Theorem pmtrff1o 19479

Description: A transposition function is a permutation. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmtrrn.t	⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
pmtrrn.r	⊢ 𝑅 = ran 𝑇

Assertion

Ref	Expression
pmtrff1o	⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → 𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷)

Proof of Theorem pmtrff1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pmtrrn.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
2		pmtrrn.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = ran 𝑇
3		eqid 2756	. . . . . 6 ⊢ dom (𝐹 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I )
4	1, 2, 3	pmtrfrn 19474	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → ((𝐷 ∈ V ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o) ∧ 𝐹 = (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I ))))
5	4	simpld 497	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → (𝐷 ∈ V ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o))
6	1	pmtrf 19471	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ V ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o) → (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )):𝐷⟶𝐷)
7	5, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )):𝐷⟶𝐷)
8	4	simprd 498	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → 𝐹 = (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )))
9	8	feq1d 6662	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → (𝐹:𝐷⟶𝐷 ↔ (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )):𝐷⟶𝐷))
10	7, 9	mpbird 259	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → 𝐹:𝐷⟶𝐷)
11	1, 2	pmtrfinv 19477	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → (𝐹 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝐷))
12	10, 10, 11, 11	fcof1od 7267	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → 𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1095   = wceq 1554   ∈ wcel 2136  Vcvv 3448   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5094   I cid 5534  dom cdm 5640  ran crn 5641  ⟶wf 6506  –1-1-onto→wf1o 6509  ‘cfv 6510  2_oc2o 8419   ≈ cen 8913  pmTrspcpmtr 19457

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-rep 5221  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-ral 3071  df-rex 3081  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4945  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-tr 5202  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-om 7836  df-1o 8425  df-2o 8426  df-er 8666  df-en 8917  df-dom 8918  df-sdom 8919  df-fin 8920  df-pmtr 19458

This theorem is referenced by:  pmtrfb  19481  pmtrfconj  19482  symgtrf  19485  psgnunilem1  19509  pmtrcnel  33223  pmtrcnel2  33224  fzo0pmtrlast  33226  pmtridf1o  33228  psgnfzto1stlem  33234