Theorem hfninf 36302

Description: ω is not hereditarily finite. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hfninf	⊢ ¬ ω ∈ Hf

Proof of Theorem hfninf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elirr 9496	. . 3 ⊢ ¬ ω ∈ ω
2		elhf2g 36292	. . . 4 ⊢ (ω ∈ Hf → (ω ∈ Hf ↔ (rank‘ω) ∈ ω))
3		ordom 7815	. . . . . . 7 ⊢ Ord ω
4		elong 6322	. . . . . . 7 ⊢ (ω ∈ Hf → (ω ∈ On ↔ Ord ω))
5	3, 4	mpbiri 258	. . . . . 6 ⊢ (ω ∈ Hf → ω ∈ On)
6		r111 9679	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑅1:On–1-1→V
7		f1dm 6731	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅1:On–1-1→V → dom 𝑅1 = On)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ dom 𝑅1 = On
9	8	eleq2i 2825	. . . . . . 7 ⊢ (ω ∈ dom 𝑅1 ↔ ω ∈ On)
10		rankonid 9733	. . . . . . 7 ⊢ (ω ∈ dom 𝑅1 ↔ (rank‘ω) = ω)
11	9, 10	bitr3i 277	. . . . . 6 ⊢ (ω ∈ On ↔ (rank‘ω) = ω)
12	5, 11	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (ω ∈ Hf → (rank‘ω) = ω)
13	12	eleq1d 2818	. . . 4 ⊢ (ω ∈ Hf → ((rank‘ω) ∈ ω ↔ ω ∈ ω))
14	2, 13	bitrd 279	. . 3 ⊢ (ω ∈ Hf → (ω ∈ Hf ↔ ω ∈ ω))
15	1, 14	mtbiri 327	. 2 ⊢ (ω ∈ Hf → ¬ ω ∈ Hf )
16		pm2.01 188	. 2 ⊢ ((ω ∈ Hf → ¬ ω ∈ Hf ) → ¬ ω ∈ Hf )
17	15, 16	ax-mp 5	1 ⊢ ¬ ω ∈ Hf

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3437  dom cdm 5621  Ord word 6313  Oncon0 6314  –1-1→wf1 6486  ‘cfv 6489  ωcom 7805  𝑅₁cr1 9666  rankcrnk 9667   Hf chf 36288

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-reg 9489  ax-inf2 9542

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-ov 7358  df-om 7806  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-r1 9668  df-rank 9669  df-hf 36289

This theorem is referenced by: (None)