Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dfac11 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dfac11 41804
Description: The right-hand side of this theorem (compare with ac4 10470), sometimes known as the "axiom of multiple choice", is a choice equivalent. Curiously, this statement cannot be proved without ax-reg 9587, despite not mentioning the cumulative hierarchy in any way as most consequences of regularity do.

This is definition (MC) of [Schechter] p. 141. EDITORIAL: the proof is not original with me of course but I lost my reference sometime after writing it.

A multiple choice function allows any total order to be extended to a choice function, which in turn defines a well-ordering. Since a well-ordering on a set defines a simple ordering of the power set, this allows the trivial well-ordering of the empty set to be transfinitely bootstrapped up the cumulative hierarchy to any desired level. (Contributed by Stefan O'Rear, 20-Jan-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 1-Jun-2015.)

Assertion
Ref Expression
dfac11 (CHOICE ↔ βˆ€π‘₯βˆƒπ‘“βˆ€π‘§ ∈ π‘₯ (𝑧 β‰  βˆ… β†’ (π‘“β€˜π‘§) ∈ ((𝒫 𝑧 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…})))
Distinct variable group:   π‘₯,𝑧,𝑓

Proof of Theorem dfac11
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfac3 10116 . . 3 (CHOICE ↔ βˆ€π‘Žβˆƒπ‘βˆ€π‘‘ ∈ π‘Ž (𝑑 β‰  βˆ… β†’ (π‘β€˜π‘‘) ∈ 𝑑))
2 raleq 3323 . . . . . 6 (π‘Ž = π‘₯ β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ π‘Ž (𝑑 β‰  βˆ… β†’ (π‘β€˜π‘‘) ∈ 𝑑) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ π‘₯ (𝑑 β‰  βˆ… β†’ (π‘β€˜π‘‘) ∈ 𝑑)))
32exbidv 1925 . . . . 5 (π‘Ž = π‘₯ β†’ (βˆƒπ‘βˆ€π‘‘ ∈ π‘Ž (𝑑 β‰  βˆ… β†’ (π‘β€˜π‘‘) ∈ 𝑑) ↔ βˆƒπ‘βˆ€π‘‘ ∈ π‘₯ (𝑑 β‰  βˆ… β†’ (π‘β€˜π‘‘) ∈ 𝑑)))
43cbvalvw 2040 . . . 4 (βˆ€π‘Žβˆƒπ‘βˆ€π‘‘ ∈ π‘Ž (𝑑 β‰  βˆ… β†’ (π‘β€˜π‘‘) ∈ 𝑑) ↔ βˆ€π‘₯βˆƒπ‘βˆ€π‘‘ ∈ π‘₯ (𝑑 β‰  βˆ… β†’ (π‘β€˜π‘‘) ∈ 𝑑))
5 neeq1 3004 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = 𝑧 β†’ (𝑑 β‰  βˆ… ↔ 𝑧 β‰  βˆ…))
6 fveq2 6892 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = 𝑧 β†’ (π‘β€˜π‘‘) = (π‘β€˜π‘§))
7 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = 𝑧 β†’ 𝑑 = 𝑧)
86, 7eleq12d 2828 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = 𝑧 β†’ ((π‘β€˜π‘‘) ∈ 𝑑 ↔ (π‘β€˜π‘§) ∈ 𝑧))
95, 8imbi12d 345 . . . . . . . . 9 (𝑑 = 𝑧 β†’ ((𝑑 β‰  βˆ… β†’ (π‘β€˜π‘‘) ∈ 𝑑) ↔ (𝑧 β‰  βˆ… β†’ (π‘β€˜π‘§) ∈ 𝑧)))
109cbvralvw 3235 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘‘ ∈ π‘₯ (𝑑 β‰  βˆ… β†’ (π‘β€˜π‘‘) ∈ 𝑑) ↔ βˆ€π‘§ ∈ π‘₯ (𝑧 β‰  βˆ… β†’ (π‘β€˜π‘§) ∈ 𝑧))
11 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = 𝑧 β†’ (π‘β€˜π‘) = (π‘β€˜π‘§))
1211sneqd 4641 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = 𝑧 β†’ {(π‘β€˜π‘)} = {(π‘β€˜π‘§)})
13 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 ∈ π‘₯ ↦ {(π‘β€˜π‘)}) = (𝑏 ∈ π‘₯ ↦ {(π‘β€˜π‘)})
14 snex 5432 . . . . . . . . . . . . . 14 {(π‘β€˜π‘§)} ∈ V
1512, 13, 14fvmpt 6999 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ π‘₯ β†’ ((𝑏 ∈ π‘₯ ↦ {(π‘β€˜π‘)})β€˜π‘§) = {(π‘β€˜π‘§)})
16153ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 ∈ π‘₯ ∧ 𝑧 β‰  βˆ… ∧ (π‘β€˜π‘§) ∈ 𝑧) β†’ ((𝑏 ∈ π‘₯ ↦ {(π‘β€˜π‘)})β€˜π‘§) = {(π‘β€˜π‘§)})
17 simp3 1139 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧 ∈ π‘₯ ∧ 𝑧 β‰  βˆ… ∧ (π‘β€˜π‘§) ∈ 𝑧) β†’ (π‘β€˜π‘§) ∈ 𝑧)
1817snssd 4813 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧 ∈ π‘₯ ∧ 𝑧 β‰  βˆ… ∧ (π‘β€˜π‘§) ∈ 𝑧) β†’ {(π‘β€˜π‘§)} βŠ† 𝑧)
1914elpw 4607 . . . . . . . . . . . . . . 15 ({(π‘β€˜π‘§)} ∈ 𝒫 𝑧 ↔ {(π‘β€˜π‘§)} βŠ† 𝑧)
2018, 19sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ π‘₯ ∧ 𝑧 β‰  βˆ… ∧ (π‘β€˜π‘§) ∈ 𝑧) β†’ {(π‘β€˜π‘§)} ∈ 𝒫 𝑧)
21 snfi 9044 . . . . . . . . . . . . . . 15 {(π‘β€˜π‘§)} ∈ Fin
2221a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ π‘₯ ∧ 𝑧 β‰  βˆ… ∧ (π‘β€˜π‘§) ∈ 𝑧) β†’ {(π‘β€˜π‘§)} ∈ Fin)
2320, 22elind 4195 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ π‘₯ ∧ 𝑧 β‰  βˆ… ∧ (π‘β€˜π‘§) ∈ 𝑧) β†’ {(π‘β€˜π‘§)} ∈ (𝒫 𝑧 ∩ Fin))
24 fvex 6905 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘β€˜π‘§) ∈ V
2524snnz 4781 . . . . . . . . . . . . . 14 {(π‘β€˜π‘§)} β‰  βˆ…
2625a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ π‘₯ ∧ 𝑧 β‰  βˆ… ∧ (π‘β€˜π‘§) ∈ 𝑧) β†’ {(π‘β€˜π‘§)} β‰  βˆ…)
27 eldifsn 4791 . . . . . . . . . . . . 13 ({(π‘β€˜π‘§)} ∈ ((𝒫 𝑧 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…}) ↔ ({(π‘β€˜π‘§)} ∈ (𝒫 𝑧 ∩ Fin) ∧ {(π‘β€˜π‘§)} β‰  βˆ…))
2823, 26, 27sylanbrc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 ∈ π‘₯ ∧ 𝑧 β‰  βˆ… ∧ (π‘β€˜π‘§) ∈ 𝑧) β†’ {(π‘β€˜π‘§)} ∈ ((𝒫 𝑧 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…}))
2916, 28eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ π‘₯ ∧ 𝑧 β‰  βˆ… ∧ (π‘β€˜π‘§) ∈ 𝑧) β†’ ((𝑏 ∈ π‘₯ ↦ {(π‘β€˜π‘)})β€˜π‘§) ∈ ((𝒫 𝑧 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…}))
30293exp 1120 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ π‘₯ β†’ (𝑧 β‰  βˆ… β†’ ((π‘β€˜π‘§) ∈ 𝑧 β†’ ((𝑏 ∈ π‘₯ ↦ {(π‘β€˜π‘)})β€˜π‘§) ∈ ((𝒫 𝑧 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…}))))
3130a2d 29 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ π‘₯ β†’ ((𝑧 β‰  βˆ… β†’ (π‘β€˜π‘§) ∈ 𝑧) β†’ (𝑧 β‰  βˆ… β†’ ((𝑏 ∈ π‘₯ ↦ {(π‘β€˜π‘)})β€˜π‘§) ∈ ((𝒫 𝑧 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…}))))
3231ralimia 3081 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘§ ∈ π‘₯ (𝑧 β‰  βˆ… β†’ (π‘β€˜π‘§) ∈ 𝑧) β†’ βˆ€π‘§ ∈ π‘₯ (𝑧 β‰  βˆ… β†’ ((𝑏 ∈ π‘₯ ↦ {(π‘β€˜π‘)})β€˜π‘§) ∈ ((𝒫 𝑧 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…})))
3310, 32sylbi 216 . . . . . . 7 (βˆ€π‘‘ ∈ π‘₯ (𝑑 β‰  βˆ… β†’ (π‘β€˜π‘‘) ∈ 𝑑) β†’ βˆ€π‘§ ∈ π‘₯ (𝑧 β‰  βˆ… β†’ ((𝑏 ∈ π‘₯ ↦ {(π‘β€˜π‘)})β€˜π‘§) ∈ ((𝒫 𝑧 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…})))
34 vex 3479 . . . . . . . . 9 π‘₯ ∈ V
3534mptex 7225 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ π‘₯ ↦ {(π‘β€˜π‘)}) ∈ V
36 fveq1 6891 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = (𝑏 ∈ π‘₯ ↦ {(π‘β€˜π‘)}) β†’ (π‘“β€˜π‘§) = ((𝑏 ∈ π‘₯ ↦ {(π‘β€˜π‘)})β€˜π‘§))
3736eleq1d 2819 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = (𝑏 ∈ π‘₯ ↦ {(π‘β€˜π‘)}) β†’ ((π‘“β€˜π‘§) ∈ ((𝒫 𝑧 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…}) ↔ ((𝑏 ∈ π‘₯ ↦ {(π‘β€˜π‘)})β€˜π‘§) ∈ ((𝒫 𝑧 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…})))
3837imbi2d 341 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (𝑏 ∈ π‘₯ ↦ {(π‘β€˜π‘)}) β†’ ((𝑧 β‰  βˆ… β†’ (π‘“β€˜π‘§) ∈ ((𝒫 𝑧 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…})) ↔ (𝑧 β‰  βˆ… β†’ ((𝑏 ∈ π‘₯ ↦ {(π‘β€˜π‘)})β€˜π‘§) ∈ ((𝒫 𝑧 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…}))))
3938ralbidv 3178 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝑏 ∈ π‘₯ ↦ {(π‘β€˜π‘)}) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ π‘₯ (𝑧 β‰  βˆ… β†’ (π‘“β€˜π‘§) ∈ ((𝒫 𝑧 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…})) ↔ βˆ€π‘§ ∈ π‘₯ (𝑧 β‰  βˆ… β†’ ((𝑏 ∈ π‘₯ ↦ {(π‘β€˜π‘)})β€˜π‘§) ∈ ((𝒫 𝑧 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…}))))
4035, 39spcev 3597 . . . . . . 7 (βˆ€π‘§ ∈ π‘₯ (𝑧 β‰  βˆ… β†’ ((𝑏 ∈ π‘₯ ↦ {(π‘β€˜π‘)})β€˜π‘§) ∈ ((𝒫 𝑧 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…})) β†’ βˆƒπ‘“βˆ€π‘§ ∈ π‘₯ (𝑧 β‰  βˆ… β†’ (π‘“β€˜π‘§) ∈ ((𝒫 𝑧 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…})))
