Theorem rankonid 9843

Description: The rank of an ordinal number is itself. Proposition 9.18 of [TakeutiZaring] p. 79 and its converse. (Contributed by NM, 14-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rankonid	⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑅1 ↔ (rank‘𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem rankonid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rankonidlem 9842	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑅1 → (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ (rank‘𝐴) = 𝐴))
2	1	simprd 495	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑅1 → (rank‘𝐴) = 𝐴)
3		id 22	. . 3 ⊢ ((rank‘𝐴) = 𝐴 → (rank‘𝐴) = 𝐴)
4		rankdmr1 9815	. . 3 ⊢ (rank‘𝐴) ∈ dom 𝑅1
5	3, 4	eqeltrrdi 2843	. 2 ⊢ ((rank‘𝐴) = 𝐴 → 𝐴 ∈ dom 𝑅1)
6	2, 5	impbii 209	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑅1 ↔ (rank‘𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∪ cuni 4883  dom cdm 5654   “ cima 5657  Oncon0 6352  ‘cfv 6531  𝑅₁cr1 9776  rankcrnk 9777

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7408  df-om 7862  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-r1 9778  df-rank 9779

This theorem is referenced by:  rankeq0b  9874  rankr1id  9876  rankcf  10791  r1tskina  10796  rankeq1o  36189  hfninf  36204