Theorem r1rankidb 9757

Description: Any set is a subset of the hierarchy of its rank. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
r1rankidb	⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → 𝐴 ⊆ (𝑅1‘(rank‘𝐴)))

Proof of Theorem r1rankidb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3969	. 2 ⊢ (rank‘𝐴) ⊆ (rank‘𝐴)
2		rankdmr1 9754	. . 3 ⊢ (rank‘𝐴) ∈ dom 𝑅1
3		rankr1bg 9756	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ (rank‘𝐴) ∈ dom 𝑅1) → (𝐴 ⊆ (𝑅1‘(rank‘𝐴)) ↔ (rank‘𝐴) ⊆ (rank‘𝐴)))
4	2, 3	mpan2 691	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → (𝐴 ⊆ (𝑅1‘(rank‘𝐴)) ↔ (rank‘𝐴) ⊆ (rank‘𝐴)))
5	1, 4	mpbiri 258	1 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → 𝐴 ⊆ (𝑅1‘(rank‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3914  ∪ cuni 4871  dom cdm 5638   “ cima 5641  Oncon0 6332  ‘cfv 6511  𝑅₁cr1 9715  rankcrnk 9716

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-r1 9717  df-rank 9718

This theorem is referenced by:  pwwf  9760  unwf  9763  rankpwi  9776  rankelb  9777  rankssb  9801  r1rankid  9812  tcrank  9837