Theorem rediveud 42476

Description: Existential uniqueness of real quotients. (Contributed by SN, 25-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
redivvald.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
redivvald.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
redivvald.z	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
rediveud	⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 ∈ ℝ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥

Proof of Theorem rediveud

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		redivvald.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2		redivvald.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
3		ax-rrecex 11073	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ∃𝑦 ∈ ℝ (𝐵 · 𝑦) = 1)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ (𝐵 · 𝑦) = 1)
5		oveq2 7349	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 · 𝐴) → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · (𝑦 · 𝐴)))
6	5	eqeq1d 2733	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 · 𝐴) → ((𝐵 · 𝑥) = 𝐴 ↔ (𝐵 · (𝑦 · 𝐴)) = 𝐴))
7		simprl 770	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑦) = 1)) → 𝑦 ∈ ℝ)
8		redivvald.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
9	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑦) = 1)) → 𝐴 ∈ ℝ)
10	7, 9	remulcld 11137	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑦) = 1)) → (𝑦 · 𝐴) ∈ ℝ)
11		simprr 772	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑦) = 1)) → (𝐵 · 𝑦) = 1)
12	11	oveq1d 7356	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑦) = 1)) → ((𝐵 · 𝑦) · 𝐴) = (1 · 𝐴))
13	1	recnd 11135	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
14	13	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑦) = 1)) → 𝐵 ∈ ℂ)
15	7	recnd 11135	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑦) = 1)) → 𝑦 ∈ ℂ)
16	8	recnd 11135	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
17	16	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑦) = 1)) → 𝐴 ∈ ℂ)
18	14, 15, 17	mulassd 11130	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑦) = 1)) → ((𝐵 · 𝑦) · 𝐴) = (𝐵 · (𝑦 · 𝐴)))
19		remullid 42467	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
20	8, 19	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐴) = 𝐴)
21	20	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑦) = 1)) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
22	12, 18, 21	3eqtr3d 2774	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑦) = 1)) → (𝐵 · (𝑦 · 𝐴)) = 𝐴)
23	6, 10, 22	rspcedvdw 3575	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑦) = 1)) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴)
24	4, 23	rexlimddv 3139	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴)
25		eqtr3 2753	. . . 4 ⊢ (((𝐵 · 𝑥) = 𝐴 ∧ (𝐵 · 𝑦) = 𝐴) → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · 𝑦))
26		simprl 770	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑥 ∈ ℝ)
27		simprr 772	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑦 ∈ ℝ)
28	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝐵 ∈ ℝ)
29	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝐵 ≠ 0)
30	26, 27, 28, 29	remulcand 42472	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · 𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
31	25, 30	imbitrid 244	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (((𝐵 · 𝑥) = 𝐴 ∧ (𝐵 · 𝑦) = 𝐴) → 𝑥 = 𝑦))
32	31	ralrimivva 3175	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (((𝐵 · 𝑥) = 𝐴 ∧ (𝐵 · 𝑦) = 𝐴) → 𝑥 = 𝑦))
33		oveq2 7349	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · 𝑦))
34	33	eqeq1d 2733	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐵 · 𝑥) = 𝐴 ↔ (𝐵 · 𝑦) = 𝐴))
35	34	reu4 3685	. 2 ⊢ (∃!𝑥 ∈ ℝ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴 ↔ (∃𝑥 ∈ ℝ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (((𝐵 · 𝑥) = 𝐴 ∧ (𝐵 · 𝑦) = 𝐴) → 𝑥 = 𝑦)))
36	24, 32, 35	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 ∈ ℝ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∀wral 3047  ∃wrex 3056  ∃!wreu 3344  (class class class)co 7341  ℂcc 10999  ℝcr 11000  0cc0 11001  1c1 11002   · cmul 11006

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5506  df-po 5519  df-so 5520  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-ltxr 11146  df-2 12183  df-3 12184  df-resub 42399

This theorem is referenced by:  sn-redivcld  42477  redivmuld  42478