Theorem rankxpl 9912

Description: A lower bound on the rank of a Cartesian product. (Contributed by NM, 18-Sep-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
rankxpl.1	⊢ 𝐴 ∈ V
rankxpl.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
rankxpl	⊢ ((𝐴 × 𝐵) ≠ ∅ → (rank‘(𝐴 ∪ 𝐵)) ⊆ (rank‘(𝐴 × 𝐵)))

Proof of Theorem rankxpl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unixp 6303	. . 3 ⊢ ((𝐴 × 𝐵) ≠ ∅ → ∪ ∪ (𝐴 × 𝐵) = (𝐴 ∪ 𝐵))
2	1	fveq2d 6910	. 2 ⊢ ((𝐴 × 𝐵) ≠ ∅ → (rank‘∪ ∪ (𝐴 × 𝐵)) = (rank‘(𝐴 ∪ 𝐵)))
3		rankxpl.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ V
4		rankxpl.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
5	3, 4	xpex 7771	. . . . 5 ⊢ (𝐴 × 𝐵) ∈ V
6	5	uniex 7759	. . . 4 ⊢ ∪ (𝐴 × 𝐵) ∈ V
7	6	rankuniss 9903	. . 3 ⊢ (rank‘∪ ∪ (𝐴 × 𝐵)) ⊆ (rank‘∪ (𝐴 × 𝐵))
8	5	rankuniss 9903	. . 3 ⊢ (rank‘∪ (𝐴 × 𝐵)) ⊆ (rank‘(𝐴 × 𝐵))
9	7, 8	sstri 4004	. 2 ⊢ (rank‘∪ ∪ (𝐴 × 𝐵)) ⊆ (rank‘(𝐴 × 𝐵))
10	2, 9	eqsstrrdi 4050	1 ⊢ ((𝐴 × 𝐵) ≠ ∅ → (rank‘(𝐴 ∪ 𝐵)) ⊆ (rank‘(𝐴 × 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2937  Vcvv 3477   ∪ cun 3960   ⊆ wss 3962  ∅c0 4338  ∪ cuni 4911   × cxp 5686  ‘cfv 6562  rankcrnk 9800

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-reg 9629  ax-inf2 9678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-ov 7433  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-r1 9801  df-rank 9802

This theorem is referenced by:  rankxplim  9916