Theorem setcid 17993

Description: The identity arrow in the category of sets is the identity function. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
setccat.c	⊢ 𝐶 = (SetCat‘𝑈)
setcid.o	⊢ 1 = (Id‘𝐶)
setcid.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
setcid.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
setcid	⊢ (𝜑 → ( 1 ‘𝑋) = ( I ↾ 𝑋))

Proof of Theorem setcid

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setcid.o	. . 3 ⊢ 1 = (Id‘𝐶)
2		setcid.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
3		setccat.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (SetCat‘𝑈)
4	3	setccatid 17991	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (𝐶 ∈ Cat ∧ (Id‘𝐶) = (𝑥 ∈ 𝑈 ↦ ( I ↾ 𝑥))))
5	2, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ Cat ∧ (Id‘𝐶) = (𝑥 ∈ 𝑈 ↦ ( I ↾ 𝑥))))
6	5	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Id‘𝐶) = (𝑥 ∈ 𝑈 ↦ ( I ↾ 𝑥)))
7	1, 6	eqtrid 2778	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 = (𝑥 ∈ 𝑈 ↦ ( I ↾ 𝑥)))
8		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 = 𝑋)
9	8	reseq2d 5928	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → ( I ↾ 𝑥) = ( I ↾ 𝑋))
10		setcid.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
11	10	resiexd 7150	. 2 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝑋) ∈ V)
12	7, 9, 10, 11	fvmptd 6936	1 ⊢ (𝜑 → ( 1 ‘𝑋) = ( I ↾ 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436   ↦ cmpt 5172   I cid 5510   ↾ cres 5618  ‘cfv 6481  Catccat 17570  Idccid 17571  SetCatcsetc 17982

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-fz 13408  df-struct 17058  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-hom 17185  df-cco 17186  df-cat 17574  df-cid 17575  df-setc 17983

This theorem is referenced by:  setcsect  17996  funcestrcsetclem7  18052  funcsetcestrclem7  18067  hofcl  18165  yonedainv  18187  funcringcsetcALTV2lem7  48333  funcringcsetclem7ALTV  48356  setc1oid  49533