	14	fveq1d 6758	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑇 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑈‘𝑖)‘𝑛) = (((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊‘𝑖) ∖ I ))‘𝑛))
16	15	eqeq2d 2749	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑇 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (((𝑊‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑈‘𝑖)‘𝑛) ↔ ((𝑊‘𝑖)‘𝑛) = (((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊‘𝑖) ∖ I ))‘𝑛)))
17	16	ralbidv 3120	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑇 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (∀𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})((𝑊‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑈‘𝑖)‘𝑛) ↔ ∀𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})((𝑊‘𝑖)‘𝑛) = (((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊‘𝑖) ∖ I ))‘𝑛)))
18	6, 17	mpbird 256	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑇 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ∀𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})((𝑊‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑈‘𝑖)‘𝑛))
19	18	ralrimiva 3107	1 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑇 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))∀𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})((𝑊‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑈‘𝑖)‘𝑛))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  Vcvv 3422   ∖ cdif 3880  {csn 4558   ↦ cmpt 5153   I cid 5479  dom cdm 5580  ran crn 5581  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  0cc0 10802  ..^cfzo 13311  ♯chash 13972  Word cword 14145  pmTrspcpmtr 18964

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-hash 13973  df-word 14146  df-pmtr 18965

This theorem is referenced by:  pmtrdifwrdel  19008  pmtrdifwrdel2  19009