Theorem hfsn 33633

Description: The singleton of an HF set is an HF set. (Contributed by Scott Fenton, 15-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hfsn	⊢ (𝐴 ∈ Hf → {𝐴} ∈ Hf )

Proof of Theorem hfsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ranksng 33621	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Hf → (rank‘{𝐴}) = suc (rank‘𝐴))
2		elhf2g 33630	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Hf → (𝐴 ∈ Hf ↔ (rank‘𝐴) ∈ ω))
3	2	ibi 269	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Hf → (rank‘𝐴) ∈ ω)
4		peano2 7594	. . . 4 ⊢ ((rank‘𝐴) ∈ ω → suc (rank‘𝐴) ∈ ω)
5	3, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Hf → suc (rank‘𝐴) ∈ ω)
6	1, 5	eqeltrd 2911	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Hf → (rank‘{𝐴}) ∈ ω)
7		snex 5322	. . 3 ⊢ {𝐴} ∈ V
8	7	elhf2 33629	. 2 ⊢ ({𝐴} ∈ Hf ↔ (rank‘{𝐴}) ∈ ω)
9	6, 8	sylibr 236	1 ⊢ (𝐴 ∈ Hf → {𝐴} ∈ Hf )

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  {csn 4559  suc csuc 6186  ‘cfv 6348  ωcom 7572  rankcrnk 9184   Hf chf 33626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-reg 9048  ax-inf2 9096

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-om 7573  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-r1 9185  df-rank 9186  df-hf 33627

This theorem is referenced by:  hfadj  33634