Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hfninf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hfninf 36187
Description: ω is not hereditarily finite. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
hfninf ¬ ω ∈ Hf

Proof of Theorem hfninf
StepHypRef Expression
1 elirr 9637 . . 3 ¬ ω ∈ ω
2 elhf2g 36177 . . . 4 (ω ∈ Hf → (ω ∈ Hf ↔ (rank‘ω) ∈ ω))
3 ordom 7897 . . . . . . 7 Ord ω
4 elong 6392 . . . . . . 7 (ω ∈ Hf → (ω ∈ On ↔ Ord ω))
53, 4mpbiri 258 . . . . . 6 (ω ∈ Hf → ω ∈ On)
6 r111 9815 . . . . . . . . 9 𝑅1:On–1-1→V
7 f1dm 6808 . . . . . . . . 9 (𝑅1:On–1-1→V → dom 𝑅1 = On)
86, 7ax-mp 5 . . . . . . . 8 dom 𝑅1 = On
98eleq2i 2833 . . . . . . 7 (ω ∈ dom 𝑅1 ↔ ω ∈ On)
10 rankonid 9869 . . . . . . 7 (ω ∈ dom 𝑅1 ↔ (rank‘ω) = ω)
119, 10bitr3i 277 . . . . . 6 (ω ∈ On ↔ (rank‘ω) = ω)
125, 11sylib 218 . . . . 5 (ω ∈ Hf → (rank‘ω) = ω)
1312eleq1d 2826 . . . 4 (ω ∈ Hf → ((rank‘ω) ∈ ω ↔ ω ∈ ω))
142, 13bitrd 279 . . 3 (ω ∈ Hf → (ω ∈ Hf ↔ ω ∈ ω))
151, 14mtbiri 327 . 2 (ω ∈ Hf → ¬ ω ∈ Hf )
16 pm2.01 188 . 2 ((ω ∈ Hf → ¬ ω ∈ Hf ) → ¬ ω ∈ Hf )
1715, 16ax-mp 5 1 ¬ ω ∈ Hf
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1540  wcel 2108  Vcvv 3480  dom cdm 5685  Ord word 6383  Oncon0 6384  1-1wf1 6558  cfv 6561  ωcom 7887  𝑅1cr1 9802  rankcrnk 9803   Hf chf 36173
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-reg 9632  ax-inf2 9681
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-r1 9804  df-rank 9805  df-hf 36174
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator