Theorem rediveud 42920

Description: Existential uniqueness of real quotients. (Contributed by SN, 25-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
redivvald.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
redivvald.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
redivvald.z	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
rediveud	⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 ∈ ℝ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥

Proof of Theorem rediveud

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		redivvald.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2		redivvald.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
3		ax-rrecex 11101	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ∃𝑦 ∈ ℝ (𝐵 · 𝑦) = 1)
4	1, 2, 3	syl2anc 590	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ (𝐵 · 𝑦) = 1)
5		oveq2 7364	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 · 𝐴) → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · (𝑦 · 𝐴)))
6	5	eqeq1d 2741	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 · 𝐴) → ((𝐵 · 𝑥) = 𝐴 ↔ (𝐵 · (𝑦 · 𝐴)) = 𝐴))
7		simprl 776	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑦) = 1)) → 𝑦 ∈ ℝ)
8		redivvald.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
9	8	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑦) = 1)) → 𝐴 ∈ ℝ)
10	7, 9	remulcld 11166	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑦) = 1)) → (𝑦 · 𝐴) ∈ ℝ)
11		simprr 778	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑦) = 1)) → (𝐵 · 𝑦) = 1)
12	11	oveq1d 7371	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑦) = 1)) → ((𝐵 · 𝑦) · 𝐴) = (1 · 𝐴))
13	1	recnd 11164	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
14	13	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑦) = 1)) → 𝐵 ∈ ℂ)
15	7	recnd 11164	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑦) = 1)) → 𝑦 ∈ ℂ)
16	8	recnd 11164	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
17	16	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑦) = 1)) → 𝐴 ∈ ℂ)
18	14, 15, 17	mulassd 11159	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑦) = 1)) → ((𝐵 · 𝑦) · 𝐴) = (𝐵 · (𝑦 · 𝐴)))
19		remullid 42911	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
20	8, 19	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐴) = 𝐴)
21	20	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑦) = 1)) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
22	12, 18, 21	3eqtr3d 2782	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑦) = 1)) → (𝐵 · (𝑦 · 𝐴)) = 𝐴)
23	6, 10, 22	rspcedvdw 3563	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑦) = 1)) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴)
24	4, 23	rexlimddv 3146	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴)
25		eqtr3 2761	. . . 4 ⊢ (((𝐵 · 𝑥) = 𝐴 ∧ (𝐵 · 𝑦) = 𝐴) → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · 𝑦))
26		simprl 776	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑥 ∈ ℝ)
27		simprr 778	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑦 ∈ ℝ)
28	1	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝐵 ∈ ℝ)
29	2	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝐵 ≠ 0)
30	26, 27, 28, 29	remulcand 42916	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · 𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
31	25, 30	imbitrid 245	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (((𝐵 · 𝑥) = 𝐴 ∧ (𝐵 · 𝑦) = 𝐴) → 𝑥 = 𝑦))
32	31	ralrimivva 3182	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (((𝐵 · 𝑥) = 𝐴 ∧ (𝐵 · 𝑦) = 𝐴) → 𝑥 = 𝑦))
33		oveq2 7364	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · 𝑦))
34	33	eqeq1d 2741	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐵 · 𝑥) = 𝐴 ↔ (𝐵 · 𝑦) = 𝐴))
35	34	reu4 3672	. 2 ⊢ (∃!𝑥 ∈ ℝ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴 ↔ (∃𝑥 ∈ ℝ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (((𝐵 · 𝑥) = 𝐴 ∧ (𝐵 · 𝑦) = 𝐴) → 𝑥 = 𝑦)))
36	24, 32, 35	sylanbrc 589	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 ∈ ℝ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  ∀wral 3053  ∃wrex 3063  ∃!wreu 3342  (class class class)co 7356  ℂcc 11027  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030   · cmul 11034

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-po 5526  df-so 5527  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-ltxr 11175  df-2 12235  df-3 12236  df-resub 42843

This theorem is referenced by:  sn-redivcld  42921  redivmuld  42922