Theorem rankvaln 8961

Description: Value of the rank function at a non-well-founded set. (The antecedent is always false under Foundation, by unir1 8975, unless 𝐴 is a proper class.) (Contributed by Mario Carneiro, 22-Mar-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
rankvaln	⊢ (¬ 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → (rank‘𝐴) = ∅)

Proof of Theorem rankvaln

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rankf 8956	. . . 4 ⊢ rank:∪ (𝑅1 “ On)⟶On
2	1	fdmi 6303	. . 3 ⊢ dom rank = ∪ (𝑅1 “ On)
3	2	eleq2i 2851	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom rank ↔ 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On))
4		ndmfv 6478	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ dom rank → (rank‘𝐴) = ∅)
5	3, 4	sylnbir 323	1 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → (rank‘𝐴) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  ∅c0 4141  ∪ cuni 4673  dom cdm 5357   “ cima 5360  Oncon0 5978  ‘cfv 6137  𝑅₁cr1 8924  rankcrnk 8925

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-om 7346  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-r1 8926  df-rank 8927

This theorem is referenced by:  rankdmr1  8963  rankcf  9936