Theorem pmtrff1o 19373

Description: A transposition function is a permutation. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmtrrn.t	⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
pmtrrn.r	⊢ 𝑅 = ran 𝑇

Assertion

Ref	Expression
pmtrff1o	⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → 𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷)

Proof of Theorem pmtrff1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pmtrrn.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
2		pmtrrn.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = ran 𝑇
3		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ dom (𝐹 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I )
4	1, 2, 3	pmtrfrn 19368	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → ((𝐷 ∈ V ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o) ∧ 𝐹 = (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I ))))
5	4	simpld 494	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → (𝐷 ∈ V ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o))
6	1	pmtrf 19365	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ V ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o) → (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )):𝐷⟶𝐷)
7	5, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )):𝐷⟶𝐷)
8	4	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → 𝐹 = (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )))
9	8	feq1d 6633	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → (𝐹:𝐷⟶𝐷 ↔ (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )):𝐷⟶𝐷))
10	7, 9	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → 𝐹:𝐷⟶𝐷)
11	1, 2	pmtrfinv 19371	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → (𝐹 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝐷))
12	10, 10, 11, 11	fcof1od 7228	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → 𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436   ∖ cdif 3899   ⊆ wss 3902   class class class wbr 5091   I cid 5510  dom cdm 5616  ran crn 5617  ⟶wf 6477  –1-1-onto→wf1o 6480  ‘cfv 6481  2_oc2o 8379   ≈ cen 8866  pmTrspcpmtr 19351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-om 7797  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-pmtr 19352

This theorem is referenced by:  pmtrfb  19375  pmtrfconj  19376  symgtrf  19379  psgnunilem1  19403  pmtrcnel  33053  pmtrcnel2  33054  fzo0pmtrlast  33056  pmtridf1o  33058  psgnfzto1stlem  33064