Theorem restopn3 45689

Description: If 𝐴 is open, then 𝐴 is open in the restriction to itself. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
restopn3	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → 𝐴 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴))

Proof of Theorem restopn3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 488	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → 𝐴 ∈ 𝐽)
2		ssidd 3957	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → 𝐴 ⊆ 𝐴)
3		restopn2 23224	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → (𝐴 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴) ↔ (𝐴 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐴)))
4	1, 2, 3	mpbir2and 723	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → 𝐴 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2141   ⊆ wss 3902  (class class class)co 7390   ↾_t crest 17439  Topctop 22940

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7841  df-1st 7964  df-2nd 7965  df-en 8921  df-fin 8924  df-fi 9350  df-rest 17441  df-topgen 17462  df-top 22941  df-topon 22958  df-bases 22993

This theorem is referenced by: (None)