Theorem hfninf 36380

Description: ω is not hereditarily finite. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hfninf	⊢ ¬ ω ∈ Hf

Proof of Theorem hfninf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elirr 9504	. . 3 ⊢ ¬ ω ∈ ω
2		elhf2g 36370	. . . 4 ⊢ (ω ∈ Hf → (ω ∈ Hf ↔ (rank‘ω) ∈ ω))
3		ordom 7818	. . . . . . 7 ⊢ Ord ω
4		elong 6325	. . . . . . 7 ⊢ (ω ∈ Hf → (ω ∈ On ↔ Ord ω))
5	3, 4	mpbiri 258	. . . . . 6 ⊢ (ω ∈ Hf → ω ∈ On)
6		r111 9687	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑅1:On–1-1→V
7		f1dm 6734	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅1:On–1-1→V → dom 𝑅1 = On)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ dom 𝑅1 = On
9	8	eleq2i 2828	. . . . . . 7 ⊢ (ω ∈ dom 𝑅1 ↔ ω ∈ On)
10		rankonid 9741	. . . . . . 7 ⊢ (ω ∈ dom 𝑅1 ↔ (rank‘ω) = ω)
11	9, 10	bitr3i 277	. . . . . 6 ⊢ (ω ∈ On ↔ (rank‘ω) = ω)
12	5, 11	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (ω ∈ Hf → (rank‘ω) = ω)
13	12	eleq1d 2821	. . . 4 ⊢ (ω ∈ Hf → ((rank‘ω) ∈ ω ↔ ω ∈ ω))
14	2, 13	bitrd 279	. . 3 ⊢ (ω ∈ Hf → (ω ∈ Hf ↔ ω ∈ ω))
15	1, 14	mtbiri 327	. 2 ⊢ (ω ∈ Hf → ¬ ω ∈ Hf )
16		pm2.01 188	. 2 ⊢ ((ω ∈ Hf → ¬ ω ∈ Hf ) → ¬ ω ∈ Hf )
17	15, 16	ax-mp 5	1 ⊢ ¬ ω ∈ Hf

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3440  dom cdm 5624  Ord word 6316  Oncon0 6317  –1-1→wf1 6489  ‘cfv 6492  ωcom 7808  𝑅₁cr1 9674  rankcrnk 9675   Hf chf 36366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-reg 9497  ax-inf2 9550

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-r1 9676  df-rank 9677  df-hf 36367

This theorem is referenced by: (None)