Theorem rankr1a 9842

Description: A relationship between rank and 𝑅₁, clearly equivalent to ssrankr1 9841 and friends through trichotomy, but in Raph's opinion considerably more intuitive. See rankr1b 9870 for the subset version. (Contributed by Raph Levien, 29-May-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
rankid.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
rankr1a	⊢ (𝐵 ∈ On → (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ (rank‘𝐴) ∈ 𝐵))

Proof of Theorem rankr1a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rankid.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ V
2	1	ssrankr1 9841	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ On → (𝐵 ⊆ (rank‘𝐴) ↔ ¬ 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵)))
3		rankon 9801	. . . 4 ⊢ (rank‘𝐴) ∈ On
4		ontri1 6383	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ (rank‘𝐴) ∈ On) → (𝐵 ⊆ (rank‘𝐴) ↔ ¬ (rank‘𝐴) ∈ 𝐵))
5	3, 4	mpan2 691	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ On → (𝐵 ⊆ (rank‘𝐴) ↔ ¬ (rank‘𝐴) ∈ 𝐵))
6	2, 5	bitr3d 281	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ On → (¬ 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ ¬ (rank‘𝐴) ∈ 𝐵))
7	6	con4bid 317	1 ⊢ (𝐵 ∈ On → (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ (rank‘𝐴) ∈ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2107  Vcvv 3457   ⊆ wss 3924  Oncon0 6349  ‘cfv 6527  𝑅₁cr1 9768  rankcrnk 9769

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5246  ax-sep 5263  ax-nul 5273  ax-pow 5332  ax-pr 5399  ax-un 7723  ax-reg 9598  ax-inf2 9647

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3358  df-rab 3414  df-v 3459  df-sbc 3764  df-csb 3873  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3941  df-pss 3944  df-nul 4307  df-if 4499  df-pw 4575  df-sn 4600  df-pr 4602  df-op 4606  df-uni 4881  df-int 4920  df-iun 4966  df-br 5117  df-opab 5179  df-mpt 5199  df-tr 5227  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6287  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6480  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-ov 7402  df-om 7856  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-r1 9770  df-rank 9771

This theorem is referenced by:  r1val2  9843  r1pwALT  9852  elhf2  36114  gruex  44248