Theorem estrcid 18092

Description: The identity arrow in the category of extensible structures is the identity function of base sets. (Contributed by AV, 8-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
estrccat.c	⊢ 𝐶 = (ExtStrCat‘𝑈)
estrcid.o	⊢ 1 = (Id‘𝐶)
estrcid.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
estrcid.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
estrcid	⊢ (𝜑 → ( 1 ‘𝑋) = ( I ↾ (Base‘𝑋)))

Proof of Theorem estrcid

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		estrcid.o	. . 3 ⊢ 1 = (Id‘𝐶)
2		estrcid.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
3		estrccat.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (ExtStrCat‘𝑈)
4	3	estrccatid 18090	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (𝐶 ∈ Cat ∧ (Id‘𝐶) = (𝑥 ∈ 𝑈 ↦ ( I ↾ (Base‘𝑥)))))
5	2, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ Cat ∧ (Id‘𝐶) = (𝑥 ∈ 𝑈 ↦ ( I ↾ (Base‘𝑥)))))
6	5	simprd 496	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Id‘𝐶) = (𝑥 ∈ 𝑈 ↦ ( I ↾ (Base‘𝑥))))
7	1, 6	eqtrid 2786	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 = (𝑥 ∈ 𝑈 ↦ ( I ↾ (Base‘𝑥))))
8		fveq2 6828	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (Base‘𝑥) = (Base‘𝑋))
9	8	reseq2d 5932	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ( I ↾ (Base‘𝑥)) = ( I ↾ (Base‘𝑋)))
10	9	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → ( I ↾ (Base‘𝑥)) = ( I ↾ (Base‘𝑋)))
11		estrcid.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
12		fvexd 6843	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑋) ∈ V)
13	12	resiexd 7161	. 2 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ (Base‘𝑋)) ∈ V)
14	7, 10, 11, 13	fvmptd 6944	1 ⊢ (𝜑 → ( 1 ‘𝑋) = ( I ↾ (Base‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Vcvv 3431   ↦ cmpt 5154   I cid 5513   ↾ cres 5621  ‘cfv 6486  Basecbs 17171  Catccat 17622  Idccid 17623  ExtStrCatcestrc 18080

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5200  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-tp 4561  df-op 4563  df-uni 4840  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7808  df-1st 7932  df-2nd 7933  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-er 8634  df-map 8766  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-nn 12167  df-2 12236  df-3 12237  df-4 12238  df-5 12239  df-6 12240  df-7 12241  df-8 12242  df-9 12243  df-n0 12430  df-z 12517  df-dec 12637  df-uz 12781  df-fz 13454  df-struct 17109  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17172  df-hom 17236  df-cco 17237  df-cat 17626  df-cid 17627  df-estrc 18081

This theorem is referenced by:  funcestrcsetclem7  18104  funcsetcestrclem7  18119  rnghmsubcsetclem1  20604  rngcid  20608  rhmsubcsetclem1  20633  ringcid  20637