Theorem rankvaln 9796

Description: Value of the rank function at a non-well-founded set. (The antecedent is always false under Foundation, by unir1 9810, unless 𝐴 is a proper class.) (Contributed by Mario Carneiro, 22-Mar-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
rankvaln	⊢ (¬ 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → (rank‘𝐴) = ∅)

Proof of Theorem rankvaln

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rankf 9791	. . . 4 ⊢ rank:∪ (𝑅1 “ On)⟶On
2	1	fdmi 6723	. . 3 ⊢ dom rank = ∪ (𝑅1 “ On)
3	2	eleq2i 2819	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom rank ↔ 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On))
4		ndmfv 6920	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ dom rank → (rank‘𝐴) = ∅)
5	3, 4	sylnbir 331	1 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → (rank‘𝐴) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∅c0 4317  ∪ cuni 4902  dom cdm 5669   “ cima 5672  Oncon0 6358  ‘cfv 6537  𝑅₁cr1 9759  rankcrnk 9760

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7408  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-r1 9761  df-rank 9762

This theorem is referenced by:  rankdmr1  9798  rankcf  10774