Theorem rankpw 9884

Description: The rank of a power set. Part of Exercise 30 of [Enderton] p. 207. (Contributed by NM, 22-Nov-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
rankpw.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
rankpw	⊢ (rank‘𝒫 𝐴) = suc (rank‘𝐴)

Proof of Theorem rankpw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rankpw.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		unir1 9854	. . 3 ⊢ ∪ (𝑅1 “ On) = V
3	1, 2	eleqtrri 2839	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On)
4		rankpwi 9864	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → (rank‘𝒫 𝐴) = suc (rank‘𝐴))
5	3, 4	ax-mp 5	1 ⊢ (rank‘𝒫 𝐴) = suc (rank‘𝐴)

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  Vcvv 3479  𝒫 cpw 4599  ∪ cuni 4906   “ cima 5687  Oncon0 6383  suc csuc 6385  ‘cfv 6560  𝑅₁cr1 9803  rankcrnk 9804

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-reg 9633  ax-inf2 9682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-ov 7435  df-om 7889  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-r1 9805  df-rank 9806

This theorem is referenced by:  ranklim  9885  r1pwALT  9887  rankuni  9904  rankc2  9912  rankxpu  9917  rankmapu  9919  rankpwg  36171