MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rankxpl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rankxpl 9914
Description: A lower bound on the rank of a Cartesian product. (Contributed by NM, 18-Sep-2006.)
Hypotheses
Ref Expression
rankxpl.1 𝐴 ∈ V
rankxpl.2 𝐵 ∈ V
Assertion
Ref Expression
rankxpl ((𝐴 × 𝐵) ≠ ∅ → (rank‘(𝐴𝐵)) ⊆ (rank‘(𝐴 × 𝐵)))

Proof of Theorem rankxpl
StepHypRef Expression
1 unixp 6292 . . 3 ((𝐴 × 𝐵) ≠ ∅ → (𝐴 × 𝐵) = (𝐴𝐵))
21fveq2d 6904 . 2 ((𝐴 × 𝐵) ≠ ∅ → (rank‘ (𝐴 × 𝐵)) = (rank‘(𝐴𝐵)))
3 rankxpl.1 . . . . . 6 𝐴 ∈ V
4 rankxpl.2 . . . . . 6 𝐵 ∈ V
53, 4xpex 7760 . . . . 5 (𝐴 × 𝐵) ∈ V
65uniex 7751 . . . 4 (𝐴 × 𝐵) ∈ V
76rankuniss 9905 . . 3 (rank‘ (𝐴 × 𝐵)) ⊆ (rank‘ (𝐴 × 𝐵))
85rankuniss 9905 . . 3 (rank‘ (𝐴 × 𝐵)) ⊆ (rank‘(𝐴 × 𝐵))
97, 8sstri 3988 . 2 (rank‘ (𝐴 × 𝐵)) ⊆ (rank‘(𝐴 × 𝐵))
102, 9eqsstrrdi 4034 1 ((𝐴 × 𝐵) ≠ ∅ → (rank‘(𝐴𝐵)) ⊆ (rank‘(𝐴 × 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2098  wne 2929  Vcvv 3461  cun 3944  wss 3946  c0 4324   cuni 4912   × cxp 5679  cfv 6553  rankcrnk 9802
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5368  ax-pr 5432  ax-un 7745  ax-reg 9631  ax-inf2 9680
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5579  df-eprel 5585  df-po 5593  df-so 5594  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5687  df-rel 5688  df-cnv 5689  df-co 5690  df-dm 5691  df-rn 5692  df-res 5693  df-ima 5694  df-pred 6311  df-ord 6378  df-on 6379  df-lim 6380  df-suc 6381  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7426  df-om 7876  df-2nd 8003  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-r1 9803  df-rank 9804
This theorem is referenced by:  rankxplim  9918
  Copyright terms: Public domain W3C validator