4133, 40syl 17 . . . . . 6 (βˆ€π‘‘ ∈ π‘₯ (𝑑 β‰  βˆ… β†’ (π‘β€˜π‘‘) ∈ 𝑑) β†’ βˆƒπ‘“βˆ€π‘§ ∈ π‘₯ (𝑧 β‰  βˆ… β†’ (π‘“β€˜π‘§) ∈ ((𝒫 𝑧 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…})))
4241exlimiv 1934 . . . . 5 (βˆƒπ‘βˆ€π‘‘ ∈ π‘₯ (𝑑 β‰  βˆ… β†’ (π‘β€˜π‘‘) ∈ 𝑑) β†’ βˆƒπ‘“βˆ€π‘§ ∈ π‘₯ (𝑧 β‰  βˆ… β†’ (π‘“β€˜π‘§) ∈ ((𝒫 𝑧 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…})))
4342alimi 1814 . . . 4 (βˆ€π‘₯βˆƒπ‘βˆ€π‘‘ ∈ π‘₯ (𝑑 β‰  βˆ… β†’ (π‘β€˜π‘‘) ∈ 𝑑) β†’ βˆ€π‘₯βˆƒπ‘“βˆ€π‘§ ∈ π‘₯ (𝑧 β‰  βˆ… β†’ (π‘“β€˜π‘§) ∈ ((𝒫 𝑧 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…})))
444, 43sylbi 216 . . 3 (βˆ€π‘Žβˆƒπ‘βˆ€π‘‘ ∈ π‘Ž (𝑑 β‰  βˆ… β†’ (π‘β€˜π‘‘) ∈ 𝑑) β†’ βˆ€π‘₯βˆƒπ‘“βˆ€π‘§ ∈ π‘₯ (𝑧 β‰  βˆ… β†’ (π‘“β€˜π‘§) ∈ ((𝒫 𝑧 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…})))
451, 44sylbi 216 . 2 (CHOICE β†’ βˆ€π‘₯βˆƒπ‘“βˆ€π‘§ ∈ π‘₯ (𝑧 β‰  βˆ… β†’ (π‘“β€˜π‘§) ∈ ((𝒫 𝑧 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…})))
46 fvex 6905 . . . . . . 7 (𝑅1β€˜(rankβ€˜π‘Ž)) ∈ V
4746pwex 5379 . . . . . 6 𝒫 (𝑅1β€˜(rankβ€˜π‘Ž)) ∈ V
48 raleq 3323 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝒫 (𝑅1β€˜(rankβ€˜π‘Ž)) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ π‘₯ (𝑧 β‰  βˆ… β†’ (π‘“β€˜π‘§) ∈ ((𝒫 𝑧 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…})) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝒫 (𝑅1β€˜(rankβ€˜π‘Ž))(𝑧 β‰  βˆ… β†’ (π‘“β€˜π‘§) ∈ ((𝒫 𝑧 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…}))))
4948exbidv 1925 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝒫 (𝑅1β€˜(rankβ€˜π‘Ž)) β†’ (βˆƒπ‘“βˆ€π‘§ ∈ π‘₯ (𝑧 β‰  βˆ… β†’ (π‘“β€˜π‘§) ∈ ((𝒫 𝑧 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…})) ↔ βˆƒπ‘“βˆ€π‘§ ∈ 𝒫 (𝑅1β€˜(rankβ€˜π‘Ž))(𝑧 β‰  βˆ… β†’ (π‘“β€˜π‘§) ∈ ((𝒫 𝑧 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…}))))
5047, 49spcv 3596 . . . . 5 (βˆ€π‘₯βˆƒπ‘“βˆ€π‘§ ∈ π‘₯ (𝑧 β‰  βˆ… β†’ (π‘“β€˜π‘§) ∈ ((𝒫 𝑧 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…})) β†’ βˆƒπ‘“βˆ€π‘§ ∈ 𝒫 (𝑅1β€˜(rankβ€˜π‘Ž))(𝑧 β‰  βˆ… β†’ (π‘“β€˜π‘§) ∈ ((𝒫 𝑧 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…})))
51 rankon 9790 . . . . . . . 8 (rankβ€˜π‘Ž) ∈ On
5251a1i 11 . . . . . . 7 (βˆ€π‘§ ∈ 𝒫 (𝑅1β€˜(rankβ€˜π‘Ž))(𝑧 β‰  βˆ… β†’ (π‘“β€˜π‘§) ∈ ((𝒫 𝑧 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…})) β†’ (rankβ€˜π‘Ž) ∈ On)
53 id 22 . . . . . . 7 (βˆ€π‘§ ∈ 𝒫 (𝑅1β€˜(rankβ€˜π‘Ž))(𝑧 β‰  βˆ… β†’ (π‘“β€˜π‘§) ∈ ((𝒫 𝑧 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…})) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝒫 (𝑅1β€˜(rankβ€˜π‘Ž))(𝑧 β‰  βˆ… β†’ (π‘“β€˜π‘§) ∈ ((𝒫 𝑧 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…})))
5452, 53aomclem8 41803 . . . . . 6 (βˆ€π‘§ ∈ 𝒫 (𝑅1β€˜(rankβ€˜π‘Ž))(𝑧 β‰  βˆ… β†’ (π‘“β€˜π‘§) ∈ ((𝒫 𝑧 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…})) β†’ βˆƒπ‘ 𝑏 We (𝑅1β€˜(rankβ€˜π‘Ž)))
5554exlimiv 1934 . . . . 5 (βˆƒπ‘“βˆ€π‘§ ∈ 𝒫 (𝑅1β€˜(rankβ€˜π‘Ž))(𝑧 β‰  βˆ… β†’ (π‘“β€˜π‘§) ∈ ((𝒫 𝑧 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…})) β†’ βˆƒπ‘ 𝑏 We (𝑅1β€˜(rankβ€˜π‘Ž)))
56 vex 3479 . . . . . 6 π‘Ž ∈ V
57 r1rankid 9854 . . . . . 6 (π‘Ž ∈ V β†’ π‘Ž βŠ† (𝑅1β€˜(rankβ€˜π‘Ž)))
58 wess 5664 . . . . . . 7 (π‘Ž βŠ† (𝑅1β€˜(rankβ€˜π‘Ž)) β†’ (𝑏 We (𝑅1β€˜(rankβ€˜π‘Ž)) β†’ 𝑏 We π‘Ž))
5958eximdv 1921 . . . . . 6 (π‘Ž βŠ† (𝑅1β€˜(rankβ€˜π‘Ž)) β†’ (βˆƒπ‘ 𝑏 We (𝑅1β€˜(rankβ€˜π‘Ž)) β†’ βˆƒπ‘ 𝑏 We π‘Ž))
6056, 57, 59mp2b 10 . . . . 5 (βˆƒπ‘ 𝑏 We (𝑅1β€˜(rankβ€˜π‘Ž)) β†’ βˆƒπ‘ 𝑏 We π‘Ž)
6150, 55, 603syl 18 . . . 4 (βˆ€π‘₯βˆƒπ‘“βˆ€π‘§ ∈ π‘₯ (𝑧 β‰  βˆ… β†’ (π‘“β€˜π‘§) ∈ ((𝒫 𝑧 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…})) β†’ βˆƒπ‘ 𝑏 We π‘Ž)
6261alrimiv 1931 . . 3 (βˆ€π‘₯βˆƒπ‘“βˆ€π‘§ ∈ π‘₯ (𝑧 β‰  βˆ… β†’ (π‘“β€˜π‘§) ∈ ((𝒫 𝑧 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…})) β†’ βˆ€π‘Žβˆƒπ‘ 𝑏 We π‘Ž)
63 dfac8 10130 . . 3 (CHOICE ↔ βˆ€π‘Žβˆƒπ‘ 𝑏 We π‘Ž)
6462, 63sylibr 233 . 2 (βˆ€π‘₯βˆƒπ‘“βˆ€π‘§ ∈ π‘₯ (𝑧 β‰  βˆ… β†’ (π‘“β€˜π‘§) ∈ ((𝒫 𝑧 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…})) β†’ CHOICE)
6545, 64impbii 208 1 (CHOICE ↔ βˆ€π‘₯βˆƒπ‘“βˆ€π‘§ ∈ π‘₯ (𝑧 β‰  βˆ… β†’ (π‘“β€˜π‘§) ∈ ((𝒫 𝑧 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1088  βˆ€wal 1540   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  Vcvv 3475   βˆ– cdif 3946   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  π’« cpw 4603  {csn 4629   ↦ cmpt 5232   We wwe 5631  Oncon0 6365  β€˜cfv 6544  Fincfn 8939  π‘…1cr1 9757  rankcrnk 9758  CHOICEwac 10110
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-reg 9587  ax-inf2 9636
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-map 8822  df-en 8940  df-fin 8943  df-sup 9437  df-r1 9759  df-rank 9760  df-card 9934  df-ac 10111
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator