Theorem rhmsubcALTVlem3 48937

Description: Lemma 3 for rhmsubcALTV 48939. (Contributed by AV, 2-Mar-2020.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngcrescrhmALTV.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
rngcrescrhmALTV.c	⊢ 𝐶 = (RngCatALTV‘𝑈)
rngcrescrhmALTV.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Ring ∩ 𝑈))
rngcrescrhmALTV.h	⊢ 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅))

Assertion

Ref	Expression
rhmsubcALTVlem3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → ((Id‘(RngCatALTV‘𝑈))‘𝑥) ∈ (𝑥𝐻𝑥))

Distinct variable group:   𝑥,𝑅

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑈(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem rhmsubcALTVlem3

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngcrescrhmALTV.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Ring ∩ 𝑈))
2	1	eleq2d 2855	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑅 ↔ 𝑥 ∈ (Ring ∩ 𝑈)))
3		elinel1 4162	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (Ring ∩ 𝑈) → 𝑥 ∈ Ring)
4	2, 3	biimtrdi 256	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑅 → 𝑥 ∈ Ring))
5	4	imp 411	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → 𝑥 ∈ Ring)
6		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑥) = (Base‘𝑥)
7	6	idrhm 20572	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ Ring → ( I ↾ (Base‘𝑥)) ∈ (𝑥 RingHom 𝑥))
8	5, 7	syl 18	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → ( I ↾ (Base‘𝑥)) ∈ (𝑥 RingHom 𝑥))
9		rngcrescrhmALTV.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
10	9	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → 𝑈 ∈ 𝑉)
11		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (RngCatALTV‘𝑈) = (RngCatALTV‘𝑈)
12		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈)) = (Base‘(RngCatALTV‘𝑈))
13	11, 12	rngccatidALTV 48926	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → ((RngCatALTV‘𝑈) ∈ Cat ∧ (Id‘(RngCatALTV‘𝑈)) = (𝑦 ∈ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈)) ↦ ( I ↾ (Base‘𝑦)))))
14		simpr 489	. . . 4 ⊢ (((RngCatALTV‘𝑈) ∈ Cat ∧ (Id‘(RngCatALTV‘𝑈)) = (𝑦 ∈ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈)) ↦ ( I ↾ (Base‘𝑦)))) → (Id‘(RngCatALTV‘𝑈)) = (𝑦 ∈ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈)) ↦ ( I ↾ (Base‘𝑦))))
15	10, 13, 14	3syl 19	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → (Id‘(RngCatALTV‘𝑈)) = (𝑦 ∈ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈)) ↦ ( I ↾ (Base‘𝑦))))
16		fveq2 6882	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (Base‘𝑦) = (Base‘𝑥))
17	16	reseq2d 5979	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ( I ↾ (Base‘𝑦)) = ( I ↾ (Base‘𝑥)))
18	17	adantl 486	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ 𝑦 = 𝑥) → ( I ↾ (Base‘𝑦)) = ( I ↾ (Base‘𝑥)))
19		incom 4170	. . . . . . . 8 ⊢ (Ring ∩ 𝑈) = (𝑈 ∩ Ring)
20	1, 19	eqtrdi 2820	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (𝑈 ∩ Ring))
21	20	eleq2d 2855	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑅 ↔ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ Ring)))
22		ringrng 20368	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ Ring → 𝑥 ∈ Rng)
23	22	anim2i 628	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ∈ Ring) → (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ∈ Rng))
24		elin 3929	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑈 ∩ Ring) ↔ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ∈ Ring))
25		elin 3929	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑈 ∩ Rng) ↔ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ∈ Rng))
26	23, 24, 25	3imtr4i 295	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑈 ∩ Ring) → 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ Rng))
27	21, 26	biimtrdi 256	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑅 → 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ Rng)))
28	27	imp 411	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ Rng))
29		rngcrescrhmALTV.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (RngCatALTV‘𝑈)
30	29	eqcomi 2778	. . . . . . 7 ⊢ (RngCatALTV‘𝑈) = 𝐶
31	30	fveq2i 6885	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈)) = (Base‘𝐶)
32	29, 31, 9	rngcbasALTV 48920	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘(RngCatALTV‘𝑈)) = (𝑈 ∩ Rng))
33	32	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → (Base‘(RngCatALTV‘𝑈)) = (𝑈 ∩ Rng))
34	28, 33	eleqtrrd 2872	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → 𝑥 ∈ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈)))
35		fvexd 6897	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → (Base‘𝑥) ∈ V)
36	35	resiexd 7215	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → ( I ↾ (Base‘𝑥)) ∈ V)
37	15, 18, 34, 36	fvmptd 6998	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → ((Id‘(RngCatALTV‘𝑈))‘𝑥) = ( I ↾ (Base‘𝑥)))
38		rngcrescrhmALTV.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅))
39	9, 29, 1, 38	rhmsubcALTVlem2 48936	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → (𝑥𝐻𝑥) = (𝑥 RingHom 𝑥))
40	39	3anidm23 1446	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → (𝑥𝐻𝑥) = (𝑥 RingHom 𝑥))
41	8, 37, 40	3eltr4d 2884	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → ((Id‘(RngCatALTV‘𝑈))‘𝑥) ∈ (𝑥𝐻𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463   ∩ cin 3912   ↦ cmpt 5196   I cid 5556   × cxp 5660   ↾ cres 5664  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  Basecbs 17269  Catccat 17720  Idccid 17721  Rngcrng 20230  Ringcrg 20315   RingHom crh 20551  RngCatALTVcrngcALTV 48917

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8694  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-z 12592  df-dec 12712  df-uz 12863  df-fz 13536  df-struct 17207  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-plusg 17323  df-hom 17334  df-cco 17335  df-0g 17494  df-cat 17724  df-cid 17725  df-mgm 18698  df-mgmhm 18750  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-mhm 18841  df-grp 19003  df-minusg 19004  df-ghm 19284  df-cmn 19852  df-abl 19853  df-mgp 20217  df-rng 20231  df-ur 20264  df-ring 20317  df-rnghm 20518  df-rhm 20554  df-rngcALTV 48918

This theorem is referenced by:  rhmsubcALTV  48939