Theorem restopnssd 45276

Description: A topology restricted to an open set is a subset of the original topology. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Dec-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
restopnssd.1	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
restopnssd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐽)

Assertion

Ref	Expression
restopnssd	⊢ (𝜑 → (𝐽 ↾t 𝐴) ⊆ 𝐽)

Proof of Theorem restopnssd

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴)) → 𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴))
2		restopnssd.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
3	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴)) → 𝐽 ∈ Top)
4		restopnssd.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐽)
5	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴)) → 𝐴 ∈ 𝐽)
6		restopn2 23095	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → (𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴)))
7	3, 5, 6	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴)) → (𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴)))
8	1, 7	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴)) → (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴))
9	8	simpld 494	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴)) → 𝑥 ∈ 𝐽)
10	9	ssd 45204	1 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ↾t 𝐴) ⊆ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3898  (class class class)co 7354   ↾_t crest 17328  Topctop 22811

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-om 7805  df-1st 7929  df-2nd 7930  df-en 8878  df-fin 8881  df-fi 9304  df-rest 17330  df-topgen 17351  df-top 22812  df-topon 22829  df-bases 22864

This theorem is referenced by: (None)