Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hfsn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hfsn 34695
Description: The singleton of an HF set is an HF set. (Contributed by Scott Fenton, 15-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
hfsn (𝐴 ∈ Hf → {𝐴} ∈ Hf )

Proof of Theorem hfsn
StepHypRef Expression
1 ranksng 34683 . . 3 (𝐴 ∈ Hf → (rank‘{𝐴}) = suc (rank‘𝐴))
2 elhf2g 34692 . . . . 5 (𝐴 ∈ Hf → (𝐴 ∈ Hf ↔ (rank‘𝐴) ∈ ω))
32ibi 267 . . . 4 (𝐴 ∈ Hf → (rank‘𝐴) ∈ ω)
4 peano2 7818 . . . 4 ((rank‘𝐴) ∈ ω → suc (rank‘𝐴) ∈ ω)
53, 4syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ Hf → suc (rank‘𝐴) ∈ ω)
61, 5eqeltrd 2839 . 2 (𝐴 ∈ Hf → (rank‘{𝐴}) ∈ ω)
7 snex 5387 . . 3 {𝐴} ∈ V
87elhf2 34691 . 2 ({𝐴} ∈ Hf ↔ (rank‘{𝐴}) ∈ ω)
96, 8sylibr 233 1 (𝐴 ∈ Hf → {𝐴} ∈ Hf )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2107  {csn 4585  suc csuc 6316  cfv 6492  ωcom 7793  rankcrnk 9633   Hf chf 34688
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-reg 9462  ax-inf2 9511
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-int 4907  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7353  df-om 7794  df-2nd 7913  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-er 8582  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-r1 9634  df-rank 9635  df-hf 34689
This theorem is referenced by:  hfadj  34696
  Copyright terms: Public domain W3C validator