Theorem itcoval0 45896

Description: A function iterated zero times (defined as identity function). (Contributed by AV, 2-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
itcoval0	⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ((IterComp‘𝐹)‘0) = ( I ↾ dom 𝐹))

Proof of Theorem itcoval0

Dummy variables 𝑔 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itcoval 45895	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (IterComp‘𝐹) = seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹))))
2	1	fveq1d 6758	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ((IterComp‘𝐹)‘0) = (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)))‘0))
3		0z 12260	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
4		eqidd 2739	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)))
5		iftrue 4462	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 0 → if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹) = ( I ↾ dom 𝐹))
6	5	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 = 0) → if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹) = ( I ↾ dom 𝐹))
7		0nn0 12178	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → 0 ∈ ℕ0)
9		dmexg 7724	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → dom 𝐹 ∈ V)
10	9	resiexd 7074	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ( I ↾ dom 𝐹) ∈ V)
11	4, 6, 8, 10	fvmptd 6864	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹))‘0) = ( I ↾ dom 𝐹))
12	3, 11	seq1i 13663	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)))‘0) = ( I ↾ dom 𝐹))
13	2, 12	eqtrd 2778	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ((IterComp‘𝐹)‘0) = ( I ↾ dom 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422  ifcif 4456   ↦ cmpt 5153   I cid 5479  dom cdm 5580   ↾ cres 5582   ∘ ccom 5584  ‘cfv 6418   ∈ cmpo 7257  0cc0 10802  ℕ₀cn0 12163  seqcseq 13649  IterCompcitco 45891

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-seq 13650  df-itco 45893

This theorem is referenced by:  itcoval1  45897  itcoval0mpt  45900  itcovalendof  45903