MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rankvaln Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rankvaln 9820
Description: Value of the rank function at a non-well-founded set. (The antecedent is always false under Foundation, by unir1 9834, unless 𝐴 is a proper class.) (Contributed by Mario Carneiro, 22-Mar-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
rankvaln (Β¬ 𝐴 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) β†’ (rankβ€˜π΄) = βˆ…)

Proof of Theorem rankvaln
StepHypRef Expression
1 rankf 9815 . . . 4 rank:βˆͺ (𝑅1 β€œ On)⟢On
21fdmi 6727 . . 3 dom rank = βˆͺ (𝑅1 β€œ On)
32eleq2i 2817 . 2 (𝐴 ∈ dom rank ↔ 𝐴 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On))
4 ndmfv 6925 . 2 (Β¬ 𝐴 ∈ dom rank β†’ (rankβ€˜π΄) = βˆ…)
53, 4sylnbir 330 1 (Β¬ 𝐴 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) β†’ (rankβ€˜π΄) = βˆ…)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ…c0 4316  βˆͺ cuni 4901  dom cdm 5670   β€œ cima 5673  Oncon0 6362  β€˜cfv 6541  π‘…1cr1 9783  rankcrnk 9784
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7736
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4317  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4943  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-ov 7417  df-om 7867  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-r1 9785  df-rank 9786
This theorem is referenced by:  rankdmr1  9822  rankcf  10798
  Copyright terms: Public domain W3C validator