Theorem rankval2b 9865

Description: Value of an alternate definition of the rank function. Definition of [BellMachover] p. 478. This variant of rankval2 9857 does not use Regularity, and so requires the assumption that 𝐴 is in the range of 𝑅₁. (Contributed by BTernaryTau, 19-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
rankval2b	⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → (rank‘𝐴) = ∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝐴 ⊆ (𝑅1‘𝑥)})

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem rankval2b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rankvalb 9835	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → (rank‘𝐴) = ∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝑥)})
2		r1suc 9807	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ On → (𝑅1‘suc 𝑥) = 𝒫 (𝑅1‘𝑥))
3	2	eleq2d 2850	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ On → (𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝑥) ↔ 𝐴 ∈ 𝒫 (𝑅1‘𝑥)))
4		fvex 6924	. . . . . 6 ⊢ (𝑅1‘𝑥) ∈ V
5	4	elpw2 5301	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝒫 (𝑅1‘𝑥) ↔ 𝐴 ⊆ (𝑅1‘𝑥))
6	3, 5	bitrdi 290	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ On → (𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝑥) ↔ 𝐴 ⊆ (𝑅1‘𝑥)))
7	6	rabbiia 3420	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ On ∣ 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝑥)} = {𝑥 ∈ On ∣ 𝐴 ⊆ (𝑅1‘𝑥)}
8	7	inteqi 4914	. 2 ⊢ ∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝑥)} = ∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝐴 ⊆ (𝑅1‘𝑥)}
9	1, 8	eqtrdi 2814	1 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → (rank‘𝐴) = ∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝐴 ⊆ (𝑅1‘𝑥)})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {crab 3416   ⊆ wss 3900  𝒫 cpw 4560  ∪ cuni 4870  ∩ cint 4910   “ cima 5659  Oncon0 6383  suc csuc 6385  ‘cfv 6561  𝑅₁cr1 9796  rankcrnk 9797

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7449  df-om 7905  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-r1 9798  df-rank 9799

This theorem is used by:  rankval4b  9910