Theorem rediveud 43089

Description: Existential uniqueness of real quotients. (Contributed by SN, 25-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
redivvald.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
redivvald.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
redivvald.z	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
rediveud	⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 ∈ ℝ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥

Proof of Theorem rediveud

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		redivvald.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2		redivvald.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
3		ax-rrecex 11168	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ∃𝑦 ∈ ℝ (𝐵 · 𝑦) = 1)
4	1, 2, 3	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ (𝐵 · 𝑦) = 1)
5		oveq2 7416	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 · 𝐴) → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · (𝑦 · 𝐴)))
6	5	eqeq1d 2771	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 · 𝐴) → ((𝐵 · 𝑥) = 𝐴 ↔ (𝐵 · (𝑦 · 𝐴)) = 𝐴))
7		simprl 782	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑦) = 1)) → 𝑦 ∈ ℝ)
8		redivvald.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
9	8	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑦) = 1)) → 𝐴 ∈ ℝ)
10	7, 9	remulcld 11235	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑦) = 1)) → (𝑦 · 𝐴) ∈ ℝ)
11		simprr 784	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑦) = 1)) → (𝐵 · 𝑦) = 1)
12	11	oveq1d 7423	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑦) = 1)) → ((𝐵 · 𝑦) · 𝐴) = (1 · 𝐴))
13	1	recnd 11233	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
14	13	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑦) = 1)) → 𝐵 ∈ ℂ)
15	7	recnd 11233	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑦) = 1)) → 𝑦 ∈ ℂ)
16	8	recnd 11233	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
17	16	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑦) = 1)) → 𝐴 ∈ ℂ)
18	14, 15, 17	mulassd 11228	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑦) = 1)) → ((𝐵 · 𝑦) · 𝐴) = (𝐵 · (𝑦 · 𝐴)))
19		remullid 43080	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
20	8, 19	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐴) = 𝐴)
21	20	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑦) = 1)) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
22	12, 18, 21	3eqtr3d 2812	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑦) = 1)) → (𝐵 · (𝑦 · 𝐴)) = 𝐴)
23	6, 10, 22	rspcedvdw 3593	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑦) = 1)) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴)
24	4, 23	rexlimddv 3178	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴)
25		eqtr3 2791	. . . 4 ⊢ (((𝐵 · 𝑥) = 𝐴 ∧ (𝐵 · 𝑦) = 𝐴) → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · 𝑦))
26		simprl 782	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑥 ∈ ℝ)
27		simprr 784	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑦 ∈ ℝ)
28	1	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝐵 ∈ ℝ)
29	2	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝐵 ≠ 0)
30	26, 27, 28, 29	remulcand 43085	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · 𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
31	25, 30	imbitrid 247	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (((𝐵 · 𝑥) = 𝐴 ∧ (𝐵 · 𝑦) = 𝐴) → 𝑥 = 𝑦))
32	31	ralrimivva 3214	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (((𝐵 · 𝑥) = 𝐴 ∧ (𝐵 · 𝑦) = 𝐴) → 𝑥 = 𝑦))
33		oveq2 7416	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · 𝑦))
34	33	eqeq1d 2771	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐵 · 𝑥) = 𝐴 ↔ (𝐵 · 𝑦) = 𝐴))
35	34	reu4 3703	. 2 ⊢ (∃!𝑥 ∈ ℝ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴 ↔ (∃𝑥 ∈ ℝ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (((𝐵 · 𝑥) = 𝐴 ∧ (𝐵 · 𝑦) = 𝐴) → 𝑥 = 𝑦)))
36	24, 32, 35	sylanbrc 594	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 ∈ ℝ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∀wral 3085  ∃wrex 3095  ∃!wreu 3374  (class class class)co 7408  ℂcc 11094  ℝcr 11095  0cc0 11096  1c1 11097   · cmul 11101

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-ltxr 11244  df-2 12299  df-3 12300  df-resub 43012

This theorem is referenced by:  sn-redivcld  43090  redivmuld  43091