Theorem r1elcl 35516

Description: Each set of the cumulative hierarchy is closed under membership. (Contributed by BTernaryTau, 30-Dec-2025.)

Assertion

Ref	Expression
r1elcl	⊢ ((𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (𝑅1‘𝐵))

Proof of Theorem r1elcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r1elwf 9778	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) → 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On))
2		rankelb 9806	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → (𝐶 ∈ 𝐴 → (rank‘𝐶) ∈ (rank‘𝐴)))
3	1, 2	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) → (𝐶 ∈ 𝐴 → (rank‘𝐶) ∈ (rank‘𝐴)))
4	3	imp 412	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (rank‘𝐶) ∈ (rank‘𝐴))
5		rankr1ai 9780	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) → (rank‘𝐴) ∈ 𝐵)
6		elfvdm 6922	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) → 𝐵 ∈ dom 𝑅1)
7		r1fnon 9749	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅1 Fn On
8	7	fndmi 6646	. . . . . . 7 ⊢ dom 𝑅1 = On
9	6, 8	eleqtrdi 2876	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) → 𝐵 ∈ On)
10		ontr1 6415	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ On → (((rank‘𝐶) ∈ (rank‘𝐴) ∧ (rank‘𝐴) ∈ 𝐵) → (rank‘𝐶) ∈ 𝐵))
11	9, 10	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) → (((rank‘𝐶) ∈ (rank‘𝐴) ∧ (rank‘𝐴) ∈ 𝐵) → (rank‘𝐶) ∈ 𝐵))
12	5, 11	mpan2d 707	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) → ((rank‘𝐶) ∈ (rank‘𝐴) → (rank‘𝐶) ∈ 𝐵))
13	12	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((rank‘𝐶) ∈ (rank‘𝐴) → (rank‘𝐶) ∈ 𝐵))
14	4, 13	mpd 16	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (rank‘𝐶) ∈ 𝐵)
15		elwf 35515	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ∪ (𝑅1 “ On))
16	1, 15	sylan 592	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ∪ (𝑅1 “ On))
17		rankr1ag 9784	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐶 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ (rank‘𝐶) ∈ 𝐵))
18	6, 17	sylan2 605	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵)) → (𝐶 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ (rank‘𝐶) ∈ 𝐵))
19	18	ancoms 464	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ∪ (𝑅1 “ On)) → (𝐶 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ (rank‘𝐶) ∈ 𝐵))
20	16, 19	syldan 603	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐶 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ (rank‘𝐶) ∈ 𝐵))
21	14, 20	mpbird 260	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (𝑅1‘𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2146  ∪ cuni 4877  dom cdm 5666   “ cima 5669  Oncon0 6367  ‘cfv 6543  𝑅₁cr1 9744  rankcrnk 9745

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7426  df-om 7872  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-r1 9746  df-rank 9747

This theorem is used by:  r1filim  35523  r1omhf  35525