Theorem restopnssd 45508

Description: A topology restricted to an open set is a subset of the original topology. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Dec-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
restopnssd.1	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
restopnssd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐽)

Assertion

Ref	Expression
restopnssd	⊢ (𝜑 → (𝐽 ↾t 𝐴) ⊆ 𝐽)

Proof of Theorem restopnssd

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴)) → 𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴))
2		restopnssd.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
3	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴)) → 𝐽 ∈ Top)
4		restopnssd.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐽)
5	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴)) → 𝐴 ∈ 𝐽)
6		restopn2 23133	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → (𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴)))
7	3, 5, 6	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴)) → (𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴)))
8	1, 7	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴)) → (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴))
9	8	simpld 494	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴)) → 𝑥 ∈ 𝐽)
10	9	ssd 45437	1 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ↾t 𝐴) ⊆ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3903  (class class class)co 7368   ↾_t crest 17352  Topctop 22849

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-en 8896  df-fin 8899  df-fi 9326  df-rest 17354  df-topgen 17375  df-top 22850  df-topon 22867  df-bases 22902

This theorem is referenced by: (None)