Theorem setcid 18266

Description: The identity arrow in the category of sets is the identity function. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
setccat.c	⊢ 𝐶 = (SetCat‘𝑈)
setcid.o	⊢ 1 = (Id‘𝐶)
setcid.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
setcid.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
setcid	⊢ (𝜑 → ( 1 ‘𝑋) = ( I ↾ 𝑋))

Proof of Theorem setcid

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setcid.o	. . 3 ⊢ 1 = (Id‘𝐶)
2		setcid.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
3		setccat.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (SetCat‘𝑈)
4	3	setccatid 18264	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (𝐶 ∈ Cat ∧ (Id‘𝐶) = (𝑥 ∈ 𝑈 ↦ ( I ↾ 𝑥))))
5	2, 4	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ Cat ∧ (Id‘𝐶) = (𝑥 ∈ 𝑈 ↦ ( I ↾ 𝑥))))
6	5	simprd 501	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Id‘𝐶) = (𝑥 ∈ 𝑈 ↦ ( I ↾ 𝑥)))
7	1, 6	eqtrid 2807	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 = (𝑥 ∈ 𝑈 ↦ ( I ↾ 𝑥)))
8		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 = 𝑋)
9	8	reseq2d 5969	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → ( I ↾ 𝑥) = ( I ↾ 𝑋))
10		setcid.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
11	10	resiexd 7222	. 2 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝑋) ∈ V)
12	7, 9, 10, 11	fvmptd 7001	1 ⊢ (𝜑 → ( 1 ‘𝑋) = ( I ↾ 𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450   ↦ cmpt 5185   I cid 5544   ↾ cres 5652  ‘cfv 6538  Catccat 17843  Idccid 17844  SetCatcsetc 18255

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-er 8720  df-map 8852  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-4 12410  df-5 12411  df-6 12412  df-7 12413  df-8 12414  df-9 12415  df-n0 12610  df-z 12697  df-dec 12818  df-uz 12969  df-fz 13643  df-struct 17330  df-slot 17365  df-ndx 17377  df-base 17393  df-hom 17457  df-cco 17458  df-cat 17847  df-cid 17848  df-setc 18256

This theorem is used by:  setcsect  18269  funcestrcsetclem7  18325  funcsetcestrclem7  18340  hofcl  18438  yonedainv  18460  funcringcsetcALTV2lem7  49486  funcringcsetclem7ALTV  49509  setc1oid  50723