Theorem rankpw 9833

Description: The rank of a power set. Part of Exercise 30 of [Enderton] p. 207. (Contributed by NM, 22-Nov-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
rankpw.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
rankpw	⊢ (rank‘𝒫 𝐴) = suc (rank‘𝐴)

Proof of Theorem rankpw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rankpw.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		unir1 9803	. . 3 ⊢ ∪ (𝑅1 “ On) = V
3	1, 2	eleqtrri 2833	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On)
4		rankpwi 9813	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → (rank‘𝒫 𝐴) = suc (rank‘𝐴))
5	3, 4	ax-mp 5	1 ⊢ (rank‘𝒫 𝐴) = suc (rank‘𝐴)

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475  𝒫 cpw 4600  ∪ cuni 4906   “ cima 5677  Oncon0 6360  suc csuc 6362  ‘cfv 6539  𝑅₁cr1 9752  rankcrnk 9753

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5283  ax-sep 5297  ax-nul 5304  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7719  ax-reg 9582  ax-inf2 9631

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4527  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4907  df-int 4949  df-iun 4997  df-br 5147  df-opab 5209  df-mpt 5230  df-tr 5264  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6296  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6491  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-ov 7406  df-om 7850  df-2nd 7970  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-r1 9754  df-rank 9755

This theorem is referenced by:  ranklim  9834  r1pwALT  9836  rankuni  9853  rankc2  9861  rankxpu  9866  rankmapu  9868  rankpwg  35078