Theorem rankonid 9587

Description: The rank of an ordinal number is itself. Proposition 9.18 of [TakeutiZaring] p. 79 and its converse. (Contributed by NM, 14-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rankonid	⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑅1 ↔ (rank‘𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem rankonid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rankonidlem 9586	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑅1 → (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ (rank‘𝐴) = 𝐴))
2	1	simprd 496	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑅1 → (rank‘𝐴) = 𝐴)
3		id 22	. . 3 ⊢ ((rank‘𝐴) = 𝐴 → (rank‘𝐴) = 𝐴)
4		rankdmr1 9559	. . 3 ⊢ (rank‘𝐴) ∈ dom 𝑅1
5	3, 4	eqeltrrdi 2848	. 2 ⊢ ((rank‘𝐴) = 𝐴 → 𝐴 ∈ dom 𝑅1)
6	2, 5	impbii 208	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑅1 ↔ (rank‘𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   ↔ wb 205   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∪ cuni 4839  dom cdm 5589   “ cima 5592  Oncon0 6266  ‘cfv 6433  𝑅₁cr1 9520  rankcrnk 9521

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-r1 9522  df-rank 9523

This theorem is referenced by:  rankeq0b  9618  rankr1id  9620  rankcf  10533  r1tskina  10538  rankeq1o  34473  hfninf  34488