Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rankval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rankval2 8965
 Description: Value of an alternate definition of the rank function. Definition of [BellMachover] p. 478. (Contributed by NM, 8-Oct-2003.)
Assertion
Ref Expression
rankval2 (𝐴𝐵 → (rank‘𝐴) = {𝑥 ∈ On ∣ 𝐴 ⊆ (𝑅1𝑥)})
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem rankval2
StepHypRef Expression
1 rankvalg 8964 . 2 (𝐴𝐵 → (rank‘𝐴) = {𝑥 ∈ On ∣ 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝑥)})
2 r1suc 8917 . . . . . 6 (𝑥 ∈ On → (𝑅1‘suc 𝑥) = 𝒫 (𝑅1𝑥))
32eleq2d 2892 . . . . 5 (𝑥 ∈ On → (𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝑥) ↔ 𝐴 ∈ 𝒫 (𝑅1𝑥)))
4 fvex 6450 . . . . . 6 (𝑅1𝑥) ∈ V
54elpw2 5052 . . . . 5 (𝐴 ∈ 𝒫 (𝑅1𝑥) ↔ 𝐴 ⊆ (𝑅1𝑥))
63, 5syl6bb 279 . . . 4 (𝑥 ∈ On → (𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝑥) ↔ 𝐴 ⊆ (𝑅1𝑥)))
76rabbiia 3397 . . 3 {𝑥 ∈ On ∣ 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝑥)} = {𝑥 ∈ On ∣ 𝐴 ⊆ (𝑅1𝑥)}
87inteqi 4703 . 2 {𝑥 ∈ On ∣ 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝑥)} = {𝑥 ∈ On ∣ 𝐴 ⊆ (𝑅1𝑥)}
91, 8syl6eq 2877 1 (𝐴𝐵 → (rank‘𝐴) = {𝑥 ∈ On ∣ 𝐴 ⊆ (𝑅1𝑥)})
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1656   ∈ wcel 2164  {crab 3121   ⊆ wss 3798  𝒫 cpw 4380  ∩ cint 4699  Oncon0 5967  suc csuc 5969  ‘cfv 6127  𝑅1cr1 8909  rankcrnk 8910 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-reg 8773  ax-inf2 8822 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-om 7332  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-r1 8911  df-rank 8912 This theorem is referenced by:  rankval4  9014
 Copyright terms: Public domain W3C validator