Theorem hfsn 36416

Description: The singleton of an HF set is an HF set. (Contributed by Scott Fenton, 15-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hfsn	⊢ (𝐴 ∈ Hf → {𝐴} ∈ Hf )

Proof of Theorem hfsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ranksng 36404	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Hf → (rank‘{𝐴}) = suc (rank‘𝐴))
2		elhf2g 36413	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Hf → (𝐴 ∈ Hf ↔ (rank‘𝐴) ∈ ω))
3	2	ibi 268	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Hf → (rank‘𝐴) ∈ ω)
4		peano2 7831	. . . 4 ⊢ ((rank‘𝐴) ∈ ω → suc (rank‘𝐴) ∈ ω)
5	3, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Hf → suc (rank‘𝐴) ∈ ω)
6	1, 5	eqeltrd 2839	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Hf → (rank‘{𝐴}) ∈ ω)
7		snex 5369	. . 3 ⊢ {𝐴} ∈ V
8	7	elhf2 36412	. 2 ⊢ ({𝐴} ∈ Hf ↔ (rank‘{𝐴}) ∈ ω)
9	6, 8	sylibr 235	1 ⊢ (𝐴 ∈ Hf → {𝐴} ∈ Hf )

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2119  {csn 4556  suc csuc 6313  ‘cfv 6486  ωcom 7807  rankcrnk 9679   Hf chf 36409

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5200  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-reg 9498  ax-inf2 9554

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-int 4879  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7360  df-om 7808  df-2nd 7933  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-r1 9680  df-rank 9681  df-hf 36410

This theorem is referenced by:  hfadj  36417