Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hfninf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hfninf 33757
 Description: ω is not hereditarily finite. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
hfninf ¬ ω ∈ Hf

Proof of Theorem hfninf
StepHypRef Expression
1 elirr 9045 . . 3 ¬ ω ∈ ω
2 elhf2g 33747 . . . 4 (ω ∈ Hf → (ω ∈ Hf ↔ (rank‘ω) ∈ ω))
3 ordom 7569 . . . . . . 7 Ord ω
4 elong 6167 . . . . . . 7 (ω ∈ Hf → (ω ∈ On ↔ Ord ω))
53, 4mpbiri 261 . . . . . 6 (ω ∈ Hf → ω ∈ On)
6 r111 9188 . . . . . . . . 9 𝑅1:On–1-1→V
7 f1dm 6553 . . . . . . . . 9 (𝑅1:On–1-1→V → dom 𝑅1 = On)
86, 7ax-mp 5 . . . . . . . 8 dom 𝑅1 = On
98eleq2i 2881 . . . . . . 7 (ω ∈ dom 𝑅1 ↔ ω ∈ On)
10 rankonid 9242 . . . . . . 7 (ω ∈ dom 𝑅1 ↔ (rank‘ω) = ω)
119, 10bitr3i 280 . . . . . 6 (ω ∈ On ↔ (rank‘ω) = ω)
125, 11sylib 221 . . . . 5 (ω ∈ Hf → (rank‘ω) = ω)
1312eleq1d 2874 . . . 4 (ω ∈ Hf → ((rank‘ω) ∈ ω ↔ ω ∈ ω))
142, 13bitrd 282 . . 3 (ω ∈ Hf → (ω ∈ Hf ↔ ω ∈ ω))
151, 14mtbiri 330 . 2 (ω ∈ Hf → ¬ ω ∈ Hf )
16 pm2.01 192 . 2 ((ω ∈ Hf → ¬ ω ∈ Hf ) → ¬ ω ∈ Hf )
1715, 16ax-mp 5 1 ¬ ω ∈ Hf
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3441  dom cdm 5519  Ord word 6158  Oncon0 6159  –1-1→wf1 6321  ‘cfv 6324  ωcom 7560  𝑅1cr1 9175  rankcrnk 9176   Hf chf 33743 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-reg 9040  ax-inf2 9088 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-om 7561  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-r1 9177  df-rank 9178  df-hf 33744 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator