Theorem scutcld 27781

Description: Closure law for surreal cuts. (Contributed by Scott Fenton, 23-Aug-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
scutcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 <<s 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
scutcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 |s 𝐵) ∈ No )

Proof of Theorem scutcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		scutcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 <<s 𝐵)
2		scutcl 27780	. 2 ⊢ (𝐴 <<s 𝐵 → (𝐴 |s 𝐵) ∈ No )
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 |s 𝐵) ∈ No )

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5099  (class class class)co 7360   No csur 27611   <<s csslt 27757   |s cscut 27759

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-ord 6321  df-on 6322  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-1o 8399  df-2o 8400  df-no 27614  df-slt 27615  df-bday 27616  df-sslt 27758  df-scut 27760

This theorem is referenced by:  eqscut3  27802  cofcut1  27902  cofcutr  27906  addsuniflem  27983  negsunif  28037  ssltmul1  28129  ssltmul2  28130  mulsuniflem  28131  mulsunif2lem  28151  precsexlem11  28198  precsex  28199  elons2  28239  onscutlt  28245  n0sfincut  28335  zscut  28386  twocut  28402  nohalf  28403  pw2recs  28417  halfcut  28437  pw2cut2  28441