Theorem r1wf 35467

Description: Each stage in the cumulative hierarchy is well-founded. (Contributed by BTernaryTau, 19-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
r1wf	⊢ (𝑅1‘𝐴) ∈ ∪ (𝑅1 “ On)

Proof of Theorem r1wf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6896	. . . . 5 ⊢ (𝑅1‘𝐴) ∈ V
2	1	pwid 4586	. . . 4 ⊢ (𝑅1‘𝐴) ∈ 𝒫 (𝑅1‘𝐴)
3		r1suc 9743	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝑅1‘suc 𝐴) = 𝒫 (𝑅1‘𝐴))
4	2, 3	eleqtrrid 2870	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝑅1‘𝐴) ∈ (𝑅1‘suc 𝐴))
5		r1elwf 9769	. . 3 ⊢ ((𝑅1‘𝐴) ∈ (𝑅1‘suc 𝐴) → (𝑅1‘𝐴) ∈ ∪ (𝑅1 “ On))
6	4, 5	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝑅1‘𝐴) ∈ ∪ (𝑅1 “ On))
7		onwf 9803	. . 3 ⊢ On ⊆ ∪ (𝑅1 “ On)
8		r1fnon 9740	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅1 Fn On
9	8	fndmi 6641	. . . . . 6 ⊢ dom 𝑅1 = On
10	9	eleq2i 2855	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑅1 ↔ 𝐴 ∈ On)
11		ndmfv 6915	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1‘𝐴) = ∅)
12	10, 11	sylnbir 334	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ On → (𝑅1‘𝐴) = ∅)
13		0elon 6418	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ On
14	12, 13	eqeltrdi 2871	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ On → (𝑅1‘𝐴) ∈ On)
15	7, 14	sselid 3936	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ On → (𝑅1‘𝐴) ∈ ∪ (𝑅1 “ On))
16	6, 15	pm2.61i 184	1 ⊢ (𝑅1‘𝐴) ∈ ∪ (𝑅1 “ On)

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∅c0 4287  𝒫 cpw 4563  ∪ cuni 4873  dom cdm 5663   “ cima 5666  Oncon0 6362  suc csuc 6364  ‘cfv 6538  𝑅₁cr1 9735

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7415  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-r1 9737  df-rank 9738

This theorem is referenced by:  rankval4b  35471