MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmtrdifwrdellem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmtrdifwrdellem3 19429
Description: Lemma 3 for pmtrdifwrdel 19431. (Contributed by AV, 15-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
pmtrdifel.t 𝑇 = ran (pmTrsp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
pmtrdifel.r 𝑅 = ran (pmTrsp‘𝑁)
pmtrdifwrdel.0 𝑈 = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊𝑥) ∖ I )))
Assertion
Ref Expression
pmtrdifwrdellem3 (𝑊 ∈ Word 𝑇 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))∀𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})((𝑊𝑖)‘𝑛) = ((𝑈𝑖)‘𝑛))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,𝑇   𝑥,𝑅   𝑥,𝑊   𝑇,𝑖,𝑛   𝑖,𝑊,𝑛   𝑥,𝑖
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑖,𝑛)   𝑈(𝑥,𝑖,𝑛)   𝐾(𝑥,𝑖,𝑛)   𝑁(𝑖,𝑛)

Proof of Theorem pmtrdifwrdellem3
StepHypRef Expression
1 wrdsymbcl 14501 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑇𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊𝑖) ∈ 𝑇)
2 pmtrdifel.t . . . . 5 𝑇 = ran (pmTrsp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
3 pmtrdifel.r . . . . 5 𝑅 = ran (pmTrsp‘𝑁)
4 eqid 2727 . . . . 5 ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊𝑖) ∖ I )) = ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊𝑖) ∖ I ))
52, 3, 4pmtrdifellem3 19424 . . . 4 ((𝑊𝑖) ∈ 𝑇 → ∀𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})((𝑊𝑖)‘𝑛) = (((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊𝑖) ∖ I ))‘𝑛))
61, 5syl 17 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑇𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ∀𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})((𝑊𝑖)‘𝑛) = (((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊𝑖) ∖ I ))‘𝑛))
7 pmtrdifwrdel.0 . . . . . . 7 𝑈 = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊𝑥) ∖ I )))
8 fveq2 6891 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑖 → (𝑊𝑥) = (𝑊𝑖))
98difeq1d 4117 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑖 → ((𝑊𝑥) ∖ I ) = ((𝑊𝑖) ∖ I ))
109dmeqd 5902 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑖 → dom ((𝑊𝑥) ∖ I ) = dom ((𝑊𝑖) ∖ I ))
1110fveq2d 6895 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑖 → ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊𝑥) ∖ I )) = ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊𝑖) ∖ I )))
12 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑇𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
13 fvexd 6906 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑇𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊𝑖) ∖ I )) ∈ V)
147, 11, 12, 13fvmptd3 7022 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑇𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑈𝑖) = ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊𝑖) ∖ I )))
1514fveq1d 6893 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑇𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑈𝑖)‘𝑛) = (((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊𝑖) ∖ I ))‘𝑛))
1615eqeq2d 2738 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑇𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (((𝑊𝑖)‘𝑛) = ((𝑈𝑖)‘𝑛) ↔ ((𝑊𝑖)‘𝑛) = (((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊𝑖) ∖ I ))‘𝑛)))
1716ralbidv 3172 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑇𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (∀𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})((𝑊𝑖)‘𝑛) = ((𝑈𝑖)‘𝑛) ↔ ∀𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})((𝑊𝑖)‘𝑛) = (((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊𝑖) ∖ I ))‘𝑛)))
186, 17mpbird 257 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑇𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ∀𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})((𝑊𝑖)‘𝑛) = ((𝑈𝑖)‘𝑛))
1918ralrimiva 3141 1 (𝑊 ∈ Word 𝑇 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))∀𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})((𝑊𝑖)‘𝑛) = ((𝑈𝑖)‘𝑛))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3056  Vcvv 3469  cdif 3941  {csn 4624  cmpt 5225   I cid 5569  dom cdm 5672  ran crn 5673  cfv 6542  (class class class)co 7414  0cc0 11130  ..^cfzo 13651  chash 14313  Word cword 14488  pmTrspcpmtr 19387
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-hash 14314  df-word 14489  df-pmtr 19388
This theorem is referenced by:  pmtrdifwrdel  19431  pmtrdifwrdel2  19432
  Copyright terms: Public domain W3C validator