Theorem r1elcl 35254

Description: Each set of the cumulative hierarchy is closed under membership. (Contributed by BTernaryTau, 30-Dec-2025.)

Assertion

Ref	Expression
r1elcl	⊢ ((𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (𝑅1‘𝐵))

Proof of Theorem r1elcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r1elwf 9708	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) → 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On))
2		rankelb 9736	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → (𝐶 ∈ 𝐴 → (rank‘𝐶) ∈ (rank‘𝐴)))
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) → (𝐶 ∈ 𝐴 → (rank‘𝐶) ∈ (rank‘𝐴)))
4	3	imp 406	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (rank‘𝐶) ∈ (rank‘𝐴))
5		rankr1ai 9710	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) → (rank‘𝐴) ∈ 𝐵)
6		elfvdm 6868	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) → 𝐵 ∈ dom 𝑅1)
7		r1fnon 9679	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅1 Fn On
8	7	fndmi 6596	. . . . . . 7 ⊢ dom 𝑅1 = On
9	6, 8	eleqtrdi 2846	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) → 𝐵 ∈ On)
10		ontr1 6364	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ On → (((rank‘𝐶) ∈ (rank‘𝐴) ∧ (rank‘𝐴) ∈ 𝐵) → (rank‘𝐶) ∈ 𝐵))
11	9, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) → (((rank‘𝐶) ∈ (rank‘𝐴) ∧ (rank‘𝐴) ∈ 𝐵) → (rank‘𝐶) ∈ 𝐵))
12	5, 11	mpan2d 694	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) → ((rank‘𝐶) ∈ (rank‘𝐴) → (rank‘𝐶) ∈ 𝐵))
13	12	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((rank‘𝐶) ∈ (rank‘𝐴) → (rank‘𝐶) ∈ 𝐵))
14	4, 13	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (rank‘𝐶) ∈ 𝐵)
15		elwf 35253	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ∪ (𝑅1 “ On))
16	1, 15	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ∪ (𝑅1 “ On))
17		rankr1ag 9714	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐶 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ (rank‘𝐶) ∈ 𝐵))
18	6, 17	sylan2 593	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵)) → (𝐶 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ (rank‘𝐶) ∈ 𝐵))
19	18	ancoms 458	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ∪ (𝑅1 “ On)) → (𝐶 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ (rank‘𝐶) ∈ 𝐵))
20	16, 19	syldan 591	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐶 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ (rank‘𝐶) ∈ 𝐵))
21	14, 20	mpbird 257	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (𝑅1‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113  ∪ cuni 4863  dom cdm 5624   “ cima 5627  Oncon0 6317  ‘cfv 6492  𝑅₁cr1 9674  rankcrnk 9675

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-r1 9676  df-rank 9677

This theorem is referenced by:  r1filim  35260  r1omhf  35262