Theorem restopnssd 44586

Description: A topology restricted to an open set is a subset of the original topology. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Dec-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
restopnssd.1	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
restopnssd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐽)

Assertion

Ref	Expression
restopnssd	⊢ (𝜑 → (𝐽 ↾t 𝐴) ⊆ 𝐽)

Proof of Theorem restopnssd

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴)) → 𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴))
2		restopnssd.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
3	2	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴)) → 𝐽 ∈ Top)
4		restopnssd.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐽)
5	4	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴)) → 𝐴 ∈ 𝐽)
6		restopn2 23097	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → (𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴)))
7	3, 5, 6	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴)) → (𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴)))
8	1, 7	mpbid 231	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴)) → (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴))
9	8	simpld 493	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴)) → 𝑥 ∈ 𝐽)
10	9	ssd 44510	1 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ↾t 𝐴) ⊆ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∈ wcel 2098   ⊆ wss 3940  (class class class)co 7415   ↾_t crest 17399  Topctop 22811

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-en 8961  df-fin 8964  df-fi 9432  df-rest 17401  df-topgen 17422  df-top 22812  df-topon 22829  df-bases 22865

This theorem is referenced by: (None)