Theorem hfninf 37150

Description: ω is not hereditarily finite. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hfninf	⊢ ¬ ω ∈ HF

Proof of Theorem hfninf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elirr 9631	. . 3 ⊢ ¬ ω ∈ ω
2		elhf2g 9948	. . . 4 ⊢ (ω ∈ HF → (ω ∈ HF ↔ (rank‘ω) ∈ ω))
3		ordom 7921	. . . . . . 7 ⊢ Ord ω
4		elong 6396	. . . . . . 7 ⊢ (ω ∈ HF → (ω ∈ On ↔ Ord ω))
5	3, 4	mpbiri 261	. . . . . 6 ⊢ (ω ∈ HF → ω ∈ On)
6		r1fnon 9810	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑅1 Fn On
7	6	fndmi 6673	. . . . . . . 8 ⊢ dom 𝑅1 = On
8	7	eleq2i 2856	. . . . . . 7 ⊢ (ω ∈ dom 𝑅1 ↔ ω ∈ On)
9		rankonid 9876	. . . . . . 7 ⊢ (ω ∈ dom 𝑅1 ↔ (rank‘ω) = ω)
10	8, 9	bitr3i 280	. . . . . 6 ⊢ (ω ∈ On ↔ (rank‘ω) = ω)
11	5, 10	sylib 221	. . . . 5 ⊢ (ω ∈ HF → (rank‘ω) = ω)
12	11	eleq1d 2849	. . . 4 ⊢ (ω ∈ HF → ((rank‘ω) ∈ ω ↔ ω ∈ ω))
13	2, 12	bitrd 282	. . 3 ⊢ (ω ∈ HF → (ω ∈ HF ↔ ω ∈ ω))
14	1, 13	mtbiri 330	. 2 ⊢ (ω ∈ HF → ¬ ω ∈ HF )
15	14	pm2.01i 191	1 ⊢ ¬ ω ∈ HF

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  dom cdm 5658  Ord word 6387  Oncon0 6388  ‘cfv 6566  ωcom 7911  𝑅₁cr1 9803  rankcrnk 9804   HF chf 9941

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-reg 9623  ax-inf2 9679

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-ov 7454  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-r1 9805  df-rank 9806  df-hf 9942

This theorem is used by: (None)