Theorem restopnssd 45146

Description: A topology restricted to an open set is a subset of the original topology. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Dec-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
restopnssd.1	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
restopnssd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐽)

Assertion

Ref	Expression
restopnssd	⊢ (𝜑 → (𝐽 ↾t 𝐴) ⊆ 𝐽)

Proof of Theorem restopnssd

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴)) → 𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴))
2		restopnssd.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
3	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴)) → 𝐽 ∈ Top)
4		restopnssd.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐽)
5	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴)) → 𝐴 ∈ 𝐽)
6		restopn2 23064	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → (𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴)))
7	3, 5, 6	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴)) → (𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴)))
8	1, 7	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴)) → (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴))
9	8	simpld 494	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴)) → 𝑥 ∈ 𝐽)
10	9	ssd 45074	1 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ↾t 𝐴) ⊆ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3914  (class class class)co 7387   ↾_t crest 17383  Topctop 22780

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-en 8919  df-fin 8922  df-fi 9362  df-rest 17385  df-topgen 17406  df-top 22781  df-topon 22798  df-bases 22833

This theorem is referenced by: (None)