Theorem r1elcl 35130

Description: Each set of the cumulative hierarchy is closed under membership. (Contributed by BTernaryTau, 30-Dec-2025.)

Assertion

Ref	Expression
r1elcl	⊢ ((𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (𝑅1‘𝐵))

Proof of Theorem r1elcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r1elwf 9696	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) → 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On))
2		rankelb 9724	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → (𝐶 ∈ 𝐴 → (rank‘𝐶) ∈ (rank‘𝐴)))
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) → (𝐶 ∈ 𝐴 → (rank‘𝐶) ∈ (rank‘𝐴)))
4	3	imp 406	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (rank‘𝐶) ∈ (rank‘𝐴))
5		rankr1ai 9698	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) → (rank‘𝐴) ∈ 𝐵)
6		elfvdm 6862	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) → 𝐵 ∈ dom 𝑅1)
7		r1fnon 9667	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅1 Fn On
8	7	fndmi 6590	. . . . . . 7 ⊢ dom 𝑅1 = On
9	6, 8	eleqtrdi 2843	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) → 𝐵 ∈ On)
10		ontr1 6358	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ On → (((rank‘𝐶) ∈ (rank‘𝐴) ∧ (rank‘𝐴) ∈ 𝐵) → (rank‘𝐶) ∈ 𝐵))
11	9, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) → (((rank‘𝐶) ∈ (rank‘𝐴) ∧ (rank‘𝐴) ∈ 𝐵) → (rank‘𝐶) ∈ 𝐵))
12	5, 11	mpan2d 694	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) → ((rank‘𝐶) ∈ (rank‘𝐴) → (rank‘𝐶) ∈ 𝐵))
13	12	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((rank‘𝐶) ∈ (rank‘𝐴) → (rank‘𝐶) ∈ 𝐵))
14	4, 13	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (rank‘𝐶) ∈ 𝐵)
15		elwf 35129	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ∪ (𝑅1 “ On))
16	1, 15	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ∪ (𝑅1 “ On))
17		rankr1ag 9702	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐶 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ (rank‘𝐶) ∈ 𝐵))
18	6, 17	sylan2 593	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵)) → (𝐶 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ (rank‘𝐶) ∈ 𝐵))
19	18	ancoms 458	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ∪ (𝑅1 “ On)) → (𝐶 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ (rank‘𝐶) ∈ 𝐵))
20	16, 19	syldan 591	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐶 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ (rank‘𝐶) ∈ 𝐵))
21	14, 20	mpbird 257	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (𝑅1‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113  ∪ cuni 4858  dom cdm 5619   “ cima 5622  Oncon0 6311  ‘cfv 6486  𝑅₁cr1 9662  rankcrnk 9663

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7355  df-om 7803  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-r1 9664  df-rank 9665

This theorem is referenced by:  r1filim  35136  r1omhf  35138