MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmtrff1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmtrff1o 18084
Description: A transposition function is a permutation. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pmtrrn.t 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
pmtrrn.r 𝑅 = ran 𝑇
Assertion
Ref Expression
pmtrff1o (𝐹𝑅𝐹:𝐷1-1-onto𝐷)

Proof of Theorem pmtrff1o
StepHypRef Expression
1 pmtrrn.t . . . . . 6 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
2 pmtrrn.r . . . . . 6 𝑅 = ran 𝑇
3 eqid 2806 . . . . . 6 dom (𝐹 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I )
41, 2, 3pmtrfrn 18079 . . . . 5 (𝐹𝑅 → ((𝐷 ∈ V ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2𝑜) ∧ 𝐹 = (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I ))))
54simpld 484 . . . 4 (𝐹𝑅 → (𝐷 ∈ V ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2𝑜))
61pmtrf 18076 . . . 4 ((𝐷 ∈ V ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2𝑜) → (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )):𝐷𝐷)
75, 6syl 17 . . 3 (𝐹𝑅 → (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )):𝐷𝐷)
84simprd 485 . . . 4 (𝐹𝑅𝐹 = (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )))
98feq1d 6241 . . 3 (𝐹𝑅 → (𝐹:𝐷𝐷 ↔ (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )):𝐷𝐷))
107, 9mpbird 248 . 2 (𝐹𝑅𝐹:𝐷𝐷)
111, 2pmtrfinv 18082 . 2 (𝐹𝑅 → (𝐹𝐹) = ( I ↾ 𝐷))
1210, 10, 11, 11fcof1od 6773 1 (𝐹𝑅𝐹:𝐷1-1-onto𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1100   = wceq 1637  wcel 2156  Vcvv 3391  cdif 3766  wss 3769   class class class wbr 4844   I cid 5218  dom cdm 5311  ran crn 5312  wf 6097  1-1-ontowf1o 6100  cfv 6101  2𝑜c2o 7790  cen 8189  pmTrspcpmtr 18062
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7179
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-iun 4714  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-om 7296  df-1o 7796  df-2o 7797  df-er 7979  df-en 8193  df-dom 8194  df-sdom 8195  df-fin 8196  df-pmtr 18063
This theorem is referenced by:  pmtrfb  18086  pmtrfconj  18087  symgtrf  18090  psgnunilem1  18114  psgnfzto1stlem  30175  pmtridf1o  30181
  Copyright terms: Public domain W3C validator