Theorem rediveud 42613

Description: Existential uniqueness of real quotients. (Contributed by SN, 25-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
redivvald.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
redivvald.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
redivvald.z	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
rediveud	⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 ∈ ℝ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥

Proof of Theorem rediveud

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		redivvald.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2		redivvald.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
3		ax-rrecex 11089	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ∃𝑦 ∈ ℝ (𝐵 · 𝑦) = 1)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ (𝐵 · 𝑦) = 1)
5		oveq2 7363	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 · 𝐴) → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · (𝑦 · 𝐴)))
6	5	eqeq1d 2735	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 · 𝐴) → ((𝐵 · 𝑥) = 𝐴 ↔ (𝐵 · (𝑦 · 𝐴)) = 𝐴))
7		simprl 770	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑦) = 1)) → 𝑦 ∈ ℝ)
8		redivvald.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
9	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑦) = 1)) → 𝐴 ∈ ℝ)
10	7, 9	remulcld 11153	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑦) = 1)) → (𝑦 · 𝐴) ∈ ℝ)
11		simprr 772	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑦) = 1)) → (𝐵 · 𝑦) = 1)
12	11	oveq1d 7370	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑦) = 1)) → ((𝐵 · 𝑦) · 𝐴) = (1 · 𝐴))
13	1	recnd 11151	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
14	13	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑦) = 1)) → 𝐵 ∈ ℂ)
15	7	recnd 11151	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑦) = 1)) → 𝑦 ∈ ℂ)
16	8	recnd 11151	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
17	16	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑦) = 1)) → 𝐴 ∈ ℂ)
18	14, 15, 17	mulassd 11146	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑦) = 1)) → ((𝐵 · 𝑦) · 𝐴) = (𝐵 · (𝑦 · 𝐴)))
19		remullid 42604	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
20	8, 19	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐴) = 𝐴)
21	20	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑦) = 1)) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
22	12, 18, 21	3eqtr3d 2776	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑦) = 1)) → (𝐵 · (𝑦 · 𝐴)) = 𝐴)
23	6, 10, 22	rspcedvdw 3576	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑦) = 1)) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴)
24	4, 23	rexlimddv 3140	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴)
25		eqtr3 2755	. . . 4 ⊢ (((𝐵 · 𝑥) = 𝐴 ∧ (𝐵 · 𝑦) = 𝐴) → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · 𝑦))
26		simprl 770	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑥 ∈ ℝ)
27		simprr 772	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑦 ∈ ℝ)
28	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝐵 ∈ ℝ)
29	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝐵 ≠ 0)
30	26, 27, 28, 29	remulcand 42609	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · 𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
31	25, 30	imbitrid 244	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (((𝐵 · 𝑥) = 𝐴 ∧ (𝐵 · 𝑦) = 𝐴) → 𝑥 = 𝑦))
32	31	ralrimivva 3176	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (((𝐵 · 𝑥) = 𝐴 ∧ (𝐵 · 𝑦) = 𝐴) → 𝑥 = 𝑦))
33		oveq2 7363	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · 𝑦))
34	33	eqeq1d 2735	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐵 · 𝑥) = 𝐴 ↔ (𝐵 · 𝑦) = 𝐴))
35	34	reu4 3686	. 2 ⊢ (∃!𝑥 ∈ ℝ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴 ↔ (∃𝑥 ∈ ℝ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (((𝐵 · 𝑥) = 𝐴 ∧ (𝐵 · 𝑦) = 𝐴) → 𝑥 = 𝑦)))
36	24, 32, 35	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 ∈ ℝ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  ∀wral 3048  ∃wrex 3057  ∃!wreu 3345  (class class class)co 7355  ℂcc 11015  ℝcr 11016  0cc0 11017  1c1 11018   · cmul 11022

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-po 5529  df-so 5530  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-ltxr 11162  df-2 12199  df-3 12200  df-resub 42536

This theorem is referenced by:  sn-redivcld  42614  redivmuld  42615