Theorem hfninf 36181

Description: ω is not hereditarily finite. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hfninf	⊢ ¬ ω ∈ Hf

Proof of Theorem hfninf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elirr 9557	. . 3 ⊢ ¬ ω ∈ ω
2		elhf2g 36171	. . . 4 ⊢ (ω ∈ Hf → (ω ∈ Hf ↔ (rank‘ω) ∈ ω))
3		ordom 7855	. . . . . . 7 ⊢ Ord ω
4		elong 6343	. . . . . . 7 ⊢ (ω ∈ Hf → (ω ∈ On ↔ Ord ω))
5	3, 4	mpbiri 258	. . . . . 6 ⊢ (ω ∈ Hf → ω ∈ On)
6		r111 9735	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑅1:On–1-1→V
7		f1dm 6763	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅1:On–1-1→V → dom 𝑅1 = On)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ dom 𝑅1 = On
9	8	eleq2i 2821	. . . . . . 7 ⊢ (ω ∈ dom 𝑅1 ↔ ω ∈ On)
10		rankonid 9789	. . . . . . 7 ⊢ (ω ∈ dom 𝑅1 ↔ (rank‘ω) = ω)
11	9, 10	bitr3i 277	. . . . . 6 ⊢ (ω ∈ On ↔ (rank‘ω) = ω)
12	5, 11	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (ω ∈ Hf → (rank‘ω) = ω)
13	12	eleq1d 2814	. . . 4 ⊢ (ω ∈ Hf → ((rank‘ω) ∈ ω ↔ ω ∈ ω))
14	2, 13	bitrd 279	. . 3 ⊢ (ω ∈ Hf → (ω ∈ Hf ↔ ω ∈ ω))
15	1, 14	mtbiri 327	. 2 ⊢ (ω ∈ Hf → ¬ ω ∈ Hf )
16		pm2.01 188	. 2 ⊢ ((ω ∈ Hf → ¬ ω ∈ Hf ) → ¬ ω ∈ Hf )
17	15, 16	ax-mp 5	1 ⊢ ¬ ω ∈ Hf

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450  dom cdm 5641  Ord word 6334  Oncon0 6335  –1-1→wf1 6511  ‘cfv 6514  ωcom 7845  𝑅₁cr1 9722  rankcrnk 9723   Hf chf 36167

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-reg 9552  ax-inf2 9601

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-ov 7393  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-r1 9724  df-rank 9725  df-hf 36168

This theorem is referenced by: (None)