Theorem r1wf 35271

Description: Each stage in the cumulative hierarchy is well-founded. (Contributed by BTernaryTau, 19-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
r1wf	⊢ (𝑅1‘𝐴) ∈ ∪ (𝑅1 “ On)

Proof of Theorem r1wf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6855	. . . . 5 ⊢ (𝑅1‘𝐴) ∈ V
2	1	pwid 4578	. . . 4 ⊢ (𝑅1‘𝐴) ∈ 𝒫 (𝑅1‘𝐴)
3		r1suc 9694	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝑅1‘suc 𝐴) = 𝒫 (𝑅1‘𝐴))
4	2, 3	eleqtrrid 2844	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝑅1‘𝐴) ∈ (𝑅1‘suc 𝐴))
5		r1elwf 9720	. . 3 ⊢ ((𝑅1‘𝐴) ∈ (𝑅1‘suc 𝐴) → (𝑅1‘𝐴) ∈ ∪ (𝑅1 “ On))
6	4, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝑅1‘𝐴) ∈ ∪ (𝑅1 “ On))
7		onwf 9754	. . 3 ⊢ On ⊆ ∪ (𝑅1 “ On)
8		r1fnon 9691	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅1 Fn On
9	8	fndmi 6604	. . . . . 6 ⊢ dom 𝑅1 = On
10	9	eleq2i 2829	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑅1 ↔ 𝐴 ∈ On)
11		ndmfv 6874	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1‘𝐴) = ∅)
12	10, 11	sylnbir 331	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ On → (𝑅1‘𝐴) = ∅)
13		0elon 6380	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ On
14	12, 13	eqeltrdi 2845	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ On → (𝑅1‘𝐴) ∈ On)
15	7, 14	sselid 3933	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ On → (𝑅1‘𝐴) ∈ ∪ (𝑅1 “ On))
16	6, 15	pm2.61i 182	1 ⊢ (𝑅1‘𝐴) ∈ ∪ (𝑅1 “ On)

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∅c0 4287  𝒫 cpw 4556  ∪ cuni 4865  dom cdm 5632   “ cima 5635  Oncon0 6325  suc csuc 6327  ‘cfv 6500  𝑅₁cr1 9686

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-r1 9688  df-rank 9689

This theorem is referenced by:  rankval4b  35275