Theorem r1elcl 35358

Description: Each set of the cumulative hierarchy is closed under membership. (Contributed by BTernaryTau, 30-Dec-2025.)

Assertion

Ref	Expression
r1elcl	⊢ ((𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (𝑅1‘𝐵))

Proof of Theorem r1elcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r1elwf 9751	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) → 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On))
2		rankelb 9779	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → (𝐶 ∈ 𝐴 → (rank‘𝐶) ∈ (rank‘𝐴)))
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) → (𝐶 ∈ 𝐴 → (rank‘𝐶) ∈ (rank‘𝐴)))
4	3	imp 410	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (rank‘𝐶) ∈ (rank‘𝐴))
5		rankr1ai 9753	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) → (rank‘𝐴) ∈ 𝐵)
6		elfvdm 6897	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) → 𝐵 ∈ dom 𝑅1)
7		r1fnon 9722	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅1 Fn On
8	7	fndmi 6621	. . . . . . 7 ⊢ dom 𝑅1 = On
9	6, 8	eleqtrdi 2871	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) → 𝐵 ∈ On)
10		ontr1 6389	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ On → (((rank‘𝐶) ∈ (rank‘𝐴) ∧ (rank‘𝐴) ∈ 𝐵) → (rank‘𝐶) ∈ 𝐵))
11	9, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) → (((rank‘𝐶) ∈ (rank‘𝐴) ∧ (rank‘𝐴) ∈ 𝐵) → (rank‘𝐶) ∈ 𝐵))
12	5, 11	mpan2d 704	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) → ((rank‘𝐶) ∈ (rank‘𝐴) → (rank‘𝐶) ∈ 𝐵))
13	12	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((rank‘𝐶) ∈ (rank‘𝐴) → (rank‘𝐶) ∈ 𝐵))
14	4, 13	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (rank‘𝐶) ∈ 𝐵)
15		elwf 35357	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ∪ (𝑅1 “ On))
16	1, 15	sylan 589	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ∪ (𝑅1 “ On))
17		rankr1ag 9757	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐶 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ (rank‘𝐶) ∈ 𝐵))
18	6, 17	sylan2 602	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵)) → (𝐶 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ (rank‘𝐶) ∈ 𝐵))
19	18	ancoms 462	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ∪ (𝑅1 “ On)) → (𝐶 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ (rank‘𝐶) ∈ 𝐵))
20	16, 19	syldan 600	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐶 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ (rank‘𝐶) ∈ 𝐵))
21	14, 20	mpbird 259	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (𝑅1‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∈ wcel 2141  ∪ cuni 4864  dom cdm 5645   “ cima 5648  Oncon0 6342  ‘cfv 6517  𝑅₁cr1 9717  rankcrnk 9718

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-ov 7395  df-om 7843  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-r1 9719  df-rank 9720

This theorem is referenced by:  r1filim  35364  r1omhf  35366