Theorem rhmsubcALTVlem3 48905

Description: Lemma 3 for rhmsubcALTV 48907. (Contributed by AV, 2-Mar-2020.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngcrescrhmALTV.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
rngcrescrhmALTV.c	⊢ 𝐶 = (RngCatALTV‘𝑈)
rngcrescrhmALTV.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Ring ∩ 𝑈))
rngcrescrhmALTV.h	⊢ 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅))

Assertion

Ref	Expression
rhmsubcALTVlem3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → ((Id‘(RngCatALTV‘𝑈))‘𝑥) ∈ (𝑥𝐻𝑥))

Distinct variable group:   𝑥,𝑅

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑈(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem rhmsubcALTVlem3

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngcrescrhmALTV.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Ring ∩ 𝑈))
2	1	eleq2d 2848	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑅 ↔ 𝑥 ∈ (Ring ∩ 𝑈)))
3		elinel1 4153	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (Ring ∩ 𝑈) → 𝑥 ∈ Ring)
4	2, 3	biimtrdi 255	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑅 → 𝑥 ∈ Ring))
5	4	imp 410	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → 𝑥 ∈ Ring)
6		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑥) = (Base‘𝑥)
7	6	idrhm 20539	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ Ring → ( I ↾ (Base‘𝑥)) ∈ (𝑥 RingHom 𝑥))
8	5, 7	syl 17	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → ( I ↾ (Base‘𝑥)) ∈ (𝑥 RingHom 𝑥))
9		rngcrescrhmALTV.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
10	9	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → 𝑈 ∈ 𝑉)
11		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (RngCatALTV‘𝑈) = (RngCatALTV‘𝑈)
12		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈)) = (Base‘(RngCatALTV‘𝑈))
13	11, 12	rngccatidALTV 48894	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → ((RngCatALTV‘𝑈) ∈ Cat ∧ (Id‘(RngCatALTV‘𝑈)) = (𝑦 ∈ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈)) ↦ ( I ↾ (Base‘𝑦)))))
14		simpr 488	. . . 4 ⊢ (((RngCatALTV‘𝑈) ∈ Cat ∧ (Id‘(RngCatALTV‘𝑈)) = (𝑦 ∈ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈)) ↦ ( I ↾ (Base‘𝑦)))) → (Id‘(RngCatALTV‘𝑈)) = (𝑦 ∈ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈)) ↦ ( I ↾ (Base‘𝑦))))
15	10, 13, 14	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → (Id‘(RngCatALTV‘𝑈)) = (𝑦 ∈ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈)) ↦ ( I ↾ (Base‘𝑦))))
16		fveq2 6867	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (Base‘𝑦) = (Base‘𝑥))
17	16	reseq2d 5965	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ( I ↾ (Base‘𝑦)) = ( I ↾ (Base‘𝑥)))
18	17	adantl 485	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ 𝑦 = 𝑥) → ( I ↾ (Base‘𝑦)) = ( I ↾ (Base‘𝑥)))
19		incom 4161	. . . . . . . 8 ⊢ (Ring ∩ 𝑈) = (𝑈 ∩ Ring)
20	1, 19	eqtrdi 2813	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (𝑈 ∩ Ring))
21	20	eleq2d 2848	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑅 ↔ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ Ring)))
22		ringrng 20335	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ Ring → 𝑥 ∈ Rng)
23	22	anim2i 626	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ∈ Ring) → (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ∈ Rng))
24		elin 3920	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑈 ∩ Ring) ↔ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ∈ Ring))
25		elin 3920	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑈 ∩ Rng) ↔ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ∈ Rng))
26	23, 24, 25	3imtr4i 294	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑈 ∩ Ring) → 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ Rng))
27	21, 26	biimtrdi 255	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑅 → 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ Rng)))
28	27	imp 410	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ Rng))
29		rngcrescrhmALTV.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (RngCatALTV‘𝑈)
30	29	eqcomi 2771	. . . . . . 7 ⊢ (RngCatALTV‘𝑈) = 𝐶
31	30	fveq2i 6870	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈)) = (Base‘𝐶)
32	29, 31, 9	rngcbasALTV 48888	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘(RngCatALTV‘𝑈)) = (𝑈 ∩ Rng))
33	32	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → (Base‘(RngCatALTV‘𝑈)) = (𝑈 ∩ Rng))
34	28, 33	eleqtrrd 2865	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → 𝑥 ∈ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈)))
35		fvexd 6882	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → (Base‘𝑥) ∈ V)
36	35	resiexd 7200	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → ( I ↾ (Base‘𝑥)) ∈ V)
37	15, 18, 34, 36	fvmptd 6983	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → ((Id‘(RngCatALTV‘𝑈))‘𝑥) = ( I ↾ (Base‘𝑥)))
38		rngcrescrhmALTV.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅))
39	9, 29, 1, 38	rhmsubcALTVlem2 48904	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → (𝑥𝐻𝑥) = (𝑥 RingHom 𝑥))
40	39	3anidm23 1440	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → (𝑥𝐻𝑥) = (𝑥 RingHom 𝑥))
41	8, 37, 40	3eltr4d 2877	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → ((Id‘(RngCatALTV‘𝑈))‘𝑥) ∈ (𝑥𝐻𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  Vcvv 3454   ∩ cin 3903   ↦ cmpt 5181   I cid 5541   × cxp 5645   ↾ cres 5649  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  Basecbs 17245  Catccat 17696  Idccid 17697  Rngcrng 20198  Ringcrg 20283   RingHom crh 20518  RngCatALTVcrngcALTV 48885

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8678  df-map 8810  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12482  df-z 12569  df-dec 12689  df-uz 12840  df-fz 13513  df-struct 17183  df-sets 17200  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-plusg 17299  df-hom 17310  df-cco 17311  df-0g 17470  df-cat 17700  df-cid 17701  df-mgm 18674  df-mgmhm 18726  df-sgrp 18753  df-mnd 18769  df-mhm 18817  df-grp 18978  df-minusg 18979  df-ghm 19254  df-cmn 19822  df-abl 19823  df-mgp 20187  df-rng 20199  df-ur 20232  df-ring 20285  df-rnghm 20485  df-rhm 20521  df-rngcALTV 48886

This theorem is referenced by:  rhmsubcALTV  48907