Theorem itcoval0 49718

Description: A function iterated zero times (defined as identity function). (Contributed by AV, 2-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
itcoval0	⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ((IterComp‘𝐹)‘0) = ( I ↾ dom 𝐹))

Proof of Theorem itcoval0

Dummy variables 𝑔 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itcoval 49717	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (IterComp‘𝐹) = seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹))))
2	1	fveq1d 6879	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ((IterComp‘𝐹)‘0) = (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)))‘0))
3		0z 12685	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
4		eqidd 2762	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)))
5		iftrue 4488	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 0 → if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹) = ( I ↾ dom 𝐹))
6	5	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 = 0) → if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹) = ( I ↾ dom 𝐹))
7		0nn0 12602	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → 0 ∈ ℕ0)
9		dmexg 7902	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → dom 𝐹 ∈ V)
10	9	resiexd 7214	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ( I ↾ dom 𝐹) ∈ V)
11	4, 6, 8, 10	fvmptd 6993	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹))‘0) = ( I ↾ dom 𝐹))
12	3, 11	seq1i 14138	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)))‘0) = ( I ↾ dom 𝐹))
13	2, 12	eqtrd 2796	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ((IterComp‘𝐹)‘0) = ( I ↾ dom 𝐹))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451  ifcif 4482   ↦ cmpt 5186   I cid 5545  dom cdm 5651   ↾ cres 5653   ∘ ccom 5655  ‘cfv 6531   ∈ cmpo 7414  0cc0 11181  ℕ₀cn0 12587  seqcseq 14124  IterCompcitco 49713

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-inf2 9626  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-seq 14125  df-itco 49715

This theorem is used by:  itcoval1  49719  itcoval0mpt  49722  itcovalendof  49725