Theorem estrcid 17947

Description: The identity arrow in the category of extensible structures is the identity function of base sets. (Contributed by AV, 8-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
estrccat.c	⊢ 𝐶 = (ExtStrCat‘𝑈)
estrcid.o	⊢ 1 = (Id‘𝐶)
estrcid.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
estrcid.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
estrcid	⊢ (𝜑 → ( 1 ‘𝑋) = ( I ↾ (Base‘𝑋)))

Proof of Theorem estrcid

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		estrcid.o	. . 3 ⊢ 1 = (Id‘𝐶)
2		estrcid.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
3		estrccat.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (ExtStrCat‘𝑈)
4	3	estrccatid 17945	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (𝐶 ∈ Cat ∧ (Id‘𝐶) = (𝑥 ∈ 𝑈 ↦ ( I ↾ (Base‘𝑥)))))
5	2, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ Cat ∧ (Id‘𝐶) = (𝑥 ∈ 𝑈 ↦ ( I ↾ (Base‘𝑥)))))
6	5	simprd 496	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Id‘𝐶) = (𝑥 ∈ 𝑈 ↦ ( I ↾ (Base‘𝑥))))
7	1, 6	eqtrid 2788	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 = (𝑥 ∈ 𝑈 ↦ ( I ↾ (Base‘𝑥))))
8		fveq2 6825	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (Base‘𝑥) = (Base‘𝑋))
9	8	reseq2d 5923	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ( I ↾ (Base‘𝑥)) = ( I ↾ (Base‘𝑋)))
10	9	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → ( I ↾ (Base‘𝑥)) = ( I ↾ (Base‘𝑋)))
11		estrcid.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
12		fvexd 6840	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑋) ∈ V)
13	12	resiexd 7148	. 2 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ (Base‘𝑋)) ∈ V)
14	7, 10, 11, 13	fvmptd 6938	1 ⊢ (𝜑 → ( 1 ‘𝑋) = ( I ↾ (Base‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  Vcvv 3441   ↦ cmpt 5175   I cid 5517   ↾ cres 5622  ‘cfv 6479  Basecbs 17009  Catccat 17470  Idccid 17471  ExtStrCatcestrc 17935

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4853  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-om 7781  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-1o 8367  df-er 8569  df-map 8688  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-fin 8808  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-nn 12075  df-2 12137  df-3 12138  df-4 12139  df-5 12140  df-6 12141  df-7 12142  df-8 12143  df-9 12144  df-n0 12335  df-z 12421  df-dec 12539  df-uz 12684  df-fz 13341  df-struct 16945  df-slot 16980  df-ndx 16992  df-base 17010  df-hom 17083  df-cco 17084  df-cat 17474  df-cid 17475  df-estrc 17936

This theorem is referenced by:  funcestrcsetclem7  17960  funcsetcestrclem7  17975  rnghmsubcsetclem1  45893  rngcid  45897  rhmsubcsetclem1  45939  ringcid  45943