Theorem rediveud 43204

Description: Existential uniqueness of real quotients. (Contributed by SN, 25-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
redivvald.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
redivvald.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
redivvald.z	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
rediveud	⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 ∈ ℝ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥

Proof of Theorem rediveud

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		redivvald.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2		redivvald.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
3		ax-rrecex 11167	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ∃𝑦 ∈ ℝ (𝐵 · 𝑦) = 1)
4	1, 2, 3	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ (𝐵 · 𝑦) = 1)
5		oveq2 7418	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 · 𝐴) → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · (𝑦 · 𝐴)))
6	5	eqeq1d 2765	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 · 𝐴) → ((𝐵 · 𝑥) = 𝐴 ↔ (𝐵 · (𝑦 · 𝐴)) = 𝐴))
7		simprl 782	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑦) = 1)) → 𝑦 ∈ ℝ)
8		redivvald.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
9	8	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑦) = 1)) → 𝐴 ∈ ℝ)
10	7, 9	remulcld 11234	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑦) = 1)) → (𝑦 · 𝐴) ∈ ℝ)
11		simprr 784	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑦) = 1)) → (𝐵 · 𝑦) = 1)
12	11	oveq1d 7425	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑦) = 1)) → ((𝐵 · 𝑦) · 𝐴) = (1 · 𝐴))
13	1	recnd 11232	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
14	13	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑦) = 1)) → 𝐵 ∈ ℂ)
15	7	recnd 11232	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑦) = 1)) → 𝑦 ∈ ℂ)
16	8	recnd 11232	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
17	16	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑦) = 1)) → 𝐴 ∈ ℂ)
18	14, 15, 17	mulassd 11227	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑦) = 1)) → ((𝐵 · 𝑦) · 𝐴) = (𝐵 · (𝑦 · 𝐴)))
19		remullid 43195	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
20	8, 19	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐴) = 𝐴)
21	20	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑦) = 1)) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
22	12, 18, 21	3eqtr3d 2806	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑦) = 1)) → (𝐵 · (𝑦 · 𝐴)) = 𝐴)
23	6, 10, 22	rspcedvdw 3584	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑦) = 1)) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴)
24	4, 23	rexlimddv 3172	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴)
25		eqtr3 2785	. . . 4 ⊢ (((𝐵 · 𝑥) = 𝐴 ∧ (𝐵 · 𝑦) = 𝐴) → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · 𝑦))
26		simprl 782	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑥 ∈ ℝ)
27		simprr 784	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑦 ∈ ℝ)
28	1	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝐵 ∈ ℝ)
29	2	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝐵 ≠ 0)
30	26, 27, 28, 29	remulcand 43200	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · 𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
31	25, 30	imbitrid 247	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (((𝐵 · 𝑥) = 𝐴 ∧ (𝐵 · 𝑦) = 𝐴) → 𝑥 = 𝑦))
32	31	ralrimivva 3208	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (((𝐵 · 𝑥) = 𝐴 ∧ (𝐵 · 𝑦) = 𝐴) → 𝑥 = 𝑦))
33		oveq2 7418	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · 𝑦))
34	33	eqeq1d 2765	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐵 · 𝑥) = 𝐴 ↔ (𝐵 · 𝑦) = 𝐴))
35	34	reu4 3694	. 2 ⊢ (∃!𝑥 ∈ ℝ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴 ↔ (∃𝑥 ∈ ℝ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (((𝐵 · 𝑥) = 𝐴 ∧ (𝐵 · 𝑦) = 𝐴) → 𝑥 = 𝑦)))
36	24, 32, 35	sylanbrc 594	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 ∈ ℝ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∀wral 3079  ∃wrex 3089  ∃!wreu 3367  (class class class)co 7410  ℂcc 11093  ℝcr 11094  0cc0 11095  1c1 11096   · cmul 11100

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-po 5569  df-so 5570  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-ltxr 11243  df-2 12298  df-3 12299  df-resub 43127

This theorem is referenced by:  sn-redivcld  43205  redivmuld  43206