Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rhmsubcALTVlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rhmsubcALTVlem3 44717
Description: Lemma 3 for rhmsubcALTV 44719. (Contributed by AV, 2-Mar-2020.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
rngcrescrhmALTV.u (𝜑𝑈𝑉)
rngcrescrhmALTV.c 𝐶 = (RngCatALTV‘𝑈)
rngcrescrhmALTV.r (𝜑𝑅 = (Ring ∩ 𝑈))
rngcrescrhmALTV.h 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅))
Assertion
Ref Expression
rhmsubcALTVlem3 ((𝜑𝑥𝑅) → ((Id‘(RngCatALTV‘𝑈))‘𝑥) ∈ (𝑥𝐻𝑥))
Distinct variable group:   𝑥,𝑅
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑈(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem rhmsubcALTVlem3
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rngcrescrhmALTV.r . . . . . 6 (𝜑𝑅 = (Ring ∩ 𝑈))
21eleq2d 2878 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝑅𝑥 ∈ (Ring ∩ 𝑈)))
3 elinel1 4125 . . . . 5 (𝑥 ∈ (Ring ∩ 𝑈) → 𝑥 ∈ Ring)
42, 3syl6bi 256 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝑅𝑥 ∈ Ring))
54imp 410 . . 3 ((𝜑𝑥𝑅) → 𝑥 ∈ Ring)
6 eqid 2801 . . . 4 (Base‘𝑥) = (Base‘𝑥)
76idrhm 19482 . . 3 (𝑥 ∈ Ring → ( I ↾ (Base‘𝑥)) ∈ (𝑥 RingHom 𝑥))
85, 7syl 17 . 2 ((𝜑𝑥𝑅) → ( I ↾ (Base‘𝑥)) ∈ (𝑥 RingHom 𝑥))
9 rngcrescrhmALTV.u . . . . 5 (𝜑𝑈𝑉)
109adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑅) → 𝑈𝑉)
11 eqid 2801 . . . . 5 (RngCatALTV‘𝑈) = (RngCatALTV‘𝑈)
12 eqid 2801 . . . . 5 (Base‘(RngCatALTV‘𝑈)) = (Base‘(RngCatALTV‘𝑈))
1311, 12rngccatidALTV 44600 . . . 4 (𝑈𝑉 → ((RngCatALTV‘𝑈) ∈ Cat ∧ (Id‘(RngCatALTV‘𝑈)) = (𝑦 ∈ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈)) ↦ ( I ↾ (Base‘𝑦)))))
14 simpr 488 . . . 4 (((RngCatALTV‘𝑈) ∈ Cat ∧ (Id‘(RngCatALTV‘𝑈)) = (𝑦 ∈ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈)) ↦ ( I ↾ (Base‘𝑦)))) → (Id‘(RngCatALTV‘𝑈)) = (𝑦 ∈ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈)) ↦ ( I ↾ (Base‘𝑦))))
1510, 13, 143syl 18 . . 3 ((𝜑𝑥𝑅) → (Id‘(RngCatALTV‘𝑈)) = (𝑦 ∈ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈)) ↦ ( I ↾ (Base‘𝑦))))
16 fveq2 6649 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥 → (Base‘𝑦) = (Base‘𝑥))
1716reseq2d 5822 . . . 4 (𝑦 = 𝑥 → ( I ↾ (Base‘𝑦)) = ( I ↾ (Base‘𝑥)))
1817adantl 485 . . 3 (((𝜑𝑥𝑅) ∧ 𝑦 = 𝑥) → ( I ↾ (Base‘𝑦)) = ( I ↾ (Base‘𝑥)))
19 incom 4131 . . . . . . . 8 (Ring ∩ 𝑈) = (𝑈 ∩ Ring)
201, 19eqtrdi 2852 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 = (𝑈 ∩ Ring))
2120eleq2d 2878 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝑅𝑥 ∈ (𝑈 ∩ Ring)))
22 ringrng 44490 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ Ring → 𝑥 ∈ Rng)
2322anim2i 619 . . . . . . 7 ((𝑥𝑈𝑥 ∈ Ring) → (𝑥𝑈𝑥 ∈ Rng))
24 elin 3900 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝑈 ∩ Ring) ↔ (𝑥𝑈𝑥 ∈ Ring))
25 elin 3900 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝑈 ∩ Rng) ↔ (𝑥𝑈𝑥 ∈ Rng))
2623, 24, 253imtr4i 295 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝑈 ∩ Ring) → 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ Rng))
2721, 26syl6bi 256 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝑅𝑥 ∈ (𝑈 ∩ Rng)))
2827imp 410 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑅) → 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ Rng))
29 rngcrescrhmALTV.c . . . . . 6 𝐶 = (RngCatALTV‘𝑈)
3029eqcomi 2810 . . . . . . 7 (RngCatALTV‘𝑈) = 𝐶
3130fveq2i 6652 . . . . . 6 (Base‘(RngCatALTV‘𝑈)) = (Base‘𝐶)
3229, 31, 9rngcbasALTV 44594 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘(RngCatALTV‘𝑈)) = (𝑈 ∩ Rng))
3332adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑅) → (Base‘(RngCatALTV‘𝑈)) = (𝑈 ∩ Rng))
3428, 33eleqtrrd 2896 . . 3 ((𝜑𝑥𝑅) → 𝑥 ∈ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈)))
35 fvexd 6664 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑅) → (Base‘𝑥) ∈ V)
3635resiexd 6960 . . 3 ((𝜑𝑥𝑅) → ( I ↾ (Base‘𝑥)) ∈ V)
3715, 18, 34, 36fvmptd 6756 . 2 ((𝜑𝑥𝑅) → ((Id‘(RngCatALTV‘𝑈))‘𝑥) = ( I ↾ (Base‘𝑥)))
38 rngcrescrhmALTV.h . . . 4 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅))
399, 29, 1, 38rhmsubcALTVlem2 44716 . . 3 ((𝜑𝑥𝑅𝑥𝑅) → (𝑥𝐻𝑥) = (𝑥 RingHom 𝑥))
40393anidm23 1418 . 2 ((𝜑𝑥𝑅) → (𝑥𝐻𝑥) = (𝑥 RingHom 𝑥))
418, 37, 403eltr4d 2908 1 ((𝜑𝑥𝑅) → ((Id‘(RngCatALTV‘𝑈))‘𝑥) ∈ (𝑥𝐻𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2112  Vcvv 3444  cin 3883  cmpt 5113   I cid 5427   × cxp 5521  cres 5525  cfv 6328  (class class class)co 7139  Basecbs 16478  Catccat 16930  Idccid 16931  Ringcrg 19293   RingHom crh 19463  Rngcrng 44485  RngCatALTVcrngcALTV 44569
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-fz 12890  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-plusg 16573  df-hom 16584  df-cco 16585  df-0g 16710  df-cat 16934  df-cid 16935  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-mhm 17951  df-grp 18101  df-minusg 18102  df-ghm 18351  df-cmn 18903  df-abl 18904  df-mgp 19236  df-ur 19248  df-ring 19295  df-rnghom 19466  df-mgmhm 44386  df-rng0 44486  df-rnghomo 44498  df-rngcALTV 44571
This theorem is referenced by:  rhmsubcALTV  44719
  Copyright terms: Public domain W3C validator