Theorem setcid 18044

Description: The identity arrow in the category of sets is the identity function. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
setccat.c	⊢ 𝐶 = (SetCat‘𝑈)
setcid.o	⊢ 1 = (Id‘𝐶)
setcid.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
setcid.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
setcid	⊢ (𝜑 → ( 1 ‘𝑋) = ( I ↾ 𝑋))

Proof of Theorem setcid

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setcid.o	. . 3 ⊢ 1 = (Id‘𝐶)
2		setcid.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
3		setccat.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (SetCat‘𝑈)
4	3	setccatid 18042	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (𝐶 ∈ Cat ∧ (Id‘𝐶) = (𝑥 ∈ 𝑈 ↦ ( I ↾ 𝑥))))
5	2, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ Cat ∧ (Id‘𝐶) = (𝑥 ∈ 𝑈 ↦ ( I ↾ 𝑥))))
6	5	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Id‘𝐶) = (𝑥 ∈ 𝑈 ↦ ( I ↾ 𝑥)))
7	1, 6	eqtrid 2784	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 = (𝑥 ∈ 𝑈 ↦ ( I ↾ 𝑥)))
8		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 = 𝑋)
9	8	reseq2d 5938	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → ( I ↾ 𝑥) = ( I ↾ 𝑋))
10		setcid.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
11	10	resiexd 7164	. 2 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝑋) ∈ V)
12	7, 9, 10, 11	fvmptd 6949	1 ⊢ (𝜑 → ( 1 ‘𝑋) = ( I ↾ 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   ↦ cmpt 5167   I cid 5518   ↾ cres 5626  ‘cfv 6492  Catccat 17621  Idccid 17622  SetCatcsetc 18033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-map 8768  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-fz 13453  df-struct 17108  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-hom 17235  df-cco 17236  df-cat 17625  df-cid 17626  df-setc 18034

This theorem is referenced by:  setcsect  18047  funcestrcsetclem7  18103  funcsetcestrclem7  18118  hofcl  18216  yonedainv  18238  funcringcsetcALTV2lem7  48784  funcringcsetclem7ALTV  48807  setc1oid  49982