MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmtrdifwrdellem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmtrdifwrdellem3 19516
Description: Lemma 3 for pmtrdifwrdel 19518. (Contributed by AV, 15-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
pmtrdifel.t 𝑇 = ran (pmTrsp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
pmtrdifel.r 𝑅 = ran (pmTrsp‘𝑁)
pmtrdifwrdel.0 𝑈 = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊𝑥) ∖ I )))
Assertion
Ref Expression
pmtrdifwrdellem3 (𝑊 ∈ Word 𝑇 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))∀𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})((𝑊𝑖)‘𝑛) = ((𝑈𝑖)‘𝑛))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,𝑇   𝑥,𝑅   𝑥,𝑊   𝑇,𝑖,𝑛   𝑖,𝑊,𝑛   𝑥,𝑖
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑖,𝑛)   𝑈(𝑥,𝑖,𝑛)   𝐾(𝑥,𝑖,𝑛)   𝑁(𝑖,𝑛)

Proof of Theorem pmtrdifwrdellem3
StepHypRef Expression
1 wrdsymbcl 14562 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑇𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊𝑖) ∈ 𝑇)
2 pmtrdifel.t . . . . 5 𝑇 = ran (pmTrsp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
3 pmtrdifel.r . . . . 5 𝑅 = ran (pmTrsp‘𝑁)
4 eqid 2735 . . . . 5 ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊𝑖) ∖ I )) = ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊𝑖) ∖ I ))
52, 3, 4pmtrdifellem3 19511 . . . 4 ((𝑊𝑖) ∈ 𝑇 → ∀𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})((𝑊𝑖)‘𝑛) = (((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊𝑖) ∖ I ))‘𝑛))
61, 5syl 17 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑇𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ∀𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})((𝑊𝑖)‘𝑛) = (((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊𝑖) ∖ I ))‘𝑛))
7 pmtrdifwrdel.0 . . . . . . 7 𝑈 = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊𝑥) ∖ I )))
8 fveq2 6907 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑖 → (𝑊𝑥) = (𝑊𝑖))
98difeq1d 4135 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑖 → ((𝑊𝑥) ∖ I ) = ((𝑊𝑖) ∖ I ))
109dmeqd 5919 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑖 → dom ((𝑊𝑥) ∖ I ) = dom ((𝑊𝑖) ∖ I ))
1110fveq2d 6911 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑖 → ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊𝑥) ∖ I )) = ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊𝑖) ∖ I )))
12 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑇𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
13 fvexd 6922 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑇𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊𝑖) ∖ I )) ∈ V)
147, 11, 12, 13fvmptd3 7039 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑇𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑈𝑖) = ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊𝑖) ∖ I )))
1514fveq1d 6909 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑇𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑈𝑖)‘𝑛) = (((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊𝑖) ∖ I ))‘𝑛))
1615eqeq2d 2746 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑇𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (((𝑊𝑖)‘𝑛) = ((𝑈𝑖)‘𝑛) ↔ ((𝑊𝑖)‘𝑛) = (((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊𝑖) ∖ I ))‘𝑛)))
1716ralbidv 3176 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑇𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (∀𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})((𝑊𝑖)‘𝑛) = ((𝑈𝑖)‘𝑛) ↔ ∀𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})((𝑊𝑖)‘𝑛) = (((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊𝑖) ∖ I ))‘𝑛)))
186, 17mpbird 257 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑇𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ∀𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})((𝑊𝑖)‘𝑛) = ((𝑈𝑖)‘𝑛))
1918ralrimiva 3144 1 (𝑊 ∈ Word 𝑇 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))∀𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})((𝑊𝑖)‘𝑛) = ((𝑈𝑖)‘𝑛))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  Vcvv 3478  cdif 3960  {csn 4631  cmpt 5231   I cid 5582  dom cdm 5689  ran crn 5690  cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153  ..^cfzo 13691  chash 14366  Word cword 14549  pmTrspcpmtr 19474
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-hash 14367  df-word 14550  df-pmtr 19475
This theorem is referenced by:  pmtrdifwrdel  19518  pmtrdifwrdel2  19519
  Copyright terms: Public domain W3C validator