Theorem r1wf 9871

Description: Each stage in the cumulative hierarchy is well-founded. (Contributed by BTernaryTau, 19-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
r1wf	⊢ (𝑅1‘𝐴) ∈ ∪ (𝑅1 “ On)

Proof of Theorem r1wf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6924	. . . . 5 ⊢ (𝑅1‘𝐴) ∈ V
2	1	pwid 4584	. . . 4 ⊢ (𝑅1‘𝐴) ∈ 𝒫 (𝑅1‘𝐴)
3		r1suc 9807	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝑅1‘suc 𝐴) = 𝒫 (𝑅1‘𝐴))
4	2, 3	eleqtrrid 2871	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝑅1‘𝐴) ∈ (𝑅1‘suc 𝐴))
5		r1elwf 9834	. . 3 ⊢ ((𝑅1‘𝐴) ∈ (𝑅1‘suc 𝐴) → (𝑅1‘𝐴) ∈ ∪ (𝑅1 “ On))
6	4, 5	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝑅1‘𝐴) ∈ ∪ (𝑅1 “ On))
7		onwf 9870	. . 3 ⊢ On ⊆ ∪ (𝑅1 “ On)
8		r1fnon 9803	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅1 Fn On
9	8	fndmi 6668	. . . . . 6 ⊢ dom 𝑅1 = On
10	9	eleq2i 2856	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑅1 ↔ 𝐴 ∈ On)
11		ndmfv 6943	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1‘𝐴) = ∅)
12	10, 11	sylnbir 334	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ On → (𝑅1‘𝐴) = ∅)
13		0elon 6439	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ On
14	12, 13	eqeltrdi 2872	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ On → (𝑅1‘𝐴) ∈ On)
15	7, 14	sselid 3911	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ On → (𝑅1‘𝐴) ∈ ∪ (𝑅1 “ On))
16	6, 15	pm2.61i 184	1 ⊢ (𝑅1‘𝐴) ∈ ∪ (𝑅1 “ On)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∅c0 4281  𝒫 cpw 4560  ∪ cuni 4870  dom cdm 5656   “ cima 5659  Oncon0 6383  suc csuc 6385  ‘cfv 6561  𝑅₁cr1 9796

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7449  df-om 7905  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-r1 9798  df-rank 9799

This theorem is used by:  rankval4b  9910