Theorem estrcid 18224

Description: The identity arrow in the category of extensible structures is the identity function of base sets. (Contributed by AV, 8-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
estrccat.c	⊢ 𝐶 = (ExtStrCat‘𝑈)
estrcid.o	⊢ 1 = (Id‘𝐶)
estrcid.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
estrcid.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
estrcid	⊢ (𝜑 → ( 1 ‘𝑋) = ( I ↾ (Base‘𝑋)))

Proof of Theorem estrcid

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		estrcid.o	. . 3 ⊢ 1 = (Id‘𝐶)
2		estrcid.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
3		estrccat.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (ExtStrCat‘𝑈)
4	3	estrccatid 18222	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (𝐶 ∈ Cat ∧ (Id‘𝐶) = (𝑥 ∈ 𝑈 ↦ ( I ↾ (Base‘𝑥)))))
5	2, 4	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ Cat ∧ (Id‘𝐶) = (𝑥 ∈ 𝑈 ↦ ( I ↾ (Base‘𝑥)))))
6	5	simprd 501	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Id‘𝐶) = (𝑥 ∈ 𝑈 ↦ ( I ↾ (Base‘𝑥))))
7	1, 6	eqtrid 2809	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 = (𝑥 ∈ 𝑈 ↦ ( I ↾ (Base‘𝑥))))
8		fveq2 6882	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (Base‘𝑥) = (Base‘𝑋))
9	8	reseq2d 5976	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ( I ↾ (Base‘𝑥)) = ( I ↾ (Base‘𝑋)))
10	9	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → ( I ↾ (Base‘𝑥)) = ( I ↾ (Base‘𝑋)))
11		estrcid.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
12		fvexd 6897	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑋) ∈ V)
13	12	resiexd 7218	. 2 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ (Base‘𝑋)) ∈ V)
14	7, 10, 11, 13	fvmptd 6998	1 ⊢ (𝜑 → ( 1 ‘𝑋) = ( I ↾ (Base‘𝑋)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453   ↦ cmpt 5190   I cid 5553   ↾ cres 5661  ‘cfv 6537  Basecbs 17303  Catccat 17754  Idccid 17755  ExtStrCatcestrc 18212

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332  df-7 12333  df-8 12334  df-9 12335  df-n0 12530  df-z 12617  df-dec 12738  df-uz 12889  df-fz 13562  df-struct 17241  df-slot 17276  df-ndx 17288  df-base 17304  df-hom 17368  df-cco 17369  df-cat 17758  df-cid 17759  df-estrc 18213

This theorem is used by:  funcestrcsetclem7  18236  funcsetcestrclem7  18251  rnghmsubcsetclem1  20792  rngcid  20796  rhmsubcsetclem1  20821  ringcid  20825