Theorem rankxpl 9850

Description: A lower bound on the rank of a Cartesian product. (Contributed by NM, 18-Sep-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
rankxpl.1	⊢ 𝐴 ∈ V
rankxpl.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
rankxpl	⊢ ((𝐴 × 𝐵) ≠ ∅ → (rank‘(𝐴 ∪ 𝐵)) ⊆ (rank‘(𝐴 × 𝐵)))

Proof of Theorem rankxpl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unixp 6287	. . 3 ⊢ ((𝐴 × 𝐵) ≠ ∅ → ∪ ∪ (𝐴 × 𝐵) = (𝐴 ∪ 𝐵))
2	1	fveq2d 6889	. 2 ⊢ ((𝐴 × 𝐵) ≠ ∅ → (rank‘∪ ∪ (𝐴 × 𝐵)) = (rank‘(𝐴 ∪ 𝐵)))
3		rankxpl.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ V
4		rankxpl.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
5	3, 4	xpex 7755	. . . . 5 ⊢ (𝐴 × 𝐵) ∈ V
6	5	uniex 7743	. . . 4 ⊢ ∪ (𝐴 × 𝐵) ∈ V
7	6	rankuniss 9841	. . 3 ⊢ (rank‘∪ ∪ (𝐴 × 𝐵)) ⊆ (rank‘∪ (𝐴 × 𝐵))
8	5	rankuniss 9841	. . 3 ⊢ (rank‘∪ (𝐴 × 𝐵)) ⊆ (rank‘(𝐴 × 𝐵))
9	7, 8	sstri 3954	. 2 ⊢ (rank‘∪ ∪ (𝐴 × 𝐵)) ⊆ (rank‘(𝐴 × 𝐵))
10	2, 9	eqsstrrdi 3990	1 ⊢ ((𝐴 × 𝐵) ≠ ∅ → (rank‘(𝐴 ∪ 𝐵)) ⊆ (rank‘(𝐴 × 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2150   ≠ wne 2965  Vcvv 3462   ∪ cun 3911   ⊆ wss 3913  ∅c0 4294  ∪ cuni 4877   × cxp 5663  ‘cfv 6540  rankcrnk 9738

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2152  ax-9 2160  ax-10 2183  ax-11 2199  ax-12 2220  ax-ext 2742  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5340  ax-pr 5408  ax-un 7736  ax-reg 9557  ax-inf2 9613

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2099  df-mo 2574  df-eu 2604  df-clab 2749  df-cleq 2762  df-clel 2845  df-nfc 2919  df-ne 2966  df-ral 3087  df-rex 3097  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3464  df-sbc 3753  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5560  df-eprel 5565  df-po 5573  df-so 5574  df-fr 5618  df-we 5620  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7417  df-om 7866  df-2nd 7990  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-r1 9739  df-rank 9740

This theorem is referenced by:  rankxplim  9854