Theorem hfninf 35777

Description: ω is not hereditarily finite. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hfninf	⊢ ¬ ω ∈ Hf

Proof of Theorem hfninf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elirr 9615	. . 3 ⊢ ¬ ω ∈ ω
2		elhf2g 35767	. . . 4 ⊢ (ω ∈ Hf → (ω ∈ Hf ↔ (rank‘ω) ∈ ω))
3		ordom 7875	. . . . . . 7 ⊢ Ord ω
4		elong 6372	. . . . . . 7 ⊢ (ω ∈ Hf → (ω ∈ On ↔ Ord ω))
5	3, 4	mpbiri 258	. . . . . 6 ⊢ (ω ∈ Hf → ω ∈ On)
6		r111 9793	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑅1:On–1-1→V
7		f1dm 6792	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅1:On–1-1→V → dom 𝑅1 = On)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ dom 𝑅1 = On
9	8	eleq2i 2821	. . . . . . 7 ⊢ (ω ∈ dom 𝑅1 ↔ ω ∈ On)
10		rankonid 9847	. . . . . . 7 ⊢ (ω ∈ dom 𝑅1 ↔ (rank‘ω) = ω)
11	9, 10	bitr3i 277	. . . . . 6 ⊢ (ω ∈ On ↔ (rank‘ω) = ω)
12	5, 11	sylib 217	. . . . 5 ⊢ (ω ∈ Hf → (rank‘ω) = ω)
13	12	eleq1d 2814	. . . 4 ⊢ (ω ∈ Hf → ((rank‘ω) ∈ ω ↔ ω ∈ ω))
14	2, 13	bitrd 279	. . 3 ⊢ (ω ∈ Hf → (ω ∈ Hf ↔ ω ∈ ω))
15	1, 14	mtbiri 327	. 2 ⊢ (ω ∈ Hf → ¬ ω ∈ Hf )
16		pm2.01 188	. 2 ⊢ ((ω ∈ Hf → ¬ ω ∈ Hf ) → ¬ ω ∈ Hf )
17	15, 16	ax-mp 5	1 ⊢ ¬ ω ∈ Hf

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3470  dom cdm 5673  Ord word 6363  Oncon0 6364  –1-1→wf1 6540  ‘cfv 6543  ωcom 7865  𝑅₁cr1 9780  rankcrnk 9781   Hf chf 35763

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-reg 9610  ax-inf2 9659

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7418  df-om 7866  df-2nd 7989  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-er 8719  df-en 8959  df-dom 8960  df-sdom 8961  df-r1 9782  df-rank 9783  df-hf 35764

This theorem is referenced by: (None)