Theorem scutcl 27856

Description: Closure law for surreal cuts. (Contributed by Scott Fenton, 23-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
scutcl	⊢ (𝐴 <<s 𝐵 → (𝐴 |s 𝐵) ∈ No )

Proof of Theorem scutcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		scutcut 27855	. 2 ⊢ (𝐴 <<s 𝐵 → ((𝐴 |s 𝐵) ∈ No ∧ 𝐴 <<s {(𝐴 |s 𝐵)} ∧ {(𝐴 |s 𝐵)} <<s 𝐵))
2	1	simp1d 1142	1 ⊢ (𝐴 <<s 𝐵 → (𝐴 |s 𝐵) ∈ No )

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2103  {csn 4648   class class class wbr 5169  (class class class)co 7445   No csur 27693   <<s csslt 27834   |s cscut 27836

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-rep 5306  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pow 5386  ax-pr 5450  ax-un 7766

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3383  df-reu 3384  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-pss 3990  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4973  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-tr 5287  df-id 5597  df-eprel 5603  df-po 5611  df-so 5612  df-fr 5654  df-we 5656  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-ord 6397  df-on 6398  df-suc 6400  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-riota 7401  df-ov 7448  df-oprab 7449  df-mpo 7450  df-1o 8518  df-2o 8519  df-no 27696  df-slt 27697  df-bday 27698  df-sslt 27835  df-scut 27837

This theorem is referenced by:  scutcld  27857  scutf  27866  slerec  27873  0sno  27880  1sno  27881  madeval2  27901  elmade  27915