Theorem r1rankidb 9025

Description: Any set is a subset of the hierarchy of its rank. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
r1rankidb	⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → 𝐴 ⊆ (𝑅1‘(rank‘𝐴)))

Proof of Theorem r1rankidb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3872	. 2 ⊢ (rank‘𝐴) ⊆ (rank‘𝐴)
2		rankdmr1 9022	. . 3 ⊢ (rank‘𝐴) ∈ dom 𝑅1
3		rankr1bg 9024	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ (rank‘𝐴) ∈ dom 𝑅1) → (𝐴 ⊆ (𝑅1‘(rank‘𝐴)) ↔ (rank‘𝐴) ⊆ (rank‘𝐴)))
4	2, 3	mpan2 679	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → (𝐴 ⊆ (𝑅1‘(rank‘𝐴)) ↔ (rank‘𝐴) ⊆ (rank‘𝐴)))
5	1, 4	mpbiri 250	1 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → 𝐴 ⊆ (𝑅1‘(rank‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∈ wcel 2051   ⊆ wss 3822  ∪ cuni 4708  dom cdm 5403   “ cima 5406  Oncon0 6026  ‘cfv 6185  𝑅₁cr1 8983  rankcrnk 8984

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-ral 3086  df-rex 3087  df-reu 3088  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-pss 3838  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-int 4746  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-om 7395  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-r1 8985  df-rank 8986

This theorem is referenced by:  pwwf  9028  unwf  9031  rankpwi  9044  rankelb  9045  rankssb  9069  r1rankid  9080  tcrank  9105