Theorem hfninf 37059

Description: ω is not hereditarily finite. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hfninf	⊢ ¬ ω ∈ HF

Proof of Theorem hfninf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elirr 9601	. . 3 ⊢ ¬ ω ∈ ω
2		elhf2g 9918	. . . 4 ⊢ (ω ∈ HF → (ω ∈ HF ↔ (rank‘ω) ∈ ω))
3		ordom 7891	. . . . . . 7 ⊢ Ord ω
4		elong 6373	. . . . . . 7 ⊢ (ω ∈ HF → (ω ∈ On ↔ Ord ω))
5	3, 4	mpbiri 261	. . . . . 6 ⊢ (ω ∈ HF → ω ∈ On)
6		r1fnon 9780	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑅1 Fn On
7	6	fndmi 6648	. . . . . . . 8 ⊢ dom 𝑅1 = On
8	7	eleq2i 2852	. . . . . . 7 ⊢ (ω ∈ dom 𝑅1 ↔ ω ∈ On)
9		rankonid 9846	. . . . . . 7 ⊢ (ω ∈ dom 𝑅1 ↔ (rank‘ω) = ω)
10	8, 9	bitr3i 280	. . . . . 6 ⊢ (ω ∈ On ↔ (rank‘ω) = ω)
11	5, 10	sylib 221	. . . . 5 ⊢ (ω ∈ HF → (rank‘ω) = ω)
12	11	eleq1d 2845	. . . 4 ⊢ (ω ∈ HF → ((rank‘ω) ∈ ω ↔ ω ∈ ω))
13	2, 12	bitrd 282	. . 3 ⊢ (ω ∈ HF → (ω ∈ HF ↔ ω ∈ ω))
14	1, 13	mtbiri 330	. 2 ⊢ (ω ∈ HF → ¬ ω ∈ HF )
15	14	pm2.01i 191	1 ⊢ ¬ ω ∈ HF

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  dom cdm 5651  Ord word 6364  Oncon0 6365  ‘cfv 6543  ωcom 7881  𝑅₁cr1 9773  rankcrnk 9774   HF chf 9911

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-reg 9593  ax-inf2 9649

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7427  df-om 7882  df-2nd 8006  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-r1 9775  df-rank 9776  df-hf 9912

This theorem is used by: (None)