Theorem hfninf 36935

Description: ω is not hereditarily finite. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hfninf	⊢ ¬ ω ∈ HF

Proof of Theorem hfninf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elirr 9594	. . 3 ⊢ ¬ ω ∈ ω
2		elhf2g 9911	. . . 4 ⊢ (ω ∈ HF → (ω ∈ HF ↔ (rank‘ω) ∈ ω))
3		ordom 7887	. . . . . . 7 ⊢ Ord ω
4		elong 6370	. . . . . . 7 ⊢ (ω ∈ HF → (ω ∈ On ↔ Ord ω))
5	3, 4	mpbiri 261	. . . . . 6 ⊢ (ω ∈ HF → ω ∈ On)
6		r1fnon 9773	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑅1 Fn On
7	6	fndmi 6643	. . . . . . . 8 ⊢ dom 𝑅1 = On
8	7	eleq2i 2853	. . . . . . 7 ⊢ (ω ∈ dom 𝑅1 ↔ ω ∈ On)
9		rankonid 9839	. . . . . . 7 ⊢ (ω ∈ dom 𝑅1 ↔ (rank‘ω) = ω)
10	8, 9	bitr3i 280	. . . . . 6 ⊢ (ω ∈ On ↔ (rank‘ω) = ω)
11	5, 10	sylib 221	. . . . 5 ⊢ (ω ∈ HF → (rank‘ω) = ω)
12	11	eleq1d 2846	. . . 4 ⊢ (ω ∈ HF → ((rank‘ω) ∈ ω ↔ ω ∈ ω))
13	2, 12	bitrd 282	. . 3 ⊢ (ω ∈ HF → (ω ∈ HF ↔ ω ∈ ω))
14	1, 13	mtbiri 330	. 2 ⊢ (ω ∈ HF → ¬ ω ∈ HF )
15	14	pm2.01i 191	1 ⊢ ¬ ω ∈ HF

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  dom cdm 5651  Ord word 6361  Oncon0 6362  ‘cfv 6538  ωcom 7877  𝑅₁cr1 9766  rankcrnk 9767   HF chf 9904

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-reg 9586  ax-inf2 9642

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-r1 9768  df-rank 9769  df-hf 9905

This theorem is used by: (None)