Theorem rankxpl 9873

Description: A lower bound on the rank of a Cartesian product. (Contributed by NM, 18-Sep-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
rankxpl.1	⊢ 𝐴 ∈ V
rankxpl.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
rankxpl	⊢ ((𝐴 × 𝐵) ≠ ∅ → (rank‘(𝐴 ∪ 𝐵)) ⊆ (rank‘(𝐴 × 𝐵)))

Proof of Theorem rankxpl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unixp 6281	. . 3 ⊢ ((𝐴 × 𝐵) ≠ ∅ → ∪ ∪ (𝐴 × 𝐵) = (𝐴 ∪ 𝐵))
2	1	fveq2d 6895	. 2 ⊢ ((𝐴 × 𝐵) ≠ ∅ → (rank‘∪ ∪ (𝐴 × 𝐵)) = (rank‘(𝐴 ∪ 𝐵)))
3		rankxpl.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ V
4		rankxpl.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
5	3, 4	xpex 7743	. . . . 5 ⊢ (𝐴 × 𝐵) ∈ V
6	5	uniex 7734	. . . 4 ⊢ ∪ (𝐴 × 𝐵) ∈ V
7	6	rankuniss 9864	. . 3 ⊢ (rank‘∪ ∪ (𝐴 × 𝐵)) ⊆ (rank‘∪ (𝐴 × 𝐵))
8	5	rankuniss 9864	. . 3 ⊢ (rank‘∪ (𝐴 × 𝐵)) ⊆ (rank‘(𝐴 × 𝐵))
9	7, 8	sstri 3991	. 2 ⊢ (rank‘∪ ∪ (𝐴 × 𝐵)) ⊆ (rank‘(𝐴 × 𝐵))
10	2, 9	eqsstrrdi 4037	1 ⊢ ((𝐴 × 𝐵) ≠ ∅ → (rank‘(𝐴 ∪ 𝐵)) ⊆ (rank‘(𝐴 × 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2939  Vcvv 3473   ∪ cun 3946   ⊆ wss 3948  ∅c0 4322  ∪ cuni 4908   × cxp 5674  ‘cfv 6543  rankcrnk 9761

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728  ax-reg 9590  ax-inf2 9639

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7415  df-om 7859  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-r1 9762  df-rank 9763

This theorem is referenced by:  rankxplim  9877