Theorem restopnssd 45162

Description: A topology restricted to an open set is a subset of the original topology. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Dec-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
restopnssd.1	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
restopnssd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐽)

Assertion

Ref	Expression
restopnssd	⊢ (𝜑 → (𝐽 ↾t 𝐴) ⊆ 𝐽)

Proof of Theorem restopnssd

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴)) → 𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴))
2		restopnssd.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
3	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴)) → 𝐽 ∈ Top)
4		restopnssd.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐽)
5	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴)) → 𝐴 ∈ 𝐽)
6		restopn2 23186	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → (𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴)))
7	3, 5, 6	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴)) → (𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴)))
8	1, 7	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴)) → (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴))
9	8	simpld 494	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴)) → 𝑥 ∈ 𝐽)
10	9	ssd 45090	1 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ↾t 𝐴) ⊆ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3950  (class class class)co 7432   ↾_t crest 17466  Topctop 22900

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-en 8987  df-fin 8990  df-fi 9452  df-rest 17468  df-topgen 17489  df-top 22901  df-topon 22918  df-bases 22954

This theorem is referenced by: (None)