Theorem rankr1a 9750

Description: A relationship between rank and 𝑅₁, clearly equivalent to ssrankr1 9749 and friends through trichotomy, but in Raph's opinion considerably more intuitive. See rankr1b 9778 for the subset version. (Contributed by Raph Levien, 29-May-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
rankid.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
rankr1a	⊢ (𝐵 ∈ On → (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ (rank‘𝐴) ∈ 𝐵))

Proof of Theorem rankr1a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rankid.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ V
2	1	ssrankr1 9749	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ On → (𝐵 ⊆ (rank‘𝐴) ↔ ¬ 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵)))
3		rankon 9709	. . . 4 ⊢ (rank‘𝐴) ∈ On
4		ontri1 6350	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ (rank‘𝐴) ∈ On) → (𝐵 ⊆ (rank‘𝐴) ↔ ¬ (rank‘𝐴) ∈ 𝐵))
5	3, 4	mpan2 692	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ On → (𝐵 ⊆ (rank‘𝐴) ↔ ¬ (rank‘𝐴) ∈ 𝐵))
6	2, 5	bitr3d 281	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ On → (¬ 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ ¬ (rank‘𝐴) ∈ 𝐵))
7	6	con4bid 317	1 ⊢ (𝐵 ∈ On → (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ (rank‘𝐴) ∈ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2114  Vcvv 3439   ⊆ wss 3900  Oncon0 6316  ‘cfv 6491  𝑅₁cr1 9676  rankcrnk 9677

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-reg 9499  ax-inf2 9552

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4902  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-ov 7361  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-r1 9678  df-rank 9679

This theorem is referenced by:  r1val2  9751  r1pwALT  9760  elhf2  36348  gruex  44576