Theorem rankvaln 9743

Description: Value of the rank function at a non-well-founded set. (The antecedent is always false under Foundation, by unir1 9757, unless 𝐴 is a proper class.) (Contributed by Mario Carneiro, 22-Mar-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
rankvaln	⊢ (¬ 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → (rank‘𝐴) = ∅)

Proof of Theorem rankvaln

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rankf 9738	. . . 4 ⊢ rank:∪ (𝑅1 “ On)⟶On
2	1	fdmi 6688	. . 3 ⊢ dom rank = ∪ (𝑅1 “ On)
3	2	eleq2i 2844	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom rank ↔ 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On))
4		ndmfv 6884	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ dom rank → (rank‘𝐴) = ∅)
5	3, 4	sylnbir 333	1 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → (rank‘𝐴) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1550   ∈ wcel 2132  ∅c0 4276  ∪ cuni 4855  dom cdm 5636   “ cima 5639  Oncon0 6331  ‘cfv 6506  𝑅₁cr1 9706  rankcrnk 9707

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-ral 3067  df-rex 3077  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4856  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-pred 6273  df-ord 6334  df-on 6335  df-lim 6336  df-suc 6337  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-ov 7384  df-om 7832  df-2nd 7956  df-frecs 8246  df-wrecs 8277  df-recs 8326  df-rdg 8365  df-r1 9708  df-rank 9709

This theorem is referenced by:  rankdmr1  9745  rankcf  10721