Theorem r1elcl 35273

Description: Each set of the cumulative hierarchy is closed under membership. (Contributed by BTernaryTau, 30-Dec-2025.)

Assertion

Ref	Expression
r1elcl	⊢ ((𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (𝑅1‘𝐵))

Proof of Theorem r1elcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r1elwf 9720	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) → 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On))
2		rankelb 9748	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → (𝐶 ∈ 𝐴 → (rank‘𝐶) ∈ (rank‘𝐴)))
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) → (𝐶 ∈ 𝐴 → (rank‘𝐶) ∈ (rank‘𝐴)))
4	3	imp 406	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (rank‘𝐶) ∈ (rank‘𝐴))
5		rankr1ai 9722	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) → (rank‘𝐴) ∈ 𝐵)
6		elfvdm 6876	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) → 𝐵 ∈ dom 𝑅1)
7		r1fnon 9691	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅1 Fn On
8	7	fndmi 6604	. . . . . . 7 ⊢ dom 𝑅1 = On
9	6, 8	eleqtrdi 2847	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) → 𝐵 ∈ On)
10		ontr1 6372	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ On → (((rank‘𝐶) ∈ (rank‘𝐴) ∧ (rank‘𝐴) ∈ 𝐵) → (rank‘𝐶) ∈ 𝐵))
11	9, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) → (((rank‘𝐶) ∈ (rank‘𝐴) ∧ (rank‘𝐴) ∈ 𝐵) → (rank‘𝐶) ∈ 𝐵))
12	5, 11	mpan2d 695	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) → ((rank‘𝐶) ∈ (rank‘𝐴) → (rank‘𝐶) ∈ 𝐵))
13	12	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((rank‘𝐶) ∈ (rank‘𝐴) → (rank‘𝐶) ∈ 𝐵))
14	4, 13	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (rank‘𝐶) ∈ 𝐵)
15		elwf 35272	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ∪ (𝑅1 “ On))
16	1, 15	sylan 581	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ∪ (𝑅1 “ On))
17		rankr1ag 9726	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐶 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ (rank‘𝐶) ∈ 𝐵))
18	6, 17	sylan2 594	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵)) → (𝐶 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ (rank‘𝐶) ∈ 𝐵))
19	18	ancoms 458	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ∪ (𝑅1 “ On)) → (𝐶 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ (rank‘𝐶) ∈ 𝐵))
20	16, 19	syldan 592	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐶 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ (rank‘𝐶) ∈ 𝐵))
21	14, 20	mpbird 257	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (𝑅1‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  ∪ cuni 4865  dom cdm 5632   “ cima 5635  Oncon0 6325  ‘cfv 6500  𝑅₁cr1 9686  rankcrnk 9687

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-r1 9688  df-rank 9689

This theorem is referenced by:  r1filim  35279  r1omhf  35281