Theorem rankvaln 9821

Description: Value of the rank function at a non-well-founded set. (The antecedent is always false under Foundation, by unir1 9835, unless 𝐴 is a proper class.) (Contributed by Mario Carneiro, 22-Mar-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
rankvaln	⊢ (¬ 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → (rank‘𝐴) = ∅)

Proof of Theorem rankvaln

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rankf 9816	. . . 4 ⊢ rank:∪ (𝑅1 “ On)⟶On
2	1	fdmi 6727	. . 3 ⊢ dom rank = ∪ (𝑅1 “ On)
3	2	eleq2i 2825	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom rank ↔ 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On))
4		ndmfv 6921	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ dom rank → (rank‘𝐴) = ∅)
5	3, 4	sylnbir 331	1 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → (rank‘𝐴) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∅c0 4313  ∪ cuni 4887  dom cdm 5665   “ cima 5668  Oncon0 6363  ‘cfv 6541  𝑅₁cr1 9784  rankcrnk 9785

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-int 4927  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-ov 7416  df-om 7870  df-2nd 7997  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-r1 9786  df-rank 9787

This theorem is referenced by:  rankdmr1  9823  rankcf  10799