Theorem rhmsubcALTVlem3 49516

Description: Lemma 3 for rhmsubcALTV 49518. (Contributed by AV, 2-Mar-2020.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngcrescrhmALTV.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
rngcrescrhmALTV.c	⊢ 𝐶 = (RngCatALTV‘𝑈)
rngcrescrhmALTV.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Ring ∩ 𝑈))
rngcrescrhmALTV.h	⊢ 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅))

Assertion

Ref	Expression
rhmsubcALTVlem3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → ((Id‘(RngCatALTV‘𝑈))‘𝑥) ∈ (𝑥𝐻𝑥))

Distinct variable group:   𝑥,𝑅

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑈(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem rhmsubcALTVlem3

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngcrescrhmALTV.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Ring ∩ 𝑈))
2	1	eleq2d 2846	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑅 ↔ 𝑥 ∈ (Ring ∩ 𝑈)))
3		elinel1 4097	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (Ring ∩ 𝑈) → 𝑥 ∈ Ring)
4	2, 3	biimtrdi 256	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑅 → 𝑥 ∈ Ring))
5	4	imp 412	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → 𝑥 ∈ Ring)
6		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑥) = (Base‘𝑥)
7	6	idrhm 20734	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ Ring → ( I ↾ (Base‘𝑥)) ∈ (𝑥 RingHom 𝑥))
8	5, 7	syl 18	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → ( I ↾ (Base‘𝑥)) ∈ (𝑥 RingHom 𝑥))
9		rngcrescrhmALTV.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
10	9	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → 𝑈 ∈ 𝑉)
11		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (RngCatALTV‘𝑈) = (RngCatALTV‘𝑈)
12		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈)) = (Base‘(RngCatALTV‘𝑈))
13	11, 12	rngccatidALTV 49505	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → ((RngCatALTV‘𝑈) ∈ Cat ∧ (Id‘(RngCatALTV‘𝑈)) = (𝑦 ∈ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈)) ↦ ( I ↾ (Base‘𝑦)))))
14		simpr 490	. . . 4 ⊢ (((RngCatALTV‘𝑈) ∈ Cat ∧ (Id‘(RngCatALTV‘𝑈)) = (𝑦 ∈ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈)) ↦ ( I ↾ (Base‘𝑦)))) → (Id‘(RngCatALTV‘𝑈)) = (𝑦 ∈ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈)) ↦ ( I ↾ (Base‘𝑦))))
15	10, 13, 14	3syl 19	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → (Id‘(RngCatALTV‘𝑈)) = (𝑦 ∈ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈)) ↦ ( I ↾ (Base‘𝑦))))
16		fveq2 6890	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (Base‘𝑦) = (Base‘𝑥))
17	16	reseq2d 5971	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ( I ↾ (Base‘𝑦)) = ( I ↾ (Base‘𝑥)))
18	17	adantl 487	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ 𝑦 = 𝑥) → ( I ↾ (Base‘𝑦)) = ( I ↾ (Base‘𝑥)))
19		incom 4105	. . . . . . . 8 ⊢ (Ring ∩ 𝑈) = (𝑈 ∩ Ring)
20	1, 19	eqtrdi 2811	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (𝑈 ∩ Ring))
21	20	eleq2d 2846	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑅 ↔ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ Ring)))
22		ringrng 20523	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ Ring → 𝑥 ∈ Rng)
23	22	anim2i 629	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ∈ Ring) → (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ∈ Rng))
24		elin 4092	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑈 ∩ Ring) ↔ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ∈ Ring))
25		elin 4092	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑈 ∩ Rng) ↔ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ∈ Rng))
26	23, 24, 25	3imtr4i 295	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑈 ∩ Ring) → 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ Rng))
27	21, 26	biimtrdi 256	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑅 → 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ Rng)))
28	27	imp 412	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ Rng))
29		rngcrescrhmALTV.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (RngCatALTV‘𝑈)
30	29	eqcomi 2769	. . . . . . 7 ⊢ (RngCatALTV‘𝑈) = 𝐶
31	30	fveq2i 6893	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈)) = (Base‘𝐶)
32	29, 31, 9	rngcbasALTV 49499	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘(RngCatALTV‘𝑈)) = (𝑈 ∩ Rng))
33	32	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → (Base‘(RngCatALTV‘𝑈)) = (𝑈 ∩ Rng))
34	28, 33	eleqtrrd 2863	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → 𝑥 ∈ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈)))
35		fvexd 6905	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → (Base‘𝑥) ∈ V)
36	35	resiexd 7226	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → ( I ↾ (Base‘𝑥)) ∈ V)
37	15, 18, 34, 36	fvmptd 7006	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → ((Id‘(RngCatALTV‘𝑈))‘𝑥) = ( I ↾ (Base‘𝑥)))
38		rngcrescrhmALTV.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅))
39	9, 29, 1, 38	rhmsubcALTVlem2 49515	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → (𝑥𝐻𝑥) = (𝑥 RingHom 𝑥))
40	39	3anidm23 1448	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → (𝑥𝐻𝑥) = (𝑥 RingHom 𝑥))
41	8, 37, 40	3eltr4d 2875	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → ((Id‘(RngCatALTV‘𝑈))‘𝑥) ∈ (𝑥𝐻𝑥))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450   ∩ cin 4088   ↦ cmpt 5185   I cid 5545   × cxp 5649   ↾ cres 5653  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  Basecbs 17396  Catccat 17847  Idccid 17848  Rngcrng 20383  Ringcrg 20468   RingHom crh 20708  RngCatALTVcrngcALTV 49496

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-1o 8484  df-er 8725  df-map 8857  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-4 12414  df-5 12415  df-6 12416  df-7 12417  df-8 12418  df-9 12419  df-n0 12614  df-z 12701  df-dec 12822  df-uz 12973  df-fz 13647  df-struct 17334  df-sets 17351  df-slot 17369  df-ndx 17381  df-base 17397  df-plusg 17450  df-hom 17461  df-cco 17462  df-0g 17621  df-cat 17851  df-cid 17852  df-mgm 18825  df-mgmhm 18890  df-sgrp 18917  df-mnd 18933  df-mhm 18987  df-grp 19156  df-minusg 19157  df-ghm 19437  df-cmn 20005  df-abl 20006  df-mgp 20370  df-rng 20384  df-ur 20417  df-ring 20470  df-rnghm 20675  df-rhm 20711  df-rngcALTV 49497

This theorem is used by:  rhmsubcALTV  49518