Theorem rhmsubcALTVlem3 48759

Description: Lemma 3 for rhmsubcALTV 48761. (Contributed by AV, 2-Mar-2020.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngcrescrhmALTV.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
rngcrescrhmALTV.c	⊢ 𝐶 = (RngCatALTV‘𝑈)
rngcrescrhmALTV.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Ring ∩ 𝑈))
rngcrescrhmALTV.h	⊢ 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅))

Assertion

Ref	Expression
rhmsubcALTVlem3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → ((Id‘(RngCatALTV‘𝑈))‘𝑥) ∈ (𝑥𝐻𝑥))

Distinct variable group:   𝑥,𝑅

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑈(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem rhmsubcALTVlem3

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngcrescrhmALTV.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Ring ∩ 𝑈))
2	1	eleq2d 2822	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑅 ↔ 𝑥 ∈ (Ring ∩ 𝑈)))
3		elinel1 4141	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (Ring ∩ 𝑈) → 𝑥 ∈ Ring)
4	2, 3	biimtrdi 253	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑅 → 𝑥 ∈ Ring))
5	4	imp 406	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → 𝑥 ∈ Ring)
6		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑥) = (Base‘𝑥)
7	6	idrhm 20469	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ Ring → ( I ↾ (Base‘𝑥)) ∈ (𝑥 RingHom 𝑥))
8	5, 7	syl 17	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → ( I ↾ (Base‘𝑥)) ∈ (𝑥 RingHom 𝑥))
9		rngcrescrhmALTV.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
10	9	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → 𝑈 ∈ 𝑉)
11		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (RngCatALTV‘𝑈) = (RngCatALTV‘𝑈)
12		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈)) = (Base‘(RngCatALTV‘𝑈))
13	11, 12	rngccatidALTV 48748	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → ((RngCatALTV‘𝑈) ∈ Cat ∧ (Id‘(RngCatALTV‘𝑈)) = (𝑦 ∈ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈)) ↦ ( I ↾ (Base‘𝑦)))))
14		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((RngCatALTV‘𝑈) ∈ Cat ∧ (Id‘(RngCatALTV‘𝑈)) = (𝑦 ∈ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈)) ↦ ( I ↾ (Base‘𝑦)))) → (Id‘(RngCatALTV‘𝑈)) = (𝑦 ∈ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈)) ↦ ( I ↾ (Base‘𝑦))))
15	10, 13, 14	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → (Id‘(RngCatALTV‘𝑈)) = (𝑦 ∈ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈)) ↦ ( I ↾ (Base‘𝑦))))
16		fveq2 6840	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (Base‘𝑦) = (Base‘𝑥))
17	16	reseq2d 5944	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ( I ↾ (Base‘𝑦)) = ( I ↾ (Base‘𝑥)))
18	17	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ 𝑦 = 𝑥) → ( I ↾ (Base‘𝑦)) = ( I ↾ (Base‘𝑥)))
19		incom 4149	. . . . . . . 8 ⊢ (Ring ∩ 𝑈) = (𝑈 ∩ Ring)
20	1, 19	eqtrdi 2787	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (𝑈 ∩ Ring))
21	20	eleq2d 2822	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑅 ↔ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ Ring)))
22		ringrng 20266	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ Ring → 𝑥 ∈ Rng)
23	22	anim2i 618	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ∈ Ring) → (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ∈ Rng))
24		elin 3905	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑈 ∩ Ring) ↔ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ∈ Ring))
25		elin 3905	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑈 ∩ Rng) ↔ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ∈ Rng))
26	23, 24, 25	3imtr4i 292	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑈 ∩ Ring) → 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ Rng))
27	21, 26	biimtrdi 253	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑅 → 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ Rng)))
28	27	imp 406	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ Rng))
29		rngcrescrhmALTV.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (RngCatALTV‘𝑈)
30	29	eqcomi 2745	. . . . . . 7 ⊢ (RngCatALTV‘𝑈) = 𝐶
31	30	fveq2i 6843	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈)) = (Base‘𝐶)
32	29, 31, 9	rngcbasALTV 48742	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘(RngCatALTV‘𝑈)) = (𝑈 ∩ Rng))
33	32	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → (Base‘(RngCatALTV‘𝑈)) = (𝑈 ∩ Rng))
34	28, 33	eleqtrrd 2839	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → 𝑥 ∈ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈)))
35		fvexd 6855	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → (Base‘𝑥) ∈ V)
36	35	resiexd 7171	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → ( I ↾ (Base‘𝑥)) ∈ V)
37	15, 18, 34, 36	fvmptd 6955	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → ((Id‘(RngCatALTV‘𝑈))‘𝑥) = ( I ↾ (Base‘𝑥)))
38		rngcrescrhmALTV.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅))
39	9, 29, 1, 38	rhmsubcALTVlem2 48758	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → (𝑥𝐻𝑥) = (𝑥 RingHom 𝑥))
40	39	3anidm23 1424	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → (𝑥𝐻𝑥) = (𝑥 RingHom 𝑥))
41	8, 37, 40	3eltr4d 2851	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → ((Id‘(RngCatALTV‘𝑈))‘𝑥) ∈ (𝑥𝐻𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3429   ∩ cin 3888   ↦ cmpt 5166   I cid 5525   × cxp 5629   ↾ cres 5633  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Basecbs 17179  Catccat 17630  Idccid 17631  Rngcrng 20133  Ringcrg 20214   RingHom crh 20449  RngCatALTVcrngcALTV 48739

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-fz 13462  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-plusg 17233  df-hom 17244  df-cco 17245  df-0g 17404  df-cat 17634  df-cid 17635  df-mgm 18608  df-mgmhm 18660  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-mhm 18751  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-ghm 19188  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-mgp 20122  df-rng 20134  df-ur 20163  df-ring 20216  df-rnghm 20416  df-rhm 20452  df-rngcALTV 48740

This theorem is referenced by:  rhmsubcALTV  48761