MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmtrdifwrdellem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmtrdifwrdellem3 19273
Description: Lemma 3 for pmtrdifwrdel 19275. (Contributed by AV, 15-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
pmtrdifel.t 𝑇 = ran (pmTrsp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
pmtrdifel.r 𝑅 = ran (pmTrsp‘𝑁)
pmtrdifwrdel.0 𝑈 = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊𝑥) ∖ I )))
Assertion
Ref Expression
pmtrdifwrdellem3 (𝑊 ∈ Word 𝑇 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))∀𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})((𝑊𝑖)‘𝑛) = ((𝑈𝑖)‘𝑛))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,𝑇   𝑥,𝑅   𝑥,𝑊   𝑇,𝑖,𝑛   𝑖,𝑊,𝑛   𝑥,𝑖
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑖,𝑛)   𝑈(𝑥,𝑖,𝑛)   𝐾(𝑥,𝑖,𝑛)   𝑁(𝑖,𝑛)

Proof of Theorem pmtrdifwrdellem3
StepHypRef Expression
1 wrdsymbcl 14424 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑇𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊𝑖) ∈ 𝑇)
2 pmtrdifel.t . . . . 5 𝑇 = ran (pmTrsp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
3 pmtrdifel.r . . . . 5 𝑅 = ran (pmTrsp‘𝑁)
4 eqid 2733 . . . . 5 ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊𝑖) ∖ I )) = ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊𝑖) ∖ I ))
52, 3, 4pmtrdifellem3 19268 . . . 4 ((𝑊𝑖) ∈ 𝑇 → ∀𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})((𝑊𝑖)‘𝑛) = (((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊𝑖) ∖ I ))‘𝑛))
61, 5syl 17 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑇𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ∀𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})((𝑊𝑖)‘𝑛) = (((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊𝑖) ∖ I ))‘𝑛))
7 pmtrdifwrdel.0 . . . . . . 7 𝑈 = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊𝑥) ∖ I )))
8 fveq2 6846 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑖 → (𝑊𝑥) = (𝑊𝑖))
98difeq1d 4085 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑖 → ((𝑊𝑥) ∖ I ) = ((𝑊𝑖) ∖ I ))
109dmeqd 5865 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑖 → dom ((𝑊𝑥) ∖ I ) = dom ((𝑊𝑖) ∖ I ))
1110fveq2d 6850 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑖 → ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊𝑥) ∖ I )) = ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊𝑖) ∖ I )))
12 simpr 486 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑇𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
13 fvexd 6861 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑇𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊𝑖) ∖ I )) ∈ V)
147, 11, 12, 13fvmptd3 6975 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑇𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑈𝑖) = ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊𝑖) ∖ I )))
1514fveq1d 6848 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑇𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑈𝑖)‘𝑛) = (((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊𝑖) ∖ I ))‘𝑛))
1615eqeq2d 2744 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑇𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (((𝑊𝑖)‘𝑛) = ((𝑈𝑖)‘𝑛) ↔ ((𝑊𝑖)‘𝑛) = (((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊𝑖) ∖ I ))‘𝑛)))
1716ralbidv 3171 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑇𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (∀𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})((𝑊𝑖)‘𝑛) = ((𝑈𝑖)‘𝑛) ↔ ∀𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})((𝑊𝑖)‘𝑛) = (((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊𝑖) ∖ I ))‘𝑛)))
186, 17mpbird 257 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑇𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ∀𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})((𝑊𝑖)‘𝑛) = ((𝑈𝑖)‘𝑛))
1918ralrimiva 3140 1 (𝑊 ∈ Word 𝑇 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))∀𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})((𝑊𝑖)‘𝑛) = ((𝑈𝑖)‘𝑛))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3061  Vcvv 3447  cdif 3911  {csn 4590  cmpt 5192   I cid 5534  dom cdm 5637  ran crn 5638  cfv 6500  (class class class)co 7361  0cc0 11059  ..^cfzo 13576  chash 14239  Word cword 14411  pmTrspcpmtr 19231
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-hash 14240  df-word 14412  df-pmtr 19232
This theorem is referenced by:  pmtrdifwrdel  19275  pmtrdifwrdel2  19276
  Copyright terms: Public domain W3C validator