Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hfninf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hfninf 36168
Description: ω is not hereditarily finite. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
hfninf ¬ ω ∈ Hf

Proof of Theorem hfninf
StepHypRef Expression
1 elirr 9635 . . 3 ¬ ω ∈ ω
2 elhf2g 36158 . . . 4 (ω ∈ Hf → (ω ∈ Hf ↔ (rank‘ω) ∈ ω))
3 ordom 7897 . . . . . . 7 Ord ω
4 elong 6394 . . . . . . 7 (ω ∈ Hf → (ω ∈ On ↔ Ord ω))
53, 4mpbiri 258 . . . . . 6 (ω ∈ Hf → ω ∈ On)
6 r111 9813 . . . . . . . . 9 𝑅1:On–1-1→V
7 f1dm 6809 . . . . . . . . 9 (𝑅1:On–1-1→V → dom 𝑅1 = On)
86, 7ax-mp 5 . . . . . . . 8 dom 𝑅1 = On
98eleq2i 2831 . . . . . . 7 (ω ∈ dom 𝑅1 ↔ ω ∈ On)
10 rankonid 9867 . . . . . . 7 (ω ∈ dom 𝑅1 ↔ (rank‘ω) = ω)
119, 10bitr3i 277 . . . . . 6 (ω ∈ On ↔ (rank‘ω) = ω)
125, 11sylib 218 . . . . 5 (ω ∈ Hf → (rank‘ω) = ω)
1312eleq1d 2824 . . . 4 (ω ∈ Hf → ((rank‘ω) ∈ ω ↔ ω ∈ ω))
142, 13bitrd 279 . . 3 (ω ∈ Hf → (ω ∈ Hf ↔ ω ∈ ω))
151, 14mtbiri 327 . 2 (ω ∈ Hf → ¬ ω ∈ Hf )
16 pm2.01 188 . 2 ((ω ∈ Hf → ¬ ω ∈ Hf ) → ¬ ω ∈ Hf )
1715, 16ax-mp 5 1 ¬ ω ∈ Hf
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478  dom cdm 5689  Ord word 6385  Oncon0 6386  1-1wf1 6560  cfv 6563  ωcom 7887  𝑅1cr1 9800  rankcrnk 9801   Hf chf 36154
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-reg 9630  ax-inf2 9679
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-r1 9802  df-rank 9803  df-hf 36155
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator